رياضيات أدبي فصل ثاني

الأول ثانوي أدبي

الشرح الملخص واجبات حل اسئلة الدرس النتاجات

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 82

أجد المجاميع الجزئية $S_{n}$ للقيم : $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ، لكل متسلسلة هندسية لا نهائية ، ثم أمثلها بيانيًا :

$a) \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + . . . b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . .$

الحل :

$a) \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + . . .$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, \frac{1}{3}), (2, \frac{4}{9}), (3, \frac{13}{27}), (4, \frac{40}{81}), (5, \frac{121}{243})$

S_{1} = a_{1} = \frac{1}{3} S_{2} = a_{1} + a_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{13}{27} S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{40}{81} S_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} = \frac{121}{243}

$b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . .$

تمثيل الأزواج المرتبة : $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)$

S_{1} = 2 S_{2} = 5 + 2 = 4 S_{3} = 2 + 2 + 2 = 6 S_{4} = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 S_{5} = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

أتحقق من فهمي صفحة 85

أُحدِّد إذا كانت المتسلسلات الهندسية اللانهائية الآتية متقاربة أم متباعدة، ثم أجد المجموع للمتقاربة منها :

$a) 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} + \frac{1}{216} + . . . b) 1 - 2 + 4 - 8 + . . . c) \sum_{k = 1}^{\infty} 9 {(- 0.3)}^{k - 1}$

الحل :

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\|\frac{1}{6}\| = \frac{1}{6} < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$a) 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} + \frac{1}{216} + . . .$ $\frac{1}{6} \div 1 = \frac{1}{6}$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{6}} \approx 1.2$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : $- 2 \div 1 = - 2$ ، بما أن $\|- 2\| = 2 > 1$ ، فإن المتسلسلة متباعدة ولا يمكن إيجاد مجموعها .	$b) 1 - 2 + 4 - 8 + . . .$

إيجاد الحد الأول $a_{1}$ بتعويض k = 1 في الحد العام للمتسلسلة : الأساس $r = - 0.3$ وبما أنّ $\|- 0.3\| = 0.3 < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$c) \sum_{k = 1}^{\infty} 9 {(- 0.3)}^{k - 1}$ $a_{1} = 9 {(- 0.3)}^{1 - 1} = 9$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{9}{1 - (- 0.3)} = \frac{9}{1.3} = \frac{90}{13}$

أتحقق من فهمي صفحة 86

أكتب العدد العشري الدوري $0.14$ في صورة كسر عادي.

الحل :

$0.14 = 0.141414 . . .$

$0.14 = 0.14 + 0.0014 + 0.000014 + . . .$

$0.14 = \frac{14}{100} + \frac{14}{10000} + \frac{14}{1000000} + . . .$

وهذا يُمثِّل متسلسلة لانهائية ، حدها الأول $a_{1} = \frac{14}{100}$ ، ويُمكِن إيجاد أساسها بقسمة الحد الثاني على الحد الأول $\frac{14}{10000} \div \frac{14}{100} = \frac{1}{100}$

بما أنَّ 1 > 0.01 = | 0.01 | ، فإنَّ هذه المتسلسلة متقاربة، ويُمكِن إيجاد مجموعها على النحو الآتي:

صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$

بتعويض $r = 0.01, a_{1} = 0.14$ $S_{\infty} = \frac{0.14}{1 - 0.01} = \frac{0.14}{0.99} = \frac{14}{99}$

أتحقق من فهمي صفحة 87

أراجيح : دفع هُمام أرجوحة ابنته ، فلاحظ أنَّها قطعت مسافة 2 mبين أبعد نقطتين تصلهما ، ثم قطعت في كل مرَّة تالية % 95 من المسافة التي

قطعتها في المرَّة السابقة. أجد مجموع المسافات التي قطعتها الأرجوحة حتى توقَّفت عن الحركة.

الحل :

المسافات التي قطعتها الأرجوحة يساوي مجموع المتسلسلة : $2 + 1.9 + 1.805 + . . . .$ ، وهي متسلسلة هندسية أساسها r = 0.95 ، وهي متسلسلة هندسية متقاربة يمكن إيجاد مجموعها لأن $|0.95| = 0.95 < 1$

صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{2}{1 - 0.95} = \frac{2}{0.05} = 40 m$

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجد المجاميع الجزئية $S_{n}$ لقيَم n الصحيحة ، حيث $1 \leq n \leq 6$ ، لكل من المتسلسلات الهندسية اللانهائية الآتية ، ثم أُمثّلها بيانيًّا :

$1) 24 + 12 + 6 + 3 + . . .$	$2) 2 + 8 + 32 + 128 + . . .$
$3) 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + . . .$	$4) 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + . . .$
$5) 1 - 1 + 1 - 1 + . . .$	$6) 343 + 49 + 7 + 1 + . . .$

الحل :

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = 24 {(\frac{1}{2})}^{k - 1}

1) 24 + 12 + 6 + 3 + . . .

بتمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 24), (2, 36), (3, 42), (4, 45), (5, 46.5), (6, 47.25)$

$S_{1} = 24 S_{2} = 24 + 12 = 36 S_{3} = 24 + 12 + 6 = 42 S_{4} = 24 + 12 + 6 + 3 = 45 S_{5} = 24 + 12 + 6 + 3 + \frac{3}{2} = 46.5 S_{6} = 24 + 12 + 6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = 47.25$

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = 2 {(4)}^{k - 1}

2) 2 + 8 + 32 + 128 + . . .

بتمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 2), (2, 10), (3, 42), (4, 170), (5, 682), (6, 2730)$

S_{1} = 2 S_{2} = 2 + 8 = 10 S_{3} = 2 + 8 + 32 = 42 S_{4} = 2 + 8 + 32 + 128 = 170 S_{5} = 2 + 8 + 32 + 128 + 512 = 682 S_{6} = 2 + 8 + 32 + 128 + 512 + 2048 = 2730

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{k - 1}

3) 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + . . .

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 1), (2, \frac{5}{3}), (3, \frac{19}{9}), (4, \frac{65}{27}), (5, \frac{211}{81}), (6, \frac{665}{243})$

S_{1} = 1 S_{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} S_{3} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} = \frac{19}{9} S_{4} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{65}{27} S_{5} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{16}{81} = \frac{211}{81} S_{6} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{16}{81} + \frac{32}{243} = \frac{665}{243}

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = {(\frac{3}{2})}^{k - 1}

4) 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + . . .

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 1), (2, \frac{5}{2}), (3, \frac{19}{4}), (4, \frac{65}{8}), (5, \frac{211}{16}), (6, \frac{599}{32})$

S_{1} = 1 S_{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} S_{3} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{19}{4} S_{4} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} = \frac{65}{8} S_{5} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \frac{81}{16} = \frac{211}{16} S_{6} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \frac{81}{16} + \frac{243}{32} = \frac{599}{32}

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = {(- 1)}^{k - 1}

5) 1 - 1 + 1 - 1 + . . .

تمثيل الأزواج المرتبة :

S_{1} = 1 S_{2} = 1 - 1 = 0 S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1 S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 S_{5} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 S_{6} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0

الحد العام للمتسلسلة

a_{n} = 343 {(\frac{1}{7})}^{k - 1}

6) 343 + 49 + 7 + 1 + . . .

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 343), (2, 392), (3, 399), (4, 400), (5, \frac{2801}{7}), (6, \frac{19608}{49})$

S_{1} = 343 S_{2} = 343 + 49 = 392 S_{3} = 343 + 49 + 7 = 399 S_{4} = 343 + 49 + 7 + 1 = 400 S_{5} = 343 + 49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} = \frac{2801}{7} S_{6} = 343 + 49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} = \frac{19608}{49}

أُحدِّد إذا كانت المتسلسلات الهندسية اللانهائية الآتية متقاربة أم متباعدة، ثم أجد المجموع للمتقاربة منها :

$7) 1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + . . .$	$8) 2 + \frac{7}{3} + \frac{49}{18} + \frac{343}{108} + . . .$
$9) 5 - \frac{5}{3} + \frac{5}{9} - \frac{5}{27} + . . .$	$10) 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + . . .$
$11) 192 + 48 + 12 + 3 + . . .$	$12) 1 + 0.35 + 0.1225 + 0.042875 + . . .$

الحل :

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| \frac{3}{4} \| = \frac{3}{4} < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$7) 1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + . . .$ $\frac{3}{4} \div 1 = \frac{3}{4}$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.75} = 4$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| \frac{7}{6} \| = \frac{7}{6} > 1$ ، فإن المتسلسلة متباعدة ولا يمكن إيجاد مجموعها	$8) 2 + \frac{7}{3} + \frac{49}{18} + \frac{343}{108} + . . .$ $\frac{7}{3} \div 2 = \frac{7}{6}$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| - \frac{1}{3} \| = \frac{1}{3} < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$9) 5 - \frac{5}{3} + \frac{5}{9} - \frac{5}{27} + . . .$ $- \frac{5}{3} \div 5 = - \frac{1}{3}$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = 3.75$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| \frac{1}{10} \| = \frac{1}{10} < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$10) 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + . . .$ $1 \div 10 = \frac{1}{10}$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{9}$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| \frac{1}{4} \| = \frac{1}{4} < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$11) 192 + 48 + 12 + 3 + . . .$ $48 \div 192 = \frac{1}{4}$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{192}{1 - \frac{1}{4}} = 256$

أجد قيمة الأساس r بقسمة الحد الثاني على الأول : بما أنّ $\| 0.35 \| = 0.35 < 1$ ، فإن المتسلسلة متقاربة ويُمكن إيجاد مجموعها : صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة :	$12) 1 + 0.35 + 0.1225 + 0.042875 + . . .$ $0.35 \div 1 = 0.35$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.35} = \frac{20}{13}$

أكتب كُلًّا من الأعداد العشرية الدورية الآتية في صورة كسر عادي:

$13) 0.7$	$14) 0.41$
$15) 0.4$	$16) 0.05$
$17) 0.86$	$18) 0.3$

الحل :

$13) 0.7$

$0.7 = 0.77777 . . .$

$0.7 = 0.7 + 0.07 + 0.007 + . . .$

$0.7 = \frac{7}{10} + \frac{7}{100} + \frac{7}{1000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.1 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.7, r = 0.1$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.7}{1 - 0.1} = \frac{7}{9}$

$14) 0.41 0.41 = 0.414141 . . . . 0.41 = \frac{41}{100} + \frac{41}{10000} + \frac{41}{1000000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.01 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.41, r = 0.01$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.41}{1 - 0.01} = \frac{41}{99}$

$15) 0.4 0.4 = 0.4444 . . . . 0.4 = \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.1 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.4, r = 0.1$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.4}{1 - 0.1} = \frac{4}{9}$

$16) 0.05 0.05 = 0.050505 . . . . 0.05 = \frac{5}{100} + \frac{5}{10000} + \frac{5}{1000000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.1 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.05, r = 0.01$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.05}{1 - 0.01} = \frac{5}{99}$

$17) 0.86 0.86 = 0.868686 . . . . 0.86 = \frac{86}{100} + \frac{86}{10000} + \frac{86}{1000000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.01 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.86, r = 0.01$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.86}{1 - 0.01} = \frac{86}{99}$

$18) 0.3 0.3 = 0.33333 . . . . 0.3 = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + . . .$

متسلسلة هندسية متقاربة لأن أساسها r = 0.1 أقل من 1

تعويض $a_{1} = 0.3, r = 0.1$ في صيغة مجموع المتسلسة الهندسية المتقاربة : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{1}{3}$

كرات : سقطت كرة مطّاطية من ارتفاع 20 m رأسيًّا في اتجاه أرض أفقية . وعند اصطدامها بالأرض ارتدَّت إلى أعلى مسافة تُعادل ما نسبته % 70 من الارتفاع الذي

سقطت منه في المرَّة السابقة . بافتراض أنَّ الكرة سقطت رأسيًّا ثم ارتدَّت رأسيًّا عددًا لانهائيًّا من المرّات :

19) أجد الحد العام الذي يمثل المسافات التي قطعتها الكرة عندما ارتدت عن الأرض n مرة .

الحل :

المتسلسلة : $20 + 14 + \frac{49}{5} + . . .$ ، $a_{1} = 20, r = 0.7$

الحد العام : $a_{n} = 20 {(0.7)}^{k - 1}$

20) أجد $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

الحل :

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{20}{1 - 0.7} = \frac{200}{3}$

21) مراوح : تدور مروحة بسرعة مقدارها 12 دورة في الثانية الواحدة . وعند فصل التيار الكهربائي عنها تتباطأ سرعتها بما نسبته % 75 من دوراتها في كل ثانية لاحقة.

أجد عدد الدورات التي ستدورها المروحة قبل أنْ تتوقَّف عن الدوران بصورة كلية.

الحل :

المتسلسلة : $12 + 9 + 6.75 + . . .$

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{12}{1 - 0.75} = 48$

عدد الدورات = 48 دورة .

22) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم لدى ماجد شاحن كهربائي مُتنقِّل، يستمر في الشحن مدَّة 8 ساعات إذا كان مشحونًا شحنًا كاملاً. لاحظ ماجد أنَّ الشاحن أخذ يعمل بما نسبته % 98 من

عدد ساعات الشحن في اليوم السابق له بسبب عطل فيه. كيف يُمكِن تحديد مجموع ساعات عمل هذا الشاحن قبل تعطُّله بصورة كاملة؟

الحل :

$a_{1} = 8, r = 0.98$

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{8}{1 - 0.98} = 400$

عدد الساعات = 400 ساعة .

أسئلة مهارات التفكير العليا

23) أكتشف الخطأ : أوجد سفيان قيمة : $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{5}{2})}^{n - 1}$ على النحو الآتي :

أكتشف الخطأ في حَلِّ سفيان، ثم أُصحِّحه.

الحل :

الخطأ في حل سفيان أنه لم يلاحظ أن $r = \frac{5}{2} > 1$ ، لذا : المتسلسلة متباعدة ولا يمكن إيجاد مجموعها .

24) مسألة مفتوحة : أجد متسلسلة هندسية لانهائية مجموعها 6، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

إجابة محتملة : $9 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{8}$

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{9}{1 - (- 0.5)} = \frac{9}{1.5} = 6$

25) تحدٍّ : إذا كان الحد الأول لمتسلسلة هندسية لانهائية متقاربة هو a حيث a > 0 ، والحد الثالث فيها هو 4 ، فأجد جميع الاحتمالات المُمكِنة لمجموع المتسلسلة

بدلالة a .

الحل :

المتسلسلة هي : $a + a_{} r + a r^{2} + . . .$

الحد الثالث = 4 ، إذن : $a_{} r^{2} = 4$

وبحل المعادلة : $r^{2} = \frac{4}{a_{}} \Rightarrow r = \pm \frac{2}{\sqrt{a_{}}}$

الاحتمالات الممكنة لمجموع المتسلسلة :

إما : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{a}{1 - \frac{2}{\sqrt{a}}}$

أو : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{a}{1 + \frac{2}{\sqrt{a}}}$

أسئلة كتاب التمارين

أجد المجاميع الجزئية $S_{n}$ لقِيَم n الصحيحة ، حيث : $1 \leq n \leq 5$ ، لكلٍّ من المتسلسلات الآتية، ثم أُمثِّلها بيانيًّا :

$1) 192 + 48 + 12 + 3 + . . .$	$2) 2 + 10 + 50 + 250 + . . .$
$3) 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \frac{1}{729} + . . .$	$4) 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{2}{125} + . . .$
$5) 8 - 8 + 8 - 8 + . . .$	$6) 1029 + 147 + 21 + 3 + . . .$

الحل :

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 192), (2, 240), (3, 252), (4, 255), (5, 255.25)$

$1) 192 + 48 + 12 + 3 + . . .$

$S_{1} = 192 S_{2} = 192 + 48 = 240 S_{3} = 192 + 48 + 12 = 252 S_{4} = 192 + 48 + 12 + 3 = 255 S_{5} = 192 + 48 + 12 + 3 + 0.25 = 255.25$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 2), (2, 12), (3, 62), (4, 312), (5, 1562)$

$2) 2 + 10 + 50 + 250 + . . .$

$S_{1} = 2 S_{2} = 2 + 10 = 12 S_{3} = 2 + 10 + 50 = 62 S_{4} = 2 + 10 + 50 + 250 = 312 S_{5} = 2 + 10 + 50 + 250 + 1250 = 1562$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 1), (2, \frac{10}{9}), (3, \frac{91}{81}), (4, \frac{820}{729}), (5, \frac{7381}{6561})$

$3) 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \frac{1}{729} + . . .$

$S_{1} = 1 S_{2} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} S_{3} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} = \frac{91}{81} S_{4} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \frac{1}{729} = \frac{820}{729} S_{5} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \frac{1}{729} + \frac{1}{6561} = \frac{7381}{6561}$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 2), (2, \frac{7}{5}), (3, \frac{62}{25}), (4, \frac{312}{125}), (5, \frac{1562}{625})$

$4) 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{2}{125} + . . .$

$S_{1} = 2 S_{2} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} S_{3} = 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{25} = \frac{62}{25} S_{4} = 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{22}{125} = \frac{312}{125} S_{5} = 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{22}{125} + \frac{2}{625} = \frac{1562}{625}$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 8), (2, 0), (3, 8), (4, 0), (5, 8)$

$5) 8 - 8 + 8 - 8 + . . .$

$S_{1} = 8 S_{2} = 8 - 8 = 0 S_{3} = 8 - 8 + 8 = 8 S_{4} = 8 - 8 + 8 - 8 = 0 S_{5} = 8 - 8 + 8 - 8 + 8 = 8$

تمثيل الأزواج المرتبة :

$(1, 1029), (2, 1176), (3, 1197), (4, 1200), (5, \frac{8403}{7})$

$6) 1029 + 147 + 21 + 3 + . . .$

$S_{1} = 1029 S_{2} = 1029 + 147 = 1176 S_{3} = 1029 + 147 + 21 = 1197 S_{4} = 1029 + 147 + 21 + 3 = 1200 S_{5} = 1029 + 147 + 21 + 3 + \frac{3}{7} = \frac{8403}{7}$

أُحدِّد إذا كانت المتسلسلات الآتية متقاربة أم متباعدة، ثم أجد المجموع للمتقاربة منها :

$7) 1 + \frac{5}{3} + \frac{25}{9} + \frac{125}{27} + . . .$	$8) 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + . . .$
$9) \frac{2}{7} - \frac{1}{7} + \frac{1}{14} - \frac{1}{28} + . . .$	$10) 297 + 99 + 33 + 11 + . . .$
$11) 64 + 32 + 16 + 8 + . . .$	$12) 2 + 2.5 + 3.125 + 3.90625 + . . .$

الحل :

$r = \frac{5}{3} > 1$ متباعدة	$7) 1 + \frac{5}{3} + \frac{25}{9} + \frac{125}{27} + . . .$
$r = \frac{1}{3} < 1$ متقاربة	$8) 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + . . .$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2}$
$\|r\| = \|\frac{- 1}{2}\| < 1$ متقاربة	$9) \frac{2}{7} - \frac{1}{7} + \frac{1}{14} - \frac{1}{28} + . . .$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{\frac{2}{7}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{21}$
$r = \frac{1}{3} < 1$ متقاربة	$10) 297 + 99 + 33 + 11 + . . .$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{297}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{891}{2}$
$r = \frac{1}{2} < 1$ متقاربة	$11) 64 + 32 + 16 + 8 + . . .$ $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}} = 128$
$r = \frac{5}{4} > 1$ متباعدة	$12) 2 + 2.5 + 3.125 + 3.90625 + . . .$

أكتب كُلًّا من الأعداد العشرية الدورية الآتية في صورة كسر عادي :

$13) 0.32$	$14) 0.09$
$15) 0.8$	$16) 0.44$
$17) 0.92$	$18) 0.5$

الحل :

$13) 0.32 a_{1} = 0.32, r = 0.01 S_{\infty} = \frac{0.32}{1 - 0.01} = \frac{32}{99}$	$14) 0.09 a_{1} = 0.09, r = 0.01 S_{\infty} = \frac{0.09}{1 - 0.01} = \frac{1}{11}$

$15) 0.8 a_{1} = 0.8, r = 0.1 S_{\infty} = \frac{0.8}{1 - 0.1} = \frac{8}{9}$	$16) 0.44 a_{1} = 0.44, r = 0.01 S_{\infty} = \frac{0.44}{1 - 0.01} = \frac{4}{9}$

$17) 0.92 a_{1} = 0.92, r = 0.01 S_{\infty} = \frac{0.92}{1 - 0.01} = \frac{92}{99}$	$18) 0.5 a_{1} = 0.5, r = 0.1 S_{\infty} = \frac{0.5}{1 - 0.1} = \frac{5}{9}$

19) كراسي : حرَّك يوسف كرسيا هزازًا مرّة واحدة، وقد لاحظ أنّ قاعدة الكرسي المُقوَّسة مثَّلت مسافة 1.1 m أول مرَّة، ثم مثَّلت في كل مرَّة تالية ما نسبته % 68 من المسافة التي مثَّلتها في المرَّة التي سبقتها. أجد مجموع المسافات التي مثَّلتها قاعدة الكرسي الهزّاز في هذه الأثناء حتى توقَّف عن الحركة بصورة كاملة.

الحل :

$a_{1} = 1.1, r = 0.68 S_{\infty} = \frac{1.1}{1 - 0.68} = 3.4375 m$

رياضيات أدبي فصل ثاني

الأول ثانوي أدبي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS