المتسلسلات الهندسية اللانهائية
Infinite Geometric Series
فكرة الدرس : إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة.
أولًا : المجاميع الجزئية للمتسلسلة الهندسية الانهائية
المتسلسلة الهندسية اللانهائية : هي متسلسلة تحوي عددًا لانهائيًّا من الحدود، ويُسمّى مجموع أول n حدًّا من حدود هذه المتسلسلة مجموعًا جزئيًّا ويُرمَز إليه بالرمز () ، وقد يقترب هذا المجموع من قيمة مُحدَّدة.
مثال :
أجد المجاميع الجزئية للقيم : ، لكل متسلسلة هندسية لانهائية، ثم أُمثِّلها بيانيًّا :
1)
بتمثيل الأزواج المرتبة : |
2)
بتمثيل الأزواج المرتبة :
|
ثانيًا : مجموع المتسلسلة الهندسية الانهائية المتقاربة
مفهوم أساسي :
بالكلمات : تكون المتسلسلة الهندسية اللانهائية متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها أقل من 1 ، وتكون متباعدة إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها أكبر
من أو تساوي 1
بالرموز :
إذا كانت r| <1 | ، فإنَّ المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متقاربة.
إذا كانت r| ≥1 | ، فإنَّ المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متباعدة.
•• إذا كانت المتسلسلة الهندسية اللانهائية متقاربة ، فإنه يُمكن إيجاد مجموعها باستخدام الصيغة الآتية :
صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :
أما إذا كانت المتسلسلة الهندسية الانهائية متباعدة فلا يُمكن إيجاد مجموعها .
مثال :
أُحدِّد إذا كانت المتسلسلات الهندسية اللانهائية الآتية متقاربة أم متباعدة، ثم أجد المجموع للمتقاربة منها :
الحل :
أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول :
بما أن : ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها :
صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :
بتعويض
إذن مجموع المتسلسلة = 2
الحل :
أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول :
بما أن : ، فإنَّ المتسلسلة متباعدة، ولا يُمكِن إيجاد مجموع حدودها.
الحل :
إيجاد الحد الأول بتعويض k = 1 في الحد العام للمتسلسلة :
الأساس 1 r = 0.6 ، إذن المتسلسلة متقاربة ، يُمكن إيجاد مجموعها
صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :
بتعويض
إذن مجموع المتسلسلة = 5
ثالثًا : كتابة العدد العشري الدوري في صورة كسر عادي
يُمكِن استخدام صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية لكتابة العدد العشري الدوري في صورة كسر عادي.
مثال :
أكتب العدد العشري الدوري في صورة كسر عادي.
الحل :
يُمكِن كتابة الكسر العشري الدوري على النحو الآتي :
أيْ إنَّ :
الصيغة التحليلية للكسر العشري
بإعادة كتابة الأجزاء العشرية المُتكرِّرة
بوصفها كسورًا عادية .
وهذا يُمثِّل متسلسلة لانهائية ، حدها الأول ، ويُمكِن إيجاد أساسها بقسمة الحد الثاني على الحد الأول
أيْ إنَّ أساس هذه المتسلسلة الهندسية اللانهائية هو : 0.01
بما أنَّ 1 > 0.01 = | 0.01 | ، فإنَّ هذه المتسلسلة متقاربة، ويُمكِن إيجاد مجموعها على النحو الآتي:
صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :
بتعويض
أيّ أنّ :