رياضيات فصل ثاني

أتحقق من فهمي

ص: 139

في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد عشوائيا، إذا دل المتغير العشوائي x على عدد مرات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم x.

$X=\{0,1,2,3\}$

أتحقق من فهمي

ص: 141

سحبت بطاقتان عشوائيا دون إرجاع من وعاء يحوي البطاقات الآتية:

إذا دل المتغير العشوائي x على مجموع العددين الظاهرين على هاتين البطاقتين، فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير x.

$X=\{1,3,4,6\}$

x	1	3	4	6
P(X)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

 

 

أتحقق من فهمي

ص: 142

في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي:

 

X	1	2	3	4
$P(X=x)$	0.25	g	0.35	3g

a) أجد قيمة g.

$$\begin{gathered} 0.25+g+0.35+3g=1 \\ 0.6+4g=1 \\ g=0.1 \end{gathered}$$

b) أجد ناتج: $P(1\le X<3)$.

$$\begin{gathered} p(x=1)+p(x=2) \\ 0.25+0.1=0.35 \end{gathered}$$

c) أجد ناتج: $P(X<4)$.

$$\begin{gathered} p(x=1)+p(x=2)+p(x=3) \\ 0.25+0.1+0.35=0.7 \end{gathered}$$

d) أجد منوال التوزيع.

القيمة المقابلة للاحتمال الأكبر 0.35 = $3$

أتحقق من فهمي

ص: 144

يجد مراد عددا من الرسائل في بريده الإلكتروني كل يوم، فقرر رصد عدد الرسائل التي وصلته يوميا من 50 يوما اختيرت عشوائيا، وكانت النتائج التي توصل إليها كما في الجدول الآتي:

5	4	3	2	1	عدد الرسائل (x)
2	1	18	22	7	عدد الأيام (التكرار f)

بافتراض أن المتغير العشوائي X يمثل عدد الرسائل اليومية التي تصل البريد الإلكتروني لمراد:

a) أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X.

X	1	2	3	4	5
P(X)	$\frac{7}{50}$	$\frac{22}{50}$	$\frac{18}{50}$	$\frac{1}{50}$	$\frac{2}{50}$

 

 

b) أجد توقع المتغير العشوائي X.

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ =(1\times \frac{7}{50})+(2\times \frac{22}{50})+(3\times \frac{18}{50})+(4\times \frac{1}{50})+(5\times \frac{2}{50}) \\ E\left(X\right)=\frac{119}{50}=2.38 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 145

يحتوي وعاء على 6 بطاقات حمراء، و4 بطاقات زرقاء، جميعها متماثلة. اذا سحبت منها بطاقتان على التوالي من دون إرجاع، ودل المتغير العشوائي X على عدد البطاقات الزرقاء المسحوبة، فأجد E(X).

X	0	1	2
P(X)	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

 

 

 

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ (0\times \frac{1}{3})+(1\times \frac{8}{15})+(2\times \frac{2}{15}) \\ E\left(X\right)=0.8 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 147

يبين الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X:

x	-1	1	3	5
$P(X=x)$	0.3	0.4	0.1	0.2

a) أجد التوقع E(X).

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ (-1\times 0.3)+(1\times 0.4)+(3\times 0.1)+(5\times 0.2) \\ E\left(X\right)=1.4 \end{gathered}$$

b) أجد التباين Var(X).

$$\begin{gathered} Var\left(X\right)=\Sigma X^2.P\left(X\right)-(E{\left(X\right))}^2 \\ =(1\times 0.3)+(1\times 0.4)+(9\times 0.1)+(25\times 0.2)-{(1.4)}^2 \\ Var (X)={(1.4)}^2 \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل

في تجربة سحب 4 كرات على التوالي من كيس يحوي 3 كرات حمراء، وكرتين سوداوين، اذا دل المتغير العشوائي X على عدد الكرات الحمراء في الكرات المسحوبة، فأجد قيم X في كل من الحالتين الآتيتين:

1) السحب مع الإرجاع.

$X=\{0,1,2,3,4\}$

2) السحب من دون إرجاع.

$X=\{2,3\}$

3) في تجربة إلقاء قطعة نقود 6 مرات متتالية، اذا دل المتغير العشوائي X على عدد مرات ظهور الصورة (H)، فأجد قيم X.

$X=\{0,1,2,3,4,5,6\}$

4) في تجربة إلقاء حجري نرد معا مرة واحدة، اذا دل المتغير العشوائي X على ناتج ضرب العددين الظاهرين على الحجرين، فأجد قيم X.

$X=\{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36\}$

يحتوي وعاء على 3 أقراص زرقاء، و6 أقراص خضراء. اذا سحبت من الوعاء 3 أقراص على التوالي من الإرجاع، ودل المتغير العشوائي X على عدد الأقراص الزرقاء المسحوبة، فأجد كل مما يأتي:

5) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X في صورة جدول.

X	0	1	2	3
P(X)	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

 

 

 

6) احتمال سحب قرص أزرق واحد على الأقل.

$$\begin{gathered} P(X\ge 1)=1-P(X=0) \\ =1-\frac{8}{27} \\ =\frac{19}{27} \\ وأ \\ P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \\ \frac{12}{27}+\frac{6}{27}+\frac{1}{27} \\ =\frac{19}{27} \end{gathered}$$

في تجربة تدوير مؤشر القرص المجاور عشوائيا مرتين متتاليتين، اذا دل المتغير العشوائي X على مجموع العددين اللذين توقف عندهم المؤشر، وكان القطاعان الأخضر والأصفر متطابقان فأجد:

7) التوزيع الاحتمالي للمتغير X في صورة جدول.

X	4	5	6	7	8	9	10
P(X)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{5}{64}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

8) منوال التوزيع.

7

في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي:

x	1	2	4	5	8
P(X=x)	0.2	b	0.15	0.29	2b

9) أجد قيمة b.

$$\begin{gathered} 3b+0.2+0.15+0.29=1 \\ b=0.12 \end{gathered}$$

10) أجد ناتج: $P(2<X\le 8)$.

$$\begin{gathered} P(X=4)+P(X=5)+P(X=8) \\ 0.15+0.29+0.24=0.68 \end{gathered}$$

11) أجد ناتج: $P(X\ge 2)$.

$1-P(X<2)=1-P(X=1)=1-0.2=0.8$

12) يتألف مجلس الطلبة في أحدا الجامعات من 10 طلاب و15 طالبة، وقد شكل هؤلاء الأعضاء لجنة تضم ثلاثة منهم بصورة عشوائية للاجتماع مع ممثلين عن رئاسة الجامعة. اذا دل المتغير العشوائي X على عدد الطالبات في اللجنة المختارة، فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي.

X	0	1	2	3
P(X)	$\frac{6}{115}$	$\frac{27}{92}$	$\frac{21}{46}$	$\frac{91}{460}$

أجد القيمة المتوقعة لكل من التوزيعات الاحتمالية الآتية:

13)

x	-2	-1	0	1	2	3
P(X=x)	0.13	0.27	0.1	0.18	0.22	0.1

$E\left(X\right)=-2\times 0.13-1\times 0.27+0\times 0.1+1\times 0.18+2\times 0.22+3\times 0.1=0.39$

14)

y	2	4	6	8
P(Y=y)	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

$E\left(X\right)=2\times \frac{1}{12}+4\times \frac{5}{12}+6\times \frac{1}{3}+8\times \frac{1}{6}\approx 5.17$

15) دون أحد العلماء أعمار عدد من الغزلان في الجدول الآتي:

(xبالسنة)العمر	1	2	3	4	5	6	7	8
(f)التكرار	7	30	58	135	150	70	40	10

بافتراض أن المتغير العشوائي X يمثل عمر الغزال، أجد  التوقع E(X).

$E\left(X\right)=1\times \frac{7}{500}+2\times \frac{30}{500}+3\times \frac{58}{500}+4\times \frac{135}{500}+5\times \frac{150}{500}+6\times \frac{70}{500}+7\times \frac{40}{500}+8\times \frac{10}{500}\approx 4.6$

16) يبين الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X:

x	-1	0	1	2
P(X=x)	a	4b	2b	a

اذا كان توقع X هو $\frac{5}{12}$، فأجد قيمة كل من a، وb.

$$\begin{gathered} -1\times a+0\times 4b+1\times 2b+2a=\frac{5}{12} \\ a+2b=\frac{5}{12} \\ a+4b+2b+a=1 \\ 2a+6b=1 \\ a=\frac{1}{4} , b=\frac{1}{12} \end{gathered}$$

17) يعمل في إحدى المؤسسات 9 موظفين و15 موظفة، وقد شكل هؤلاء معا لجنة مشتريات تضم أربعة منهم بصورة عشوائية. اذا دل المتغير العشوائي X على عدد الموظفات في اللجنة المختارة، فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير X، ثم أجد التوقع E(X).

X	0	1	2	3	4
P(X)	$\frac{3}{253}$	$\frac{30}{253}$	$\frac{90}{253}$	$\frac{195}{253}$	$\frac{65}{506}$

 

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ (0\times \frac{3}{253})+(1\times \frac{30}{253})+(2\times \frac{90}{253})+(3\times \frac{195}{253})+(4\times \frac{65}{506}) \\ E\left(X\right)=2.5 \end{gathered}$$

18) يبين الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي Y:

y	-2	3
P(Y=y)	a	1 - a

اذا كان E(Y)=2، فأجد Var(Y).

$$\begin{gathered} -2a+3(1-a)=2 \\ a=-0.2 \\ Var \left(Y\right)=4\times -0.2+9\times 1.2-4=6 \end{gathered}$$

19) أحل المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

لأن $P(X=1)=\frac{10}{36}$ هو الاحتمال الأكبر$1$

مهارات التفكير العليا

20) تبرير: في تجربة سحب بطاقتين عشوائيا على التوالي من صندوق يحوي 4 بطاقات متماثلة، كل منها مرقمة بأحد الأرقام: 5,4,3,2, اذا دل المتغير العشوائي X على مجموع الرقمين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قيمة: 9,8,7,6,5, فأحدد اذا كان السحب مع الإرجاع، أو من دون إرجاع، مبررا إجابتي.

السحب دون إرجاع، لأنه لو كان مع الإرجاع لظهرت النواتج (2,2), (5,5) التي تعطي المجاميع 4 و 10.

21) تحد: رقمت أوجه نرد أحمر بالأرقام: 1,1,1,2,2,3، ثم رقمت أوجه  نرد أزرق بالأرقام: 1,2,2,3,3,3، ثم ألقي الحجران معا مرة واحدة. اذا دل المتغير العشوائي X على مجموع الرقمين الظاهرين على الوجه العلوي لكلا  الحجرين، فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي.

X	2	3	4	5	6
P(X)	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{12}$

22) تحد: في تجربة عشوائية، اختبرت بطاقة من بين 3 بطاقات تحمل الأرقام: 5,3,1، ثم ألقيت قطعة نقدية منتظمة عددا من المرات يطابق العدد  المكتوب على البطاقة. اذا دل المتغير العشوائي H على عدد مرات ظهور الصورة (H)، فأجد عناصر الحادث المرتبط بالقيمة: H=3، ثم أجد ناتج: P(H=3).

$$\begin{gathered} (3,H,H,H) , (5,H,H,H,T,T) , (5,H,H,T,H,T) , (5,H,H,T,T,H) , (5,H,T,H,H,T) , (5,H,T,H,T,H) , \\ (5,H,T,T,H,H) , (5,T,H,H,H,T) , (5,T,H,H,T,H) , (5,T,H,H,H,T) , (5,T,H,T,H,H) ,(5,T,T,H,H,H) \\ P\left(X\right)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\times \frac{12}{32}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

23) مسألة مفتوحة: أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X، قيمه: 1,3,5، وقيمة E(X)=4.

X	1	3	5
P(X)	0.1	0.3	0.6

إجابات أسئلة كتاب التمارين

أجد مجموعة قيم المتغير العشوائي X في كل من الحالات الآتية:

1) وجود 4 كرات خضراء، و5 كرات زرقاء في صندوق، ثم سحب 6 كرات من الصندوق عشوائيا من دون إرجاع، ومثل المتغير العشوائي X عدد الكرات الخضراء المسحوبة.

$X=\{1,2,3,4\}$

2) إطلاق 8 طلقات على هدف ثابت، ومثل المتغير العشوائي عدد مرات إصابة الهدف.

$X=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

3) تدوير مؤشر القرص المجاور مرتين، ومثل المتغير العشوائي X مجموع الرقمين اللذين توقف عليهما المؤشر.

$X=\{2,4,5,6,7,8,10,11,14\}$

4) سحب بالونان عشوائيا مع الإرجاع من كيس فيه 8 بالونات حمراء، وبالون واحد أصفر، و3 بالونات بيضاء. اذا دل المتغير العشوائي X على عدد الباونات الصفراء المسحوبة، فأنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X، ثم أمثله بيانيا.

X	0	1	2
P(X)	$\frac{121}{144}$	$\frac{22}{144}$	$\frac{1}{144}$

يبين الجدول المجاور التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي Y:

y	1	2	5	7
P(Y=y)	b	0.4	2b	0.12

5) أجد قيمة b.

$$\begin{gathered} b+0.4+2b+0.12=1 \\ b=0.16 \end{gathered}$$

6) أجد ناتج: $P(Y\ge 2)$.

$1-P(Y=1)=1-0.16=0.84$

7) أجد ناتج: $P(1<Y\le 7)$.

$1-P(Y=1)=1-0.16=0.84$

8) أجد التوقع، والتباين للمتغير العشوائي ذي التوزيع الاحتمالي الآتي:

x	-1	0	2	3
P(X=x)	0.15	0.25	0.35	0.25

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=1\times 0.15+0\times 0.25+2\times 0.35+3\times 0.25=1.3 \\ Var \left(X\right)=1\times 0.15+0\times 0.25+4\times 0.35+9\times 0.25-{(1.3)}^2=2.11 \end{gathered}$$

سئل طالب إحدى المدارس عن عدد الهواتف المحمولة في منزلهم، فكانت الإجابات كما في الجدول الآتي:

عدد الهواتف المحمولة (x)	1	2	3	4	5	6
عدد الطلبة (f)	35	55	105	140	110	75

بافتراض أن المتغير العشوائي x يمثل عدد الهواتف المحمولة:

9) أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X.

X	1	2	3	4	5	6
P(X)	$\frac{35}{520}$	$\frac{55}{520}$	$\frac{105}{520}$	$\frac{140}{520}$	$\frac{110}{520}$	$\frac{75}{520}$

10) أجد التوقع E(X).

$E\left(X\right)=\frac{35}{520}+\frac{110}{520}+\frac{315}{520}+\frac{560}{520}+\frac{550}{520}+\frac{450}{520}=\frac{2020}{520}=3.88$