رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 71

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{12x^3 y^2} , x>0$                                  $\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt[6]{64{(x^2 -3)}^6}$                               $\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[7]{98 r^8 q^9}$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{12x^3 y^2} , x>0$

بتحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة	$\sqrt{12x^3 y^2} = \sqrt{2^2\times 3 \times x^2\times x \times y^2}$
خاصية ضرب الجذور	$= \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{x^2} \times \sqrt{x} \times \sqrt{y^2}$
بالتبسيط	$= 2 \times \sqrt{3} \times x \times \sqrt{x} \times \left|y\right|$
$x > 0$ ، لا توجد ضرورة لكتابة رمز القيمة المطلقة	$= 2x\sqrt{3x} \left|y\right|$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt[6]{64{(x^2 -3)}^6}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 6	$\sqrt[6]{64{(x^2 -3)}^6} = \sqrt[6]{2^6 \times {(x^2-3)}^6}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[6]{2^6} \times \sqrt[6]{{(x^2-3)}^6}$
بالتبسيطِ	$= 2\left| x^2-3 \right|$

 

---

 

$\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[7]{98 r^8 q^9}$

	$\sqrt[7]{98 r^8 q^9} = \sqrt[7]{2 \times 7^2 \times r^7 \times r \times q^7 \times q^2}$
	$= \sqrt[7]{98}\times \sqrt[7]{r^7} \times \sqrt[7]{r} \times \sqrt[7]{q^7} \times \sqrt[7]{q^2}$
	$= r q \sqrt[7]{98 \times r \times q^2}$
	$= r q \sqrt[7]{98r{q}^2}$

 

---

 

 

أتحقق من فهمي صفحة 73

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{\sqrt{5x^2}}{\sqrt{18}}$                                        $\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt{\frac{12x^4}{y^3}}$                             $\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{7}{16x^3}}$

 

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{\sqrt{5x^2}}{\sqrt{18}}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$\frac{\sqrt{5x^2}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{5x^2} }{\sqrt{3^2 \times 2}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{\sqrt{5x^2}}{3\sqrt{2}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{\sqrt{5x^2}}{3\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{10x^2}}{6}$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt{\frac{12x^4}{y^3}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt{\frac{12x^4}{y^3}} = \frac{\sqrt{12x^4}}{\sqrt{y^3}}$
بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$= \frac{\sqrt{2^2 \times 3 \times {\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2 \times y }}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{2^2}\times \sqrt{3} \times \sqrt{{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2} \times \sqrt{y}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{2 x^2\sqrt{3}}{\left|y\right|\times \sqrt{y}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{2 x^2\sqrt{3}}{ \left|y\right|\times \sqrt{y}}\times \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{y} \times \sqrt{y} = y$	$= \frac{2 x^2 \sqrt{3y}}{ \left|y\right|\times y}$
(مُعطى) جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ ، إذن : $\left|y\right| = y$	$= \frac{2 x^2 \sqrt{3y}}{ y^2}$

 

---

 

$\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{7}{16x^3}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt[5]{\frac{7}{16x^3}} = \frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{16x^3}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{16x^3}}\times \frac{\sqrt[5]{2x^2}}{\sqrt[5]{2x^2}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt[5]{7\times 2x^2}}{\sqrt[5]{16x^3\times 2x^2}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{\sqrt[5]{14x^2}}{\sqrt[5]{32x^5 }}= \frac{\sqrt[5]{14x^2}}{2x}$

 

---

 

 

أتحقق من فهمي صفحة 74

أُبسِّطُ كلَّ مقدارٍ جذريٍّ ممّا يأتي، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}$                           $\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt{160xy}+\sqrt{40xy}$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 3	$\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{3^3\times 3} + \sqrt[3]{5^3\times 3}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{3 } + \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{3 }$
بالتبسيطِ	$= 3 \sqrt[3]{3} + 5 \sqrt[3]{3} = 8 \sqrt[3]{3}$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt{160xy}+\sqrt{40xy}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 2	$\sqrt{160xy}+\sqrt{40xy} = \sqrt{4^2\times 10xy} + \sqrt{4 \times 10xy}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt{4^2}\times \sqrt{10xy} + \sqrt{4} \times \sqrt{10xy}$
بالتبسيطِ	$= 4\sqrt{10xy} + 2\sqrt{10xy} = 6\sqrt{10xy}$

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 75

أُبسِّطُ كُلًّ منَ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathit{a}\mathbf{)} \sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{80}$                                         $\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{50}÷\sqrt{8}$           

$\mathit{c}\mathbf{)} (5\sqrt{3}-6) (5\sqrt{3}+6)$                        $\mathit{d}\mathbf{)} 4 \sqrt[3]{50x^2 y^5}\times 2 \sqrt[3]{15x^3 y^2}$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} \sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{80}$

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$\sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{4\times 80}$
بالتحليلِ إلى العواملِ الأوَّليةِ	$= \sqrt[3]{2^2 \times 2^4 \times 5}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ أُسسٍ تكعيبيةٍ	$= \sqrt[3]{2^3 \times 2^3 \times 5}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{5}$
بالتبسيطِ	$= 2 \times 2 \times \sqrt[3]{5} = 4 \sqrt[3]{5}$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{50}÷\sqrt{8}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt{50}÷\sqrt{8} = \sqrt{\frac{50}{8 }}$
بالتبسيطِ	$= \sqrt{\frac{25}{4}}$
خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{5}{2}$

 

---

 

$\mathit{c}\mathbf{)} (5\sqrt{3}-6) (5\sqrt{3}+6)$

باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ	$(5\sqrt{3}-6) (5\sqrt{3}+6) =( 5\sqrt{3} \times 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} \times 6) - (6\times 5\sqrt{3}) - (6 \times 6)$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= 25 \times 3 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} - 36$
بالتبسيطِ	$= 75 - 36 = 39$

 

---

 

$\mathit{d}\mathbf{)} 4 \sqrt[3]{50x^2 y^5}\times 2 \sqrt[3]{15x^3 y^2}$

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$4 \sqrt[3]{50x^2 y^5}\times 2 \sqrt[3]{15x^3 y^2} = 4\times 2 \times \sqrt[3]{50x^2 y^5 \times 15x^3 y^2}$
بتحليلِ الثوابتِ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^2 \times 2 \times x^2 \times y^5 \times 5 \times 3 \times x^3 \times y^2}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ أُسسٍ تكعيبيةٍ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^3 \times x^{3 }\times y^6 \times y \times x^2 \times 5 \times 3}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{x^3} \times \sqrt[3]{y^6} \times \sqrt[3]{15y{x}^2}$
بالتبسيطِ	$= 8 \times 5 \times x \times y^2 \times \sqrt[3]{15y{x}^2}$
بالتبسيطِ	$= 40x{y}^2 \sqrt[3]{15y{x}^2}$

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 77

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{4-\sqrt{5}}$                                       $\mathit{b}\mathbf{)} \frac{8}{3+\sqrt{x}}$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{4-\sqrt{5}}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{7}{4-\sqrt{5}}= \frac{7}{4-\sqrt{5}} \times \frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$= \frac{7(4 + \sqrt{5})}{4^2 - {\left(\sqrt{5}\right)}^2}$
${\left(4\right)}^2 = 16 , {\left(\sqrt{5}\right)}^2 = 5$	$= \frac{7(4 + \sqrt{5})}{16 -5}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$= \frac{28 + 7\sqrt{5}}{11}$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \frac{8}{3+\sqrt{x}}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{8}{3+\sqrt{x}} = \frac{8}{3+\sqrt{x}} \times \frac{3-\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$= \frac{8 (3 - \sqrt{x})}{3^2 - {\left(\sqrt{x}\right)}^2}$
${\left(3\right)}^2 = 9 , {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$	$= \frac{8 ( 3 - \sqrt{x})}{9 - x}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$= \frac{24 - 8\sqrt{x}}{9 - x}$

 

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ :

$\mathbf{1}\mathbf{)} \sqrt{4x^6}$                                                 $\mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[3]{a^3{b}^6}$                                            $\mathbf{3}\mathbf{)} \sqrt{144x^3 y^4 z^5} , x > 0, z > 0$

$\mathbf{4}\mathbf{)} \sqrt[3]{-24x^{13} y^6}$                                     $\mathbf{5}\mathbf{)} \sqrt[4]{625u^5 v^8} , u > 0$                       $\mathbf{6}\mathbf{)} \sqrt[6]{25r^6 q^8}$

$\mathbf{7}\mathbf{)} \sqrt[5]{160x^8 z^4}$                                        $\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{121{(z-2)}^{14}}\mathbf{ }$                              $\mathbf{9}\mathbf{)} \sqrt[3]{37{(2x-5)}^{15}}$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} \sqrt{4x^6}$

$$\begin{gathered} \sqrt{4x^6} = \sqrt{2^2 \times {\left(x^3\right)}^2} \\ = \sqrt{2^2} \times \sqrt{{\left(x^3\right)}^2} \\ = 2 \left|x^3\right| \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[3]{a^3{b}^6}$

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{a^3{b}^6} = \sqrt[3]{a^3{\left(b^2\right)}^3} \\ = \sqrt[3]{a^3} \times \sqrt[3]{{\left(b^2\right)}^3} \\ = a{b}^2 \end{gathered}$$

---

$\mathbf{3}\mathbf{)} \sqrt{144x^3 y^4 z^5} , x > 0, z > 0$

$$\begin{gathered} \sqrt{144x^3 y^4 z^5} = \sqrt{{12}^2 \times x^2 \times x \times {\left(y^2\right)}^2\times {\left(z^2\right)}^2 \times z } \\ = \sqrt{{12}^2} \times \sqrt{ x^2} \times \sqrt{x} \times \sqrt{{\left(y^2\right)}^2} \times \sqrt{{\left(z^2\right)}^2} \times \sqrt{z} \\ = 12 \times x \times y^2 \times z^2 \times \sqrt{xz} \\ = 12x y^2 z^2\sqrt{xz} \end{gathered}$$

 

---

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} \sqrt[3]{-24x^{13} y^6}$

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{-24x^{13} y^6} = \sqrt[3]{{(-2)}^3 \times 3 \times {\left(x^4\right)}^3 \times x \times {( y^2)}^3} \\ = \sqrt[3]{{(-2)}^3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{{\left(x^4\right)}^3} \times \sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{{\left(y^2\right)}^3} \\ = -2 \times x^4 \times y^2 \times \sqrt[3]{3x} \\ = -2 x^4 y^2 \sqrt[3]{3x} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \sqrt[4]{625u^5 v^8} , u > 0$

$$\begin{gathered} \sqrt[4]{625u^5 v^8} = \sqrt[4]{5^4 \times u^4 \times u \times {\left(v^2\right)}^4} \\ = \sqrt[4]{5^4} \times \sqrt[4]{u^4} \times \sqrt[4]{u} \times \sqrt[4]{ {\left(v^2\right)}^4} \\ = 5 \times u \times v^2 \times \sqrt[4]{u} \\ = 5u{v}^2 \sqrt[4]{u} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{6}\mathbf{)} \sqrt[6]{25r^6 q^8}$

$$\begin{gathered} \sqrt[6]{25r^6 q^8} = \sqrt[6]{25 \times r^6 \times q^6\times q^2} \\ = \sqrt[6]{25}\times \sqrt[6]{ r^6 }\times \sqrt[6]{q^6 } \times \sqrt[6]{ q^2 } \\ = \left|r\right|\times \left|q\right|\sqrt[6]{25q^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{7}\mathbf{)} \sqrt[5]{160x^8 z^4}$

$$\begin{gathered} \sqrt[5]{160x^8 z^4} = \sqrt[5]{2^5 \times 5 \times x^5 \times x^3 \times z^4} \\ = \sqrt[5]{2^5} \times \sqrt[5]{5} \times \sqrt[5]{x^5} \times \sqrt[5]{x^3} \times \sqrt[5]{z^4} \\ = 2x \sqrt[5]{5x^2{z}^4} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{121{(z-2)}^{14}}\mathbf{ }$

$$\begin{gathered} \sqrt{121{(z-2)}^{14}}\mathbf{ }= \sqrt{{11}^2 \times ({(z-2)}^7{)}^2} \\ = \sqrt{{11}^2} \times \sqrt{({(z-2)}^7{)}^2} \\ = 11 \left|{(z-2)}^7\right| \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{9}\mathbf{)} \sqrt[3]{37{(2x-5)}^{15}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{37{(2x-5)}^{15}} = \sqrt[3]{37 \times ({(2x - 5)}^5{)}^3} \\ = \sqrt[3]{37} \times \sqrt[3]{({(2x - 5)}^5{)}^3} \\ = {(2x - 5)}^5 \sqrt[3]{37} \end{gathered}$$

---

 

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{\sqrt[3]{192x^8}}{\sqrt[3]{3x}}$                                  $\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{5}{\sqrt[3]{9a^2}}$                                        $\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9z}}$ 

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{\frac{5x^4}{2x^2 y^3}}$                                 $\mathbf{14}\mathbf{)} \sqrt[4]{\frac{16t^4}{y^4}}$                                      $\mathbf{15}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{3}{y}}$           

الحل : 

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{\sqrt[3]{192x^8}}{\sqrt[3]{3x}}$

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{192x^8}}{\sqrt[3]{3x}} = \sqrt[3]{\frac{192x^8}{3x}} \\ = \sqrt[3]{64x^7} \\ = \sqrt[3]{4^3 \times x^6 \times x} \\ = \sqrt[3]{4^3} \times \sqrt[3]{x^6} \times \sqrt[3]{x} \\ = 4x^2 \sqrt[3]{x} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{5}{\sqrt[3]{9a^2}}$

$$\begin{gathered} \frac{5}{\sqrt[3]{9a^2}}= \frac{5}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2}} \\ = \frac{5}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2}}\times \frac{\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3a}} \\ = \frac{5\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2 \times 3a }} \\ = \frac{5\sqrt[3]{3a}}{3a} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9z}}$

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9z}}= \sqrt{\frac{6}{9z}} \\ = \sqrt{\frac{2}{3z}} \\ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3z}}\times \frac{\sqrt{3z}}{\sqrt{3z}} \\ = \frac{\sqrt{6z}}{3z} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{\frac{5x^4}{2x^2 y^3}}$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{5x^4}{2x^2 y^3}} = \sqrt{\frac{5x^2}{2y^3}} \\ = \frac{\sqrt{5x^2}}{\sqrt{2y^3}} \\ = \frac{\sqrt{5x^2}}{\sqrt{2y^2 \times y}} \\ = \frac{x\sqrt{5}}{y\sqrt{2y}} \\ = \frac{x\sqrt{5}}{y\sqrt{2y}}\times \frac{\sqrt{2y}}{\sqrt{2y}} \\ = \frac{x\sqrt{10y}}{2y^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{14}\mathbf{)} \sqrt[4]{\frac{16t^4}{y^4}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[4]{\frac{16t^4}{y^4}} = \frac{\sqrt[4]{2^4\times t^4}}{\sqrt[4]{y^4}} \\ = \frac{\sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{t^4}}{\sqrt[4]{y^4}} \\ = \frac{2t}{y} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{15}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{3}{y}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[5]{\frac{3}{y}} = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{y}} \\ = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{y}}\times \frac{\sqrt[5]{y^4}}{\sqrt[5]{y^4}} \\ = \frac{\sqrt[5]{3y}}{y} \end{gathered}$$

---

 

 

أُبسِّطُ كُلًّ منَ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathbf{16}\mathbf{)} \sqrt{8}+\sqrt{20}-\sqrt{12}$ 

$$\begin{gathered} \sqrt{8}+\sqrt{20}-\sqrt{12} = \sqrt{2^2\times 2} + \sqrt{2^2\times 5} - \sqrt{2^2\times 3} \\ = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \end{gathered}$$

---

 

 $\mathbf{17}\mathbf{)} 5\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}$ 

$$\begin{gathered} 5 \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54} = 5 \sqrt[3]{2^3\times 2} + \sqrt[3]{3^3 \times 2} \\ = 5 \times 2 \times \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{2} \\ = 10 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{2} \\ = 13 \sqrt[3]{2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{18}\mathbf{)} \sqrt[3]{54x{y}^3}-y\sqrt[3]{128x}$

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{54x{y}^3}-y\sqrt[3]{128x} = \sqrt[3]{3^3\times 2x \times y^3} - y \sqrt[3]{2^6\times 2x} \\ = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{2x} \times \sqrt[3]{y^3} - y \times \sqrt[3]{2^6} \times \sqrt[3]{2x} \\ = 3y \sqrt[3]{2x} - 4y \sqrt[3]{2x} \\ = -y \sqrt[3]{2x} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{19}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[4]{5w^{10}} - 6\sqrt[4]{405w^6}$

$$\begin{gathered} \sqrt[4]{5w^{10}} - 6\sqrt[4]{405w^6} = \sqrt[4]{5w^8\times w^2} - 6 \sqrt[4]{3^4\times 5 \times w^4 \times w^2 } \\ = \sqrt[4]{5} \times \sqrt[4]{w^8} \times \sqrt[4]{w^2} - 6 \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{5} \times \sqrt[4]{w^4} \times \sqrt[4]{w^2} \\ = w^2 \times \sqrt[4]{5w^2} - 6\times 3 \times w \times \sqrt[4]{5w^2} \\ = w^2 \sqrt[4]{5w^2} - 18w \sqrt[4]{5w^2} \\ = w\sqrt[4]{5w^2}(w - 18) \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{20}\mathbf{)} 5\sqrt{2x{y}^6}\times 2\sqrt{2x^{3}y}$ 

$$\begin{gathered} 5\sqrt{2x{y}^6}\times 2\sqrt{2x^{3}y} = 5\sqrt{2x{y}^6} \times 2\sqrt{2x^2\times xy} \\ = 5\times 2 \sqrt{2x{y}^6\times 2x^{3}y } \\ = 10 \sqrt{4x^4{y}^6\times y} \\ = 10\times 2x^2{y}^3\sqrt{y} \\ = 20x^2{y}^3\sqrt{y} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{21}\mathbf{)} (3+\sqrt{7}\left)\right(2+\sqrt{6})$

$$\begin{gathered} (3+\sqrt{7})(2+\sqrt{6}) = 3\times 2 + 3\times \sqrt{6} + \sqrt{7} \times 2 + \sqrt{7}\times \sqrt{6} \\ = 6 + 3\sqrt{6} + 2\sqrt{7} + \sqrt{42} \end{gathered}$$

---

$\mathbf{22}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[5]{8x{y}^7}\times \sqrt[5]{6x^6}$ 

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\sqrt[5]{8x{y}^7}\times \sqrt[5]{6x^6} = \sqrt[5]{8x{y}^7\times 6x^6} \\ = \sqrt[5]{48x^5\times x^2\times y^5\times y^2} \\ = \sqrt[5]{48} \times \sqrt[5]{x^5} \times \sqrt[5]{x^2} \times \sqrt[5]{y^5}\times \sqrt[5]{y^2} \\ = xy \sqrt[5]{48x^2{y}^2 } \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{23}\mathbf{)} \frac{2\sqrt{x}\times \sqrt{x^3}}{\sqrt{9x^{10}}}$   

$$\begin{gathered} \frac{2\sqrt{x}\times \sqrt{x^3}}{\sqrt{9x^{10}}} = \frac{2\sqrt{x^4}}{3\sqrt{{\left(x^5\right)}^2}} \\ = \frac{2x^2}{3x^5} \\ = \frac{2}{3x^3} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{24}\mathbf{)} \frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y}\times \sqrt[3]{y^{11}}}$ 

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y}\times \sqrt[3]{y^{11}}} = \frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y^{12}} } \\ = \sqrt[3]{\frac{y^6}{27y^{12}}} \\ = \sqrt[3]{\frac{1}{27y^6}} \\ = \frac{1}{\sqrt[3]{3^3\times y^6}} \\ = \frac{1}{3y^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{25}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{1+\sqrt{2}}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2} } \\ = \frac{(1 -\sqrt{2})}{1 - 2} \\ = \frac{(1 -\sqrt{2})}{-1} \\ =-1(1 -\sqrt{2}) \\ = -1 +\sqrt{2} \\ = \sqrt{2} - 1 \end{gathered}$$ 

---

$\mathbf{26}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{3-\sqrt{3}}$ 

$$\begin{gathered} \frac{4}{3-\sqrt{3}} = \frac{4}{3-\sqrt{3}} \times \frac{ 3+\sqrt{3} }{3+\sqrt{3}} \\ = \frac{4(3+\sqrt{3})}{9 - 3} \\ = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{6} \\ = \frac{12}{6}+\frac{4\sqrt{3}}{6} \\ = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

---

                                           

$\mathbf{27}\mathbf{)} \frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$

$$\begin{gathered} \frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}= \frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1} \times \frac{ \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ = \frac{(2\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2 - 1^2} \\ = \frac{2\sqrt{x} \times \sqrt{x} +2\sqrt{x} \times 1 -3 \times \sqrt{x} - 3\times 1}{x - 1} \\ = \frac{2x +2\sqrt{x} -3\sqrt{x} - 3 }{x - 1} \\ = \frac{2x -\sqrt{x} - 3 }{x - 1} \end{gathered}$$

---

 

 

28) يظهرُ المستطيلُ ABCD في الشكلِ المُجاوِرِ. أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ لإيجادِ طولِ PQ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

أستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث BAQ لإيجاد BQ

$$\begin{gathered} {\left(BQ\right)}^2 = {\left(BA\right)}^2 + {\left(AQ\right)}^2 \\ {\left(BQ\right)}^2 = {\left(3\right)}^2 + {( \sqrt{5})}^2 \\ {\left(BQ\right)}^2 = 9 + 5 \\ {\left(BQ\right)}^2 = 14 \\ BQ = \sqrt{14} \end{gathered}$$

في المثلث BQP استخدم نسبة الظل للزاوية 30

$$\begin{gathered} \tan 30° = \frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{QP}{BQ} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{QP}{ \sqrt{14}} \\ \sqrt{3} QP = \sqrt{14} \\ QP = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \\ QP = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ QP = \frac{\sqrt{42}}{3} cm \end{gathered}$$

---

 

29) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُثلَّثًا مساحتُهُ  $20 c{m}^2$  . أجدُ ارتفاعَ المُثلَّثِ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

مساحة المثلث تساوي نصق طول الثاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض مساحة المثلث هو A ،  ارتفاع المثلث هو h

$$\begin{gathered} A = \frac{1}{2} \times (5 - \sqrt{10}) \times h \\ 20 = \frac{1}{2} \times (5 - \sqrt{10}) \times h \\ 40 = (5 - \sqrt{10}) \times h \\ \Rightarrow h = \frac{40}{5 - \sqrt{10}} \\ h = \frac{40}{5 - \sqrt{10}}\times \frac{5 + \sqrt{10}}{5 + \sqrt{10}} \\ h = \frac{40(5+\sqrt{10})}{25 - 10} \\ h = \frac{200 + 40\sqrt{10}}{15} cm \end{gathered}$$

---

 

أسئلة مهاراتُ التفكيرِ العليا

30) أكتشفُ المختلفَ: أيُّ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ مختلفٌ، مُبرِّرًا إجابتي؟

الإجابة :  

المقدار المختلف $\sqrt[5]{7y{x}^8}$  ؛ لأنّه ليس بأبسط صورة كما في المقادير الأخرى .   

أبسط صورة للمقدار  هي :

 $\sqrt[5]{7y{x}^8} = \sqrt[5]{7y x^5 x^3} = x\sqrt[5]{7y{x}^3}$  

 

---

 

31) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : 

الخطأ في عدم أخذ القيمة المطلقة لـ $\sqrt[6]{g^6}$ لأنّ أس الناتج فرديًا (g) ؛ لأنّ الجذور الزوجية لا تكون سالبة . 

الحل الصحيح :  
 

$$\begin{gathered} \sqrt[6]{64h^{12}{g}^6} = \sqrt[6]{2^6 \times {\left(h^2\right)}^6 \times g^6} \\ = \sqrt[6]{2^6} \times \sqrt[6]{{\left(h^2\right)}^6} \times \sqrt[6]{g^6} \\ = 2 h^2\left|g\right| \end{gathered}$$

 

---

 

32) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مقدارًا جذريًّا مُكافِئًا للمقدارِ $8\left|x\right| y^2$

الحل : 

$$\begin{gathered} \sqrt{64x^2 y^4} = \sqrt{64} \times \sqrt{x^2} \times \sqrt{y^4} \\ = 8 \times \left|x\right| \times y^2 \\ = 8\left|x\right|y^2 \end{gathered}$$

---

33) تحدٍّ: أجدُ قيمةَ : $\frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}-\frac{3}{2\sqrt{7}-1}$ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

أُبسط كل كسر  ، بالضرب في مرافق المقام : 

$\frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}\times \frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}(3-\sqrt{7} )}{9 - 7} = \frac{3\sqrt{7} - 7}{2}$

$\frac{3}{2\sqrt{7}-1}\times \frac{2\sqrt{7}+1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{3(2\sqrt{7}+1)}{4\times 7 -1} = \frac{6\sqrt{7}+3}{27}$

أُوحد المقامات ، ثمّ أطرح : 

$$\begin{gathered} \frac{3\sqrt{7}- 7}{2} - \frac{6\sqrt{7} + 3}{27} =\frac{27(3\sqrt{7}- 7)}{27 \times 2} - \frac{2(6\sqrt{7} + 3)}{2 \times 27} \\ = \frac{81\sqrt{7} - 189}{54} - \frac{ 12\sqrt{7} - 6}{54} \\ = \frac{81\sqrt{7} - 189 -12\sqrt{7} + 6 }{54} \\ = \frac{69\sqrt{7} - 183}{54} \end{gathered}$$

---

 

أسئلة كتاب التمارين

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

$\mathbf{1}\mathbf{)} \sqrt[5]{224p^5 q^{10}}$ 

$$\begin{gathered} \sqrt[5]{224p^5 q^{10}} = \sqrt[5]{2^5 \times 7 \times p^5 \times {\left(q^2\right)}^5} \\ = 2 \times \sqrt[5]{7} \times p \times q^2 \\ = 2p{q}^2\sqrt[5]{7} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[3]{-135x^5 y^3}$ 

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{-135x^5 y^3} = \sqrt[3]{{(-3)}^3 \times 5 \times x^3 \times x^2 \times y^3} \\ = -3 \times \sqrt[3]{5} \times x \times \sqrt[3]{x^2} \times y \\ = -3xy\sqrt[3]{5x^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)} \sqrt[4]{648x^5 y^7 z^2}$

$\sqrt[4]{648x^5 y^7 z^2} = 3\left|x\right|\left|y\right|\sqrt[4]{8x y^3 z^2}$

---

 

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{512a^4 b^2}$ 

$$\begin{gathered} \sqrt{512a^4 b^2} = \sqrt{{16}^2 \times 2 \times a^4 \times b^2} \\ = \sqrt{{16}^2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{a^4} \times \sqrt{b^2} \\ = 16a^{2 }\sqrt{2} \left|b\right| \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \sqrt{180u^3 v} , u>0$                                

$$\begin{gathered} \sqrt{180u^3 v} = \sqrt{6^2 \times 5 \times u^2 \times u \times v} \\ = \sqrt{6^2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{u^2} \times \sqrt{u} \times \sqrt{v} \\ = 6u\sqrt{5uv} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{6}\mathbf{)} 2\sqrt[3]{375u^2 v^8}$

$$\begin{gathered} 2\sqrt[3]{375u^2 v^8} = 2\sqrt[3]{5^3\times 3 \times u^2 \times v^6 \times v} \\ = 2 \times \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{u^2} \times \sqrt[3]{v^6} \times \sqrt[3]{v} \\ = 10v^2 \sqrt[3]{3u^{2}v} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{7}\mathbf{)} \sqrt[8]{v^8 g^{40}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[8]{v^8 g^{40}} = \sqrt[8]{v^8 {\left(g^5\right)}^8} \\ = \sqrt[8]{v^8} \times \sqrt[8]{{\left(g^5\right)}^8} \\ = \left|v\right|\times \left|g^5\right| \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{8}\mathbf{)} \sqrt[6]{729a^{24} b^{18}}$   

$$\begin{gathered} \sqrt[6]{729a^{24} b^{18}} = \sqrt[6]{3^6 \times {\left(a^4\right)}^6 \times {\left(b^3\right)}^6} \\ = \sqrt[6]{3^6} \times \sqrt[6]{{\left(a^4\right)}^6} \times \sqrt[6]{{\left(b^3\right)}^6} \\ = 3a^4\left|b^3\right| \end{gathered}$$       

---

                           

$\mathbf{9}\mathbf{)} \sqrt[5]{-32{(y-6)}^{20}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[5]{-32{(y-6)}^{20}} = \sqrt[5]{{(-2)}^5 \times ({(y-6)}^4{)}^5} \\ = \sqrt[5]{{(-2)}^5} \times \sqrt[5]{({(y-6)}^4{)}^5} \\ = -2 {(y-6)}^4 \end{gathered}$$

---

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathbf{10}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{160 m^6}{n^7}}$                                   $\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}}$                                               $\mathbf{12}\mathbf{)} \sqrt{\frac{48x^3}{3x}}$

$\mathbf{13}\mathbf{)} \sqrt{\frac{162}{6a^3}}$                                         $\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3\sqrt[4]{2a^2}}{\sqrt[4]{6a^3}}$                                            $\mathbf{15}\mathbf{)} \sqrt[4]{\frac{7x^3}{4b^2}}$

 

الحل : 

$\mathbf{10}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{160 m^6}{n^7}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[5]{\frac{160 m^6}{n^7}} = \frac{\sqrt[5]{2^5\times 5 \times m^5 \times m }}{\sqrt[5]{n^5\times n^2}} \\ = \frac{2m\sqrt[5]{5m}}{n\sqrt[5]{n^2} }\times \frac{\sqrt[5]{n^3}}{\sqrt[5]{n^3}} \\ = \frac{2m\sqrt[5]{5m{n}^3}}{n^2} \end{gathered}$$

---

$\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}}$

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}} = \frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}}\times \frac{\sqrt[7]{u^2}}{\sqrt[7]{u^2}} \\ = \frac{\sqrt[4]{v^6} \times \sqrt[7]{u^2}}{ \sqrt[7]{u^5} \times \sqrt[7]{u^5}} \\ = \frac{\sqrt[4]{v^6} \times \sqrt[7]{u^2}}{ u} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} \sqrt{\frac{48x^3}{3x}}$

$\sqrt{\frac{48x^3}{3x}} = \sqrt{16x^2} = 4x$

---

 

$\mathbf{13}\mathbf{)} \sqrt{\frac{162}{6a^3}}$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{162}{6a^3}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{a^3}} \\ = \frac{ \sqrt{3^2 \times 3}}{\sqrt{a^2\times a}} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{a\sqrt{a}}\times \frac{\sqrt{a^{ }}}{\sqrt{a^{ }}} \\ = \frac{3\sqrt{3a}}{a^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3\sqrt[4]{2a^2}}{\sqrt[4]{6a^3}}$

$$\begin{gathered} \frac{3 \sqrt[4]{2a^2}}{\sqrt[4]{6a^3}} = 3\times \sqrt[4]{\frac{2a^2}{6a^3}} \\ = 3\times \sqrt[4]{\frac{1}{3a }} \\ = \frac{3}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^1}}\times \frac{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^3}}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^3}} \\ = \frac{3\sqrt[4]{27a^3}}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^4}} \\ = \frac{3\sqrt[4]{27a^3}}{3a} \end{gathered}$$

---

$\mathbf{15}\mathbf{)} \sqrt[4]{\frac{7x^3}{4b^2}}$

$$\begin{gathered} \sqrt[4]{\frac{7x^3}{4b^2}} = \frac{\sqrt[4]{7x^3}}{\sqrt[4]{4b^2}} \\ = \frac{\sqrt[4]{7x^3}}{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}}\times \frac{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}}{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}} \\ = \frac{\sqrt[4]{28x^3{b}^2}}{2b} \end{gathered}$$

---

 

 

أُبسِّطُ كُلًّ منَ العباراتِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }2\sqrt[4]{176}+5\sqrt[4]{11}$                                $\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }2\sqrt{32a^3 b^5} \times \sqrt{8a^7 b^2}$                           $\mathbf{18}\mathbf{)} 6\sqrt{45 y^2}-4\sqrt{420 y^2}$

 

$\mathbf{19}\mathbf{)} \frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}}$                                            $\mathbf{20}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{1-\sqrt{3}}$                                                      $\mathbf{21}\mathbf{)} \frac{1-2\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$

الحل : 

$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }2\sqrt[4]{176}+5\sqrt[4]{11}$

$$\begin{gathered} 2\sqrt[4]{176}+5\sqrt[4]{11} = \sqrt[4]{2^4\times 11} + 5\sqrt[4]{11} \\ = 2\sqrt[4]{11} + 5\sqrt[4]{11} \\ = 7 \sqrt[4]{11} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }2\sqrt{32a^3 b^5} \times \sqrt{8a^7 b^2}$

$$\begin{gathered} 2\sqrt{32a^3 b^5} \times \sqrt{8a^7 b^2} = 2\sqrt{32a^3 b^5 \times 8a^7 b^2 } \\ = 2 \sqrt{256 a^{10}\times b^7} \\ = 2 \sqrt{{16}^2 a^{10}\times b^6 \times b} \\ = 2\times 16 \times a^5 \times b^3 \times \sqrt{b} \\ = 32a^5 b^3 \sqrt{b} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{18}\mathbf{)} 6\sqrt{45 y^2}-4\sqrt{420 y^2}$

$$\begin{gathered} 6\sqrt{45 y^2}-4\sqrt{420 y^2} = 6\sqrt{3^2\times 5 \times y^2} - 4\sqrt{2^2\times 5 \times 3 \times 7 \times y^2} \\ = 6 \times 3 \times \sqrt{5} \times y - 4 \times 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} \times \sqrt{7} \times y \\ = 18y\sqrt{5} - 8y\sqrt{105} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{19}\mathbf{)} \frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}}$

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\ = \frac{\sqrt{7}(3-\sqrt{5})}{3^2 - {\left(\sqrt{5}\right)}^2} \\ = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{35}}{4} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{20}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{1-\sqrt{3}}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{1-\sqrt{3}} =\frac{1}{1-\sqrt{3}} \times \frac{ 1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \\ = \frac{ 1+\sqrt{3}}{1 - 3} \\ = \frac{ -1-\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{21}\mathbf{)} \frac{1-2\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$

$$\begin{gathered} \frac{1-2\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}} = \frac{1-2\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}} \times \frac{3-\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}} \\ = \frac{(1-2\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}{3^2 - {\left(\sqrt{x}\right)}^2} \\ = \frac{3 - \sqrt{x} -6\sqrt{x} + 2x}{9 - x} \\ = \frac{3 - 7\sqrt{x} + 2x}{9 - x} \end{gathered}$$

---

 

 

22) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ. 

الإجابة : 

الخطأ عملية الضرب $\sqrt{2} \times -\sqrt{2}$ 

الحل الصحيح : 

$$\begin{gathered} \frac{1}{5 + \sqrt{2}} = \frac{1}{5 + \sqrt{2}} \times \frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}} \\ = \frac{5 - \sqrt{2}}{25 - 2} \\ = \frac{5 - \sqrt{2}}{23} \end{gathered}$$ 

---