رياضيات أدبي فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 75

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي هندسية أم لا :

a)  3 , 9 , 27 , 81                                 

b) 72 , 63 , 54 , 45 …

الحل : 

a) أقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له :

نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول     $\frac{9}{3} = 3$

نسبة الحد الثالث إلى الحد الثاني    $\frac{27}{9} = 3$

نسبة الحد الرابع  إلى الحد الثالث   $\frac{81}{27} = 3$

إذن النسبة ثابتة، وأنَّها تساوي  3  ؛ أي إنّ أساس المتتالية هو  :  r = 3  $\Leftarrow$المتتالية هندسية.

---

b) أقسم كل حد في المتتالية على الحد السابق له : 

نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول        $\frac{63}{72} = \frac{7}{8}$

نسبة الحد الثالث إلى الحد الثاني      $\frac{54}{63} = \frac{6}{7}$

نسبة الحد الرابع  إلى الحد الثالث      $\frac{45}{54} = \frac{5}{6}$

النسبة غير ثابتة، إذن المتتالية ليست هندسية .

---

أتحقق من فهمي صفحة 76

أجد الحد العام لكل متتالية هندسية ممّا يأتي : 

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)} 32 , 8 , 2 , \frac{1}{2} \\ \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_5 = 1 , r = -\frac{1}{5} \end{gathered}$$

الحل : 

a) أعوض الحد الأول $a_1 = 32$ والأساس $r = \frac{1}{4}$ في صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :

صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :	$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$
بتعويض $a_1= 32 , r = \frac{1}{4}$	$a_n= \left(32\right) \left(\frac{1}{4}\right){ }^{n-1}$
إذن الحد العام للمتتالية الهندسية هو :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{32}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}$

 

 

 

 

 

 

b) أجد الحد الأول $a_1$ باستخدام الحد الخامس وذلك بالتعويض في صيغة الحد العام :   

صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية :	$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$
تعويض  $n = 5 , r = -\frac{1}{5}$	$a_5= a_1 \left(\frac{-1}{5}\right) { }^{5-1}$
تعويض $a_5= 1$	$$\begin{gathered} 1= a_1 {\left(\frac{-1}{5}\right)}^4 \\ 1 = a_1 \times \frac{1}{625} \end{gathered}$$
بالتبسيط : (بضرب طرفي المعادلة في  625 )	$a_1 = 625$
الآن نعوض قيمة     $a_1= 625 , r =-\frac{1}{5}$     في صيغة الحد العام	$a_{\mathrm{n}}= 625 (-\frac{1}{5}){ }^{\mathrm{n}-1}$
إذن الحد العام للمتتالية الهندسية هو :	${\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{625}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}\mathbf{)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 77

أجد مجموع المتسلسلة الهندسية : $\sum _{k=1}^{6}4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$

الحل : 

إيجاد الحد الأول $a_1$ بتعويض k=1 في الحد العام	$$\begin{gathered} a_k = 4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k - 1} \\ a_1 = 4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1 - 1} \\ a_1 = 4{\left(\frac{1}{2}\right)}^0 \Rightarrow a_1=4 \end{gathered}$$
مقارنة الصيغة ($4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$) بصيغةالحد العام للمتسلسة الهندسية ( $a_n= a_1 r{ }^{n-1}$) فأستنتج أنّ  $r = \frac{1}{2}$
أعوض $a_1=4$، $r = \frac{1}{2}$  ، n = 6   في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{4(1 - {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^6)}{1 - {\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} S_n = \frac{4(1 -{\displaystyle \frac{1}{64}} )}{{\displaystyle \frac{1}{2}}} \Rightarrow S_n =\mathbf{ }\frac{\mathbf{63}}{\mathbf{8}}\mathbf{ } \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 79

بدأ سفيان العمل في إحدى الشركات ، وبلغ مجموع رواتبه الشهرية في السنة الأولى JD 4500 ؛ على أنْ يزداد الراتب بنسبة % 3.5 سنويًّا بعد العام الأول :

a) أكتب قاعدة يُمكِن استعمالها لتحديد مجموع رواتب سفيان الشهرية خلال السنة (n). 
b) كم دينارًا سيبلغ مجموع رواتب سفيان الشهرية خلال العام الخامس؟
c) إذا استمر سفيان في العمل بهذه الشركة 10 سنوات، فما مجموع رواتبه الشهرية في السنوات العشر؟

الحل : 

النسبة % 3.5 =  0.035  ، إذن الزيادة بعد العام الأول  =  0.035 $\times$ 4500 = 157.5  

$\Leftarrow$ مجموع الرواتب بعد الزيادة  =   4500 + 157.5  = 4657.5

إذن : الحد الأول في المتتالية  : 4500  ،  الحد الثاني : 4657.5 

بقسمة الحد الثاني على الحد الأول  ينتج  1.035  ، إذن  :  r = 0.035

a) $a_1 = 4500 , r = 1.035$     $\Leftarrow$ $a_n = 4500 {(1.035)}^{n-1}$

 

b) $a_5 = 4500 {(1.035)}^{5-1} \approx 5163.85$

 

c) $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{4500 (1 -{(0.035)}^{10}){ }^{ }}{1 -0.035 } =42791.26922 \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

 

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي هندسية أم لا : 

1)  3 , -6 , 12 , -24, ...	$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } 2 , 6 , 18 , 54 , ...$
3) 20 , 24 , 28.8 , ...	4) -2 , 1 , 4 , 7 , ...
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ } 0.04 , 0.2 , 1 , ...\mathbf{ }$.	6) 100 , 90 , 81 , ...

 

الحل : 

1) $\frac{- 6 }{ 3 } = -2 , \frac{12}{- 6 }= -2 , \frac{-24}{ 12 } = -2$	متتالية هندسية  r = - 2
$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{6}{2} = 3 , \frac{18}{6}= 3 , \frac{54}{18} = 3$	متتالية هندسية  r = 3
$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{24}{20}= \frac{6}{5} , \frac{28}{24}= \frac{7}{6}$	ليست هندسية
$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} , \frac{4}{1} = 4$	ليست هندسية
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{0.2}{0.04} = 5 , \frac{1}{0.2} = 5$	متتالية هندسية  r = 5
$\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{90}{100}= \frac{9}{10} , \frac{81}{90}= \frac{9}{10}$	متتالية هندسية  r = 0.9

 

---

 

أجد الحد العام لكل متتالية هندسية ممّا يأتي :

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }4 , - 8 , 16 , - 32 , ...$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }0.005 , 0.01 , 0.02 , ...$
$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }20 , 22 , 24.2 , 26.62 , ...$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{8} , ...$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_4 = 108 , r =3$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_7= -78125 , r = - 5$

الحل : 

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }0.005 , 0.01 , 0.02 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 0.005 \left(2\right){ }^{n-1} \end{gathered}$$	$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }4 , - 8 , 16 , - 32 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 4 (-2){ }^{n-1} \end{gathered}$$
$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{8} , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= (0.5){ }^{n-1} \end{gathered}$$	$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }20 , 22 , 24.2 , 26.62 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 20 (1.1){ }^{n-1} \end{gathered}$$
$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_7= -78125 , r = - 5$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_7= a_1 (-5){ }^{7-1} \\ -78125 = a_1 {(-5)}^6 \\ -78125 = a_1 \times 15625 \Rightarrow a_1=-5 \end{gathered}$$ الان التعويض     $a_1 = -5 , r = -5$ في صيغة الحد العام  $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \end{gathered}$$	$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{a}_4 = 108 , r =3$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_4= a_1 \left(3\right){ }^{4-1} \\ 108 = a_1 {\left(3\right)}^3 \\ 108 = a_1\times 27 \Rightarrow a_1 = 4 \end{gathered}$$ الان التعويض $a_1 = 4 , r = 3$  في صيغة الحد العام    $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أجد مجموع كلٍّ من المتسلسلات الهندسية الآتية : 

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{6}3{\left(2\right)}^{k-1}$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^5\frac{3}{2}{\left(4\right)}^{k-1}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^4{\mathbf{\left(}\frac{3}{2}\mathbf{\right)}}^{k-1}\mathbf{ }$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{4}5{(0.1)}^{k-1}$
$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{5}7{\left(7\right)}^{k-1}$	$\mathbf{18}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{99}{(-1)}^{k-1}$

 

 الحل : 

أعوض      $a_1\underset{ }{\overset{ }{ = }}3 , r = 2$ ، n = 6 في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k\underset{ }{\overset{ }{ = }}3{\left(2\right)}^{k-1}$ $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{3 (1 -2^6)}{1 - {\displaystyle 2}} = \mathbf{ }\mathbf{189} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	13)
أعوض $n = 5 , a_1 = 1.5 , r = 4$ في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k =\underset{ }{\overset{ }{ }}\frac{3}{2}{\left(4\right)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 1.5 (1 -4^5)}{1 - {\displaystyle 4}} = \mathbf{ }\mathbf{511}\mathbf{.}\mathbf{5} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	14)
أعوض  $n = 4 , a_1 = 1 , r = 1.5$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= {(1.5)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 1 (1 -1.5^4)}{1 - {\displaystyle 1.5}} = \mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{125} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	15)
أعوض $n = 4 , a_1 = 5 , r = 0.1$ في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= 5{(0.1)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 5 (1 -0.1^4)}{1 - {\displaystyle 0.1}} = \mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{555} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	16)
أعوض  $n =5 , a_1 =7 , r = 7$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k = 7{\left(7\right)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 7 (1 -7^5{ }^{ })}{1 - {\displaystyle 7}} = \mathbf{19607} \end{gathered}$$	17)
أعوض $n =99 , a_1 = 1 , r = -1$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= {(-1)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 1 (1 -{(-1)}^{99} { }^{ })}{1 - {\displaystyle (-1)}} = \frac{2}{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1} \end{gathered}$$	18)

 

---

 

19) حواسيب : اشترت شروق حاسوبًا، واتفقت مع البائع على أنْ تدفع من ثمنه JD 100 في الشهر الأول ، ثم تدفع في بقية الشهور ما نسبته % 80 من قيمة دُفعة
الشهر السابق مدَّة عام كامل. كم دينارًا سعر الحاسوب؟

الحل : 

الحد الأول = 100  ، الحد الثاني $\frac{80}{100}\times 100 = 80$  $\Leftarrow$ r = 0.8 

$a_1 = 100 , r = 0.8 , n = 12$

                                  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 100 (1 -{(0.8)}^{12} { }^{ })}{1 -0.8 {\displaystyle }} \approx \mathbf{465}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{ } \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

إذن سعر الحاسوب = مجموع ما دفعته في  12 شهر  =  465.6 دينار تقريبًا . 

---

 

استعان خالد بموقع تعليمي في شبكة الإنترنت لقياس مستوى المعرفة لديه ، فبدأ بحَلِّ خمسة أسئلة ضمن وقت مُحدَّد لينتقل إلى المرحلة التالية. إذا كان عدد الأسئلة في كل مرحلة تالية مثلي عدد الأسئلة في المرحلة السابقة، فأُجيب عمّا يأتي :

20) أكتب صيغة تُمثِّل عدد الأسئلة بعد n مرحلة.  

الحل : 

المتتالية  : $5 , 10 , 20 , ...$   

إذن : $a_1 = 5 , r = 2$

$$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \end{gathered}$$ 

21) أجد مجموع عدد الأسئلة إذا اجتاز خالد أربع مراحل فقط.

الحل : 

$$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_n = \frac{ 5 (1 -{\left(2\right)}^4 { }^{ })}{1 -2{\displaystyle }} = \mathbf{75} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

22) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم : ورقة مقاسها A4 ، وسُمْكها 0.1 mm ، طُوِيت من المنتصف ، فتضاعف سُمْكها. بافتراض أنَّه يُمكِن طيُّ هذه الورقة 15 مرَّة، أجد السُّمْك الناتج.

الحل : 

تضاعف السُّمك أي يُضرب السُّمك في العدد 2  ، إذن المتتالية  :  $0.1 , 0.2 , 0.4 , ....$

السُّمك الناتج من طي الورقة 15 مرة = قيمة الحد الخامس عشر 

$a_1 = 0.1 , r = 2 , n= 15$

$$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_{15}= 0.1 \left(2\right){ }^{15-1} \\ {a}_{15}= 0.1 {\left(2\right)}^{14} =\mathbf{ }\mathbf{1638}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{m} \end{gathered}$$

 

---

أسئلة مهارات التفكير العليا 

23) تبرير : أُبيِّن لماذا تُعَدُّ المتسلسلة : $\sum _{k=1}^{\infty } C$ هندسية ، حيث c عدد حقيقي لا يساوي صفرًا  ، أبرر أجابتي .

الحل : 

$\sum _{k=1}^{\infty } C = c + c + c + ...$

الأساس  = $r = \frac{c}{c} = 1$  (النسبة ثابتة بين كل حد والحد السابق له ، إذن المتسلسلة هندسية . 

---

24) تحدٍّ: إذا كان الحد الأول لمتسلسلة هندسية x، وأساسها 3x ، ومجموع أول ثلاثة حدود فيها 86 ، فما قيمة x ؟ 

الحل : 

الحد الأول :	$a_1 = x$
نجد الحد الثاني :	$a_2 = a_1 \times 3x = 3x^2$
نجد الحد الثالث :	$a_3 = a_2 \times 3x = 9x^3$
ناتج جمع الحدود الثلاثة = 86  بالتحليل ينتج عبارة تربيعية أولية وعبارة خطية x - 2 ، وبحل المعادلة ينتج x = 2	$x +3x^2 + 9x^3 = 86$  $$\begin{gathered} x +3x^2 + 9x^3 - 86 = 0 \\ (x-2)(9x^2+21x + 43) = 0 \\ \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{gathered}$$

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

25) تحدٍّ: أجد الحد العام للمتتالية الهندسية التي فيها  $a_2 = 12 , a_5 = - 768$ 

الحل : 

تعويض $a_2 = 12$ في الحد العام للمتتالية الهندسية	$$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_2 = a_1 r{ }^{2-1} \\ 12 = a_1 r .... \left(1\right) \end{gathered}$$
تعويض$a_5 = - 768$ في الحد العام للمتتالية الهندسية	$$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_5 = a_1 r{ }^{5-1} \\ -768 = a_1 r^4 .... \left(2\right) \end{gathered}$$
قسمة المعادلة 2 على المعادلة 1  نجد قيمة r  ، ثم تعويض  r = - 4  في أحد المعادلتين لنجد قيمة $a_1 = -3$	$$\begin{gathered} r^3 = - 64 \\ \Rightarrow r = - 4 \\ \Rightarrow a_1 = - 3 \end{gathered}$$
تعويض $a_1 = -3 , r = -4$ في صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية	$$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26) تحدٍّ : أُثبِت أنَّ مجموع أول n حدًّا من متسلسلة هندسية يُعطى بالصيغة الآتية : 

                                                                                                                                    $S_n = \frac{a_{1(1- r{ }^n)}}{1- r}$

الحل : 

           $S_n = a + ar + a{r}^2 + ... +a{r}^{n-1}$                 تعريف المتسلسلة الهندسية 

  $- r S_n = -r a + -a{r}^2 - a{r}^3- ...- a{r}^{n }$       بضرب المعادلة في r -    

                               $S_n- r S_n = a - a r_n$                بجمع المعادلتين 

                          $S_n(1- r ) = a (1-r{ }^n)$                إخراج عامل مشترك     

                                        $S_n = \frac{a (1-r{ }^n) }{(1-r) }$              قسمة طرفي المعادلة على $(1 - r)$          

 

---

    

 

أسئلة كتاب التمارين

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي هندسية أم لا : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }2 , -8 , 32 , -128 , ...$	$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }-5 , -2.5 , -1.25 , -0.625 , ...$
$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }44 , 8.8 , 1.76 , 0.352 , ...$	$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }3 , 15 , 75 , 375 , ...$
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }0.008 , 0.032 , 0.128 , 0.512 , ...$	$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }90 , 9 , 0.9 , 0.009 , ...$

الحل : 

هندسية r = - 4	$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }2 , -8 , 32 , -128 , ... \\ -\frac{ 8}{2} = -4 , -\frac{ 32}{8} = -4 , -\frac{ 128}{32} = -4 \end{gathered}$$
هندسية r = 0.5	$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }-5 , -2.5 , -1.25 , -0.625 , ... \\ \frac{- 2.5}{- 5}= \frac{1}{2} , \frac{- 1.25}{- 2.5}= \frac{1}{2} , \frac{-0.625}{- 1.25}= \frac{1}{2} \end{gathered}$$
هندسية r = 0.2	$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }44 , 8.8 , 1.76 , 0.352 , ... \\ \frac{8.8}{44}= 0.2 , \frac{1.76}{8.8}= 0.2 , \frac{0.352}{1.76}= 0.2 \end{gathered}$$
هندسية r = 5	$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }3 , 15 , 75 , 375 , ... \\ \frac{15}{3}= 5 , \frac{75}{15}= 5 , \frac{375}{75} = 5 \end{gathered}$$
هندسية r = 4	$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }0.008 , 0.032 , 0.128 , 0.512 , ... \\ \frac{0.032}{0.008} =4 , \frac{0.128}{0.032} =4 , \frac{0.512}{0.128} =4 \end{gathered}$$
ليست هندسية	$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }90 , 9 , 0.9 , 0.009 , ... \\ \frac{9}{90}= 0.1 , \frac{0.9}{9}= 0.1 , \frac{0.009}{0.9}= 0.01 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أجد الحد النوني لكل متتالية هندسية ممّا يأتي : 

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }6 , -12 , 24 , -48 , ...$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }88 , 44 , 22 , 11 , ...$
$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }10 , 30 , 90 , 270 , ...$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{5}{4} , \frac{5}{2} , 5 , 10 , ...$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }{a}_5 = 81 , r = 3$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }{a}_9 = -1536 , r =-2$

 

الحل : 

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }6 , -12 , 24 , -48 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 6 (-2){ }^{n-1} \end{gathered}$$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }88 , 44 , 22 , 11 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 88 (0.5){ }^{n-1} \end{gathered}$$
$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }10 , 30 , 90 , 270 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= 10 \left(3\right){ }^{n-1} \end{gathered}$$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{5}{4} , \frac{5}{2} , 5 , 10 , ...$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_n= \frac{5}{4} \left(2\right){ }^{n-1} \end{gathered}$$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }{a}_5 = 81 , r = 3$ $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_5= a_1 \left(3\right){ }^{5-1} \\ 81 = a_1 {\left(3\right)}^4 \\ 81 = a_1\times 81 \Rightarrow a_1 = 1 \end{gathered}$$ الآن تعويض  $a_1= 1 , r = 3$    قي صيغة الحد العام  $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \end{gathered}$$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }{a}_9 = -1536 , r =-2$  $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {a}_9= a_1 (-2){ }^{9-1} \\ -1536 = a_1 {(-2)}^8 \\ -1536 = a_1\times 256 \Rightarrow a_1 = -6 \end{gathered}$$ الآن تعويض $a_1= -6 , r = -2$ قي صيغة الحد العام  $$\begin{gathered} a_n= a_1 r{ }^{n-1} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}{\mathbf{ }}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أجد مجموع كلٍّ من المتسلسلات الهندسية الآتية :

$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{18}2{\left(4\right)}^{k-1}$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1 }^{17}\frac{3}{5}{\left(2\right)}^{k-1}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{k=1}{\overset{20}{\sum }}{\left(\frac{7}{2}\right)}^{k-1}$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{9}3{(0.3)}^{k-1}$
$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{15}5{\left(6\right)}^{k-1}$	$\mathbf{18}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{12}{(0.1)}^{k-1}{ }^{ }$

 

الحل : 

أعوض  $n =18 , a_1 = 2 , r = 4$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k\underset{ }{\overset{ }{ = }}2{\left(4\right)}^{k-1}$ $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_{18} = \frac{ 2 (1 -4^{18}{ }^{ })}{1 - {\displaystyle 4}} \approx \mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{58}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	13)
أعوض $n =17 , a_1 = 0.6 , r = 2$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= 0.6 {\left(2\right)}^{k-1}$ $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_{17} = \frac{ 0.6 (1 -2^{17}) }{1 - {\displaystyle 2}} =\mathbf{ }\mathbf{78642}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{ } \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	14)
أعوض  $n =20 , a_1 = 1 , r = 3.5$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= {(3.5)}^{k-1}$ $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_{20} = \frac{1 (1 -{(3.5)}^{20}) }{1 - {\displaystyle 3.5}} =\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	15)
أعوض $n =9 , a_1 = 3 , r = 0.3$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= 3 {(0.3)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_9 = \frac{3 (1 -{(0.3)}^9) }{1 - {\displaystyle 0.3}} \approx \mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{3} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	16)
أعوض $n =15 , a_1 = 5 , r = 6$  في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= 5 {\left(6\right)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_{15} = \frac{5 (1 -{\left(6\right)}^{15}) }{1 - {\displaystyle 6}} \approx \mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	17)
أعوض $n =12 , a_1 = 1 , r = 0.1$    في صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية	$a_k= {(0.1)}^{k-1}$  $$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_{12} = \frac{1 (1 -{(0.1)}^{12}) }{1 - {\displaystyle 0.1}} =\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{111111111}\mathbf{ } \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$	18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19) علوم : بدأت ليلى تجربتها في مختبر العلوم باستعمال 600 خلية بكتيرية. وقد لاحظت أنَّ عدد الخلايا البكتيرية يتزايد
بنسبة ثابتة مقدارها % 135 كل ساعة. أجد عدد هذه الخلايا بعد 4 ساعات.

الحل : 

$a_1 = 600 , r = 1.35 , n = 4$

$$\begin{gathered} S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r} \\ {S}_4 = \frac{600 (1 -{(1.35)}^4) }{1 - {\displaystyle 1.35}} \approx \mathbf{ }\mathbf{3930} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$