رياضيات فصل أول

الصيغةُ العلميةُ

أتحققُ من فهمي 1 : أكتبُ كلَّ عددٍ في ما يأتي بالصيغةِ العلميةِ 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{7864}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار 3 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 7.864

وبما أننا حركنا الفاصلة 3 منازل لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 3  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{864}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}$

---

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{4277}\mathbf{.}\mathbf{38}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار 3 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 4.27738

وبما أننا حركنا الفاصلة 3 منازل لليسار، إذن أس العدد 10 هو موجب 3  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{27738}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}$

---

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{00000874}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين 6 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 8.74

وبما أننا حركنا الفاصلة 6 منازل لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب 6  وعليه سيكون الجواب :  

$\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{74}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

---

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{002}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين 3 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 2

وبما أننا حركنا الفاصلة 3 منازل لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب 3  وعليه سيكون الجواب :  

$\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

---

أتحققُ من فهمي 2 : أكتبُ كلَّ عددٍ في ما يأتي بالصيغةِ القياسية

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{432}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 6 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 6  منازل إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{6432000}$

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

---

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{45}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 2 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0345}$

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

---

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 4 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 4 منازل إلى اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0007}$

لاحظ أنه عند عدم وجود منازل عشرية ، إذا كان الأس سالباً نضع عدد من  الأصفار على يسار العدد  بمقدار الأس

(باستثناء الصفر على يسار الفاصلة العشرية )

---

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 3 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 3  منازل إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{8000}$

لاحظ أنه عند عدم وجود منازل عشرية ، إذا كان الأس موجباً نضع عدد من  الأصفار على يمين العدد  بمقدار الأس .

---

أتحققُ من فهمي 3 : أرتبُ الأعدادَ في كلٍّ ممّا يأتي تصاعديًّا:

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

الحل : 

أولاً : نقارن بين أسس العدد 10  ليتضح لنا أن أصغر رقم هو : $\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

ثانياً : نقارن الجزء العشري للأرقام المتبقية ليتضح أن $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$ أصغر من $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

وعليه سيكون ترتيب الأرقام  تصاعدياً  (من اليسار) كالتالي : 

$\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }}$

---

أتحققُ من فهمي 4 : أجدُ ناتجَ كلٍّ ممّا يأتي: 

$$\begin{gathered} 3) \mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{14}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{14}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{.}\mathbf{68}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{568}\mathbf{\times }\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{568}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{العلمية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{01568}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{القياسية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{)} \end{gathered}$$

---

 $$\begin{gathered} 4) \mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{305}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{÷}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{45}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{305}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{45}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{)}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{305}}{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{45}}\mathbf{\right)}\mathbf{\left(}\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{العلمية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0009}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{القياسية}\mathbf{ }\mathbf{الصيغة}\mathbf{)} \end{gathered}$$ 

---

أتحققُ من فهمي 5 :يحتوي جسمُ الإنسانِ البالغِ  $\mathbf{20}\mathbf{ }\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{000}$  خليةَ دمٍ حمراءَ تقريبًا وكتلةُ الخليةِ الواحدةِ $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{0001}\mathit{g}$ ، أكتبُ كلًّ مِنْ هذَينِ العددَينِ بالصيغةِ العلميةِ، ثُمَّ أجدُ كتلةَ خلايا الدّمِ الحمراءِ جميعِها لدى الإنسانِ البالغِ.

 

الحل:

أولاً : لكتابة العدد 20000000000000 نحرك الفاصلة 13 منزلة باتجاه اليسار ليصبح الرقم : 2

وبما أننا حركنا الفاصلة 13 منزلة باتجاه اليسار فإن  أس العدد 10 سيكون موجب 13 : ${\mathbf{10}}^{\mathbf{13}}$

وعليه فإن الصيغة العلمية تساوي : 

 

$\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{13}}$

ثانياً : لكتابة العدد 0.0000000001 نحرك الفاصلة 10 منازل باتجاه اليمين ليصبح الرقم : 1

وبما أننا حركنا الفاصلة 10 منازل باتجاه اليمين فإن  أس العدد 10 سيكون سالب 10

وعليه فإن الصيغة العلمية تساوي : 

$\mathbf{1}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{10}}$

ثالثاً :لإيجاد كتلة جميع الخلايا سنضرب العددين ببعضهما كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{10}}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{13}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

---

أتدرب وأحل مسائل .

أكتبُ كلَّ عددٍ ممّا يأتي بالصيغةِ العلميةِ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{250}\mathbf{ }$

نحرك الفاصلة إلى اليسار منزلتين  بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 2.5

وبما أننا حركنا الفاصلة منزلتين لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 2  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}$

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{20780}\mathbf{ }\mathbf{000}\mathbf{ }\mathbf{000}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار 10 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 2.078

وبما أننا حركنا الفاصلة 10 منازل لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 10  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{078}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}}$

---

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{56}\mathbf{.}\mathbf{0045}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار منزلة واحدة بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 5.60045

وبما أننا حركنا الفاصلة منزلة واحدة لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 1  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{60045}\mathbf{\times }\mathbf{10}$

---

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{00076}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين 4 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 7.6

وبما أننا حركنا الفاصلة 4 منازل لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب 4  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

---

أكتبُ كلَّ عددٍ ممّا يأتي بالصيغةِ القياسيةِ:

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{46}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 2 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{246}$

---

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{97}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 5 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 5 منازل إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{897000}$

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

---

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{67}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 4 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 4 منازل إلى اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000567}$

لاحظ  أثناء تحريك الفاصلة أنه عند انتهاء  المنازل العشرية في العدد العشري  نضع أصفاراً حتى يكتمل العدد المطلوب من المنازل .

---

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{0789}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 2 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية منزلتين  إلى اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{020789}$

---

9) أرتبُ الأعدادَ الآتيةَ تصاعديًّا: $\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{07}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

 

أولاً : نقارن بين أسس العدد 10  ليتضح لنا أن أصغر رقم هو  $\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{07}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$ ثم الأرقام المرافقة للأس ${\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$ ثم الأرقام المرافقة للأس ${\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

ثانياً : نقارن الجزء العشري للأرقام المتبقية ليتضح أن $\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$ أصغر من $\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$ وأن $\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^5$ أصغر من $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

ليكون الترتيب النهائي التصاعدي (من اليسار لليمين هو) : 

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{07}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

---

أجدُ ناتجَ كلٍّ ممّا يأتي:

$$\begin{gathered} \mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{4}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{29}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{92}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{92}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{0}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{92}\mathbf{\times }\mathbf{1} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{92} \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{6}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{÷}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{)}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}}{\mathbf{3}}\mathbf{\right)}\mathbf{\left(}\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{0}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }\mathbf{1} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{6} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{36}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{)}}\mathbf{ } \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{36}}\mathbf{\times }\sqrt{{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}} \end{gathered}$$

---

14) تشريحٌ: تحتوي شبكيّةُ العينِ خلايا مستقبِلةً للضوءِ وحساسةً لَهُ تُسمّى عِصِيًّا ومخاريطَ، إِذْ يبلغُ عددُ العصيِّ في الشبكيةِ 120000000 وعدد المخاريط 6000000  ، أكتب كلاً من هذين العددين بالصيغة العلمية .

الحل : 

 لكتابة العدد  120000000 بالصيغة العلمية

نحرك الفاصلة إلى اليسار 8 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 1.2

وبما أننا حركنا الفاصلة 8 منازل لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 8  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}$

 

و لكتابة العدد  6000000 بالصيغة العلمية

نحرك الفاصلة إلى اليسار 6 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 6

وبما أننا حركنا الفاصلة 6 منازل لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 6  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$

---

15)  كائناتٌ مجهريةٌ: يبلغُ طولُ عُثّةِ الغبارِ $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{00042}\mathit{m}$ وعرضها $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{00028}\mathit{m}$ ، وتحتوي الوسادة الواحدة ما يقاربُ 2000000 عُثَّةَ غبارٍ. أكتبُ هذهِ الأعدادَ بالصيغةِ العلميةِ.

الحل : 

 لكتابة العدد  0.00042 بالصيغة العلمية

نحرك الفاصلة إلى اليمين 4 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 4.2

وبما أننا حركنا الفاصلة 4 منازل لليمين  ، إذن أس العدد 10 هو سالب 4 وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

 لكتابة العدد  0.00028 بالصيغة العلمية

نحرك الفاصلة إلى اليمين 4 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 2.8

وبما أننا حركنا الفاصلة 4 منازل لليمين  ، إذن أس العدد 10 هو سالب 4 وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

 

لكتابة العدد  2000000 بالصيغة العلمية

نحرك الفاصلة إلى اليسار 6 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 2

وبما أننا حركنا الفاصلة 6 منازل لليسار، إذن أس العدد 10 هو موجب6 وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{6}}$

---

16)  يُبيّنُ الجدولُ الآتي أبعادَ بعضِ الكواكبِ عَنِ الشمسِ، أرتّبُ هذهِ الأبعادَ تنازليًّا.

 

 

 

أولاً : نقارن بين أسس العدد 10  ليتضح لنا أن أصغر رقمين هما $\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}$

  ثم  الرقمين  $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{84}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{42}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^8$

 وأكبر رقم هو : $\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}$

ثانياً : نقارن الجزء العشري للأرقام المتبقية ليتضح أن  $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}$ أصغر من $\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}\mathbf{ }}$

وأنَّ : $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{42}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^8$ أصغر من $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{84}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}\mathbf{ }}$ 

لينتج لنا الترتيب النهائي تنازلياً (من اليسار لليمين) هو : 

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{84}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{42}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }$

وعليه فإن ترتيب أبعاد الكواكب تنازلياً (من اليمين لليسار) :

نبتون  ، المشتري ، المريخ ، الأرض ، الزهرة ، عطارد

---

كثافةٌ سكانيةٌ: تُحسَبُ الكثافةُ السكانيةُ لمنطقةٍ ما بقسمةِ عددِ السكانِ على مساحةِ هذهِ المنطقةِ. في شهرِ آبَ مِنْ عامِ 2020 كانَ عددُ سكانِ الأرضِ $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}$ نسمة . إذا كانَتْ مساحةُ سطحِ اليابسةِ على الأرضِ $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{438}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}\mathbf{ }}\mathit{k}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}$ فأجد الكثافة السكانية لسكان الأرض على اليابسة .

الحل : 

نقسم عدد السكان على مساحة سطح اليابسة :

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}\mathbf{)}\mathbf{÷}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{438}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}}{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{438}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{8}}{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{438}}\mathbf{\right)}\mathbf{\left(}\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}}}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{424}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{0}} \\ \mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{424}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{1} \\ \mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{424} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

18)  نباتاتٌ : تبلغُ كتلةُ الولفيةِ $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$ إذا احتوت ملعقة صغيرة $\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}$ نبتاتٍ ولفيةٍ تقريبًا، فأجدُ كتلةَ هذِهِ الكميةِ.

 

الحل : لإيجاد الكتلة نضرب كتلتة الولفية ب عددها كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{75}\mathit{g} \end{gathered}$$

---

19) تبريرٌ: أيُّهما أكبرُ : ${\mathbf{1000}}^{\mathbf{10}}$ أم ${\mathbf{10}}^{\mathbf{1000}}$ أبرر إجابتي .

 

الحل:  لمعرفة أي العددين أكبر نجعل الأساس متساوي ثم نقارن الأسس كالتالي : 

${\mathbf{1000}}^{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}{\mathbf{\left(}\mathbf{10}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{3}}{\mathbf{)}}^{10}\mathbf{=}{\mathbf{10}}^{\mathbf{30}}$

والعدد الثاني هو : 

$\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{1000}}$

من الواضح أن العدد الأكبر هو ${\mathbf{10}}^{\mathbf{1000}}$ أكبر لأن أسه أكبر مع تساوي أساس العددين.

---

20) أكتشفُ الخطأَ: حلَّ كلٌّ مِنْ سعدٍ وهدى مسألةَ قسمةٍ مكتوبةً بالصيغةِ العلميةِ على النحوِ الآتي، مَنْ مِنْهُما حلُّهُ صحيحٌ؟ أبرّرُ إجابتي

 

الحل :

الحل الصحيح هو حل سعد لأنَّ : 

$$\begin{gathered} \mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{52}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{12}} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{12}} \\ \mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{13}} \end{gathered}$$

---

21) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ عددَينِ بالصيغةِ العلميةِ ناتجُ ضربِهِما $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$ ثُمَّ عددَينِ بالصيغةِ العلميةِ ناتجُ قسمتِهِما $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

 

حل مقترح  :

- عددَينِ بالصيغةِ العلميةِ ناتجُ ضربِهِما $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$ :

$\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)}$

 

-- عددَينِ بالصيغةِ العلميةِ ناتجُ قسمتهما $\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

$\mathbf{(}\mathbf{14}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{7}}\mathbf{)}\mathbf{÷}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

---

22)  أكتبُُ كيفَ أكتبُ الأعدادَ الكلّيةَ والعشريةَ بالصيغةِ العلميةِ؟

نحرك الفاصلة إلى اليمين أو اليسار   بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10 .

وحسب حركة الفاصلة نحدد أس العدد 10 حيث يكون موجباً إذا تحركنا لليسار وسالباً إذا تحركنا لليمن .

ويكون مقدار الأس بمقدار ما حركنا الفاصلة من منازل.

---

أسئلة كتاب التمارين :

 

أكتبُ كلَّ عددٍ ممّا يأتي بالصيغةِ العلميةِ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{30780000000}\mathbf{ }$

 

نحرك الفاصلة إلى اليسار 10 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 3.078

وبما أننا حركنا الفاصلة 10 منازل لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 10  وعليه سيكون الجواب : 

$\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{078}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}}$

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{96}\mathbf{.}\mathbf{43}$

نحرك الفاصلة إلى اليسار منزلة واحدة بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 9.643

وبما أننا حركنا الفاصلة منزلة واحدة لليسار ، إذن أس العدد 10 هو موجب 1  وعليه سيكون الجواب : 

$$\begin{gathered} \mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{643}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{1}} \\ \mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{643}\mathbf{\times }\mathbf{10} \end{gathered}$$

---

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{47}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين منزلة واحدة بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 4.7

وبما أننا حركنا الفاصلة منزلة واحدة لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب1  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

---

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0004278}$

نحرك الفاصلة إلى اليمين  4 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 4.278

وبما أننا حركنا الفاصلة 4 منازل لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب 4  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{278}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

---

5) النانومترُ وحدةٌ لقياسِ أطوالٍ صغيرةٍ جدًّا وتساوي $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000000001}\mathbf{ }\mathit{m}$  أكتبُ النانومترَ باستخدامِ الصيغةِ العلميةِ.

 

الحل :

نحرك الفاصلة إلى اليمين  9 منازل بحيث ينتج عدد أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10  لينتج 1

وبما أننا حركنا الفاصلة 9 منازل لليمين ، إذن أس العدد 10 هو سالب9  وعليه سيكون الجواب :

$\mathbf{1}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{9}}$

---

أكتبُ كلَّ عددٍ ممّا يأتي بالصيغةِ القياسيةِ:

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{97}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}$

بما أن أس العدد 10 موجب 5 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 5  منازل إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{397000}$

---

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 3 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية 3  منازل إلى اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0057}$

---

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{46}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{10}$

بما أن أس العدد 10 موجب 1 ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية  منزلة واحدة إلى اليمين  ليصبح الناتج :

$\mathbf{14}\mathbf{.}\mathbf{6}$

---

$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{15}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

بما أن أس العدد 10 سالب 4  ، فإننا سنحرك الفاصلة العشرية  4 منازل نحو اليسار  ليصبح الناتج :

$\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{000415}$

---

10)  أرتبُ الأعدادَ الآتيةَ تصاعديًّا:

$\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{07}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

أولاً : نقارن بين أسس العدد 10  ليتضح لنا أن أصغر رقمين هما :

$\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

وأكبر رقمين هما :

 $\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}$

ثانياً : نقارن الجزء العشري  ليتضح أن : 

 $\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$ أصغر من  $\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

وأن $\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}\mathbf{ }$أصغر من $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}$

وعليه فإن ترتيب الأعداد تصاعديا (من اليسار لليمين)  هو :

$\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{07}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}\mathbf{ }}$

---

إذا كان $\mathit{p}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{q}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}$ فأجدُ ما يأتي بالصيغةِ العلميةِ:

$$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{q} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{.}\mathbf{48}\mathbf{ }\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{048}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)}\sqrt{\mathbf{q}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{53}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{q}\mathbf{÷}\mathit{p} \\ \mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{÷}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\left(\frac{6.4\times {10}^8}{3.2\times {10}^{-5}}\right)\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{13}} \end{gathered}$$

---

14) يُحسَبُ الضغطُ p المؤثرُ في سطحٍ ما بقسمةِ مقدارِ القوةِ المؤثرةِ F عموديًّا على مساحةِ السطحِ A بالصيغة $\mathit{P}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{A}}$

أجدُ الضغطَ الّذي يؤثرُ بِهِ رجلٌ وزنُهُ $\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{44}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}$  نيوتن ومساحةُ قاعدتَيْ نعلَيْهِ $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}$

 

الحل : نقسم العددين على بعضهما كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathit{P}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{A}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{44}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

---

في ما يأتي أربعةُ أعدادٍ مكتوبةٍ بالصيغةِ العلميةِ:

$\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}$

أجدُ بالصيغةِ العلميةِ: 

15) أكبرَ ناتجِ ضربِ عددَينِ مِنْ هذهِ الأعدادِ.

الحل : نضرب أكبر عددين كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{16}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{9}} \\ \mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{68}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}} \end{gathered}$$

16) أصغرَ ناتجِ ضربِ عددَينِ مِنْ هذهِ الأعدادِ.

الحل : نضرب أصغر عددين كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{\times }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)} \\ \mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{76}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{5}} \end{gathered}$$

---

17 إذا علمْتُ أنَّ سرعةَ الضوءِ  $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{0}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{/}\mathit{s}$  تقريباً  والزمنَ اللازمَ لوصولِ الضوءِ بَيْنَ الأرضِ والقمر 1.3 ثانية تقريباً فأجدُ المسافةَ بَيْنَ الأرضِ والقمرِ بالكيلومترِ، بالصيغةِ القياسيةِ.

 

الحل : 

لحل السؤال يجب تطبيق قانون المسافة  : $$\begin{gathered} \mathbf{المسافة}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{السرعة}\mathbf{\times }\mathbf{الزمن} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{0}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{3} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{390000000}\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{390000}\mathbf{ }\mathit{k}\mathit{m} \end{gathered}$$

---