المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

المتتاليات الهندسية: هي متتالية تكون فيها النسبة بين كل حدين متتاليين تساوي مقدارا ثابتا وهذه النسبة الثابتة وهذه النسبة تسمى أساس المتتالية الهندسية ويرمز لها بالرمز r.

تكون المتتالية هندسية إذا كانت النسبة ثابتة بين كل حد فيها والحد الذي يسبقه. تكون المتتالية: $a_1,a_2,a_3,...,a_n$  هندسية إذا كان: $\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=...=\frac{a_n}{a_{n-1}}=r$

مثال:

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي هندسية أم لا:

$1) 2,6,18,54,...$

نقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له

$$\begin{gathered} \frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2}=3 \\ \frac{a_3}{a_2}=\frac{18}{6}=3 \\ \frac{a_4}{a_5}=\frac{54}{18}=3 \end{gathered}$$

نلاحظ أن النسبة ثابتة وتساوي 3 إذن المتتالية هندسية.

$2) -3,-12,-24,-36,...$

نقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له

$$\begin{gathered} \frac{a_2}{a_1}=\frac{-12}{-3}=4 \\ \frac{a_3}{a_2}=\frac{-24}{-12}=2 \\ \frac{a_4}{a_3}=\frac{-36}{-24}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

نلاحظ أن النسبة غير ثابتة إذن المتتالية ليست هندسية.

ملاحظة: يمكننا إيجاد كل حد من حدود المتتالية الهندسية بضرب الأساس في الحد الذي يسبقه واستعمال هذه الخاصية لإيجاد الحد العام للمتتالية الهندسية باستعمال حدها الأول $a_1$ وأساسها r كما يأتي:

 

الحد العام للمتتالية الهندسية التي حدها الأول $a_1$ ,وأساسها r، يعطى بالصيغة الآتية: $a_n=a_1 r^{n-1}$ حيث n عدد صحيح موجب.

مثال:

أجد الحد العام لكل متتالية هندسية مما يأتي ثم أجد الحد السابع لها:

$1) 9,-3,1,-\frac{1}{3},\frac{1}{9},...$

نجد قيمة الحد الأول والأساس

$$\begin{gathered} a_1=9 \\ r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

نعوض الحد الأول الأساس في صيغة الحد العام للمتتالية.

$$\begin{gathered} a_n=a_1 r^{n-1} \\ {a}_n=9{\left(\frac{-1}{3}\right)}^{n-1}{a}_7=9{\left(\frac{-1}{3}\right)}^{n-1} \\ =9{\left(\frac{-1}{3}\right)}^6 \end{gathered}$$

$2) 24,12,6,3,...$

نجد قيمة الحد الأول والأساس

$$\begin{gathered} a_1=24 \\ r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

نعوض قيمة الحد الأول والأساس في صيغة الحد العام

$a_n=a_1{\left(r\right)}^{n-1}{a}_n=24{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}{a}_7=24{\left(\frac{1}{2}\right)}^6$

ملاحظة: يمكننا إيجاد الحد العام لمتتالية هندسية إذا علم حدان منها

مثال:

أجد الحد العام للمتتالية الهندسية التي فيها $a_3=12$ و $a_6=-96$.

نستعمل صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية لكتابة نظام مكون من معادلتين بمتغيرين

$$\begin{gathered} a_n=a_1 r^{n-1} \\ {a}_3=a_1{r}^2=12......\left(1\right) \\ {a}_6=a_1{r}^5=-96.......\left(2\right) \end{gathered}$$

نحل المعادلة (1) والمعادلة (2) بالتعويض

$$\begin{gathered} a_1=\frac{12}{r^2} \\ \frac{12}{r^2}=\frac{-96}{r^5} \\ 12r^5=-96 r^2 \\ 12r^5-96 r^2=0 \\ 12r^2 (r^3-8)=0 \\ r=0 , r=2 \\ r=2 \\ {a}_1=\frac{12}{r^2}=\frac{12}{4}=3 \\ {a}_n=a_1 r^{n-1} \\ {a}_n=3\times 2^{n-1} \end{gathered}$$

الأوساط الهندسية: هي حدود يمكن إيجادها بحيث تقع بين حدين غير متتاليين في متتالية هندسية

مثال:

أوجد 3 أوساط هندسية بين العددين 32-, 2-

نجد عدد الحدود وقيمة أساس المتتالية

$$\begin{gathered} n=2+3=5 \\ {a}_5=a_1 r^4=-32 \\ =-2 r^4=-32 \\ {r}^4=16 \\ r=\pm 2 \end{gathered}$$

نستعمل قيمة الأساس لإيجاد الأوساط الهندسية المطلوبة عندما r=2

$-2,-4,-8,-16,-32$

عندما r=-2

$-2,4,-8,16,-32$

المتسلسلات الهندسية:

المتسلسلة الهندسية: هي متسلسلة ناتجة من جمع حدود متتالية هندسية حيث يسمى مجموع أول n حد من حدود هذه المتسلسلة مجموعا جزئيا ويرمز له بالرمز $S_n$.

يمكن إيجاد مجموع أول n حدا من حدود متتالية هندسية باستعمال الصيغة الآتية: $S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} , r\ne 1$

مثال:

1) أجد مجموع الحدود الثمانية الأولى من المتسلسلة الهندسية: 1-1+1-1+1-1+1-1.

نعوض قيمة الأساس r=-1 والحد الأول $a_1=1$ في صيغة المجموع الجزئي لإيجاد $S_8$

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \\ {S}_8=\frac{\left(1\right)(1-{(-1)}^8)}{1--1} \\ 1\left(\frac{1-1}{2}\right)=0 \end{gathered}$$

2) أجد مجموع المتسلسلة الهندسية: $\sum _{k=1}^4 {\left(\frac{1}{2}\right)}^k$

نجد الحد الأول لتعويض k=1

$a_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$

نكتب المتسلسلة لصيغة الحد العام.

$\sum _{k=1}^4 \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$

نستنتج أن الأساس $r=\frac{1}{2}$

نستعمل صيغة المجموع الجزئي للمتسلسلة الهندسية لإيجاد $S_4$

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1(1-r^4)}{1-r} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4)}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{15}{16} \end{gathered}$$

المتسلسلات الهندسية اللانهائية:

المتسلسلة الهندسية اللانهائية: هي متسلسلة هندسية تحوي عددا لا نهائيا من الحدود ويسمى مجموع أول n حد من حدود هذه المتسلسلة مجموعا جزئيا ويرمز إليه بالرمز $S_n$  وتقسم إلى قسمين:

1) متسلسلة متقاربة تكون فيها المجاميع الجزئية تقترب أكثر فأكثر من 1 عندما تزيد قيمة نون ويمكن إيجاد عدد لا نهائي من حدودها.

2) متسلسلة متباعدة تكون فيها المجاميع الجزئية تزداد إلى ما لا نهاية عند زيادة قيم n لذلك لا يمكن إيجاد مجموع عدد لا نهائي من حدودها.

إذا كانت $\left|r\right|<1$، فإن المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متقاربة، ويمكن إيجاد مجموع حدودها باستعمال الصيغة الآتية: $S_{\infty }=\frac{a_1}{1-r}$ أما إذا كانت $\left|r\right|\ge 1$، فإن المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متباعدة، ولا يمكن إيجاد مجموع حدودها.

مثال:

أجد مجموع المتسلسلات الهندسية اللانهائية (إن أمكن)

$1) 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...$

نجد قيمة الأساس للمتسلسلة

$r=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1}=-\frac{1}{2}$

بما أن $\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$ فإن المتسلسلة متقاربة ويمكن إيجاد مجموع لها

$$\begin{gathered} a_1=1 , r=-\frac{1}{2} \\ {S}_{\infty }=\frac{a_1}{1-r}=\frac{1}{1--{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$2) 4,4,4,4,...$

نجد قيمة أساس المتسلسلة

$r=\frac{4}{4}=1$

بما أن $\left|1\right|=1\ge 1$ فإن المتسلسلة متباعدة ولا يمكن إيجاد مجموع حدودها.

$3) \sum _{n=1}^{\infty } {(0.2)}^n$

تكتب المتسلسلة لصيغة الحد العام للمتسلسلة الهندسية

$\sum _{n=1}^{\infty } 0.2{(0.2)}^{n-1}{a}_1=0.2 , r=0.2$

بما أن $\left|0.2\right|=0.2<1$ فإن المتسلسلة متقاربة ويمكن إيجاد مجموعها.

$S_{\infty }=\frac{a_1}{1-r}=\frac{0.2}{1-0.2}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$

لكتابة العدد العشري الدوري في صورة كسر عادي نستعمل صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية.

مثال:

أكتب العدد العشري الدوري $\overline{0.3}$ في صورة كسر عادي.

$=0.3+0.03+0.003+0.0003+...$

وهذا يمثل متسلسلة هندسية لانهائية حدها الأول $a_1=0.3$ وأساسها $r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{0.03}{0.3}=0.1$

بما أن $\left|0.1\right|=0.1<1$  فإن المتسلسلة متقاربة ويمكن إيجاد مجموعها

$S_{\infty }=\frac{a_1}{1-r}=\frac{0.3}{1-0.1}=\frac{0.3}{0.9}=\frac{1}{3}$

مثال:

رياضة: مارس لاعب رياضة القفز بالحبال من أحد المرتفعات، فقفز 100m رأسيا إلى الأسفل قبل أن يرتد إلى الأعلى من جديد بواسطة حبله المطاطي. إذا ارتد اللاعب مسافة تمثل ما نسبته $85 \raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right.$ من المسافة السابقة بعد كل سقوط، فأجد مجموع المسافات التي قطعها اللاعب في أثناء التأرجح حتى توقفه عن ذلك.

$$\begin{gathered} d=100+100(0.85)+100(0.85)+100{(0.85)}^2+100{(0.85)}^2+100{(0.85)}^3+100{(0.85)}^3+... \\ =100+2\left(100\right(0.85\left)\right)+2\left(100{(0.85)}^2\right)+2\left(100{(0.85)}^2\right)+... \\ =100+200(0.85)+200{(0.85)}^2+200{(0.85)}^3+... \end{gathered}$$

باستثناء الحد الأول (100)، ألاحظ أن $200(0.85)+200{(0.85)}^2+200{(0.85)}^3+...$ يمثل مجموع متسلسلة هندسية لانهائية، حدها الأول $a_1=200(0.85)$، وأساسها $r=\frac{200{(0.85)}^2}{200(0.85)}=0.85$

بما أن المتسلسلة متقاربة يمكن إيجاد مجموعها:

$$\begin{gathered} d=100+\frac{200(0.85)}{1-(0.85)} \\ \approx 100+1133.3 \\ \approx 1233.3 \end{gathered}$$

إذن، قطع اللاعب مسافة 1233.33m تقريبا قبل أن يتوقف.