رياضيات أدبي فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

اسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 67

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا :

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }-7 , 1 , 9 , 17 , ..\mathbf{.}$

$\mathit{b}\mathbf{)} \frac{1}{2} , \frac{3}{4} , 1 , 1\frac{1}{4} , ...$

$\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }5 , 2 , -2 , -5 , -9 , ...$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }-7 , 1 , 9 , 17 , ..\mathbf{.}$

أطرح كل حدين متتاليين : 

بطرح الحد الأول من الحد الثاني                 $a_2 - a_1 = 1-(-7) = 8$

بطرح الحد الثاني من الحد الثالث                     $a_3- a_2 = 9 - 1 = 8$

بطرح الحد الثالث من الحد الرابع                    ${a_4}_{ }- {a_3}_{ }= 17-9 = 8$

الفرق ثابت ويساوي 8  ، إذن المتسلسلة حسابية أساسها  d = 8 

---

$\mathit{b}\mathbf{)} \frac{1}{2} , \frac{3}{4} , 1 , 1\frac{1}{4} , ...$

بطرح الحد الأول من الحد الثاني            $a_{2 }-a_{1 }= \frac{3}{4}-\frac{1}{2}= \frac{1}{4}$

بطرح الحد الثاني من الحد الثالث           $a_3 - a_{2 }= 1-\frac{3}{4}= \frac{1}{4}$

بطرح الحد الثالث من الحد الرابع           $a_4- a_{3 }= 1 \frac{1}{4}-1= \frac{1}{4}$   

الفرق ثابت ويساوي  $\frac{1}{4}$  ، إذن المتسلسلة حسابية أساسها  d = $\frac{1}{4}$

---

 $\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }5 , 2 , -2 , -5 , -9 , ...$

 

بطرح الحد الأول من الحد الثاني                  $a_{2 }-a_{1 }= 2 - 5 =-3$

بطرح الحد الثاني من الحد الثالث                $a_{3 }-a_{2 }=-2-2=-4$

بطرح الحد الثالث من الحد الرابع           $a_4-a_{3 }=-5-(-2)=-3$

الفرق غير ثابت ، إذن المتسلسلة ليست حسابية.

 

---

  أتحقق من فهمي صفحة 69

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي :

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }30 , 25 , 20 , 15 , ...$

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_{10}=-11 , d = 2$

$\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_7=71 , a_{16}= 26$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }30 , 25 , 20 , 15 , ...$

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية : $a_n= a_1+ (n-1) d$

تعويض $a_1=30 , d = -5$ في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية :

                                                         $a_n= 30+ (n-1) (-5)$

بالتبسيط :                                                        ${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{35}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathit{n}$ 

 

---

 $\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_{10}=-11 , d = 2$

نستخدم الحد العاشر  والأساس d لايجاد الحد الأول $a_1$

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية :	$a_n= a_1+ (n-1) d$
بتعويض n = 10	$a_{10}= a_1+ (10-1) d$
بتعويض $d=2 , a_{10}= -11$	$-11= a_1+ \left(9\right) 2$
بالتبسيط  :	$a_1= -29$
بتعويض $a_1= -29$  ، d = 2 في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	$a_n=-29+ (n-1) 2$
بالتبسيط :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{31}$

       

                                                  

 

 

                              

 

 

---

$\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_7=71 , a_{16}= 26$

نستخدم الحد السابع والحد السادس عشر لإيجاد كل من الأساس d  والحد الأول $a_1$ 

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية :	$a_n= a_1+ (n-1) d$
استخدام الحد السابع : تعويض   n = 7   ،  $a_7= 71$ في صيغة الحد العام	$$\begin{gathered} a_7= a_1+ (7-1) d \\ 71 = a_1+ 6d .... \left(1\right) \end{gathered}$$
استخدام الحد السادس عشر : تعويض   n =16   ، $a_{16}= 26$في صيغة الحد العام	$$\begin{gathered} a_{16}= a_1+ (16-1) d \\ 26 = a_1+ 15d .... \left(2\right) \end{gathered}$$
بطرح المعادلة (2 ) من المعادلة (1) (حل المعادلتين بالحذف)	$$\begin{gathered} 71 = a_1 + 6d \\ -26 = - a_1 - 15d \\ \Rightarrow d = -5 \end{gathered}$$
تعويض $d = - 5$ في أحد المعادلتين لإيجاد  $a_1$	$$\begin{gathered} 26 = a_1 + 15 (-5) \\ \Rightarrow a_1= 101 \end{gathered}$$
تعويض $a_1= 101$ وَ $d = -5$  في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	$a_n=101+ (n-1) (-5)$
بالتبسيط  : الحد العام للمتتالية  هو :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{106}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ }$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 70

أجد مجموع المتسلسلة : $\sum _{k=1}^{20}(4k+6)$

الحل : 

أولًا  : تحديد نوع المتسلسلة بكتابة أول ثلاث حدود فيها إضافة إلى الحد الأخير : 

$$\begin{gathered} a_1=4\left(1\right) + 6 = 10 \\ {a}_2=4\left(2\right) + 6 = 14 \\ {a}_3=4\left(3\right) + 6 = 18 \\ {a}_{20}=4\left(20\right) + 6 =86 \end{gathered}$$

إذن المتتالية  : $10 , 14 , 18 , ... , 86$ حسابية ، وأساسها d = 4  

ثانيًا : أُعوض قيمة $a_1=10$ وَ $a_{20}=86$ وّ n = 20 في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية.

صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية المنتهية                         $S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right)$

بتعويض $a_1=10 , a_{20}= 86 , n=20$                             $$\begin{gathered} S_n=20 \left(\frac{10+86}{2}\right) \\ {S}_n=960 \end{gathered}$$

إذن مجموع هذه المتسلسلة  =  960

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 72

مقاعد : يوجد في الصف الأول من المقاعد في أحد المسارح 13 مقعدًا، وفي الصف الثاني 16 مقعدًا، وفي الصف الثالث 19 مقعدًا، ... وهكذا حتى الصف الأخير في المسرح : a)  أُبيِّن أنَّ عدد المقاعد في صفوف المسرح يُشكِّل متتالية حسابية. b)  أجد الحد العام للمتتالية الحسابية. c)  إذا كان في المسرح 25 صفًّا من المقاعد، فكم مقعدًا في المسرح؟

 

 

 

 

 

 

الحل : 

a) عدد المقاعد تشكل المتتالية  :  $13 , 16 , 19 , ...$ وهي متتالية حسابية لان الفرق( d = 3) ثابت بين كل حدين متتاليين .    

 

b) تعويض قيمة كل من الحد الأول $a_1= 13$ ، والاساس  d = 3  في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية : 

                                                     $$\begin{gathered} a_{n }= a_1 + (n - 1) d \\ {a}_{n }= 13 + (n-1) 3 \\ {a}_{n }= 3n + 10 \end{gathered}$$

 

c) تعويض $a_1= 13$  وَ  $a_{25}= 85$  وَ  n = 25  في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية.

                                 $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 25 \left(\frac{13 + 85}{2}\right) \\ {S}_n=225 \end{gathered}$$

 

إذن عدد المقاعد في المسرح  = 1225 مقعدًا . 

 

---

 

اسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا : 

1) -9 , -5 , -1 , 3 , …	2) 0 , 4 , 9 , 14 , …
3) 27 , 21 , 15 , 9 , …	4) -2 , -4 , -6 , -8 , …
5) -7 , 0 , 7 , 14 , …	6) 5 , 10 , 20 , 40 , …

الحل : 

متتالية حسابية أساسها  d = 4	1) -9 , -5 , -1 , 3 , … -5 - (-9) = 4     ,  -1 - (-5) = 4     ,  3 - (-1) = 4
ليست حسابية	2) 0 , 4 , 9 , 14 , … 4 - 0 = 4   ,  9 - 4 = 5
متتالية حسابية أساسها  d = - 6	3) 27 , 21 , 15 , 9 , … 21 - 27 = -6    ,    15 - 21 = -6   ,  9 - 15 = -6
متتالية حسابية أساسها  d = - 2	4) - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , … - 4 - (-2) = -2   ,   - 6 - (-4) = - 2  ,    - 8 - (-6) = -2
متتالية حسابية أساسها  d = 7	5) - 7 , 0 , 7 , 14 , … 0 - (-7) = 7   ,    7 - 0 = 7     ,    14 - 7 = 7
ليست حسابية	6) 5 , 10 , 20 , 40 , … 10 - 5 = 5    ,   20 - 10 = 10

 

---

 

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي :

7)  8 , 18 , 28 , 38 , …		8)  45 , 40 , 35 , 30 , …
9) $a_5 = 7 , d = 3{ }_{ }$		10)  $a_{21} = 41 , d = -2{ }_{ }$
11) $a_7 = 58 , a_{11} =94$		12) $a_6 = -8 ,{ }_{ }{a}_{15} =-62$

الحل : 

الأساس  d = 10   ،  $a_1= 8$	7)  8 , 18 , 28 , 38 , …  $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 8 + (\mathrm{n}-1) 10 \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$
الأساس  d = -5   ،  $a_1= 45$	8)  45 , 40 , 35 , 30 , … $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 45 + (\mathrm{n}-1) (-5) \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{50}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$
نجد$a_1$ من ${a_5}_{ }= 7$ بالتعويض في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية   ثم تعويض $a_1=-5 , d = 3$ في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	9) $a_5 = 7 , d = 3{ }_{ }$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{5 }= {\mathrm{a}}_1 + (5-1) 3 \\ 7= {\mathrm{a}}_1 +12 \Rightarrow {\mathrm{a}}_1 = -5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= -5 + (n-1) 3 \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ } \end{gathered}$$
نجد  $a_1$   من ${a_{21}}_{ }= 41$ بالتعويض في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية   ثم تعويض $a_1= 81 , d = -2$  في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	10) $a_{21} = 41 , d = -2{ }_{ }$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{21 }= {\mathrm{a}}_1 + (21-1) (-2) \\ 41= {\mathrm{a}}_1-40 \Rightarrow {\mathrm{a}}_1 = 81 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= 81 + (n-1) (-2) \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{83}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{ } \end{gathered}$$
إيجاد  $a_1$ وَ  d من $a_7 = 58 ,{ }_{ }{a}_{11} =94$       حل المعادلتين (1) ، (2) بالحذف ينتج  d = 9  ،  $a_1 = 4$	11) $a_7 = 58 ,{ }_{ }{a}_{11} =94$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{7 }= {\mathrm{a}}_1 + (7-1) d \\ 58= {\mathrm{a}}_1+6d ..... \left(1\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{11 }= {\mathrm{a}}_1 + (11-1) d \\ 94= {\mathrm{a}}_1+10d ..... \left(2\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= 4 + (n-1) 9 \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ } \end{gathered}$$
إيجاد $a_1$  وَ  d من $a_6 = -8 ,{ }_{ }{a}_{15} =-62$     حل المعادلتين (1) ، (2) بالحذف ينتج  d = - 6  ،  $a_1 = 22$	12) $a_6 = -8 ,{ }_{ }{a}_{15} =-62$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{6 }= {\mathrm{a}}_1 + (6-1) d \\ -8 = {\mathrm{a}}_1+5d ..... \left(1\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{15 }= {\mathrm{a}}_1 + (15-1) d \\ -62= {\mathrm{a}}_1+14d ..... \left(2\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= 22 + (n-1) (-6) \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{28}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{n}\mathbf{ } \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أجد مجموع كلٍّ من المتسلسلات الحسابية الآتية : 

$13)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{25}(5k - 7)$	$14) \sum _{k=1}^{31}(23 -4k)$
$15\mathbf{)}\mathbf{ } \sum _{k=1}^{17}(k +6)$	$16)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{15}(16 -k)$
$17)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{13}(2k)$	$18)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{99}(3k -4)$

الحل : 

تعويض $a_1 = - 2 , a_{25} = 118 , n = 25$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{25}(5k -7)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 25 \left(\frac{-2 +118}{2}\right) \\ {S}_n=1450 \end{gathered}$$
تعويض  $a_1 = 19 , a_{31} =-101 , n =31$  في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$14) \sum _{k=1}^{31}(23 -4k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 31 \left(\frac{19 -101}{2}\right) \\ {S}_n=- 1271 \end{gathered}$$
تعويض $a_1 = 7 , a_{17} = 23 , n =17$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$15\mathbf{)} \sum _{k=1}^{17}(k +6)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 17 \left(\frac{7 +23}{2}\right) \\ {S}_n=255 \end{gathered}$$
تعويض$a_1 =15 , a_{15} = 1 , n =15$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$16) \sum _{k=1}^{15}(16 -k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 15 \left(\frac{15 +1}{2}\right) \\ {S}_n=120 \end{gathered}$$
تعويض $a_1 =2 , a_{13} =26 , n =13$   في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$17)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{13}(2k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 13 \left(\frac{2 + 26}{2}\right) \\ {S}_n=182 \end{gathered}$$
تعويض  $a_1 =-1 , a_{99} =293 , n =99$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$18)\mathbf{ } \sum _{k=1}^{99}(3k -4)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 99 \left(\frac{-1 + 293}{2}\right) \\ {S}_n=14454 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

19) شِعْر : حفظ محمد في أحد الأيام 4 أبيات من قصيدة لعنترة بن شدّاد، وحفظ في اليوم الثاني 7 أبيات أخرى من هذه القصيدة، وحفظ
في اليوم الثالث 10 أبيات أخرى منها. أجد عدد الأبيات التي سيحفظها محمد من هذه  القصيدة في نهاية اليوم السادس ، إذا استمر في
الحفظ وَفق النمط نفسه.

الحل : 

المتتالية  : $4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , ...$ وهي متتالية حسابية أساسها d = 3  ، $a_1 = 4 , a_{6 }= 19$

عدد الأبيات التي سيحفظها محمد حتى اليوم السادس  (n = 6)  : 

 $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 6 \left(\frac{4 + 19}{2}\right) \\ {S}_n=69 \end{gathered}$$

---

 

20) ثقافة مالية : اقترض عيسى مبلغًا من صديقه ؛ على أنْ يعيده إليه خلال 8 أشهر في صورة دفعات شهرية ، قيمة الدفعة الأولى منها JD 100 ، وأنْ يزيد هذه القيمة بمقدار JD 20 كل شهر ، بدءًا بالشهر الثاني. ما المبلغ الذي اقترضه عيسى من صديقه؟

الحل : 

المتتالية : $100 , 120 , 140 , ...$ وهي متتالية حسابية أساسها d = 20  ، $a_1 = 100 , a_{8 }= 240$

المبلغ الذي اقترضه عيسى يساوي  مجموع الدفعات التي أعادها في خلال  8 شهور (n = 8) 

$$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 8 \left(\frac{100+240}{2}\right) \\ {S}_n=1360 \end{gathered}$$

---

21) أحل المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم). 

مسألة اليوم: اصطفَّ أعضاء فِرقة الكشّافة المدرسية في اثني عشر صفًّا، بحيث وقف في الصف الأول ثلاثة أعضاء، ووقف في كل صف يلي الصف الأول عضوان أكثر ممّا في الصف الذي يسبقه مباشرة. كيف يُمكِن حساب العدد الكلي لأعضاء الفِرقة؟

الحل : 

المتتالية  :  $3 , 5 , 7 , ...$  وهي متتالية حسابية أساسها d = 2 ،  $a_1 = 3 , a_{12 }= 25$

العدد الكلي لاعضاء الفرقة يساوي مجموع المتسلسلة : $3 + 5 + 7 , +...+25$  

$$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 12 \left(\frac{3+25}{2}\right) \\ {S}_n=168 \end{gathered}$$

---

 

أسئلة مهارات التفكير العليا 

22) أكتشف الخطأ : أوجد معتز الحد العام للمتتالية : … , 6- , 3 , 12 , 21 على النحو الآتي : 

   

أكتشف الخطأ في حَلِّ معتز، ثم أُصحِّحه.  

الحل : 

أخطأ معتز في إيجاد أساس المتتالية والصحيح هو  9 - ، وأخطأ في إيجاد الحد العام والصحيح هو : 
$$\begin{gathered} a_{n }= a_1+ (n-1)d \\ {a}_{n }=21 + (n-1) (-9) \\ {a}_{n }= 30 - 9n \end{gathered}$$

---

                            

23) تبرير : أُبين لماذا تُعد المتسلسلة : $\sum _{k=1}^{\infty }c$ حسابية ، حيث c عدد حقيقي، مُبررًا إجابتي.

الحل : 

$\sum _{k=1}^{\infty }c = c + c + c + ....$

تعد المتتالية حسابية لأن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت حيث : أساس المتتالية : d = c - c = 0   

---

24) تحدٍّ : أجد قيمة n إذا كان : $\sum _{k=1}^n(3k+5) = 544$

الحل : 

$$\begin{gathered} a_1 = 3\left(1\right) + 5 = 8 \\ {a}_n = 3n + 5 \end{gathered}$$

التعويض في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية  : 

$$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ 544 = n \left(\frac{8+3n+5}{2}\right) \\ 544= n \left(\frac{ 3n+13}{2}\right) \\ 1088 = 3n^2+13n \\ 3n^2+13n - 1088 = 0 \\ (3n+64)(n-17) = 0 \\ \Rightarrow n= \frac{-64}{3} , n = 17 \end{gathered}$$

ولأن n عدد صحيح موجب $\Leftarrow$ n = 17 

---

25) تبرير: أُبيِّن أنَّ مجموع أول n حدًّا من متسلسلة الأعداد الفردية : (… + 7 + 5 + 3 + 1) هو  $n^2$ ، مُبررًا إجابتي. 

الحل : 

$$\begin{gathered} a_1 = 1 , d = 2 \\ {a}_n = a_1+ (n-1)d \\ {a}_n = 1 + (n - 1) 2_{ } \\ {a}_n = 2n - 1 \end{gathered}$$

التعويض في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية  : 

$$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n = n \left(\frac{ 1+2n -1}{2}\right) \\ {S}_n = n^2 \end{gathered}$$

---

 

أسئلة كتاب التمارين 

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 , - 4 , -7 , -10 , ...$	$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0.5 , -0.2 , - 0.9 , -1.6 , ...$
$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }2 , 11 , 20 , 29 , ...$	$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }44 , 39 , 34 , 29 , ...$
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }1 , 10 , 19 , 28 , ...$	$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{2}+ \frac{3}{4} + 1 + \frac{5}{4} + ...$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 , - 4 , -7 , -10 , ...$ - 4 -(-1) = -3    , - 7 - (-4) = -3    ,  - 10 - (-7) = -3	حسابية أساسها d = -3
$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0.5 , -0.2 , - 0.9 , -1.6 , ...$ - 0.2 - 0.5 = - 0.7     ,     - 0.9 - (- 0.2) = - 0.7    ,   -1.6 - (- 0.9) = - 0.7	حسابية أساسها d = - 0.7
$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }2 , 11 , 20 , 29 , ...$ 11 - 2 = 9     ,  20 - 11 = 9     ,  29 - 20 = 9	حسابية أساسها d = 9
$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }44 , 39 , 34 , 29 , ...$ 39 - 44 = -5    ,  34 - 39 = -5    , 29 - 34 = -5	حسابية أساسها d = -5
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }1 , 10 , 19 , 28 , ...$ 10 - 1 = 9    ,   19 - 10 = 9     ,  28 - 19 = 9	حسابية أساسها  d = 9
$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{2}+ \frac{3}{4} + 1 + \frac{5}{4} + ... \\ \frac{3}{4}-\frac{1}{2} = \frac{1}{4} , 1-\frac{3}{4}= \frac{1}{4} , \frac{5}{4 }- 1 = \frac{1}{4} \end{gathered}$$	حسابية أساسها $d = \frac{1}{4}$

 

---

أجد الحد النوني لكل متتالية حسابية ممّا يأتي:

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }3 , -2 , -7 , - 12 , ...$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }51 , 44 , 37 , 30 , ...$
$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }3 , 2.6 , 2.2 , 1.8 , ...$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }4 , 13 , 22 , 31 , ...$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_4 = 11 , d = 2$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_{12} = 52 , d = - 3$

الحل : 

الاساس d = - 5  ،   $a_1= 3$	$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }3 , -2 , -7 , - 12 , ...$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 3 + (\mathrm{n}-1) (-5) \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathit{n} \end{gathered}$$
الاساس d = - 7  ، $a_1= 51$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }51 , 44 , 37 , 30 , ...$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 51 + (\mathrm{n}-1) (-7) \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{58}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{7}\mathit{n} \end{gathered}$$
الاساس d = - 0.4  ، $a_1= 3$	$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }3 , 2.6 , 2.2 , 1.8 , ...$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 3 + (\mathrm{n}-1) (-0.4) \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$
الاساس d = 9  ،  $a_1= 4$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }4 , 13 , 22 , 31 , ...$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= 4 + (\mathrm{n}-1) 9 \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ } \end{gathered}$$
نجد   $a_1$  من ${a_4}_{ }= 11$ بالتعويض في صيغة الحد العام للتتالية الحسابية  ثم تعويض  $a_1 = 5 , d = 2$ في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_4 = 11 , d = 2$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{4 }= {\mathrm{a}}_1 + (4-1) 2 \\ 11= {\mathrm{a}}_1+ 6 \Rightarrow {\mathrm{a}}_1 = 5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= 5 + (n-1) 2 \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ } \end{gathered}$$
نجد $a_1$ من ${a_{12}}_{ }= 52$  بالتعويض في صيغة الحد العام للتتالية الحسابية  ثم تعويض $a_1 = 85 , d = -3$  في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }{a}_{12} = 52 , d = - 3$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{12 }= {\mathrm{a}}_1 + (12-1)(-3) \\ 52 = {\mathrm{a}}_1- 33 \Rightarrow {\mathrm{a}}_1 = 85 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{\mathrm{n} }= {\mathrm{a}}_1 + (\mathrm{n} - 1) \mathrm{d} \\ {\mathrm{a}}_{n }= 85 + (n-1) (-3) \\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{88}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathit{n} \end{gathered}$$

 

 

---

أجد مجموع كلٍّ من المتسلسلات الحسابية الآتية:

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{19}(9k+1)$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{22}(34-5k)$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{11}(k-8)$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{17}(61-k)$
$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{13}(-5k)$	$\mathbf{18}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{88}3$

الحل : 

تعويض $a_1 = 10 , a_{19}= 172 , n = 19$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{19}(9k+1)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 19 \left(\frac{10 +172}{2}\right) \\ {S}_n=1729 \end{gathered}$$
تعويض  $a_1 = 29 , a_{22}= - 76 , n = 22$   في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{22}(34-5k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n= 22 \left(\frac{29 -76}{2}\right) \\ {S}_n=-517 \end{gathered}$$
تعويض  $a_1 = - 7 , a_{11}= 3 , n = 11$  في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{11}(k-8)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n=11 \left(\frac{-7+3}{2}\right) \\ {S}_n=-22 \end{gathered}$$
تعويض $a_1 = 60 , a_{17} = 44 , n = 17$  في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{17}(61-k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n=17 \left(\frac{60+44}{2}\right) \\ {S}_n=884 \end{gathered}$$
تعويض $a_1 = -5 , a_{13} = -65 , n = 13$ في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية	$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{13}(-5k)$ $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n=13 \left(\frac{-5-65}{2}\right) \\ {S}_n=-455 \end{gathered}$$
مجموع الحد الثابت c إلى نفسه  n  من المرّات.	$\mathbf{18}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{88}3$ $$\begin{gathered} S_n= n\times c \\ {S}_n= 88\times 3 \\ {S}_n= 264 \end{gathered}$$

 

---

19) عمل تطوّعي : شاركت نُهى في الخدمة المجتمعية مدَّة أسبوعين في أثناء عطلتها الصيفية، فعملت في اليوم الأول  مدَّة ساعة ونصف، وعملت في اليوم الثاني مدَّة ساعة وخمس وأربعين دقيقة، وعملت في اليوم الثالث مدَّة ساعتين ، وهكذا. إذا مثَّلت ساعات عملها متسلسلة حسابية ، فأجد مجموع الساعات التي استغرقتها في العمل.

الحل :

المتتالية  : $90 , 105 , 120 , ...$  حسابية أساسها  d = 15  ،  $a_1 = 90$  ( الفترة الزمنية بالدقائق) 

الحد العام للمتتالية  :     $$\begin{gathered} a_n = a_1 +(n-1) d \\ {a}_n = 90 + (n-1) 15 \\ {a}_n = 15n + 75 \end{gathered}$$ 

 

الحد الرابع عشر :        $$\begin{gathered} a_{14} = 90 + (14-1) 15 \\ {a}_{14} = 90 + 195 \\ {a}_{14} = 285 \end{gathered}$$

 

مجموع المتسلسلة  : $$\begin{gathered} S_n= n\left(\frac{a_1+ a_n}{2}\right) \\ {S}_n=14 \left(\frac{90+285}{2}\right) \\ {S}_n= 2625 \end{gathered}$$

بتحويل 2625 إلى ساعات بالقسمة على 60 ينتج : عدد ساعات عمل نهى  =  43 ساعة و 45 دقيقة .