رياضيات فصل أول

                      

  أجد القِيّم القصوى المحلية والقِيّم القصوى المُطلّقة (إِن وُجدت) للاقتران المعطى تمثيله  البياني في كل مما يأتي:

  الحل:

 

 

  

 

       

 

 

 

---

                  

أجد القيمة العظمى المُطلّقة والقيمة الصغرى المُطلّقة (إِنْ وُجدت) لكل اقتران ممّا يأتي في الفترة المعطاة:

$$\begin{gathered} a) f(x)=x^3-6x^2+5 , [-3 , 5] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-12x =0 \\ 3x(x-4)=0 \\ \Rightarrow x=0 or x=4 \end{gathered}$$           

                 ويمكن الاستعانة بما يعرف باختبار المشتقة الاولى والثانية 

                  والتي ستتعرف عليها لاحقا لتحديد القيم القصوى .

 

 

---

             $$\begin{gathered} b) f(x)=\sqrt[3]{x} , [-8 , 8] \\ Solution: \\ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x} , [-8 , 8] \\ f\left(x\right)= x^{\frac{1}{3}} \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{\frac{-2}{3}} =\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}=0 \end{gathered}$$               

 

قيم  $\mathit{ }\mathit{ }x$ الحرجة هي $\{ 0 \}$ بحيث :

 

    $\mathit{ }f\mathit{(}\mathit{-}\mathit{8}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{2}$                 قيمة صغرى مطلقة

    $\mathit{ }f\mathit{\left(}\mathit{0}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{0}$       لا توجد قيمة قصوى محلية عندها 

         $\mathit{ }f\mathit{\left(}\mathit{8}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{2}$             قيمة عظمى مطلقة

---

          $$\begin{gathered} c) f(x)=si{n}^{2}x +cosx , [0 , 2\pi ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=2sinx cosx -sinx =0 \\ =sinx(2cosx -1)=0 \\ \Rightarrow sinx=0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = 1 \\ \Rightarrow x =\pi \Rightarrow f(\pi ) =- 1 \\ \Rightarrow x =2\pi \Rightarrow f(2\pi ) =1 \\ \Rightarrow 2cosx -1=0 \\ \Rightarrow cosx =\frac{1}{2} \Rightarrow x =\frac{\pi }{3} , \frac{5\pi }{3} \\ \Rightarrow x =\frac{\pi }{3} \Rightarrow f(\frac{\pi }{3}) =\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x =\frac{5\pi }{3} \Rightarrow f(\frac{5\pi }{3}) =\frac{5}{4} \end{gathered}$$               

---

                   

           أجد القيّم القصوى المحلية (إنْ وُجدت) للاقتران: $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{(}x\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}{e}^x$

       $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=(x-1)e^x \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+(x-1)e^x=0 \\ \Rightarrow e^x(1+x-1)=0 \\ \Rightarrow x e^x=0 \\ \Rightarrow x=0 , e^x=0 rejected \end{gathered}$$             

                                 

     يوجد قيمة صغرى محلية مطلقة هي $\mathit{ }f\mathit{\left(}\mathit{0}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}$   والشكل المجاور يوضح ذلك .

---

                  

أجد القيمة العظمى المُطلّقة والقيمة الصغرى المُطلّقة (إِنْ وُجدت) للاقتران: $\mathit{ }\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\sqrt[\mathit{3}]{x-3}\mathit{ }\mathit{ }$

 

                                                         $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-3} \\ f\left(x\right)= {(x-3)}^{\frac{1}{3}} \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3} {(x-3)}^{\frac{-2}{3}} =\frac{1}{3{(x-3)}^{\frac{2}{3}}} \end{gathered}$$                      يوجد عند $\mathit{ }x\mathit{=}\mathit{3}\mathit{ }$ قيمة حرجة لأن $\mathit{ }f\mathit{\text{'}}\mathit{\left(}\mathit{3}\mathit{\right)}$ غير موجودة .

---

                   

أجد فترات التقعر للأعلى وللأسفل ونقاط الانعطاف (إِنْ وُجدت) لمنحنى كل اقتران مما يأتي:

  $$\begin{gathered} a) f(x)={(x-2)}^3(x-1) \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=3{(x-2)}^2(x-1) +{(x-2)}^3 \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=6(x-2)(x-1) +3{(x-2)}^2+3{(x-2)}^2=0 \\ \Rightarrow 6(x-2)(x-1) +6{(x-2)}^2=0 \\ \Rightarrow 6(x-2)((x-1) +(x-2))=0 \\ \Rightarrow 6(x-2)(2x-3)=0 \\ \Rightarrow x=2 (2 , 0) \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} (\frac{3}{2} , -\frac{1}{16}) \end{gathered}$$            

        لذلك فإن منحنى الاقتران $f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ مقعر لأعلى في الفترة $(-\infty , \frac{3}{2}) ,(2 , \infty )$  ومقعر لأسفل في الفترة $( \frac{3}{2} , 2 )$ 

                                                                    ونقاط الانعطاف هي : $(2 , 0) , (\frac{3}{2} , -\frac{1}{16})$

---

       $$\begin{gathered} b) f(x)=\frac{x}{x-1} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=-\frac{1}{{(x-1)}^2} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{2}{{(x-1)}^3}=0 \end{gathered}$$          

            

           وهذه المعادلة لا يوجد لها حل بالتالي فلا توجد نقطة إنعطاف 

              وسنبحث في إشارة المشتقة الثانية حول العدد (1) جذر المقام 

            ولا توجد نقطة انعطاف عند x=1 لانه غير معرّف عندها

 

---

إذا كان: $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}x\mathit{ }{e}^x$   فأستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القِيّم القصوى المحلية للاقتران

         $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=x{e}^x \\ f^{\text{'}}\left(x\right) =e^x+x{e}^x=0 \\ \Rightarrow e^x(1+x)=0 \\ \Rightarrow x=-1 \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) =e^x+e^x+x{e}^x \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)= 2e^x+x{e}^x \\ \Rightarrow f^{\text{'}\text{'}}(-1)= 2e^{(-1)}+(-1)e^{(-1)} \\ f^{\text{'}\text{'}}(-1)=\frac{1}{e}>0 \end{gathered}$$               

إذن يوجد عند $\mathit{ }x\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{ }$ قيمة صغرى محلية  وهي $\mathit{ }f\mathit{(}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{e}$  

---

يمثل الاقتران   $s\left(t\right)=t^3-3t+3 , t\ge 0$  موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم؛ حيث S   الموقع بالأمتار  و t الزمن بالثواني:

 a) ما الفترات الزمنية التي يتحرَّك فيها الجسم في الاتجاه الموجب والاتجاه السالب؟

       $$\begin{gathered} Solution: \\ s\left(t\right)=t^3-3t+3 , t\ge 0 \\ s^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-3 =0 \\ \Rightarrow 3(t-1)(t+1)=0 \\ \Rightarrow t=1 only \end{gathered}$$           

وسنبحث في إشارة المشتقة حول العدد (1) جذر المشتقة :

     يتحرَّك الجسم في الاتجاه الموجب في الفترة $(1, \infty )$ 

               وفي الاتجاه السالب في الفترة $(0 , 1)$ .

 

b)  ما الفترات التي تتزايد فيها سرعة الجسم ؟ وما الفترات التي تتناقص فيها سرعة الجسم ؟

       $$\begin{gathered} Solution: \\ s\left(t\right)=t^3-3t+3 , t\ge 0 \\ s^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-3 =0 \\ s^{"}\left(t\right)=6t =0 \\ \Rightarrow t=0 \end{gathered}$$         

وسنبحث في إشارة التسارع حول العدد (0) جذر المشتقة :

     

      تتزايد السرعة في الفترة  $( 0, \infty )$

 

---

                     

 أجد القيم الحرجة والقيم القصوى المحلية والمُطلّقة (إِنْ وُجدت) للاقتران الممثل بيانياً  في كل مما يلي:

  1

 

 

    

 

 2

 

 

 

    

3

 

 

 

 

 

---

أجد القيمة العظمى المُطلّقة والقيمة الصغرى المُطلقة (إِنْ وُجدت) لكل اقتران مما يأتي في الفترة المعطاة:

         

 

                          $$\begin{gathered} 4) f(x)=1+6x-3x^2 , [ 0 , 4 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=6-6x =0 \\ \Rightarrow x =1 \Rightarrow f(1) =4 \\ and x =0 \Rightarrow f(0) =1 \\ and x =4 \Rightarrow f(4) =-23 \end{gathered}$$         

 

 

 

---

               $$\begin{gathered} 5) f(x)={(x+3)}^{\frac{2}{3}} , [ -3 , 3 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2}{3} {(x+3)}^{\frac{-1}{3}} =\frac{2}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow x =3 \Rightarrow f(3) =\sqrt[3]{36} \\ and x =-3 \Rightarrow f(-3) =0 \end{gathered}$$           

             

---

              $$\begin{gathered} 6) f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} , [ -2 , 2 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2x(x^2+1)-x^2\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^2}=0 \\ =\frac{2x}{{(x^2+1)}^2}=0 \\ \Rightarrow x =0 \Rightarrow f(0) =0 \\ and x =-2 \Rightarrow f(-2) =\frac{4}{5} \\ and x =2 \Rightarrow f(2) =\frac{4}{5} \end{gathered}$$               

---

                 $$\begin{gathered} 7) f(x)= \sqrt[3]{x} , [ 8 , 64 ] \\ Solution: \\ f(x)={\left(x\right)}^{\frac{1}{3}} \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{1}{3} {\left(x\right)}^{\frac{-2}{3}} =\frac{1}{3{\left(x\right)}^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow x =8 \Rightarrow f(8) =2 \\ and x =64 \Rightarrow f(64) =4 \end{gathered}$$                      

---

                                                                           $$\begin{gathered} 8) f(x)=2cosx + sin2x , [ 0 ,\frac{\pi }{2} ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=-2sinx+2cos2x =0 \\ sinx- cos2x =0 ; cos2x=1-2si{n}^{2}x \\ sinx-1+2si{n}^{2}x =0 \\ 2si{n}^{2}x +sinx -1=0 \\ (2sinx-1\left)\right(sinx+1)=0 \\ 2sinx-1=0 \Rightarrow sinx=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{\pi }{6} \Rightarrow f(\frac{\pi }{6}) =\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\ sinx+1=0 \Rightarrow sinx=-1 Out \\ \Rightarrow x =0 \Rightarrow f(0) =2 \\ \Rightarrow x =\frac{\pi }{2} \Rightarrow f(\frac{\pi }{2}) =0 \end{gathered}$$                       

---

                                                                  $$\begin{gathered} 9) f(x)=\frac{e^x}{e^x+1} , [ 0 , 3 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{e^x(e^x+1)-e^x\left(e^x\right)}{{(e^x+1)}^2}=0 \\ =\frac{e^x}{{(e^x+1)}^2}=0 \\ \Rightarrow e^x\ne 0 , e^x+1 \ne 0 \\ x =0 \Rightarrow f(0) =\frac{1}{2} \\ and x =3 \Rightarrow f(3) =\frac{e^3}{e^3+1} \end{gathered}$$            

---

                                                                                                            $$\begin{gathered} 10) f(x)=\frac{lnx}{x^2} , [ \frac{1}{2} , 4 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}\left(x^2\right)-2x\left(lnx\right)}}{x^4}=0 \\ =\frac{{\displaystyle 1-2lnx}}{x^3}=0 \\ \Rightarrow 1-2lnx=0 \\ lnx= \frac{1}{2} \Rightarrow x=\sqrt{e} \\ x^3=0 \Rightarrow x= 0 Out of [ \frac{1}{2} , 4 ] \\ when x=\sqrt{e} \Rightarrow f(\sqrt{e}) =\frac{ln\sqrt{e}}{{\left(\sqrt{e}\right)}^2}= \frac{1}{2e} \\ and x = \frac{1}{2} \Rightarrow f( \frac{1}{2}) =\frac{ln\frac{1}{2}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2} =-ln16 \\ and x = 4 \Rightarrow f(4) =\frac{ln4}{{\left(4\right)}^2} =\frac{ln4}{16} \end{gathered}$$                                                                                                             

---

      $$\begin{gathered} 11) f(x)=cosx , [-\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{3} ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=-sinx =0 \\ sinx =0 \Rightarrow x=0 and x=\pi all in [-\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{3} ] \\ for x =0 \Rightarrow f(0) =1 \\ for x =\mathrm{\pi } \Rightarrow f(\mathrm{\pi }) =-1 \end{gathered}$$                 

---

        $$\begin{gathered} 12) f(x)=\sqrt{4-x^2} , [ -2 , 2 ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} =\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=0 \\ \Rightarrow x=0 \Rightarrow f(0) =2 \\ \Rightarrow x =-2 \Rightarrow f(-2) =0 \\ \Rightarrow x =2 \Rightarrow f(2) =0 \end{gathered}$$             

---

    أجد فترات التزايد وفترات التناقص لكل اقتران ممّا يأتي ،  ثم أجد القِيّم القصوى المحلية والمُطلقة (إِنْ وُجدت) لكل اقتران ممّا يأتي:

                   $$\begin{gathered} 13) f(x)=x^3-6x^2-135 \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=3x^2-12x=0 \\ 3x(x-4)=0 \\ \Rightarrow x=0 \Rightarrow f(0) =-135 \\ \Rightarrow x =4 \Rightarrow f(4) =-167 \end{gathered}$$                  

                 فترات التزايد : $(-\infty ,0) ، (4 ،\infty )$ وفترات التناقص : $(0 ،4)$

---

                         $$\begin{gathered} 14) f(x)=\frac{2x}{x^2+9} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{{\displaystyle 2(x^2+9)-2x\left(2x\right)}}{{(x^2+9)}^2}=0 \\ =\frac{{\displaystyle 18-2x^2}}{{(x^2+9)}^2}=0 \\ \Rightarrow 18-2x^2=0 \\ \Rightarrow x=3 \Rightarrow f( 3) =\frac{1}{3} \\ x=-3 \Rightarrow f(-3) =-\frac{1}{3} \end{gathered}$$                    

            فترات التزايد :  $(-\infty ,-3) ،(3 ،\infty )$  وفترات التناقص :  $(-3 ،3)$

---

                                  $$\begin{gathered} 15) f(x)=x^{2}lnx , x>0 \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=2x lnx +x^2\times \frac{1}{x}=0 \\ =2x lnx +x=0 \\ =x(2lnx +1)=0 \\ \Rightarrow x=0 Rejected \\ 2lnx +1=0 \\ \Rightarrow lnx =-\frac{1}{2} \Rightarrow x=e^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}} \\ \Rightarrow f(\frac{1}{\sqrt{e}}) =\frac{1}{e}ln(e^{\frac{-1}{2}})=-\frac{1}{2e} \end{gathered}$$             

فترات التزايد : $(\frac{\mathit{1}}{\sqrt{e}} ،\infty )$  ، فترات التناقص : $(-\infty ,\frac{\mathit{1}}{\sqrt{e}})$

---

                               $$\begin{gathered} 16) f(x)=\sqrt{x^2-2x+2} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+2}} =\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}} =0 \\ x-1 =0 \\ \Rightarrow x=1 \Rightarrow f(1) =1 \\ x^2-2x+2 =0 \\ {(x-1)}^2+1=0 no solution \end{gathered}$$              

 

 فترات التزايد : $(1،\infty )$, فترات التناقص : $(-\infty ,1)$

---

                       $$\begin{gathered} 17) f(x)=x^{\frac{2}{3}}(x-3) \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2}{3} {\left(x\right)}^{\frac{-1}{3}}(x-3) +x^{\frac{2}{3}}=0 \\ \frac{2x-6}{3{\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}}+x^{\frac{2}{3}}=0 \\ \frac{5x-6}{3{\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}}=0 \\ \Rightarrow x =0 \Rightarrow f(0) =0 \\ 5x-6 =0 \\ \Rightarrow x =\frac{6}{5} \Rightarrow f(\frac{6}{5}) =-{\left(\frac{6}{5}\right)}^{\frac{2}{3}}(\frac{9}{5}) \end{gathered}$$                

  فترات التزايد :  $(-\infty ,0) ، (\frac{6}{5} ،\infty )$   ، فترات التناقص : $(0 ،\frac{6}{5})$

---

                                    $$\begin{gathered} 18) f(x)=si{n}^{2}x + sinx , [ 0 ,2\pi ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=2sinx cosx+cosx =0 \\ cosx(2sinx+ 1) =0 \\ cosx =0 \Rightarrow x =\frac{\pi }{2} \Rightarrow f(\frac{\pi }{2}) =2 \\ and \Rightarrow x =\frac{3\pi }{2} \Rightarrow f(\frac{3\pi }{2}) =0 \\ 2sinx+ 1 =0 \Rightarrow sinx=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{7\pi }{6} \Rightarrow f(\frac{7\pi }{6}) =-\frac{1}{4} \\ and \Rightarrow x =\frac{11\pi }{6} \Rightarrow f(\frac{11\pi }{6}) =-\frac{1}{4} \end{gathered}$$                

 فترات التزايد :  $(0 ،\frac{\mathrm{\pi }}{2}) ، (\frac{7\mathrm{\pi }}{6} ،\frac{3\mathrm{\pi }}{2}) ، (\frac{11\mathrm{\pi }}{6} ،2\mathrm{\pi })$ , فترات التناقص : $(\frac{\mathrm{\pi }}{2} ،\frac{7\mathrm{\pi }}{6}) ، (\frac{3\mathrm{\pi }}{2} ،\frac{11\mathrm{\pi }}{6})$ 

---

                          $$\begin{gathered} 19) f(x)=x + sinx , [ 0 ,2\pi ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=1+cosx =0 \\ \Rightarrow cosx =-1 \\ \Rightarrow x =\pi \Rightarrow f(\pi ) =\pi \\ x =0 \Rightarrow f(0) =0 \\ x =2\pi \Rightarrow f(2\pi ) =2\pi \end{gathered}$$             

                                               فترات التزايد :  $(0 ،2\mathrm{\pi })$

---

أجد فترات التقعّر للأعلى وللأسفل ونقاط الانعطاف (إنْ وُجدت) لمنحنى كل اقتران ممّا يأتي:

                          $$\begin{gathered} 20) f(x)=x^3-12x +1 \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=3x^2-12 \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=6x =0 \\ \Rightarrow x=0 (0, 1) \end{gathered}$$                  

 

---

                                                                                                                                               $$\begin{gathered} 21) f(x)=sinx , [-\pi , \pi ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=cosx \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=-sinx=0 \\ \Rightarrow x=0 and x=\pi and x= -\pi \end{gathered}$$   

  توجد نقاط انعطاف $(0 , 0)$ .

---

                                              $$\begin{gathered} 22) f(x)=\frac{3}{x^2+1} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=-\frac{6x}{{(x^2+1)}^2} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=-\frac{6{(x^2+1)}^2-24x^2(x^2+1)}{{(x^2+1)}^2} \\ =\frac{18x^2-6}{{(x^2+1)}^3}=0 \\ \Rightarrow 18x^2-6 = 0 \Rightarrow x= \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow ( \frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{9}{4}) \\ x=- \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow ( -\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{9}{4}) \end{gathered}$$               

---

                              $$\begin{gathered} 23) f(x)=ln(x^2+5) \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2x}{x^2+5} \\ {f}^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{2(x^2+5)-2x\left(2x\right)}{{(x^2+5)}^2} \\ =\frac{-2x^2+10}{{(x^2+5)}^2}=0 \\ \Rightarrow -2x^2+10= 0 \Rightarrow x= \sqrt{5} \Rightarrow ( \sqrt{5} , ln10) \\ x=-\sqrt{5} \Rightarrow ( -\sqrt{5} , ln10) \end{gathered}$$                

---

                                                                            $$\begin{gathered} 24) f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3\sqrt{x} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}} -\frac{3}{2\sqrt{x}} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{3}{4x\sqrt{x}}=0 \\ =\frac{3x+3}{4x\sqrt{x}}=0 \\ \Rightarrow 3x+3= 0 \Rightarrow x= -1 out of interval \end{gathered}$$               

---

                                                                 $$\begin{gathered} 25) f(x)=x{e}^x \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=e^x+x{e}^x \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=e^x+e^x+x{e}^x=0 \\ =2e^x+x{e}^x=0 \\ =e^x(2+x)=0 \\ \Rightarrow 2+x= 0 \Rightarrow x= -2 \Rightarrow (-2 ,-\frac{2}{e^2}) \end{gathered}$$               

---

أجد القِيّم القصوى المحلية لكل اقتران مما يأتي ،  مُستعملًا اختبار المشتقة الثانية (إنْ أمكن):

                                                                                                                                                          $$\begin{gathered} 26) f(x)=6x-x^2 \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=6-2x=0 \\ \Rightarrow x=3 \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=-2 \\ f^{\text{'}\text{'}}(3)=-2 \end{gathered}$$               

              فيوجد للاقتران  قيمة عظمى محلية مطلقة عند $\mathit{ }x\mathit{=}\mathit{3}$

---

                                             $$\begin{gathered} 27) f(x)=cosx -x , [0 , 4\pi ] \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=-sinx-1=0 \\ \Rightarrow sinx=-1 \\ \Rightarrow x=\frac{3\pi }{2} , \frac{7\pi }{2} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=-cosx \\ f^{\text{'}\text{'}}(\frac{3\pi }{2})=-cos(\frac{3\pi }{2})=0 \\ f^{\text{'}\text{'}}(\frac{7\pi }{2})=-cos(\frac{7\pi }{2})=0 \end{gathered}$$           

 لا توجد قيم قصوى مطلقة داخل الفترة فقط عند الاطراف

يوجد عند $x\mathit{=}\mathit{0}$  قيمة عظمى مطلقة .و يوجد عند $x = 4\pi$   قيمة صغرى مطلقة .

---

                                                               $$\begin{gathered} 28) f(x)=\frac{x^2 }{x-1} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2x(x-1)-x^2 }{{(x-1)}^2}=0 \\ \frac{x^2-2x }{{(x-1)}^2}=0 \\ \Rightarrow x^2-2x =0 \\ x(x-2)=0 \\ \Rightarrow x=0 ,2 \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{2 }{{(x-1)}^3} \\ f^{\text{'}\text{'}}(0)=-2 and f^{\text{'}\text{'}}(2)=2 \end{gathered}$$            

فيوجد للاقتران  قيمة عظمى محلية عند  $x=0$   ويوجد للاقتران  قيمة صغرى محلية عند   $x=2$

---

                                                                                                        $$\begin{gathered} 29) f(x)=xlnx \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=lnx +x\frac{1}{x}=0 \\ =lnx +1=0 \\ \Rightarrow lnx =-1 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{e} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{1}{x} \\ f^{\text{'}\text{'}}(\frac{1}{e})=e \end{gathered}$$           

 فيوجد للاقتران  قيمة صغرى محلية مطلقة عند  $x\mathit{=}\frac{\mathit{1}}{e}$ 

---

                                                    $$\begin{gathered} 30) f(x)=\frac{x}{2^x} \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2^x-x{2}^{x}ln2}{2^{2x}}=0 \\ =\frac{1-xln2}{2^x}=0 \\ \Rightarrow (1-xln2)=0 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{ln2} \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=-\frac{ln2(2-xln2)}{2^x} \\ f^{\text{'}\text{'}}(\frac{1}{ln2})=-\frac{ln2(2-1)}{2^{\frac{1}{ln2}}}=-\frac{ln2}{2^{\frac{1}{ln2}}} \end{gathered}$$           

 فيوجد للاقتران  قيمة عظمى محلية مطلقة عند   $x=\frac{1}{ln2}$

---

                                                                $$\begin{gathered} 31) f(x)=x^{\frac{2}{3}} -3 \\ Solution: \\ f^{\text{'}}(x)=\frac{2}{3x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=0 no solution \\ f^{\text{'}\text{'}}(x)=\frac{-2}{9x^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}} no solution \end{gathered}$$              

فهو مقعر لاسفل دائما ، ويوجد للاقتران  قيمة صغرى محلية مطلقة عند $x=0$  

---

   

      أستعمل التمثيل البياني المجاور لمنحنى $\mathit{ }f\text{'}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$   لإيجاد كل مما يأتي:

 

 

     32)   قِيَم  $\mathit{ }x$ التي يكون عندها للاقتران  قِيّم قصوى محلية ، مبينا نوعها.

     الحل:    

    يوجد للاقتران  قيمة عظمى محلية عند  $x=\{1 , 5 \}$

       يوجد للاقتران  قيمة صغرى محلية عند $x=\{ 3 \}$

 

 

---

 33)   فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران .  

 الحل:

الاقتران $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ متزايد في الفترة : $(0 ،1) ، (3 ،5)$

الاقتران $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ متناقص في الفترة  : $(1 ،3) ، (5 ،6)$

---

34)   إذا كان للاقتران: $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}{x}^{\mathit{3}}\mathit{+}a{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}bx\mathit{+}c$   قيمة عظمى محلية عند $x = -3$ ،  وقيمة صغرى محلية عند النقطة $(1 , -14)$  فأجد قيمة كل من الثوابت $\mathit{ }a\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }b\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }c$ .

             وجود قيمة قصوى لاقتران كثير حدود تعني أن المشتقة عندها تساوي صفراَ .

               $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2ax+b \\ f^{\text{'}}(-3)=3{(-3)}^2+2a(-3)+b =0 \\ \Rightarrow -6a + b=-27 ...... \overline{)1} \\ f^{\text{'}}\left(1\right)=3{\left(1\right)}^2+2a\left(1\right)+b =0 \\ \Rightarrow 2a + b=-3 ...... \overline{)2} \\ From \overline{)1} and \overline{)2} \\ -8a =-24 \Rightarrow a =3 \\ \Rightarrow 2\left(3\right) + b=-3 \\ \Rightarrow b=-9 \\ f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c \\ f\left(1\right)={\left(1\right)}^3+\left(1\right){\left(1\right)}^2-9\left(1\right)+c =-14 \\ \Rightarrow -7+c=-14 \\ \Rightarrow c=-7 \end{gathered}$$               

---

35)    إذا كان للاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\frac{b}{x}$    نقطة انعطاف عندما  $\mathit{ }x\mathit{=}\mathit{3}$ فأجد قيمة الثابت $b$ .

                                       $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\frac{b}{x} \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{b}{x^2} \\ f^{"}\left(x\right)=\frac{2b}{x^3}-\frac{1}{4{(x+1)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}} \\ when x=3 \frac{2b}{{\left(3\right)}^3}-\frac{1}{4{(3+1)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=0 \\ \Rightarrow \frac{2b}{27}=\frac{1}{32} \Rightarrow b=\frac{27}{64} \end{gathered}$$             

---

       أستعمل التمثيل البياني المجاور لمنحنى $f^{"}\left(x\right)$ لإيجاد كل مما يأتي:

      36)     فترات التقّعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران . 

                             الاقتران  $f\left(x\right)$ مقعر لأعلى في الفترة $(-\infty , 0) ، (2 ،\infty )$ لأن $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) >0$ 

                              الاقتران  $f\left(x\right)$ مقعر لأسفل في الفترة  $(0 ،2)$ لأن $f^{\mathit{\text{'}\text{'}}}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{<}\mathit{ }\mathit{0}\mathit{ }$

 37)   الإحداثي $\mathit{ }x$  لنقاط انعطاف منحنى الاقتران .

 الحل: 

يوجد لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$  نقطتي إنعطاف عند  $x=0 , x=2$  وذلك لأنه بدّل من إتجاه تقعره حول كل منهما .  

 

 

 

.

 

---

           

           يمثل الاقتران $s\left(t\right)$  الُمبيّن منحناه في الشكل المجاور

             موقع جسم يتحرَّك في مسار  مستقيم ،

            حيث S  الموقع بالأمتار  و t  الزمن بالثواني: 

 38)   أجد قِيَم  t  التي يكون عندها الجسم في حالة سكون.

  الحل:

           سيكون الجسم في حالة سكون عندما تصبح سرعته المتجهة تساوي صفراً .

                أي عندما $t=2 , t=6$ويوجد لمنحنى الاقتران مماساً أفقياً .

---

39)   ما الفترات الزمنية التي يتحرّك فيها الجسم في الاتجاه الموجب والاتجاه السالب؟

  الحل:

             يتحرك الجسيم في الإتجاه الموجب في الفترة $(0 , 2) ،(6 , \infty )$  لأنَّ الاقتران في حالة تزايد ومشتقته موجبة .

            يتحرك الجسيم في الإتجاه السالب في الفترة  $(2 , 6)$  لأنَّ الاقتران في حالة تناقص ومشتقته سالبة  

                 

 

  

 

---

40)   إذا كان تسارع الجسم صفرًا عندما  $t=4$ فما الفترات التي تتزايد فيها سرعة الجسم المتجهة؟  وما الفترات التي تتناقص فيها سرعة الجسم المتجهة؟

  الحل:

                     بما أن الاقتران $s\left(t\right)$مقعر لاسفل في الفترة  $(0 , 4)$  مما يعني :

            أنَّ المشتقة الثانية سالبة $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right) <0$  والمشتقة الأولى في حالة تناقص $s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)<0$  

                      أي أن السرعة المتجهة متناقصة في الفترة التي يكون فيها الاقتران مقعر لأسفل .

            وكذلك بما أن الاقتران $s\left(t\right)$ مقعر لاعلى في الفترة $(4 , \infty )$ مما يعني:

           أنَّ المشتقة الثانية موجبة  $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right) >0$ والمشتقة الأولى في حالة تزايد  $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right) >0$

                                                                                 أي أن السرعة المتجهة متزايدة  في الفترة التي يكون فيها الاقتران مقعر لأعلى  .   

---

41)     مُكبّرات صوت:يُمثُل الاقتران $f\left(x\right)=\frac{1500}{x^2-6x+10}-150$  الربح الأسبوعي (بالدينار) لأحد المصانع من إنتاجه حيث x عدد مكبرات الصوت المبيعة  .

            أجد عدد مُكبّرات الصوت الذي  يُحقْقَ أكبر ربح مُمكن.

         الحل:  

        سيُحقْقَ أكبر ربح مُمكن عند قيم $\mathit{ }x$ التي يوجد عندها قيمة عظمى مطلقة .

              $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=\frac{1500}{x^2-6x+10}-150 \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1500(2x-6)}{{(x^2-6x+10)}^2}=0 \\ \Rightarrow -1500(2x-6)=0 \Rightarrow x=3 \end{gathered}$$               

        سنجري أختبار المشتقة الأولى حول العدد $\mathit{ }x\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{3}$

       

     يوجد لمنحنى الاقتران قيمة عظمى مطلقة عند $x = 3$  تجعل الربح أكبر ما يمكن .

 

 

---

يمُثلُ الاقتران $s\left(t\right)=t^3-2t^2+t , t\ge 0$   موقع  جسم يتحرَّك في مسار مستقيم ،  حيث S الموقع بالأمتار ،  وt  الزمن  بالثواني:

42)  ما الفترات الزمنية التي يتحرَّك فيها الجسم في الاتجاه الموجب والاتجاه السالب؟

                         $$\begin{gathered} Solution: \\ s\left(t\right)=t^3-2t^2+t , t\ge 0 \\ v\left(t\right)=3t^2-4t+1 =0 \\ (3t-1)(t-1)=0 \\ t=1 and t=\frac{1}{3} \end{gathered}$$           

       يتحرك الجسيم في الإتجاه الموجب في الفترة $(0 , \frac{1}{3}) ،(1 , \infty )$

                     لأنَّ الاقتران في حالة تزايد ومشتقته موجبة .

      يتحرك الجسيم في الإتجاه السالب في الفترة  $(\frac{1}{3}،1)$

                   لأنَّ الاقتران في حالة تناقص ومشتقته سالبة .

 

---

43)  ما الفترات التي تتزايد فيها سرعة الجسم ؟ وما الفترات التي تتناقص فيها سرعة الجسم ؟

             $$\begin{gathered} Solution\mathit{:} \\ \mathit{ }s\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}{t}^{\mathit{3}}\mathit{-}\mathit{2}{t}^{\mathit{2}}\mathit{+}t\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }t\mathit{\ge }\mathit{0} \\ \mathit{ }v\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{3}{t}^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{4}t\mathit{+}\mathit{1}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{0} \\ \mathit{ }a\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{6}t\mathit{-}\mathit{4}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{\Rightarrow }\mathit{ }t\mathit{=}\frac{\mathit{2}}{\mathit{3}}s\mathit{ }\mathit{ } \end{gathered}$$         

                 بما أن الاقتران $s\left(t\right)$مقعر لاسفل في الفترة $(0،\frac{2}{3})$   مما يعني :

            أنَّ المشتقة الثانية سالبة $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right) <0$ والمشتقة الأولى في حالة تناقص $s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)<0$   

             أي أن السرعة المتجهة متناقصة في الفترة التي يكون فيها الاقتران مقعر لأسفل .

            وكذلك بما أن الاقتران $\mathit{ }s\mathit{\left(}t\mathit{\right)}$ مقعر لاعلى في الفترة $(\frac{2}{3} , \infty )$  مما يعني:

                                                 أنَّ المشتقة الثانية موجبة $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right) >0$  والمشتقة الأولى في حالة تزايد  $s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)>0$

                                                 أي أن السرعة المتجهة متزايدة  في الفترة التي يكون فيها الاقتران مقعر لأعلى  .

---

     تبرير: يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران $\mathit{ }\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ . أحدَّد النقطة (النقاط) من بين 

            مجموعة النقاط $\{ k , l , m , n , p\}$:  على منحنى الاقتران التي تُحققَ

            كلا من الشروط الآتية . مُبرّرًا إجابتي:

 

44)    أن تكون إشارة كل من $f\text{'}\left(x\right)$ و $f^{"}\left(x\right)$  موجبة.

 

 

 

 

 

---

45)   أن تكون إشارة كل من $f^{\text{'}}\left(x\right)$  و$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$ سالبة.

 

 

 

 

 

---

46)   أن تكون إشارة $f^{\text{'}}\left(x\right)$  سالبة ، وإشارة  $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$ موجبة.

 

 

 

 

 

---

        تبرير: أستعمل التمثيل البياني المجاور لمنحنى $f^{\text{'}}\left(x\right)$ لإيجاد كل مما يأتي : مبررا إجابتي:

        47)   قِيّم $\mathit{ }x$  التي يكون عندها للاقتران   قِيّم قصوى محلية مُبيُنًا نوعها.

                  الحل:

      يوجد للاقتران  قيمة عظمى محلية عند $x=\{-2 , 4\}$  

           يوجد للاقتران  قيمة صغرى محلية عند  $x =\left\{1\right\}$

 

---

48)   فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران .

        الحل:

     الاقتران  $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ متزايد في الفترة : $(-\infty ,-2) ،(1 , 4)$

     الاقتران $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$   متناقص في الفترة  : $(-2 , 1) ،(4 , \infty )$ 

 

---

49)   فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران .

                   الحل:

          الاقتران $f\left(x\right)$ مقعر لاسفل في الفترة  : $(-\infty ,-1) ،(3 , \infty )$ 

           الاقتران $f\left(x\right)$  مقعر لاعلى في الفترة  : $(-1 , 3)$

---

50)   الإحداثي  $x$  لنقاط الانعطاف.

              الحل: 

           يوجد لمنحنى الاقتران $\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$  نقطتي إنعطاف عند قيمتي $x=\{-1 , 3\}$ 

 

---

51)       تحدٌ: أستعمل التمثيل البياني المجاور لمنحنيي الاقترانين  

              لتحديد الاقتران الذي يُمثَل مشتقة للآخر ، مُبرّرًا إجابتي.

            الحل: