رياضيات أدبي فصل ثاني

الأول ثانوي أدبي

icon

المتتاليات والمتسلسلات

Sequences and Series

فكرة الدرس : تعرُّف المتسلسلة المنتهية ، وإيجاد

مجموعها.

المتتالية : هي مجموعة من الأعداد تتبع ترتيبًا مُعيّنًا ، وأنّ كل عدد فيها يُسمى حدًا.

تكون المتتالية منتهية إذا حوت عددًا منتهيًا من الحدود ، وتكون غير منتهية إذا حوت  عددًا لانهائيًا من الحدود.

• متتالية منتهية ، مثل :  3 , 7 , 11 , 15 

• متتالية غير منتهية ، مثل : 3 , 7 , 11 , 15 , ....

تُعدّ المتتالية اقترانًا مجاله مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، أو مجموعة جزئية منها، ومداه مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ إذ يرتبط كل عدد صحيح في المجال   بعدد حقيقي في المدى ، هو أحد حدود المتتالية.

عند وضع إشارات جمع  (+) بين حدود المتتالية بدلًا من الفواصل ، فإنَّها تُسمّى متسلسلة (series).

وكما هو حال المتتالية ، فإنَّ المتسلسلة تكون منتهية إذا حوت عددًا منتهيًا من الحدود، وتكون غير منتهية إذا حوت عددًا لانهائيًّا من الحدود.

• متسلسلة منتهية ، مثل : 3 + 6 + 9 +12  

• متسلسلة غير منتهية ، مثل : 3 + 6 + 9 +12 +....  

يُمكِن التعبير عن المتسلسلة بطريقة مختصرة باستعمال رمز المجموع (   ) (sigma notation)
على النحو الآتي :

                                              

فمثلًا ، يُمكِن التعبير عن المتسلسلتين السابقتين باستعمال رمز المجموع    ( يُقرَأ : سيغما )
كما يأتي :

           k=1k=43k = 3+6+9+12                                  k=13k = 3+6+9+12+...                                                                              


مثال : 

أكتب كل متسلسلة ممّا يأتي باستخدام رمز المجموع : 

1)  4 + 8 + 12 + ... + 32

الحل : 

أُلاحظ أنّ الحد الأول يساوي ( 1) 4 ،  وأنّ الحد الثاني يساوي ( 2) 4 ، وأنّ الحد الثالث يساوي ( 3) 4، وأنّ الحد الأخير يساوي ( 8) 4.

إذن ، يُمكن كتابة حدود المتتالية على النحو الآتي : 

   ak = 4k                        k =1 , 2 , 3 , ... , 8     

بناءً على ذلك، أكتب المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : 

k=1k=8(4k)                                                                                                                            


2)  2 + 5 + 8 + 11 + ...

الحل : 

أُلاحظ أنّ الحد الأول يساوي  1 - ( 1) 3 ،  وأنّ الحد الثاني يساوي 1 - ( 2) 3 ، وأنّ الحد الثالث يساوي 1 - ( 3) 3    

إذن ، يُمكن كتابة حدود المتتالية على النحو الآتي : 

k=1(3k - 1)                                                                                                                            


يُمكن إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية بجمع حدودها. فمثلًا  ، إذا كُتبت المتسلسلة باستخدام رمز المجموع ، فإنَّني أستخدم الحد العام لإيجاد حدودها، ثم جمعها.

مثال : 

أجد مجموع المتسلسلة : k=1k=5(2k -1)

الحل : 

اعوض القيم : k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5  في الحد العام للمتسلسلة ، وهو  : ak= 2k - 1

k       1        2        3        4        5 ak     1        3        5        7        9   

إذن، مجموع المتسلسلة هو : 

حدود المتسلسلة  k=1k=5(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
المجموع                                   = 25  

 

 

 

 


إذا كان في المتسلسلة عدد كبير من الحدود، فإنّ إيجاد مجموعها لن يكون سهلًا . ولكنْ توجد قواعد يُمكِن استعمالها لإيجاد مجموع بعض المتسلسلات الخاصة على نحوٍ سهل كما يأتي.

مفهوم أساسي (صيغ لمجموع حالات خاصة من المتسلسلات) 

مجموع الحد الثابت ( c) إلى نفسه ( n) من المرّات.                                      k=1n c = n × c

مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .                                   k=1nK = n(n+1)2

مجموع مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .    k=1n K2 = n(n+1)(2n+1)6


مثال : 

أجد مجموع كل من المتسلسلات الآتية :

 1) 1) k=1204                                     2)k=114k                                  3)   k2k=1     10      

 

الحل : 

مجموع الحد الثابت ( c) إلى نفسه ( n) من المرّات.  1) k=1204  = 20 × 4  = 80   
   
مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .    2)  k=114k   =14(14+1)2  =2102   =55                          
   
مجموع مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) . 3) k=110k2 =10(10+1)(20+1)6 = 23106 = 385