رياضيات فصل ثاني

الحادي عشر خطة جديدة

icon

أتحقق من فهمي

ص: 98

إذا كان cos θ=-23، حيث: π2<θ<π، فأجد قيمة كل مما يأتي:

a) sin 2θ

sin θ نحتاجsin2 θ+cos2 θ=1sin2 θ+-232=1sin θ=53sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 53 -23sin 2θ=-459

b) cos 2θ

cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=-232-532cos 2θ=-19

c) tan 2θ

tan θ نحتاجtan θ=sin θcos θ=53-23=-52tan 2θ=2 tan θ1-tan2 θ=2-521--522tan 2θ=45

أتحقق من فهمي

ص: 98

أكتب sin 3θ بدلالة cos θ و sin θ.

sin 3θ=sin 2θ+θ=sin 2θ cos θ+sin θ cos 2θ=2 sin θ cos2 θ+sin θ 2 cos2 θ-1=2 sin θ cos2 θ+2 sin θ cos2 θ-sin θsin 3θ=4 sin θ cos2 θ-sin θ

أتحقق من فهمي

ص: 99

أعيد كتابة sin4 x cos2 x بدلالة القوة الأولى لجيب التمام.

sin4 x cos2 x=sin2 x sin2 x cos2 x=1-cos 2x21-cos 2x21+cos 2x2=1-cos 2x21-cos2 2x418 1-cos2 2x-cos 2x+cos32x=181-1+cos 4x2-cos 2x+cos 2x cos2 2x=181-12-cos 4x2-cos 2x+cos 2x1+cos 4x218 12-12 cos 4x-cos 2x2+cos 2x cos 4x2sin4 x cos2 x=116 (1-cos 2x-cos 4x+cos 2x cos 4x)

أتحقق من فهمي

ص: 100

أجد قيمة cos 112.5°.

cos 112.5°=cos 225°2=-1+cos 225°2=-2-122=-2-24=-2-22

أتحقق من فهمي

ص: 101

إذا كان sin x=25، حيث: π2<x<π، فأجد قيمة كل مما يأتي:

a) sin x2

cos2 x+sin2 x=1cos2 x+252=1cos x=-215sin x2=1-cos x2sin x2=5+2110

b) cos x2

cos x2=1+cos x2cos x2=5-2110

c) tan x2

tan x2=1+cos x1-cos xtan x2=5+215-21

أتحقق من فهمي

ص: 102

أعيد كتابة sin 7x cos x في صورة مجموع أو فرق.

sin 7x cos x=12 (sin 8x+sin 6x)

أتحقق من فهمي

ص: 103

أعيد كتابة cos 3x+cos 2x في صورة ضرب.

cos 3x+cos 2x=2 cos 5x2 cos x2

أتحقق من فهمي

ص: 104

أثبت صحة كل متطابقة مما يأتي:

a) 2 tan x1+tan2 x=sin 2x

2 tan x1+tan2 x=2 sin xcos x1+sin2 xcos2 x=2 sin x cos xcos2 x+sin2 x=sin 2x

b) sin x+sin ycos x+cos y=tan x+y2

sin x+sin ycos x+cos y=2 sin x+y2 cos x-y22 cos x+y2 cos x-y2=tan x+y2

أتدرب وأحل المسائل

أجد قيمة كل من: cos 2θ, sin 2θ, sin θ2, cos θ2 للزاوية θ في الفترة المعطاة:

1) sin θ=513, 0<θ<π2

sin2 θ+cos2 θ=15132+cos2 θ=1cos θ=1213cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=12132-5132=119169sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 513 1213=120169sin θ2=1-cos θ2=126cos θ2=1+cos θ2=526

2) cos θ=-63, π2<θ<π

sin2 θ+cos2 θ=1sin2 θ+-632=1sin θ=13cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=69-13=39=13sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 13 -63=-2 23sin θ2=1-cos θ2=3+66cos θ2=1+cos θ2=3-66

3) tan θ=12, π<θ<3π2

tan θ=12sin θcos θ=12cos θ=2 sin θsin2 θ+cos2 θ=1sin2 θ+2 sin θ2=15 sin2 θ=1sin θ=-15cos θ=2 sin θ=2 -15=-25cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=-252--152=35sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 -15 -25=45sin θ2=1-cos θ2=2+525cos θ2=1+cos θ2=-5-225

4) csc=-5, cos θ<0

1sin θ=-5sin θ=-15sin2 θ+cos2 θ=1-152+cos2 θ=1cos θ=-25cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=45-15=35sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 -15 -25=45sin θ2=1-cos θ2=2+525cos θ2=1+cos θ2=-5-225

5) cot θ=23, sin θ>0

cos θsin θ=23cos θ=23 sin θcos2 θ+sin2 θ=123 sin θ2+sin2 θ=149 sin2 θ+sin2 θ=1sin θ=313cos θ=23 sin θ=23 313=213cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ= 2132- 3132=-513sin2θ=2sinθ cosθ=1213    sin θ2=1-cos θ2=13-2213cosθ2=1+cos θ2=13+2213

6) sec θ=3, sin θ>0

 1cos θ=3cos θ=13sin2 θ+cos2 θ=1sin2 θ+132=1sin θ=83cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=19-89=-79sin 2θ=2 sin θ cos θ=2 83 13=289sin θ2=1-cos θ2=13cos θ2=1+cos θ2=26

استعمل المتطابقات المثلثية لتقليص القوة في كتابة المقادير الآتية بدلالة القوة الأولى لجيب التمام:

7) sin4 x

sin4 x=(1-cos2x2)(1-cos2x2)=14(1-2cos2x+cos22x)14(1-2cos2x+1+cos4x2)38+18 cos 4x-12 cos 2x

8)  cos4 x

cos4 x=cos2 x cos2 x=1+cos 2x21+cos 2x2=14 1+2 cos 2x+cos2 2x=14 1+2 cos 2x+1+cos 4x2cos4 x=38+18 cos 4x+12cos 2x

9) cos4 x sin2 x

cos4 x sin2 xcos2 x cos2 x sin2 x1+cos 2x21+cos 2x21-cos 2x2=18 1+cos 2x1-cos22 x=18 1-cos2 2x+cos 2x-cos3 2x=18 1-1-cos 4x2+cos 2x-cos 2x1+cos4x2=18 1-12-cos 4x2+cos 2x-cos 2x2-cos 2x cos 4x2=116-116 cos 4x+132 cos 2x-132 cos 6x

أجد قيمة كل مما يأتي:

10) cos 22.5°

cos 22.5°=cos45°2=1+222

11) sin 195°

sin 195°=sin (135+60)=sin 135 cos 60+sin 60 cos 1351212+32-121-322

12) tan 7π8

tan 7π8=tan 7π42=1-cos 7π41+cos 7π4tan 7π8=-2-12+1=3-22

استعمل الشكل المجاور لإيجاد قيمة كل من الاقترانات الآتية، علما بأن: f(x)=sin x, g(x)= cos x, h(x)=tan x:

13) g(2θ)

a=-1 , b=-154cos θ=-15, sin θ=25, tan θ=-2cos α=-14, sin α=-154, tan α=15g (2θ)=cos 2θ=-35

14) gθ2

gθ2=cosθ2=5-125

15) f(2α)

f (2α)=sin 2α=158

16) hα2

h α2=tan α2=-53

أعيد كتابة كل مقدار مما يأتي في صورة مجموع أو فرق:

17) sin 2x cos 3x

sin 2x cos 3x=12 (sin 5x-sin x)

18) sin x sin 5x

sin x sin 5x=12 (cos 4x-cos 6x)

19) 3 cos 4x cos 7x

3 cos 4x cos 7x=32(cos 11x+cos 3x)

أعيد كتابة كل مقدار مما يأتي في صورة ضرب:

20) sin x-sin 4x

sin x-sin 4x=-2 cos 5x2 sin 3x2

21) cos 9x-cos 2x

cos 9x-cos 2x=2 sin 11x2 sin 7x2

22) sin 3x+sin 4x

sin 3x+sin 4x=2 sin 7x2 cos x2

الأوريغامي: يقوم فن الأوريغامي (فن طي الورق) الياباني على طي قطعة واحدة من الورق بصورة متكررة لصنع أشكال فنية. فعند طي الجزء الأيمن إلى الأسفل من ورقة مستطيلة، بعداها: 28 cm و،21.6 cm، كما في الشكل المجاور، فإن طول خطي الطي L يرتبط بالزاوية θ عن طريق العلاقة: L=10.8sin θ cos2 θ:

23) أثبت أن علاقة طول خطي الطي تكافئ العلاقة: L=21.6 sec θsin 2θ.

L=10.8sin θ cos2 θ=2×10.82 sin θ cos θ×1cos x=21.6sin 2x×secx=21.6 sec xsin 2x

24) أجد طول خط الطي L إذا كانت θ=30°.

L=10.8sin 30° cos2 30°=28.8 cm

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

25) cos2 5x-sin2 5x=cos 10x

cos2 5x-sin2 5x=cos2 5x- (1-cos2 5x)=2 cos2 5x-1=cos 10x

26) cos x=12 (sin x sin 2x+2 cos3 x)

12 (sin x sin 2x+2 cos3 x)=12 (2 sin2 x cos x+2cos3 x)=12×2 cos x (sin2 x+cos2 x)=cos x

27) cos 2x+2 cos x+1=2 cos x (cos x+1)

cos 2x+2 cos x+1=2 cos2 x-1+2 cos x+1=2 cos2 x+2 cos x=2 cos x (cos x+1)

28) sin 3x=3 sin x-4 sin3 x

sin 3x=sin (2x+x)=sin 2x cos x+cos 2x sin x=2 sin x cos2 x+(1-2 sin2 x)sin x=2 sin x cos2 x+sin x-2 sin3 x=2 sin x(1- sin2 x)+sin x -2 sin3 x=3 sin x-4 sin3 x

29) tan 3x=3 tan x-tan3 x1-3 tan2 x

tan 3x=tan (2x+x)=tan 2x+tan x1-tan 2x tan x=2 tan x1-tan2 x+tan x1-2 tan x1-tan2 xtan x=2 tan x+tan x-tan3 x1-tan2 x-2 tan2 x=3 tan x-tan3 x1-3 tan2 x

30) sin x=4 cos x2 cos x4 sin x4

sin x=2 sin x2 cos x2=2 (2 sin x4 cos x4) cos x2=4 sin x4 cos x4 cos x2

31) cos 2xcos2 x+tan2 x=1

cos 2xcos2 x+tan2  x=2 cos2 x-1cos2 x+sin2 xcos2 x=cos2 x+cos2 x-1+sin2 xcos2 x=1

32) cos2 2x=4 cos4 x-4 cos2 x+1

cos2 2x=cos 2x2=2cos2 x-12=4 cos4 x-4 cos2 x+1

33) 2(tsan x-cot x)tan2 x-cot2 x=sin 2x

2 (tan x- cot x)tan2 x-cot2  x=2 (tan x-cot x)(tan x-cot x)(tan x+cot x)=2(tan x+cot x)=2sin xcos x+cos xsin x=2 sin x cos xsin2 x+cos2 x=sin 2x

34) tan2 x2+π4=1+sin x1-sin x

tan2 x2+π4=1-cos x+π21+cos x+π2=1+sin x1-sin x

35) cot2 x2=sec x+1sec x-1

cot2 x2=1+cos x1-cos x=1cos x+cos xcos x1cos x-cos xcos x=sec x+1sec x-1

36) lnsin x=12(ln1-cos 2x-ln 2)

12 (ln1-cos 2x-ln 2)=12 ln 1-cos 2x2=12 ln1-cos 2x2=12 lnsin2 x=lnsin x

مهارات التفكير العليا

تبرير: يبين الشكل المجاور مستطيلا مرسوما في نصف دائرة، طول نصف قطرها وحدة واحدة:

37) أعبر باقتران بدلالة الزاوية θ عن المساحة A للمستطيل الموضح في الشكل المجاور، مبررا إجابتي.

sin θ=x1=x, cos θ=y1=yA=2 xy=2 sin θ cos θ

38) أثبت أن A(θ)=sin 2θ، مبررا إجابتي.

A=2 sin θ cos θ=sin 2θ

تحد: أثبت صحة كل مما يأتي:

39) cos 4x=1-8 sin2 x cos2 x

cos 4x=1-2 sin2 2x=1-2 (2 sin x cos x)2=1-8 sin2 x cos2 x

40) cos4 x=18 (3+cos 4x+4 cos 2x)

cos4 x=(cos2 x)2=1+cos 2x22=14 1+cos 2x2=14(1+2 cos 2x+cos2 2x)=14 (1+2 cos 2x+1+cos 4x2)=14 1+2 cos 2x+12+12 cos 4x=18 3+4 cos 2x +cos 4x

أسئلة كتاب التمارين

أبسط كل من المتطابقات الآتية، مستعملا المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية، أو المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية:

1) 2 sin 3x cos 3x

2 sin 3x cos 3x=sin 6x

2) 2 sin 7x1-tan2 7x

2 tan 7x1-tan2 7x=tan 14x

3) 1-cos 4xsin 4x

1-cos 4xsin 4x=tan 2x

أجد قيمة كل مما يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

4) 2 tan 15°1-tan2 15°

2 tan 15°1-tan2 15°=13

5) sin π8 cos π8

sin π8 cos π8=122

6) cos2 37.5°-sin2 37.5°

cos2 37.5-sin2 37.5=3-122

7) sin 75°

sin 75°=3+122

8) cos 23π12

cos 23π12=3+122

9) tan 202.5°

tan 202.5°=-1+2

10) 2 sin 52.5° sin 97.5°

2 sin 52.5° sin 97.5° =12+32

11) sin 75° sin 15°

sin 75° sin 15°=14

12) cos 37.5° sin 7.5°

cos 37.5° sin 7.5°=122-14

يبين الشكل المجاور مثلثا متطابق الضلعين، طول كل منهما a:

13) أكتب قاعدة لمساحة المثلث بدلالة الزاوية θ.

A=12 a2 sin θ=12 a2 sin 30°=14a2

14) أجد مساحة المثلث إذا كان طول الضلع a هو 7 cm.

A=14×49=12.25 cm2

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

15) cos4 2x-sin4 2x=1-2 sin2 2x

cos4 2x-sin4 2x=cos2 2x+sin2 2x(cos2 2x-sin2 2x)=1-2 sin2 2x

16) csc 2x=12 csc x sec x

csc 2x=1sin 2x=12 sin x cos x=12 csc x sec x

17) cos θ=1-tan2 θ21+tan2 θ2

1-tan2 θ21+tan2 θ2=1-sin2 θ2cos2 θ21+sin2 θ2cos2 θ2=cos2 θ2-sin2 θ2cos2 θ2+sin2 θ2=cos θ

18) cot θ-tan θcot θ+tan θ=cos 2θ

cot θ-tan θcot θ+tan θ=cos θsin θ-sin θcos θcos θsin θ-sin θcos θ=cos2 θ-sin2 θcos2 θ+sin2 θ=cos 2θ

19) sin 10xsin 9x+sin x=cos 5xcos 4x

sin 10xsin 9x+sin x=2 sin 5x cos 5x2 sin 5x cos 4x=cos 5xcos 4x

20) cos x+sin xcos x-sin x-cos x-sin xcos x+sin x=2 tan 2x

cos x+sin xcos x-sin x-cos x-sin xcos x+sin x=cos x+sin x2-cos x-sin x2cos2 x-sin2 x=4 sin x cos xcos 2x=2 sin 2xcos 2x=2 tan 2x