رياضيات فصل أول

حلول أسئلة درس المتتاليات والمتسلسلات

أتحقق من فهمي صفحة 33

أكتب كل متسلسلة ممّا يأتي باستعمال رمز المجموع:

$\mathit{a}\mathbf{)} 7+10+13+16+\dots +25$

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }1-2+3-4+\dots$

الحل:

a) $7+10+13+16+\cdots ..+25=\sum _{k=1}^7(3k+4)$

b) $1-2+3-4+\cdots \dots =\sum _{k=1}^{\infty }k{(-1)}^{k+1}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 33

أجد مجموع كل متسلسلة ممّا يأتي:

$\mathit{b}\mathbf{)}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }} {(k+1)}^2$

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{7}{\Sigma }} \frac{5k-2}{2}$

الحل:

a) $\sum _{k=1}^7\frac{5k-2}{2}=63$

b) $\sum _{k=1}^5(k+1{)}^2=90$

---

أتحقق من فهمي صفحة 35

أجد مجموع كل متسلسلة ممّا يأتي:

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{10}{\Sigma }} 3k^2$

$\mathit{b}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{20}{\Sigma }} (7k-2)$

$\mathit{c}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }} (-4k^3)$

الحل:

a) $\sum _{k=1}^{10}3k^2=1155$

b) $\sum _{k=1}^{20}(7k-2)=1430$

c) $\sum _{k=1}^5-4k^3=-900$

---

أتحقق من فهمي صفحة 37

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي حسابية أم لا:

a) 7, 4, 1, -2, …

b) 0, 6, 13, 19, …

الحل:

a) متتالية حسابية اساسها $-3$.

b) ليست حسابية.

---

أتحقق من فهمي صفحة 39

أجد الحدَّ العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي، ثم أجد الحدَّ الخامس عشر منها:

a) 1, -2, -5, ….

b) a10 = -11, d = 2

c) a7 = 71, a16 = 26

الحل:

a) $a_n=-3n+4 , a_{15}=-41$

b) $a_n=2n-31 , a_{15}=-1$

c) $26=a_1+15d , 71=a_1+6d$

$a_1=101 , d=-5$

$a_n=-5n+106 , a_{15}=31$

---

أتحقق من فهمي صفحة 41

a) أجد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية: $159 +\dots + 23 + 15 + 7$
b) أجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية: $\dots + 2 + 5 + 8$

الحل:

a) $159=7+8(n-1) \to n=20$

$S_{10}=\frac{20}{2}(7+159)=1660$

b) $d=5-8=-3$

$S_{17}=\frac{17}{2}\left(2\right(8)+16\times -3)=-272$

---

أتحقق من فهمي صفحة 43

اقتصاد: ضمن خطة إحدى المؤسسات الخيرية لزيادة التوعية بالأضرار الاقتصادية للتدخين، أنفقت المؤسسة JD 300 في السنة الأولى على حملات التوعية، وخطّطت لزيادة إنفاقها السنوي على هذه الحملات بنحو JD 400 سنويًّا على مدار 10 أعوام: a) أُبيِّن أنَّ إنفاق الجمعية السنوي يُمثِّل متتالية حسابية. b) أجد الحدَّ العام للمتتالية الحسابية. c) ما قيمة المبلغ الذي سوف تُنفِقه المؤسسة في آخر عام من الخطة؟ d) أجد مجموع ما سوف تُنفِقه المؤسسة في 10 أعوام.

الحل:

a) بما أن الزيادة السنوية ثابتة وتساوي 400 ، فأن انفاق الجمعية السنوي يشكل متتالية حسابية أساسها 400 

b) $a_n=400n-100$

c) $a_{10}=3900$

d) $S_{10}=\frac{10}{2}(300+3900)=21000$

---

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل (صفحة 43)
أكتب كل متسلسلة ممّا يأتي باستعمال رمز المجموع:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1+4+9+ \dots ..+100$	$\mathbf{2}\mathbf{)} 2+4+6+ \dots .+20$
$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+ \cdots +\frac{13}{14}$	$\mathbf{4}\mathbf{)}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\cdots +\frac{64}{729}$

الحل:

$\mathbf{2}\mathbf{)}\sum _{k=1}^{10}2k$	$\mathbf{1}\mathbf{)}\sum _{k=1}^{10}{k}^2$
$\mathbf{4}\mathbf{)}\sum _{k=1}^6{\left(\frac{-2}{3}\right)}^k$	$\mathbf{3}\mathbf{)}\sum _{k=1}^{13}\frac{k}{k+1}$

---

أجد مجموع كل متسلسلة ممّا يأتي:

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{n=1}{\overset{2}{\Sigma }} \frac{1}{3^n+1}$	$\mathbf{6}\mathbf{)} \underset{n=1}{\overset{4}{\Sigma }}\frac{ n^2+1}{n+1}$	$\mathbf{5}\mathbf{)} \underset{n=1}{\overset{6}{\Sigma }} {(-2)}^n$
$\mathbf{10}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{20}{\Sigma }}(k^3-1)$	$\mathbf{9}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{9}{\Sigma }}(12k-24)$	$\mathbf{8}\mathbf{)} \underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}\frac{ k^2}{2}$

الحل:

$\mathbf{5}\mathbf{)}\sum _{n=1}^6{(-2)}^n=42$	$\mathbf{6}\mathbf{)}\sum _{n=1}^4\frac{n^2+1}{n+1}=\frac{257}{30}$	$\mathbf{7}\mathbf{)}\sum _{n=1}^2\frac{1}{3^n+1}=\frac{7}{20}$
$\mathbf{8}\mathbf{)}\sum _{k=1}^6\frac{k^2}{2}=\frac{91}{2}$	$\mathbf{9}\mathbf{\left)}\sum _{k=1}^9\right(12k-24)=324$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{20}(k^3-1)=44080$

---

أُحدِّد إذا كانت كل متتالية ممّا يأتي حسابية أم لا:

$\mathbf{13}\mathbf{)} 3, 5, 9, 15, 23, \dots$

$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }12, 6, 0, -6, -12, \dots .$

$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }10, 11, 14, 15, 18, 19, \dots$

الحل:

11) ليست حسابية.

12) حسابية أساسها $-6$.

13) ليست حسابية.

---

أجد الحدَّ العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي، ثم أجد الحدَّ الثلاثين منها:

$\mathbf{14}\mathbf{)} 25, 58, 91, 124, \dots$	$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }-1, - \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , 1, \dots .$
$\mathbf{16}\mathbf{)} a_{17} = -5, d=-\frac{1}{2}$	$\mathbf{17}\mathbf{)} a_5 = 58, a_{12} = 30$

الحل:

$\mathbf{14}\mathbf{)} a_n=33n-8 \to a_{30}=982$	$\mathbf{15}\mathbf{)} a_n=\frac{2}{3}n-\frac{5}{3} \to a_{30}=\frac{55}{3}$
$\mathbf{16}\mathbf{)} a_n=-\frac{1}{2}n+\frac{7}{2} \to a_{30}=-\frac{23}{2}$	$\mathbf{17}\mathbf{)} 30=a_1+11d,58=a_1+4d$
	$a_1=74 , d=-4$ $a_n=-4n+78 \to a_{30}=-42$

---

أجد مجموع المتسلسلات الحسابية الآتية:

$\mathbf{18}\mathbf{)} 1 + 5 + 9 + \dots + 401$

$\mathbf{19}\mathbf{)} 0.7 + 2.7 + 4.7 + \dots + 56.7$

$\mathbf{20}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{n=1}{\overset{80}{\Sigma }}(2n - 2)$

الحل:

$\mathbf{20}\mathbf{)} a_1=0,a_{8}0=158 , S_{80}=\frac{80}{2}(0+158)=6320$

$$\begin{gathered} \mathbf{19}\mathbf{)} 56.7=0.7+2(n-1)\to n=29 \\ {S}_{29}=\frac{29}{2}(0.7+56.7)=832.3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{18}\mathbf{)} 401=1+4(n-1)\to n=101 \\ S_{101}=\frac{101}{2}(1+401)=20301 \end{gathered}$$

---

21) رياضة: يمارس هيثم تمارين الضغط بانتظام، وقد استطاع أداء 25 ضغطة بصورة مستمرة في الأسبوع الأول، ثم تمكَّن من زيادة عددها أسبوعيًّا بمقدار 5 ضغطات على نحوٍ مستمر. ما عدد الضغطات التي يُمكِنه أداؤها بشكل مستمر في الأسبوع السادس عشر؟ الحل: 100 ضغطة.

 

22) متسلسلة حسابية منتهية، حدُّها الأول 10 ، وأساسها 4، ومجموع حدودها 792 ، ما عدد حدود هذه المتسلسلة؟

الحل:

$792=\frac{n}{2}\left(2\right(10)+(n-1)\times 4)\to n^2+4n-396=0$

$\to (n-18)(n+22)=0 \to n=18$

---

23) إذا كان مجموع أول n حدًّا من حدود متسلسلة حسابية هو n^₂ + 4n ، فأجد حدَّها المئة.

الحل:

$$\begin{gathered} S_n=n^2+4n \\ {S}_1=5\to a_1=5 \\ {S}_2=12\to a_2=12-5=7 \\ d=7-5=2 \\ {a}_n=2n+3 , a_{100}=203 \end{gathered}$$

---

يُبيِّن الشكل المجاور نمطًا هندسيًّا يُمثِّل عدد النقاط في نماذجه متتالية:

24) أُبيِّن أنَّ عدد النقاط في النماذج يُمثِّل متتالية حسابية.
25) أجد الحدَّ العام للمتتالية الحسابية.
26) هل يوجد نموذج يحوي 397 نقطة؟ أُبرِّر إجابتي.

الحل:

24) $1,5,9$

نلاحظ ان الفرق بين كل حدين متتابعين ثابت ، وأنه يساوي 4 ، أي أنّ المتتالية حسابية أساسها 4 

25) $a_n=4n-3$

26) $397=4n-3 \to n=100$

بما أن n عدد صحيح موجب ، اذن يوجد نموذج يحوي 397 نقطة.

---

متسلسلة حسابية، حدُّها الأول a، وأساسها d، ومجموع حدودها الثلاثين الأولى يساوي ضعف مجموع حدودها العشرين الأولى:
27) أُثبِت أنَّ $a=\frac{11d}{2}$
28) إذا كان مجموع الحدود الثلاثين الأولى هو 400 ، فأجد قيمتي a و .d

الحل:

27) $S_{30}=2S_{20}$

$\frac{30}{2}(2a+29d)=2\times \frac{20}{2}(2a+19d)$

$a=\frac{11}{2} d$

28) $400=\frac{30}{2} (2a+29\times \frac{2}{11} a)$

$a=\frac{11}{3} ,d=\frac{2}{3}$

---

29) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

الحل:

$19$

 

---

مهارات التفكير العليا
30) تبرير: هل للمتسلسلتين: 9 + 7 + 5 + 3 + 1 و 1 + 3 + 5 + 7 + 9 المجموع نفسه؟ هل يُمكِن التعبير عنهما بالطريقة نفسها باستعمال رمز المجموع؟ أُبرِّر إجابتي.

الحل:

لهما المجموع نفسه لأن الجمع عملية تبديلية .
اما عند كتابتهما بصيغة المجموع فيكتبان بطريقتين مختلفتين لأنه يجب مراعاة ترتيب الحدود .

$1+3+5+7+9=\sum _{k=1}^5(2k-1)$

$9+7+5+3+1=\underset{k=1}{\overset{5}{\sum (}}11-2k)$

---

31) أكتشف الخطأ: أوجدت ولاء مجموع المتسلسلة: $\sum _{k=1}^5(2k+7)$ على النحو الآتي:

أكتشف الخطأ في حَلِّ ولاء، ثم أُصحِّحه.

الحل:

$\sum _{k=1}^5(2k+7)=\left(2\right(1)+7)+\left(2\right(2)+7)+\left(2\right(3)+7)+\left(2\right(4)+7)+\left(2\right(5)+7)$

---

32) تحدٍّ: إذا كانت $3, a -b, 3a – 4b, 2a + 2b$ تُمثِّل الحدود الأربعة الأولى من متسلسلة حسابية، حيث
a و b ثابتان، فأجد مجموع أول 25 حدًّا من المتسلسلة.

الحل:

$3,a-b,3a-4b,2a+2b$

$(a-b)-3=3a-4b-(a-b)\to a-2b=-3$

$(2a+2b)-(3a-4b)=(3a-4b)-(a-b)\to 3a-9b=0\to a=3b$

$b=-3,a=-9$

$3,-6,-15,-24$

$a_1=3,d=-9$

$S_{25}=\frac{25}{2}\left(2\right(3)-(24)\times -9)=-2625$

---

كتاب التمارين.

أكتب كُلًًّّا ممّا يأتي من دون استعمال رمز المجموع:

1) $\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }} \sqrt{k}$

2) $\underset{k=1}{\overset{9}{\Sigma }} k(k+3)$

3) $\underset{k=1}{\overset{4}{\Sigma }} \frac{2k - 1}{2k + 1}$

الحل:

1) $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}$

2) $4+10+18+28+40+54+70+88+108$

3) $\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+\frac{7}{9}$

---

أعتمد الشكل المجاور الذي يُمثِّل نمطًا هندسيًّا، وأُجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعًا: 4) أكتب الحد العام للمتتالية التي تُمثِّل عدد المربعات المظلَّلة في كل شكل. 5) أكتب باستعمال رمز المجموع متسلسلة يُمثِّل مجموعها عدد المربعات المظلَّلة في أول عشرين شكلًًا من هذا النمط، ثم أجد مجموع المتسلسلة. 6) إذا كان طول ضلع كل مربع مظلَّل هو وحدة واحدة، فأجد الحد العام للمتتالية التي تُمثِّل مساحة المربعات البيضاء وسط كل شكل.

الحل:

4) $a_n=4n$

5) $\sum _{k=1}^{20}4k=840$

6) $a_n=(n-1{)}^2$

---

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية ممّا يأتي، ثم أجد الحد العشرين منها:

7) $a_6 =-8 , a_{15}=-62$

8) $a_{11}= 43, d = 5$

9) $25, 26.5, 28, 29.5, ...$

الحل:

7) $a_n=-6n+28 , a_{20}=-92$

8) $a_n=5n-12 , a_{20}=88$

9) $a_n=1.5n+23.5 , a_{20}=53.5$

---

أجد المجاميع الجزئية لكلٍّ من المتسلسلات الحسابية الآتية:
10) الحدود العشرة الأولى من مضاعفات العدد 6
11) أول 100 عدد فردي من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

الحل:

10) $S_{10}=330$

11) $2500$

---