الصيغةُ العلميةُ

الصيغةُ العلميةُ : هِيَ طريقةٌ لكتابةِ الأعدادِ الكبيرةِ جدًّا أَوِ الصغيرةِ جدًّا على صورةِ حاصلِ ضربِ عددَينِ أحدُهُما أكبرُ مِنْ أَوْ يساوي 1 وأقل من 10 ، والآخَرُ أحدُ قوى العددِ 10 .

 

معلومة : تُسمّى الصيغةُ الّتي تُكتبُ بها الأعدادُ مِنْ دون استعمال الأُسسِ الصيغةَ القياسيةَ.

مفهومٌ أساسيٌّ :  يُكتبُ العددُ بالصيغةِ العلميةِ على الصورةِ $\mathit{a}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{n}}$ حيث $\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathit{a}\mathbf{<}\mathbf{10}$ ، حيث n عدد صحيح.

أمثلة توضيحية :   $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{35}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \\ \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}} \end{gathered}$$ 

---

ملاحظة مهمة للحل :

عند التحويل من الصيفة القياسية إلى الصيغة العلمية هناك حالتان :

1- عند تحريك الفاصلة العشرية لليسار يكون أس العدد 10 موجباً ، ويمثل الأس عدد الخطوات التي تتحرك بها الفاصلة .  

2- عند تحريك الفاصلة العشرية لليمين يكون أس العدد 10 سالباً ، ويمثل الأس عدد الخطوات التي تتحرك بها الفاصلة . 

---

مثال 1  :  أكتبُ كلَّ عددٍ في ما يأتي بالصيغةِ العلميةِ .

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{12300000}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار 7 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  كالتالي :

لاحظ أننا حذفنا الأصفار المتبقية.

 

الآن نحدد قوة العدد 10 :

وبما أننا حركنا الفاصلة العشرية  7 منازل لليسار فإن قوة العدد 10 هي 7   : ${\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}$

الآن نضرب العددين الناتجين  : $\mathbf{12300000}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{23}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}$

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000729}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين 4 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  كالتالي :

لاحظ أننا حذفنا الأصفار المتبقية.

الآن نحدد قوة العدد 10 :

وبما أننا حركنا الفاصلة العشرية  4 منازل لليمين فإن قوة العدد 10 هي 4 - : ${\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

الآن نضرب العددين الناتجين : $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000729}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{29}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{-4}$

---

ملاحظة مهمة للحل :

عند التحويل من الصيفة العلمية إلى الصيغة القياسية  هناك حالتان :

1- عندما يكون أس العدد 10 موجباً  ، فإننا نحرك الفاصلة العشرية لليمين بعدد خطوات مساوٍ  لمقدار الأس .

2- عندما يكون أس العدد 10 سالباً ، فإننا نحرك الفاصلة العشرية لليسار بعدد خطوات مساوٍ لمقدار الأس .

---

مثال 2 : أكتبُ كلَّ عددٍ ممّا يأتي بالصيغةِ القياسيةِ :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{51}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 5 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 5  منازل إلى اليمين  ليصبح الناتج :

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

 

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{8}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 8 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 8 منازل إلى اليسار  ليصبح الناتج :

 

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

---

ملاحظة مهمة للحل :

يمكنُ مقارنةُ الأعدادِ المكتوبةِ بالصيغةِ العلميةِ وترتيبُها، وذلكَ بمقارنةِ أُسُسِ العددِ 10 أولاً ، ثُمَّ مقارنةِ الجزءِ العشريِّ.

---

مثال 3 : رتبُ الأعدادَ في كلٍّ ممّا يأتي تصاعديًّا .

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$

 

بما أنَّ ${\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$ ، إذن $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$ هو الأصغر .

 

 

 

 

بما أن  $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{>}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{8}$

إذن $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$ هو الأكبر.

 

 

 

إذنْ، الترتيبُ التصاعديُّ للأعدادِ الثلاثةِ هُوَ :

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$

---

معلومة :

يمكنُ استعمالُ الصيغةِ العلميةِ لتسهيلِ عمليةِ ضربِ الأعدادِ الكبيرةِ جدًّا أَوِ الصغيرةِ جدًّا وقسمتِها.

---

مثال 4 : أجدُ ناتجَ كلٍّ ممّا يأتي:

$\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{)}$ (1

باستعمال الخاصيتين : التجميعية ، والتبديلية 

تذكر : أن الأسس عند الضرب تجمع ، بشرط تساوي الأساس                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ } \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{04}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{04}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

---

باستعمال الخاصيتين : التجميعية ، والتبديلية                                                                                                                                                                                                                                                                                                            $$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{561}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{÷}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{29}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{561}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{29}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{)}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{561}}{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{29}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}}\mathbf{)} \end{gathered}$$ 

تذكر : أن الأسس عند الضرب تجمع وعند القسمة تطرح  ، بشرط تساوي الأساس                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      $$\begin{gathered} \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{11}} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{11}} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{12}} \end{gathered}$$

---

مثال 5: منَ الحياةِ 

البِكسلُ: البكسلُ هُوَ أصغرُ عنصرٍ يمكنُ رؤيتُهُ في الصورةِ الرقْميةِ على الشاشاتِ وَهُوَ على شكلِ مستطيلٍ طولُهُ $\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{m}$ وعرضه $\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$  7 أجدُ مساحةَ البِكسلِ بالصيغتَينِ: القياسيةِ، والعلميةِ.

 

الحل : 

نكتب قانون مساحة المستطيل ثم نوض قيمة كل من l و w . كالتالي : 

      

باستعمال الخاصيتين : التجميعية ، والتبديلية                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               $$\begin{gathered} \mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{l}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathit{w} \\ \mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{14}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\times }\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}} \\ \mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{العلمية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{00014}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{القياسية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{)} \end{gathered}$$

تذكر : أن الأسس عند الضرب تجمع ، بشرط تساوي الأساس 

 

---