رياضيات أدبي فصل ثاني

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية 

Geometric Sequences and Series

فكرة الدرس : تعرُّف المتتالية الهندسية ، وإيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية.

أولًا  : مفهوم المتتالية الهندسية 

إذا كانت النسبة ثابتة بين كل حدين متتاليين في متتالية، فإنَّها تُسمّى متتالية هندسية، وتُسمّى النسبة الثابتة أساس المتتالية الهندسية  ، ويُرمَز إليها بالحرف r.

مفهوم أساسي (المتتالية الهندسية)

بالكلمات : تكون المتتالية هندسية إذا كانت النسبة ثابتة بين كل حد فيها والحد الذي يسبقه. 

بالرموز : تكون المتتالية :  $a_1 , a_2 , a_3 , ... a_n$  هندسية إذا كان : 

$\frac{a_2}{a_1}= \frac{a_3}{a_2}=... = \frac{a_n}{a_{n-1}}= r$         

مثال : 

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي هندسية أم لا :

 1) 2 , 4 , 8 . 16 , 32 ,...                          2) 6 , 12 , 18 , 24 , 30

الحل : 

1) أقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له :

نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول     $\frac{a_2 }{a_1 }= \frac{4}{2} = 2$

نسبة الحد الثالث إلى الحد الثاني    $\frac{a_3 }{a2 }= \frac{8}{4} = 2$

نسبة الحد الرابع إلى الحد الثالث    $\frac{a_4 }{a_3 }= \frac{16}{8} = 2$

أُلاحِظ أنَّ النسبة ثابتة، وأنَّها تساوي  2  ؛ أي إنّ أساس المتتالية هو  :  r = 2 

إذن، المتتالية هندسية.

---

 

2) أقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له:

نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول       $\frac{a_2 }{a_1 }= \frac{12}{6} = 2$

نسبة الحد الثالث إلى الحد الثاني     $\frac{a_3 }{a_2 }= \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

نسبة الحد الرابع إلى الحد الثالث     $\frac{a_4 }{a_3 }= \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

أُلاحِظ أنّ النسبة غير ثابتة.

إذن ، المتتالية : 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ليست هندسية.

---

ثانيًا : الحد العام للمتتالية الهندسية 

يُمكِن إيجاد الحد العام (  $a_n$ ) للمتتالية الهندسية التي حدها الأول $a_1$ ، وأساسها $r$ ، باستعمال الصيغة الآتية :

$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$                                                                 

مثال : 

أجد الحد العام لكل متتالية هندسية ممّا يأتي :     

1) 1 , 4 , 16 , 64 , ...                              2) $a_4 = 10 , r = \frac{1}{2}$

الحل : 

1) أعوض الحد الأول $a_1 = 1$ والأساس $r = 4$ في صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :

صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :	$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$
بتعويض $a_1= 1 , r = 4$	$a_n= \left(1\right) \left(4\right){ }^{n-1}$
إذن الحد العام للمتتالية الهندسية هو :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}$

  

    

 

 

 

 2) أجد قيمة الحد الأول $a_1$ باستخدام الحد الرابع وذلك بالتعويض في صيغة الحد العام :     

صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :	$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$
تعويض $n = 4 , r = \frac{1}{2}$	$a_4= a_1 \left(\frac{1}{2}\right) { }^{4-1}$
تعويض  $a_4= 10$	$10 = a_1 \left(\frac{1}{2}\right){ }^3$
بالتبسيط : (بضرب طرفي المعادلة في 8)	$10 = a_1\times \frac{1}{8} \Rightarrow a_1 = 80$
الآن نعوض قيمة $a_1=80 , r = \frac{1}{2}$ في صيغة الحد العام	$a_n=\left(80\right) \left(\frac{1}{2}\right){ }^{n-1}$
إذن الحد العام للمتتالية الهندسية هو :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{\left(}\mathbf{80}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}$

 

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

ثالثًا : مجموع المتسلسلة الهندسية 

تنتج المتسلسلة الهندسية من جمع حدود المتتالية الهندسية.

ويُمكِن إيجاد مجموع أول n حدًّا  (يُرمَز إليه بـ $S_n$) من حدود المتسلسلة الهندسية باستعمال الصيغة الآتية :

                                                                                                                                           $S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r}$      

حيث : 

$a_1$ : حد المتسلسلة الأول .

$r \ne 1$  : أساس المتسلسلة . 

مثال : 

أجد مجموع المتسلسلة الهندسية : $\sum _{k=1}^{6}3{\left(2\right)}^{k-1}$

الحل : 

إيجاد الحد الأول $a_1$بتعويض k=1 في الحد العام	$$\begin{gathered} a_k = 3{\left(2\right)}^{k - 1} \\ {a}_1 = 3{\left(2\right)}^{1-1 } \\ {a}_1 = 3{\left(2\right)}^{0 } \Rightarrow a_1 = 3 \end{gathered}$$
مقارنة الصيغة ( $3{\left(2\right)}^{k-1}$)  بصيغةالحد العام للمتسلسة الهندسية ( $a_n= a_1 r{ }^{n-1}$ ) فأستنتج أن $r = 2$
أعوض $n=6 , r = 2 , a_1 = 3$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية    وبالتبسيط       إذن مجموع المتسلسة  = 189	$$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{3(1 - 2^6)}{1 - 2} \\ {S}_n = \frac{3(1 - 64)}{1 - 2} \\ {S}_n = \frac{3(-63)}{-1} \\ {S}_n = \frac{-189}{ -1} =\mathbf{ }\mathbf{189} \end{gathered}$$