رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أتحقق من فهمي

ص: 122

أجزئ كلا من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

$1) \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

$= \frac{3}{(x - 3)} - \frac{2}{(x - 2)}$

$2) \frac{x^{2} + x - 6}{x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8}$

$\frac{2}{3 (x + 3)} - \frac{4}{15 (x - 1)} + \frac{3}{5 (x + 4)}$

أتحقق من فهمي

ص: 124

أجزئ $\frac{x^{2} + 8 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2}}$ إلى كسور جزئية.

$= \frac{- 5}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{(x - 2)}$

أتحقق من فهمي

ص: 126

أجزئ $\frac{21 - 7 x}{(x + 5) (x^{3} + 3)}$ إلى كسور جزئية.

$= \frac{2}{x + 5} + \frac{- 2 x + 3}{(x^{2} + 3)}$

أتحقق من فهمي

ص: 128

أجزئ $\frac{3 x^{2} + 12 x + 4}{x^{2} + x}$ إلى كسور جزئية.

$= 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x + 1}$

أتدرب وأحل المسائل

أجزئ كلا من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

$1) \frac{2 x - 5}{(x + 2) (x + 3)}$

$= \frac{- 9}{x + 2} + \frac{11}{x + 3}$

$2) \frac{2 x + 22}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{2 x + 22}{x (x + 2)} = \frac{11}{x} - \frac{9}{x + 2}$

$3) \frac{4 x - 30}{x^{2} - 8 x + 15}$

$\frac{4 x - 30}{(x - 5) (x - 3)} = \frac{- 5}{x - 5} + \frac{9}{x - 3}$

$4) \frac{6 x^{2} - 7 x + 10}{(x - 2) (x^{2} + 1)}$

$\frac{4}{x - 2} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 1}$

$5) \frac{2 - 3 x - 4 x^{2}}{x (x - 1) (1 - 2 x)}$

$\frac{- 2}{x} + \frac{5}{x - 1} + \frac{2}{1 - 2 x}$

$6) \frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

$\frac{x}{(4 x - 3) (2 x - 1)} = \frac{3}{2 (4 x - 3)} - \frac{1}{2 (2 x - 1)}$

$7) \frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}$

$\frac{1}{(x + 3) (x - 5) (2 x + 1)} = \frac{1}{40 (x + 3)} + \frac{1}{88 (x - 5)} - \frac{4}{55 (2 x + 1)}$

$8) \frac{9 x^{2} - 9 x + 6}{2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4}$

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 6}{(x - 2) (x + 2) (2 x - 1)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} - \frac{1}{2 x - 1}$

$9) \frac{5 + 3 x - x^{2}}{- x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 12}$

$\frac{5 + 3 x - x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (3 - x)} = \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{7}{4 (x - 2)} + \frac{1}{3 - x}$

$10) \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{3} - 16 x}$

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x (x + 4) (x - 4)} = \frac{- 9}{16 x} + \frac{49}{32 (x + 4)} + \frac{1}{32 (x - 4)}$

$11) \frac{7 x - 3}{x^{2} - 8 x + 16}$

$\frac{7 x - 3}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{7}{(x - 4)} + \frac{25}{{(x - 4)}^{2}}$

$12) \frac{1}{(x + 1) {(x - 2)}^{2}}$

$\frac{1}{(x + 1) {(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{9 (x + 1)} - \frac{1}{9 (x - 2)} + \frac{1}{3 {(x - 2)}^{2}}$

$13) \frac{2 x^{2} - x - 6}{x^{3} + 4 x^{2} + 4 x}$

$\frac{2 x^{2} - x - 6}{x {(x + 2)}^{2}} = \frac{- 3}{2 x} + \frac{7}{2 (x + 2)} - \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

$14) \frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)} = \frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$

$15) \frac{x^{2} + 2 x + 40}{x^{3} - 125}$

$\frac{x^{2} + 2 x + 40}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} = \frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x^{2} + 5 x + 25}$

$16) \frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 36 x + 216}{x^{4} + 216}$

$= - 2 + \frac{- 30 x^{2} + 36 x + 648}{x^{3} + 216} - 2 + \frac{- 30 x^{2} + 36 x + 648}{(x + 6) (x^{3} - 6 x + 36)} = - 2 + \frac{- 6}{x + 6} + \frac{- 24 x + 144}{x^{2} - 6 x + 36}$

$17) \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 33 x + 2}{x^{2} + 8 x + 15}$

$x + 4 + \frac{- 14 x - 58}{x^{2} + 8 x + 15} = x + 4 + \frac{- 14 x - 58}{(x + 5) (x + 3)} = x + 4 - \frac{6}{(x + 5)} - \frac{8}{(x + 3)}$

$18) \frac{x^{5} - 2 x^{4} + x^{3} + x + 5}{x^{3} - 2 x^{2} + x - 2}$

$x^{2} + \frac{2 x^{2} + x + 5}{x^{3} - 2 x^{2} + x - 2} = x^{2} + \frac{2 x^{2} + x + 5}{(x - 2) (x^{2} + 1)} = x^{2} + \frac{3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$

19) أبين أنه يمكن كتابة $\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ بالصورة $\frac{1}{2 a (x - a)} - \frac{1}{2 a (x + a)}$ حيث a عدد حقيقي.

$\frac{1}{x^{2} - a^{2}} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x + a} A (x + a) + B (x - a) = 1$

بتعويض x=a ينتج أن $A = \frac{1}{2 a}$ ، بتعويض x = -a ينتج أن $B = \frac{- 1}{2 a}$ إذن، $\frac{1}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a (x - a)} + \frac{- 1}{2 a (x + a)} = \frac{1}{2 a (x - a)} - \frac{1}{2 a (x + a)}$

20) إذا كان $\frac{5 x}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{P}{x + 3} - \frac{3 p}{{(x + 3)}^{2}}$ ؛ فأجد قيمة P.

$P = 5$

21) إذا كان $\frac{x^{2} + 8 x + 7}{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{p x - 37}{9 (x^{2} + 2)} - \frac{P}{9 (x - 1)} + \frac{8 p}{9 {(x - 1)}^{2}}$ ؛ فأجد قيمة p.

$\frac{x^{2} + 8 x + 7}{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{(p x - 37) {(x - 1)}^{2} - p (x - 1) (x^{2} + 2) + 24 p (x^{2} + 2)}{9 {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)} 9 (x^{2} + 8 x + 7) = (p x - 37) {(x - 1)}^{2} - p (x - 1) (x^{2} + 2) + 24 p (x^{2} + 2)$

بتعويض x=1 ينتج أن:

$9 (1 + 8 + 7) = 24 p (1 + 2) 144 = 72 p p = 2$

هندسة ميكانيكة: يستعمل الاقتران الآتي لتقدير درجة الحرارة لعادم محرك ديزل:

$R (x) = \frac{200 (4 - 3 x)}{(11 - 7 x) (7 - 4 x)}, 0 \leq x \leq 1$

حيث x مقدار جهد المحرك، و R(x) درجة الحرارة بالفهرنهايت.

22) أجزئ الاقتران R(x) إلى كسور جزئية.

$= \frac{- 2000}{11 - 7 x} + \frac{2000}{7 - 4 x} = \frac{2000}{7 - 4 x} - \frac{2000}{11 - 7 x}$

23) إذا كان R(x) يمثل الفرق بين اقتران أعلى درجة حرارة للعادم واقتران أقل درجة حرارة للعادم. أجد كلا من الاقترانين مستعينا بالفرع السابق.

اقتران أعلى درجة حرارة هو $\frac{2000}{7 - 4 x}$ ، اقتران أدنى درجة حرارة هو $\frac{2000}{11 - 7 x}$

24) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.

$\frac{t^{2} - 5 t + 8}{(t + 2) (t^{2} - 1)} = \frac{A}{t + 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{t - 1} = \frac{\frac{20}{3}}{t + 2} + \frac{- 6}{t + 1} + \frac{\frac{1}{3}}{t - 1} = \frac{\frac{20}{3}}{t + 2} + \frac{- \frac{17}{3} t + \frac{19}{3}}{t^{2} - 1}$

مهارات التفكير العليا

تحد: أجزئ كلا من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

$25) \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 3}{x^{4}}$

$= \frac{x^{3}}{x^{4}} - \frac{2 x^{2}}{x^{4}} - \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{3}{x^{4}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$

$26) \frac{2 x^{2} + 6 x - 5}{{(x - 2)}^{3}}$

$= \frac{2}{x - 2} + \frac{14}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{15}{{(x - 2)}^{3}}$

$27) \frac{3 x^{3} + 12 x - 20}{x^{4} - 8 x^{2} + 16}$

$= \frac{3 x^{2} + 12 x - 20}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \frac{3 x^{36} + 12 x - 20}{{(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{{(x + 2)}^{2}} 3 x^{3} + 12 x - 20 = A (x - 2) {(x + 2)}^{2} + B {(x + 2)}^{2} + C (x + 2) (x - 2) + D {(x - 2)}^{2}$

بتكوين معادلات وحلها ينتج أن: $A = \frac{17}{8}, B = \frac{7}{4}, C = \frac{7}{8}, D = - \frac{17}{4}$

$\frac{3 x^{3} + 12 x - 20}{{(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}} = \frac{17}{8 (x - 2)} + \frac{7}{4 {(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{8 (x + 2)} - \frac{17}{4 {(x + 2)}^{2}}$

28) أكتشف الخطأ: بدأت رنيم خطوات تجزئة المقدار $\frac{5 x + 2}{{(x + 3)}^{2}}$ كالآتي:

أحدد الخطأ الذي وقعت فيه وأصححه.

الخطأ الذي وقعت فيه رنيم هو أنها جعلت مقامي الكسرين متماثلين في حين أنه يجب أن تجعل مقام الكسر الثاني ${(x + 3)}^{2}$ . تكون الخطوة الأولى الصحيحة على النحو الآتي:

$\frac{5 x + 2}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{{(x + 3)}^{4}}$

29) تبرير: إذا كان $\frac{a x + b}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ ؛ فأجد قيمة كل من A و B بدلالة المتغيرين a و b، مبررا إجابتي.

$a x + b = A (x + 1) + B (x - 1) x = 1 a + b = 2 A A = \frac{a + b}{2} x = - 1 a + b = - 2 B B = \frac{- a + b}{- 2} = \frac{a - - b}{2}$

30) مسألة مفتوحة: أكتب اقترانا نسبيا بالصورة $\frac{f (x)}{g (x)}$ بحيث تحتوي مقامات كسوره الجزئية، على عوامل خطية غير مكررة.

$\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{x^{2} - 2 x + 7}{2 x^{3} - 7 x^{2} + 9} = \frac{x^{2} - 2 x + 7}{(x - 3) (2 x^{2} - x - 3)} = \frac{x^{2} - 32 x + 7}{(x - 3) (2 x - 3) (x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{2 x - 3} + \frac{C}{x + 1} = \frac{5}{6 (x - 3)} - \frac{5}{3 (2 x - 3)} + \frac{1}{2 (x + 1)}$

رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS