رياضيات 9 فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 71

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[]{12x^3{y}^2}, x>0$

بتحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة	$\sqrt[]{12x^3{y}^2}=\sqrt[]{2^2\times 3\times x^2\times x\times y^2}$
خاصية ضرب الجذور	$=\sqrt[]{2^2}\times \sqrt[]{3}\times \sqrt[]{x^2}\times \sqrt[]{x}\times \sqrt[]{y^2}$
بالتبسيط	$=2\times \sqrt[]{3}\times x\times \sqrt[]{x}\times \left|y\right|$
$x>0$ ، لا توجد ضرورة لكتابة رمز القيمة المطلقة	$=2x\sqrt[]{3x}\left|y\right|$

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt[6]{64{(x^2-3)}^6}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 6	$\sqrt[6]{64{(x^2-3)}^6}=\sqrt[6]{2^6\times {(x^2-3)}^6}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\sqrt[6]{2^6}\times \sqrt[6]{{(x^2-3)}^6}$
بالتبسيطِ	$=2\left|x^2-3\right|$

 

$\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[7]{98r^8{q}^9}$

	$\sqrt[7]{98r^8{q}^9}=\sqrt[7]{2\times 7^2\times r^7\times r\times q^7\times q^2}$
	$=\sqrt[7]{98}\times \sqrt[7]{r^7}\times \sqrt[7]{r}\times \sqrt[7]{q^7}\times \sqrt[7]{q^2}$
	$=rq\sqrt[7]{98\times r\times q^2}$
	$=rq\sqrt[7]{98r{q}^2}$

 

أتحقق من فهمي صفحة 73

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{\sqrt[]{5x^2}}{\sqrt[]{18}}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$\frac{\sqrt[]{5x^2}}{\sqrt[]{18}}=\frac{\sqrt[]{5x^2} }{\sqrt[]{3^2\times 2}}$
بالتبسيطِ	$=\frac{\sqrt[]{5x^2}}{3\sqrt[]{2}}$
بإنطاقِ المقامِ	$=\frac{\sqrt[]{5x^2}}{3\sqrt[]{2}}\times \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{10x^2}}{6}$

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt[]{\frac{12x^4}{y^3}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt[]{\frac{12x^4}{y^3}}=\frac{\sqrt[]{12x^4}}{\sqrt[]{y^3}}$
بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$=\frac{\sqrt[]{2^2\times 3\times {\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt[]{y^2\times y}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\frac{\sqrt[]{2^2}\times \sqrt[]{3}\times \sqrt[]{{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt[]{y^2}\times \sqrt[]{y}}$
بالتبسيطِ	$=\frac{2x^2\sqrt[]{3}}{\left|y\right|\times \sqrt[]{y}}$
بإنطاقِ المقامِ	$=\frac{2x^2\sqrt[]{3}}{ \left|y\right|\times \sqrt[]{y}}\times \frac{\sqrt[]{y}}{\sqrt[]{y}}$
$\sqrt{y}\times \sqrt{y}=y$	$=\frac{2x^2 \sqrt[]{3y}}{ \left|y\right|\times y}$
(مُعطى) جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ ، إذن : $\left|y\right|=y$	$=\frac{2x^2 \sqrt[]{3y}}{ y^2}$

 

$\mathit{c}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{7}{16x^3}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt[5]{\frac{7}{16x^3}}=\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{16x^3}}$
بإنطاقِ المقامِ	$=\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{16x^3}}\times \frac{\sqrt[5]{2x^2}}{\sqrt[5]{2x^2}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\frac{\sqrt[5]{7\times 2x^2}}{\sqrt[5]{16x^3\times 2x^2}}$
بالتبسيطِ	$=\frac{\sqrt[5]{14x^2}}{\sqrt[5]{32x^5 }}=\frac{\sqrt[5]{14x^2}}{2x}$

 

أتحقق من فهمي صفحة 74

أُبسِّطُ كلَّ مقدارٍ جذريٍّ ممّا يأتي، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 3	$\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}=\sqrt[3]{3^3\times 3}+\sqrt[3]{5^3\times 3}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{5^3}\times \sqrt[3]{3}$
بالتبسيطِ	$=3\sqrt[3]{3}+5\sqrt[3]{3}=8\sqrt[3]{3}$

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \sqrt[]{160xy}+\sqrt[]{40xy}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 2	$\sqrt[]{160xy}+\sqrt[]{40xy}=\sqrt[]{4^2\times 10xy}+\sqrt[]{4\times 10xy}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\sqrt[]{4^2}\times \sqrt[]{10xy}+\sqrt[]{4}\times \sqrt[]{10xy}$
بالتبسيطِ	$=4\sqrt[]{10xy}+2\sqrt[]{10xy}=6\sqrt[]{10xy}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 75

أُبسِّطُ كُلًّ منَ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ:    

$\mathit{a}\mathbf{)} \sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{80}$

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$\sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{4\times 80}$
بالتحليلِ إلى العواملِ الأوَّليةِ	$= \sqrt[3]{2^2 \times 2^4 \times 5}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ أُسسٍ تكعيبيةٍ	$= \sqrt[3]{2^3 \times 2^3 \times 5}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{5}$
بالتبسيطِ	$= 2 \times 2 \times \sqrt[3]{5} = 4 \sqrt[3]{5}$

 

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[]{50}÷\sqrt[]{8}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt[]{50}÷\sqrt[]{8}=\sqrt[]{\frac{50}{8 }}$
بالتبسيطِ	$=\sqrt[]{\frac{25}{4}}$
خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$=\frac{\sqrt[]{25}}{\sqrt[]{4}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{5}{2}$

 

$\mathit{c}\mathbf{)} (5\sqrt[]{3}-6\left)\right(5\sqrt[]{3}+6)$

باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ	$=( 5\sqrt[]{3}\times 5\sqrt[]{3})+(5\sqrt[]{3}\times 6)-(6\times 5\sqrt[]{3})-(6\times 6)$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=25\times 3+30\sqrt[]{3}-30\sqrt[]{3}-36$
بالتبسيطِ	$=75-36=39$

 

$\mathit{d}\mathbf{)} 4 \sqrt[3]{50x^2 y^5}\times 2 \sqrt[3]{15x^3 y^2}$

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$4 \sqrt[3]{50x^2 y^5}\times 2 \sqrt[3]{15x^3 y^2} = 4\times 2 \times \sqrt[3]{50x^2 y^5 \times 15x^3 y^2}$
بتحليلِ الثوابتِ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^2 \times 2 \times x^2 \times y^5 \times 5 \times 3 \times x^3 \times y^2}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ أُسسٍ تكعيبيةٍ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^3 \times x^{3 }\times y^6 \times y \times x^2 \times 5 \times 3}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= 8 \times \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{x^3} \times \sqrt[3]{y^6} \times \sqrt[3]{15y{x}^2}$
بالتبسيطِ	$= 8 \times 5 \times x \times y^2 \times \sqrt[3]{15y{x}^2}$
بالتبسيطِ	$= 40x{y}^2 \sqrt[3]{15y{x}^2}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 77

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{4-\sqrt[]{5}}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{7}{4-\sqrt[]{5}}=\frac{7}{4-\sqrt[]{5}}\times \frac{4+\sqrt[]{5}}{4+\sqrt[]{5}}$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	$=\frac{7(4+\sqrt[]{5})}{4^2 -{\left(\sqrt[]{5}\right)}^2}$
${\left(4\right)}^2=16,{\left(\sqrt[]{5}\right)}^2=5$	$=\frac{7(4+\sqrt[]{5})}{16-5}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$=\frac{28+7\sqrt[]{5}}{11}$

 

$\mathit{b}\mathbf{)} \frac{8}{3+\sqrt[]{x}}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{8}{3+\sqrt[]{x}}=\frac{8}{3+\sqrt[]{x}}\times \frac{3-\sqrt[]{x}}{3-\sqrt[]{x}}$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	$=\frac{8(3-\sqrt[]{x})}{3^2-{\left(\sqrt[]{x}\right)}^2}$
${\left(3\right)}^2=9,{\left(\sqrt[]{x}\right)}^2=x$	$=\frac{8(3-\sqrt[]{x})}{9-x}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$=\frac{24-8\sqrt[]{x}}{9-x}$

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ :

$\mathbf{1}\mathbf{)} \sqrt[]{4x^6}$

$\sqrt[]{4x^6}=\sqrt[]{2^2\times {\left(x^3\right)}^2}=\sqrt[]{2^2}\times \sqrt[]{{\left(x^3\right)}^2}=2\left|x^3\right|$

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[3]{a^3{b}^6}$

$\sqrt[3]{a^3{b}^6}=\sqrt[3]{a^3{\left(b^2\right)}^3}=\sqrt[3]{a^3}\times \sqrt[3]{{\left(b^2\right)}^3}=a{b}^2$

$\mathbf{3}\mathbf{)} \sqrt[]{144x^3 y^4 z^5}, x>0, z>0$

$\sqrt[]{144x^3{y}^4{z}^5}=\sqrt[]{{12}^2\times x^2\times x\times {\left(y^2\right)}^2\times {\left(z^2\right)}^2\times z}$

$=\sqrt[]{{12}^2}\times \sqrt[]{x^2}\times \sqrt[]{x}\times \sqrt[]{{\left(y^2\right)}^2}\times \sqrt[]{{\left(z^2\right)}^2}\times \sqrt[]{z}$

$=12\times x\times y^2\times z^2\times \sqrt[]{xz}=12x{y}^2{z}^2\sqrt[]{xz}$

 

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} \sqrt[3]{-24x^{13} y^6}$

$\sqrt[3]{-24x^{13}{y}^6}=\sqrt[3]{{(-2)}^3\times 3\times {\left(x^4\right)}^3\times x\times {( y^2)}^3}$

$=\sqrt[3]{{(-2)}^3}\times \sqrt[3]{3}\times \sqrt[3]{{\left(x^4\right)}^3}\times \sqrt[3]{x}\times \sqrt[3]{{\left(y^2\right)}^3}$

$=-2\times x^4\times y^2\times \sqrt[3]{3x}=-2x^4{y}^2\sqrt[3]{3x}$

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \sqrt[4]{625u^5{v}^8} , u>0$

$\sqrt[4]{625u^5{v}^8}=\sqrt[4]{5^4\times u^4\times u\times {\left(v^2\right)}^4}=\sqrt[4]{5^4}\times \sqrt[4]{u^4}\times \sqrt[4]{u}\times \sqrt[4]{{\left(v^2\right)}^4}$

$=5\times u\times v^2\times \sqrt[4]{u}=5u{v}^2\sqrt[4]{u}$

 

$\mathbf{6}\mathbf{)} \sqrt[6]{25r^6 q^8}$

$\sqrt[6]{25r^6{q}^8}=\sqrt[6]{25\times r^6\times q^6\times q^2}$

$=\sqrt[6]{25}\times \sqrt[6]{ r^6}\times \sqrt[6]{q^6}\times \sqrt[6]{q^2}=\left|r\right|\times \left|q\right|\sqrt[6]{25q^2}$

 

$\mathbf{7}\mathbf{)} \sqrt[5]{160x^8 z^4}$

$\sqrt[5]{160x^8{z}^4}=\sqrt[5]{2^5\times 5\times x^5\times x^3\times z^4}$

$=\sqrt[5]{2^5}\times \sqrt[5]{5}\times \sqrt[5]{x^5}\times \sqrt[5]{x^3}\times \sqrt[5]{z^4}=2x\sqrt[5]{5x^2{z}^4}$

 

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[]{121{(\mathrm{z}-2)}^{14}}$

$\sqrt[]{121{(z-2)}^{14}}=\sqrt[]{{11}^2\times ({(z-2)}^7{)}^2}$

$=\sqrt[]{{11}^2}\times \sqrt[]{({(z-2)}^7{)}^2}=11\left|{(z-2)}^7\right|$

 

$\mathbf{9}\mathbf{)} \sqrt[3]{37{(2x-5)}^{15}}$

$\sqrt[3]{37{(2x-5)}^{15}}=\sqrt[3]{37\times ({(2x-5)}^5{)}^3}$

$=\sqrt[3]{37}\times \sqrt[3]{({(2x-5)}^5{)}^3}={(2x-5)}^5 \sqrt[3]{37}$

---

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{\sqrt[3]{192x^8}}{\sqrt[3]{3x}}$

$\frac{\sqrt[3]{192x^8}}{\sqrt[3]{3x}}=\sqrt[3]{\frac{192x^8}{3x}}=\sqrt[3]{64x^7}$

$=\sqrt[3]{4^3\times x^6\times x}=\sqrt[3]{4^3}\times \sqrt[3]{x^6}\times \sqrt[3]{x}=4x^2\sqrt[3]{x}$

 

$\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{5}{\sqrt[3]{9a^2}}$

$\frac{5}{\sqrt[3]{9a^2}}=\frac{5}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2}}=\frac{5}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2}}\times \frac{\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3a}}$

$=\frac{5\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{{\left(3a\right)}^2 \times 3a }}=\frac{5\sqrt[3]{3a}}{3a}$

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{9z}}$

$\frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{9z}}=\sqrt[]{\frac{6}{9z}}=\sqrt[]{\frac{2}{3z}}=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3z}}\times \frac{\sqrt[]{3z}}{\sqrt[]{3z}}=\frac{\sqrt[]{6z}}{3z}$

 

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[]{\frac{5x^4}{2x^2{y}^3}}$

$\sqrt[]{\frac{5x^4}{2x^2{y}^3}}=\sqrt[]{\frac{5x^2}{2y^3}}=\frac{\sqrt[]{5x^2}}{\sqrt[]{2y^3}}$

$=\frac{\sqrt[]{5x^2}}{\sqrt[]{2y^2\times y}}=\frac{x\sqrt[]{5}}{y\sqrt[]{2y}}=\frac{x\sqrt[]{5}}{y\sqrt[]{2y}}\times \frac{\sqrt[]{2y}}{\sqrt[]{2y}}=\frac{x\sqrt[]{10y}}{2y^2}$

 

$\mathbf{14}\mathbf{)} \sqrt[4]{\frac{16t^4}{y^4}}$

$\sqrt[4]{\frac{16t^4}{y^4}}=\frac{\sqrt[4]{2^4\times t^4}}{\sqrt[4]{y^4}}=\frac{\sqrt[4]{2^4}\times \sqrt[4]{t^4}}{\sqrt[4]{y^4}}=\frac{2t}{y}$

 

$\mathbf{15}\mathbf{)} \sqrt[5]{\frac{3}{y}}$

$\sqrt[5]{\frac{3}{y}}=\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{y}}=\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{y}}\times \frac{\sqrt[5]{y^4}}{\sqrt[5]{y^4}}=\frac{\sqrt[5]{3y}}{y}$

---

أُبسِّطُ كُلًّ منَ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathbf{16}\mathbf{)} \sqrt[]{8}+\sqrt[]{20}-\sqrt[]{12}$ 

$\sqrt[]{8}+\sqrt[]{20}-\sqrt[]{12}=\sqrt[]{2^2\times 2}+\sqrt[]{2^2\times 5}-\sqrt[]{2^2\times 3}$

$=2\sqrt[]{2}+2\sqrt[]{5}-2\sqrt[]{3}$

 

$\mathbf{17}\mathbf{)} 5\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}$ 

$5 \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}=5 \sqrt[3]{2^3\times 2}+\sqrt[3]{3^3\times 2}=5\times 2\times \sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}$

$=10 \sqrt[3]{2}+3 \sqrt[3]{2}=13\sqrt[3]{2}$

 

$\mathbf{18}\mathbf{)} \sqrt[3]{54x{y}^3}-y\sqrt[3]{128x}$

$\sqrt[3]{54x{y}^3}-y\sqrt[3]{128x}=\sqrt[3]{3^3\times 2x\times y^3}-y\sqrt[3]{2^6\times 2x}$

$=\sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{2x}\times \sqrt[3]{y^3}-y\times \sqrt[3]{2^6}\times \sqrt[3]{2x}$

$=3y\sqrt[3]{2x}-4y\sqrt[3]{2x}=-y\sqrt[3]{2x}$

 

$\mathbf{19}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[4]{5w^{10}} - 6\sqrt[4]{405w^6}$

$\sqrt[4]{5w^{10}}-6\sqrt[4]{405w^6}=\sqrt[4]{5w^8\times w^2}-6 \sqrt[4]{3^4\times 5\times w^4\times w^2}$

$=\sqrt[4]{5}\times \sqrt[4]{w^8}\times \sqrt[4]{w^2}-6 \sqrt[4]{3^4}\times \sqrt[4]{5}\times \sqrt[4]{w^4}\times \sqrt[4]{w^2}$

$=w^2 \sqrt[4]{5w^2}-6\times 3\times w\times \sqrt[4]{5w^2}$

$=w^2 \sqrt[4]{5w^2}-18w \sqrt[4]{5w^2}=w\sqrt[4]{5w^2}(w-18)$

 

$\mathbf{20}\mathbf{)} 5\sqrt[]{2x{y}^6}\times 2\sqrt[]{2x^{3}y}$ 

$5\sqrt[]{2x{y}^6}\times 2\sqrt[]{2x^{3}y}=5\sqrt[]{2x{y}^6}\times 2\sqrt[]{2x^2\times xy}$

$=5\times 2\sqrt[]{2x{y}^6\times 2x^{3}y}=10\sqrt[]{4x^4{y}^6\times y}=10\times 2x^2{y}^3\sqrt[]{y}=20x^2{y}^3\sqrt[]{y}$

 

$\mathbf{21}\mathbf{)} (3+\sqrt[]{7}\left)\right(2+\sqrt[]{6})$

$(3+\sqrt[]{7})(2+\sqrt[]{6})=3\times 2+3\times \sqrt[]{6}+\sqrt[]{7}\times 2+\sqrt[]{7}\times \sqrt[]{6}$

$=6+3\sqrt[]{6}+2\sqrt[]{7}+\sqrt[]{42}$

 

$\mathbf{22}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[5]{8x{y}^7}\times \sqrt[5]{6x^6}$ 

$\mathbf{ }\sqrt[5]{8x{y}^7}\times \sqrt[5]{6x^6}=\sqrt[5]{8x{y}^7\times 6x^6}=\sqrt[5]{48x^5\times x^2\times y^5\times y^2}$

$=\sqrt[5]{48}\times \sqrt[5]{x^5}\times \sqrt[5]{x^2}\times \sqrt[5]{y^5}\times \sqrt[5]{y^2}=xy\sqrt[5]{48x^2{y}^2}$

---

 

$\mathbf{23}\mathbf{)} \frac{2\sqrt[]{x}\times \sqrt[]{x^3}}{\sqrt[]{9x^{10}}}$   

$\frac{2\sqrt[]{x}\times \sqrt[]{x^3}}{\sqrt[]{9x^{10}}}=\frac{2\sqrt[]{x^4}}{3\sqrt[]{{\left(x^5\right)}^2}}=\frac{2x^2}{3x^5}=\frac{2}{3x^3}$

 

$\mathbf{24}\mathbf{)} \frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y}\times \sqrt[3]{y^{11}}}$ 

$\frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y}\times \sqrt[3]{y^{11}}}=\frac{\sqrt[3]{y^6}}{\sqrt[3]{27y^{12}} }=\sqrt[3]{\frac{y^6}{27y^{12}}}$

$=\sqrt[3]{\frac{1}{27y^6}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3^3\times y^6}}=\frac{1}{3y^2}$

 

$\mathbf{25}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{1+\sqrt{2}}$

$\frac{1}{1+\sqrt[]{2}}=\frac{1}{1+\sqrt[]{2}}\times \frac{1-\sqrt[]{2}}{1-\sqrt[]{2} }=\frac{(1-\sqrt[]{2})}{1-2}$

$=\frac{(1-\sqrt[]{2})}{-1}=-1(1-\sqrt[]{2})=-1+\sqrt[]{2}=\sqrt[]{2}-1$ 

---

$\mathbf{26}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{3-\sqrt[]{3}}$ 

$\frac{4}{3-\sqrt[]{3}}=\frac{4}{3-\sqrt[]{3}}\times \frac{ 3+\sqrt[]{3} }{3+\sqrt[]{3}}=\frac{4(3+\sqrt[]{3})}{9-3}$

$=\frac{12+4\sqrt[]{3}}{6}=\frac{12}{6}+\frac{4\sqrt[]{3}}{6}=2+\frac{2\sqrt[]{3}}{3}$

                                          

$\mathbf{27}\mathbf{)} \frac{2\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}-1}$

$\frac{2\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}-1}=\frac{2\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}-1}\times \frac{ \sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1}=\frac{(2\sqrt[]{x}-3)(\sqrt[]{x}+1)}{{\left(\sqrt[]{x}\right)}^2-1^2}$

$=\frac{2\sqrt[]{x}\times \sqrt[]{x}+2\sqrt[]{x}\times 1-3\times \sqrt[]{x}-3\times 1}{x-1}$

$=\frac{2x+2\sqrt[]{x}-3\sqrt[]{x}-3}{x-1}=\frac{2x-\sqrt[]{x}-3}{x-1}$

---

28) يظهرُ المستطيلُ ABCD في الشكلِ المُجاوِرِ. أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ لإيجادِ طولِ PQ في أبسطِ صورةٍ.

الحل: 

أستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث BAQ لإيجاد BQ

${\left(BQ\right)}^2={\left(BA\right)}^2+{\left(AQ\right)}^2={\left(3\right)}^2+{\left(\sqrt[]{5}\right)}^2=9+5=14\to BQ=\sqrt[]{14}$

في المثلث BQP استخدم نسبة الظل للزاوية 30

$\tan 30°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}$

$\frac{1}{\sqrt[]{3}}=\frac{QP}{BQ}=\frac{QP}{ \sqrt[]{14}}$

$\sqrt[]{3} QP=\sqrt[]{14}$

$QP=\frac{\sqrt[]{14}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{14}}{\sqrt[]{3}}\times \frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{42}}{3}cm$

---

29) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُثلَّثًا مساحتُهُ  $20 c{m}^2$. أجدُ ارتفاعَ المُثلَّثِ في أبسطِ صورةٍ.

الحل: 

مساحة المثلث تساوي نصق طول الثاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض مساحة المثلث هو A ،  ارتفاع المثلث هو h

$A=\frac{1}{2}\times (5-\sqrt[]{10})\times h\Rightarrow 20=\frac{1}{2}\times (5-\sqrt[]{10})\times h$

$40=(5-\sqrt[]{10})\times h\Rightarrow h=\frac{40}{5-\sqrt[]{10}}$

$h=\frac{40}{5-\sqrt[]{10}}\times \frac{5+\sqrt[]{10}}{5+\sqrt[]{10}}=\frac{40(5+\sqrt[]{10})}{25-10}=\frac{200+40\sqrt[]{10}}{15}cm$

---

أسئلة مهاراتُ التفكيرِ العليا

30) أكتشفُ المختلفَ: أيُّ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ مختلفٌ، مُبرِّرًا إجابتي؟

الإجابة :  

المقدار المختلف $\sqrt[5]{7y{x}^8}$؛ لأنّه ليس بأبسط صورة كما في المقادير الأخرى .   

أبسط صورة للمقدار هي:

 $\sqrt[5]{7y{x}^8}=\sqrt[5]{7y{x}^5{x}^3}=x\sqrt[5]{7y{x}^3}$  

 

31) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : 

الخطأ في عدم أخذ القيمة المطلقة لـ $\sqrt[6]{g^6}$ لأنّ أس الناتج فرديًا (g)؛ لأنّ الجذور الزوجية لا تكون سالبة . 

الحل الصحيح:  

$\sqrt[6]{64h^{12}{g}^6}=\sqrt[6]{2^6\times {\left(h^2\right)}^6\times g^6}=\sqrt[6]{2^6}\times \sqrt[6]{{\left(h^2\right)}^6}\times \sqrt[6]{g^6}=2h^2\left|g\right|$

 

32) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مقدارًا جذريًّا مُكافِئًا للمقدارِ $8\left|x\right| y^2$

الحل: 

$\sqrt[]{64x^2{y}^4}=\sqrt[]{64}\times \sqrt[]{x^2}\times \sqrt[]{y^4}=8\times \left|x\right|\times y^2=8\left|x\right|y^2$

---

33) تحدٍّ: أجدُ قيمةَ : $\frac{\sqrt[]{7}}{3+\sqrt[]{7}}-\frac{3}{2\sqrt[]{7}-1}$ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

أُبسط كل كسر  ، بالضرب في مرافق المقام : 

$\frac{\sqrt[]{7}}{3+\sqrt[]{7}}\times \frac{3-\sqrt[]{7}}{3-\sqrt[]{7}}=\frac{\sqrt[]{7}(3-\sqrt[]{7})}{9 - 7}=\frac{3\sqrt[]{7}-7}{2}$

$\frac{3}{2\sqrt[]{7}-1}\times \frac{2\sqrt[]{7}+1}{2\sqrt[]{7}+1}=\frac{3(2\sqrt[]{7}+1)}{4\times 7 -1}=\frac{6\sqrt[]{7}+3}{27}$

أُوحد المقامات ، ثمّ أطرح : 

$\frac{3\sqrt[]{7}-7}{2}-\frac{6\sqrt[]{7}+3}{27}=\frac{27(3\sqrt[]{7}-7)}{27\times 2}-\frac{2(6\sqrt[]{7}+3)}{2\times 27}$

$=\frac{81\sqrt[]{7}-189}{54}-\frac{ 12\sqrt[]{7}-6}{54}$

$=\frac{81\sqrt[]{7}-189 -12\sqrt[]{7}+6 }{54}=\frac{69\sqrt[]{7}-183}{54}$

---

أسئلة كتاب التمارين

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ: 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[5]{224p^5{q}^{10}}=\sqrt[5]{2^5\times 7\times p^5\times {\left(q^2\right)}^5}=2\times \sqrt[5]{7}\times p\times q^2=2p{q}^2\sqrt[5]{7}$

 

$2) \sqrt[3]{-135x^5{y}^3}=\sqrt[3]{{(-3)}^3\times 5\times x^3\times x^2\times y^3}=-3\times \sqrt[3]{5}\times x\times \sqrt[3]{x^2}\times y=-3xy\sqrt[3]{5x^2}$

 

$3) \sqrt[4]{648x^5{y}^7{z}^2}=3\left|x\right|\left|y\right|\sqrt[4]{8x{y}^3{z}^2}$ 

$4) \sqrt[]{512a^4{b}^2}=\sqrt[]{{16}^2\times 2\times a^4\times b^2}=\sqrt[]{{16}^2}\times \sqrt[]{2}\times \sqrt[]{a^4}\times \sqrt[]{b^2}=16a^2\sqrt[]{2}\left|b\right|$

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \sqrt{180u^3 v} , u>0$                                

$\sqrt[]{180u^{3}v}=\sqrt[]{6^2\times 5\times u^2\times u\times v}=\sqrt[]{6^2}\times \sqrt[]{5}\times \sqrt[]{u^2}\times \sqrt[]{u}\times \sqrt[]{v}=6u\sqrt[]{5uv}$

 

$6) 2\sqrt[3]{375u^2 v^8}=2\sqrt[3]{5^3\times 3\times u^2\times v^6\times v}=2\times \sqrt[3]{5^3}\times \sqrt[3]{3}\times \sqrt[3]{u^2}\times \sqrt[3]{v^6}\times \sqrt[3]{v}=10v^2 \sqrt[3]{3u^{2}v}$

 

$7) \sqrt[8]{v^8{g}^{40}}=\sqrt[8]{v^8{\left(g^5\right)}^8}=\sqrt[8]{v^8}\times \sqrt[8]{{\left(g^5\right)}^8}=\left|v\right|\times \left|g^5\right|$

   

$8) \sqrt[6]{729a^{24} b^{18}}=\sqrt[6]{3^6\times {\left(a^4\right)}^6\times {\left(b^3\right)}^6}=\sqrt[6]{3^6}\times \sqrt[6]{{\left(a^4\right)}^6}\times \sqrt[6]{{\left(b^3\right)}^6}=3a^4\left|b^3\right|$       

                           

$9) \sqrt[5]{-32{(y-6)}^{20}}=\sqrt[5]{{(-2)}^5\times ({(y-6)}^4{)}^5}=\sqrt[5]{{(-2)}^5}\times \sqrt[5]{({(y-6)}^4{)}^5}=-2 {(y-6)}^4$

---

 أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ:

$10) \sqrt[5]{\frac{160 m^6}{n^7}}=\frac{\sqrt[5]{2^5\times 5\times m^5\times m }}{\sqrt[5]{n^5\times n^2}}=\frac{2m\sqrt[5]{5m}}{n\sqrt[5]{n^2} }\times \frac{\sqrt[5]{n^3}}{\sqrt[5]{n^3}}=\frac{2m\sqrt[5]{5m{n}^3}}{n^2}$

 

$11) \frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}}=\frac{\sqrt[4]{v^6}}{\sqrt[7]{u^5}}\times \frac{\sqrt[7]{u^2}}{\sqrt[7]{u^2}}=\frac{\sqrt[4]{v^6} \times \sqrt[7]{u^2}}{ \sqrt[7]{u^5} \times \sqrt[7]{u^5}}=\frac{\sqrt[4]{v^6}\times \sqrt[7]{u^2}}{ u}$

 

$12) \sqrt[]{\frac{48x^3}{3x}}=\sqrt[]{16x^2}=4x$

 

$13) \sqrt[]{\frac{162}{6a^3}}=\frac{\sqrt[]{27}}{\sqrt[]{a^3}}=\frac{ \sqrt[]{3^2\times 3}}{\sqrt[]{a^2\times a}}=\frac{3\sqrt[]{3}}{a\sqrt[]{a}}\times \frac{{\sqrt[]{a}}^{ }}{{\sqrt[]{a}}^{ }}=\frac{3\sqrt[]{3a}}{a^2}$

 

$14) \frac{3 \sqrt[4]{2a^2}}{\sqrt[4]{6a^3}}=3\times \sqrt[4]{\frac{2a^2}{6a^3}}=3\times \sqrt[4]{\frac{1}{3a }}=\frac{3}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^1}}\times \frac{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^3}}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^3}}=\frac{3\sqrt[4]{27a^3}}{\sqrt[4]{{\left(3a\right)}^4}}=\frac{3\sqrt[4]{27a^3}}{3a}$

 

$15) \sqrt[4]{\frac{7x^3}{4b^2}}=\frac{\sqrt[4]{7x^3}}{\sqrt[4]{4b^2}}=\frac{\sqrt[4]{7x^3}}{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}}\times \frac{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}}{\sqrt[4]{{\left(2b\right)}^2}}=\frac{\sqrt[4]{28x^3{b}^2}}{2b}$

---

أُبسِّطُ كُلًّ منَ العباراتِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$16) 2\sqrt[4]{176}+5\sqrt[4]{11}=\sqrt[4]{2^4\times 11}+5\sqrt[4]{11}=2\sqrt[4]{11}+5\sqrt[4]{11}=7 \sqrt[4]{11}$

 

$17) 2\sqrt[]{32a^3{b}^5}\times \sqrt[]{8a^7{b}^2}=2\sqrt[]{32a^3{b}^5\times 8a^7{b}^2}=2 \sqrt[]{256 a^{10}\times b^7}$

$=2 \sqrt[]{{16}^2{a}^{10}\times b^6\times b}= 2\times 16\times a^5\times b^3\times \sqrt[]{b}=32a^5{b}^3\sqrt[]{b}$

 

$18) 6\sqrt[]{45y^2}-4\sqrt[]{420y^2}=6\sqrt[]{3^2\times 5\times y^2}-4\sqrt[]{2^2\times 5\times 3\times 7\times y^2}$

$=6\times 3\times \sqrt[]{5}\times y-4\times 2\times \sqrt[]{5}\times \sqrt[]{3}\times \sqrt[]{7}\times y=18y\sqrt[]{5}-8y\sqrt[]{105}$

 

$19) \frac{\sqrt[]{7}}{3+\sqrt[]{5}}=\frac{\sqrt[]{7}}{3+\sqrt[]{5}}\times \frac{3-\sqrt[]{5}}{3-\sqrt[]{5}}=\frac{\sqrt[]{7}(3-\sqrt[]{5})}{3^2-{\left(\sqrt[]{5}\right)}^2}=\frac{3\sqrt[]{7}-\sqrt[]{35}}{4}$

 

$20) \frac{1}{1-\sqrt[]{3}}=\frac{1}{1-\sqrt[]{3}}\times \frac{ 1+\sqrt[]{3}}{1+\sqrt[]{3}}=\frac{ 1+\sqrt[]{3}}{1-3}=\frac{ -1-\sqrt[]{3}}{2}$

 

$21) \frac{1-2\sqrt[]{x}}{3+\sqrt[]{x}}=\frac{1-2\sqrt[]{x}}{3+\sqrt[]{x}}\times \frac{3-\sqrt[]{x}}{3-\sqrt[]{x}}=\frac{(1-2\sqrt[]{x})(3-\sqrt[]{x})}{3^2-{\left(\sqrt[]{x}\right)}^2}$

$=\frac{3-\sqrt[]{x}-6\sqrt[]{x}+2x}{9-x}=\frac{3-7\sqrt[]{x}+2x}{9-x}$

---

22) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ. 

الإجابة: 

الخطأ عملية الضرب:$\sqrt[]{2}\times -\sqrt[]{2}$ 

الحل الصحيح: 

$\frac{1}{5+\sqrt[]{2}}=\frac{1}{5+\sqrt[]{2}}\times \frac{5-\sqrt[]{2}}{5-\sqrt[]{2}}=\frac{5-\sqrt[]{2}}{25-2}=\frac{5-\sqrt[]{2}}{23}$ 

---