رياضيات فصل ثاني

العمليات على المقادير الجذرية 

 

أولًا : تبسيطُ المقاديرِ الجذريةِ باستعمالِ خاصيةِ الضربِ

يُطلَقُ على المقاديرِ العدديةِ أوِ المقاديرِ الجبريةِ التي تحوي جذورًا اسمُ المقاديرِ الجذريةِ ، التي يكونُ كلٌّ منْها في أبسطِ صورةٍ إذا توافرَتْ فيهِ الشروطُ الآتيةُ :
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ مجذورٍ عواملَ (ما عدا العددَ 1) يُمكِنُ كتابتُها في صورةِ قوى دليلِ الجذرِ.
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ مجذورٍ كسورًا.
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ كسرٍ مقامًا يحوي جذورًا.

مفهومٌ أساسيٌّ (خاصيةُ ضربِ الجذورِ)

لأيِّ عددينِ حقيقيينِ a و b، ولأيِّ عددٍ صحيحٍ n ، حيثُ : n > 1 : 1) إذا كانَ n عددًا زوجيًّا ، وكانَ $a\ge 0 , b\ge 0$، فإنَّ : $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ 2) إذا كانَ n عددًا فرديًّا ، فإنَّ : $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ مثالانِ : $\sqrt{4\times 5} = \sqrt{4 }\times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} , \sqrt[3]{27\times 4} = \sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{4} = 3 \sqrt[3]{4}$

 

•• إذا أُريدَ تبسيطُ جذرٍ زوجيٍّ لمقدارٍ جبريٍّ أُسُّهُ زوجيٌّ ، وكانَ أُسُّ المقدارِ الجبريِّ الناتجُ منَ التبسيطِ فرديًّا، فإنَّهُ يتعيَّنُ أخذُ القيمةِ

المُطلَقةِ للناتجِ، وبذلكَ لا يكونُ الجوابُ عددًا سالبًا؛ لأنَّ الجذورَ الزوجيةَ لا تكونُ سالبةً ، مثلَ:

$\sqrt{x^2} = \left|x\right| , \sqrt{x^4} = x^2 , \sqrt[4]{x^{12}} = | x^3| , \sqrt[6]{{(x-5)}^6} = |x-5|$

 

••أتعلَّمُ : · إذا كانَ n عددًا فرديًّا ، فإنَّ : $\sqrt[n]{a^n}= a$ . إذا كانَ n عددًا زوجيًّا، فإنَّ : $\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|$

 

ثانيًا : تبسيطُ المقاديرِ الجذريةِ باستعمالِ خاصيةِ القسمةِ

مفهومٌ أساسيٌّ (خاصيةُ قسمةِ الجذورِ التربيعيةِ)

لأيِّ عددينِ حقيقيينِ a و b، حيثُ: b ≠ 0 ، ولأيِّ عددٍ صحيحٍ n، حيثُ: n > 1 ، فإنَّ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ إذا كانَتْ جميعُ الجذورِ مُعرَّفةً. مثالانِ : $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} , \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

 

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المقدارَ الجذريَّ يكونُ في أبسطِ صورةٍ إذا لمْ يحتوِ أيُّ مقامٍ فيهِ على جذورٍ. والآنَ سأتعلَّمُ كيفَ يُمكِنُ التخلُّصُ

منَ الجذرِ الذي في المقامِ عنْ طريقِ عمليةٍ تُسمّى إنطاقَ المقامِ  ، وتتضمَّنُ ضربَ البسطِ والمقامِ في مقدارٍ جذريٍّ، بحيثُ لا

يحوي ناتجُ الضربِ جذورًا في المقامِ كما في الجدولِ الآتي :

مثالٌ	ضربُ البسطِ والمقامِ في	المقامُ
$\frac{7}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$	$\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$
$\frac{7}{\sqrt[3]{5}}\times \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{7\sqrt[3]{5^2}}{5}$	$\sqrt[n]{a^{n-x}}$	$\sqrt[n]{a^x}$

 

ثالثًا : العملياتُ على المقاديرِ الجذريةِ

يُطلَقُ على الجذورِ التي لها الدليلُ نفسُهُ والمجذورُ نفسُهُ اسمُ الجذورِ المُتشابِهةِ، ويُمكِنُ جمعُ المقاديرِ الجذريةِ وطرحُها بطريقةٍ

مُشابِهةٍ لطريقةِ جمعِ المقاديرِ الجبريةِ وطرحِها.

 

•• يُسمّى كلٌّ منْ $a\sqrt{b}-c\sqrt{d} و a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$  مُرافِقًا للآخرِ ؛ لأنَّ ناتجَ ضربِهِما لا يحوي جذورًا. فمثلًا ، كلٌّ منْ $3-\sqrt{2} و 3+\sqrt{2}$

هوَ مُرافِقٌ للآخر ؛ لأنَّ : 

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2}) = {\left(3\right)}^2 -{\left(\sqrt{2}\right)}^2$
${\left(3\right)}^2 = 9 , {\left(\sqrt{2}\right)}^2 = 2$	$= 9 - 2$
$\mathrm{بالتبسيط}$	$= 7$

 

•• يُستعمَلُ المُرافِقُ لإنطاقِ بعضِ المقاماتِ في المقاديرِ الجذريةِ، وذلكَ بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ، ثمَّ تبسيطِ الناتجِ.