رياضيات أدبي فصل ثاني

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية 

Arithmetic Sequences and Series

فكرة الدرس :  تعرُّف المتتالية الحسابية ، وإيجاد مجموع المتسلسلة الحسابية المنتهية.

أولًا  : مفهوم المتتالية الحسابية  

•• إذا كان الفرق بين كل حدين متتاليين في متتالية عددية يساوي قيمة ثابتة، فإنَّ هذه المتتالية تُسمّى متتالية حسابية  ، ويُسمّى الفرق الثابت أساس المتتالية الحسابية ، ويُرمَز إليه بالحرف d . 

مفهوم أساسي (المتتالية الحسابية)

بالكلمات : تكون المتتالية حسابية إذا كان الفرق بين كل حد فيها والحد الذي يسبقه يساوي قيمة ثابتة.

بالرموز : تكون المتتالية : $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n$ حسابية إذا كان : 

      $a_2 - a_{1 } = a_3 - a_2 = ... a_n- a_{n-1} = d$     

---

مثال :  

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا :   

$a) 1 . 5 . 9 , 13 , ... b) -3 , 0 , 5 , 12 , ...$

الحل : 

$a) 1 . 5 . 9 , 13 , ...$

أطرح كل حدين متتاليين :

بطرح الحد الأول من الحد الثاني           $a_{2 }- a_{1 } = 5 - 1 = 4$             

بطرح الحد الثاني من الحد الثالث          $a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$       

بطرح الحد الثالث من الحد الرابع         $a_4 - a_3 = 13 - 9 = 4$    

أُلاحظ أنَّ الفرق ثابت ، وأنَّه يساوي 4 ؛ أي إنّ أساس المتتالية هو :  d = 4         

إذن المتتالية  :  $1 . 5 . 9 , 13 , ...$حسابية .  

---

                                     

 $b) -3 , 0 , 5 , 12 , ...$                                                                                                       

 أطرح كل حدين متتاليين :

بطرح الحد الأول من الحد الثاني                $a_2 - a_1=0-(-3) = 3$ 

بطرح الحد الثاني من الحد الثالث                $a_3- a_2 = 5 - 0 = 5$

بطرح الحد الثالث من الحد الرابع                $a_4- a_{3 }= 12 - 5 = 7$  

أُلاحظ أنَّ الفرق غير ثابت ،  إذن المتتالية  :  $-3 , 0 , 5 , 12 , ...$    ليست حسابية .  

---

 

ثانيًا  : إيجاد الحد العام للمتتالية الحسابية  

يُمكِن إيجاد الحد العام $\left(a_n\right)$ للمتتالية الحسابية التي حدها الأول $a_1$ ، وأساسها d ، باستعمال الصيغة الآتية : 

$a_{n }= a_1 + (n - 1) d$

مثال  : 

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية مما ياتي  :  $\mathit{a}\mathbf{)} -2 , 4 , 10 , 16 , 22 , ... \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_{5 }= 9 , a_{11}= 21$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} -2 , 4 , 10 , 16 , 22 , ...$

أُعوّض قيمة كلّ من الحد الأول $a_1=-2$ ، والأساس  $d = 4 - (-2) = 6$ في صيغة الحد العام :

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية         $a_{n }= a_1 + (n - 1) d$

بتعويض $a_1=-2 , d = 6$                     $a_n =-2 +(n - 1) 6$

بالتبسيط                                                                      $a_n= 6n - 8$     

---

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_{5 }= 9 , a_{11}= 21$

الخطوة 1 : أستعمل صيغة الحد العام : $a_{n }= a_1 + (n - 1) d$ لكتابة نظام مُكوَّن من معادلتين خطيتين بمُتغيّرين.

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية            $a_{n }= a_1 + (n - 1) d$

بتعويض  $n = 5 , a_{5 }= 9$                                         $9 = a_1 + (5 - 1) d$

بالتبسيط                                                                              $9 = a_1 + 4 d .... \left(1\right)$   

 

بتعويض  $n = 11 , a_{11 }= 21$                                 $21 = a_1 + (11 - 1) d$

بالتبسيط                                                                              $21 = a_1 + 10 d .... \left(2\right)$

---

الخطوة 2 :  أحل المعادلة (1) والمعادلة (2) بالحذف.

بطرح المعادلة (1)  من المعادلة (2)  

           $21 = a_1 + 10 d$

           $9 = a_1 + 4 d$

ينتج : $12 = 6 d \Rightarrow d = 2$

 بتعويض d = 2  في احد المعادلتين : 

$21 = a_1 + 10 \left(2\right) \Rightarrow a_1 = 1$

---

الخطوة 3 : أُعوض قيمة كلا من $a_1$ و d في صيغة الحد العام للمتتالية.

$$\begin{gathered} a_{n }= 1 + (n - 1) 2 \\ {a}_{n }= 2n - 1 \end{gathered}$$

إذن الحد العام للمتتالية الحسابية  هو  :  $a_{n }= 2n - 1$

---

 

ثالثًا  : إيجاد مجموع المتسلسلة الحسابية المنتهية 

تنتج المتسلسلة الحسابية من جمع حدود المتتالية الحسابية. ويُمكِن إيجاد مجموع أول n حدًّا  (يُرمَز إليه بـ  $S_n$ ) من حدود المتسلسلة الحسابية باستعمال الصيغة الآتية :

                                       $S_n=n ( \frac{a_1+ a_n}{2})$

حيث :  

$a_1$ :  حد المتسلسلة الأول.

$a_n$ : حد المتسلسلة الأخير .

---

مثال  : 

أجد مجموع المتسلسلة : $\sum _{k=1}^{13}(3k + 4)$

الحل : 

الخطوة 1 : أُحدد نوع المتسلسلة بكتابة أول ثلاثة حدود منها على الأقل ، إضافةً إلى الحد الأخير فيها.

$$\begin{gathered} a_1=3\left(1\right) + 4 = 7 \\ {a}_2=3\left(2\right) + 4 = 10 \\ {a}_3=3\left(3\right) + 4 = 13 \\ {a}_{13}=3\left(13\right) + 4 = 43 \end{gathered}$$

إذن المتتالية  : $7 , 10 , 13 , ... , 43$  حسابية ، وأساسها d = 3  

الخطوة 2 : أُعوض قيمة $a_1=7$   ، وَ  $a_{13}= 43$ ، وَ  n = 13 في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية.

صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية المنتهية          $S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right)$

بتعويض $a_1=7 , a_{13}= 43 , n=13$                        $$\begin{gathered} S_n=13 \left(\frac{7+43}{2}\right) \\ {S}_n= 325 \end{gathered}$$       

إذن مجموع هذه المتسلسلة  = 325 

                         

---