رياضيات أدبي فصل أول

الأول ثانوي أدبي

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 67

في تجربة إلقاء حجر نرد مرَّة واحدة، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على العدد الظاهر ، فأجد مجموعة قِيَم X  .

الحل : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي :  𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }


أتحقق من فهمي صفحة 68

في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قِيَم X

الحل :  

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : Ω = { (T,T,T) , (T,T, H) , (T, H ,T) ,(H ,T,T) , (T, H , H) , (H ,T, H) , (H , H ,T) , (H , H , H) } 

ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد مرات ظهور الكتابة المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم  : 0 ، 1 ، 2 ، 3  

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 }


 

أتحقق من فهمي صفحة 69

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 6 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 0 إلى 5، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :

المجاميع المُمكِنة للعدد 4 باستعمال البطاقات :  0 + 4 = 4  ,  4 + 0 = 4 ,  1+ 3 = 4  , 3 + 1 = 4

إذن عناصر الحادث  A  =  {(0,4) , (4,0) , (1,3) , (3,1)}

 


 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا من البطاقات الظاهرة في الشكل المجاور، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على حاصل ضرب العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين ، فأجد مجموعة قِيَم X

في الحالات الآتية :

 

 

 

 

 

1) السحب على التوالي مع الإرجاع.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، إذن : 

1 × 2 = 2               1 × 3 =3             2 × 3 = 6            1 × 1 = 1  2 × 1 = 2               3 × 1 =3             3 × 2 = 6            2 × 2 = 4                                                                                                  3 × 3 = 9  

إذن قيم  X هي :  𝑋 = { 1 , 2 , 3, 4 , 6 , 9 }


2) السحب على التوالي من دون إرجاع.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، مع مراعاة أن السحب هنا بدون إرجاع إذن : 

1 × 2 = 2               1 × 3 =3             2 × 3 = 6            2 × 1 = 2               3 × 1 =3             3 × 2 = 6  

إذن قيم X هي :   𝑋 = { 2 , 3 , 6 }

3)  سحب البطاقتين معًا.

الحل :  

سحب البطاقتين معًا يكافئ السحب من دون إرجاع ، إذن :  𝑋 = { 2 , 3 , 6 }


 

 

إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر عند
أحد الأعداد، فأجد مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X إذا دلَّ على :

 

 

 

 

 

4)مجموع العددين.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)    

إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }   


5) القيمة المطلقة للفرق بين العددين.

الحل :  

أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

0-1 = 1  , 1-1 = 0 , 2-1 = 1  ,  3-1 = 2  ,  3-0 =3 , ... 

إذن :  𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 }  

6) حاصل ضرب العددين.

الحل :  

أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

     0×1 = 0  ,  1×1 =1 ,  2×1 = 2  ,  3×1 = 3 , ...

إذن :  𝑋  = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 }


7) في تجربة سحب ثلاث كرات عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 3 كرات حمراء، و 3 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، جميعها مُتماثِلة،

إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الحمراء في السحبة ، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 2

الحل : 

R : حمراء ، Y : صفراء ، G : خضراء

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي كل الترتيبات التي تحتوي على كرتين حمراوين : 

إذن :  𝐴 =  { (𝑅,𝑅,𝑌),(𝑅,𝑌,𝑅),(𝑌,𝑅,𝑅),(𝑅,𝑅,𝐺),(𝑅,𝐺,𝑅),(𝐺,𝑅,𝑅) }

 

8) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم في لعبة رمي السهام ، رمى كلٌّ من إبراهيم ويوسف سهمين على لوحة
السهام المجاورة. كم مجموعًا مختلفًا يُمكِن أنْ يُسجِّله إبراهيم أو يوسف؟

 

 

 

 

 

 

الحل :  

قيم المتغير العشوائي X مُرتبطة بمجموع النقاط التي سيحققها كل من إبراهيم أو يوسف ، حيث رمى كل منهما سهمين .

ألاحظ أنّ أكبر مجموع يُمكن أن يتحقق هو : 5 + 5 = 10  ، وأقل مجموع يُمكن أن يتحقق هو : 1+1 = 2 ثم أجد المجاميع المحصورة بين أكبر مجموع وأقل مجموع فتكون  :  3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8  ، حيث يُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط. 

إذن هناك 8 مجاميع مختلفة .


 

9) مسألة مفتوحة : أَصِف موقفًا تكون فيه قِيَم المتغير العشوائي 2 , 1 , 0  :  X    

الحل :  

سحب كرتين معًا من صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و 4 كرات صفراء و 3 كرات خضراء ، إذا دل المتغير العشوائي X على ظهور كرتين حمراء .

فإنّ المتغير العشوائي X سيأخذ القَيم :  X = 0  عند سحب كرتين ليس بينهما كرة حمراء ، مثل :  (G,G) , (Y,G) , (Y, Y) 

X = 1  عند سحب كرتين أحدهما كرة حمراء ، مثل :  (G,R) , (R,Y)  ،  X = 2  عند سحب كرتين حمراء  :  (R,R)


 

10) تبرير : في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 3 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة بأحد الأرقام: 1 , 3 , 5 ، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قِيَمه : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ، فأُحدِّد إذا كان السحب مع الإرجاع، أو من

دون إرجاع ، مُبرِّرًا إجابتي.

الإجابة : 

السحب مع الإرجاع ؛ لأنّ القيمة 2 تنتج من 1 + 1 ،  وهذا يدل على أن البطاقة التي تحمل الرقم 1 أعيد سحبها وكذلك القيمة  10 نتجت من 5 + 5  


 

11) تحدٍّ : أَصِف موقفًا حياتيًّا تكون فيه بعض قِيَم المتغير العشوائي موجبة، وبعض قِيَمه الأُخرى سالبة.

إجابة محتملة : سلعة تكلفتها 5 دنانير ، وبيعت في أيام مختلفة بالأسعار : 6 ، 7 ، 5 ، 4 ، 3 ، وكان المتغير العشوائي يدل على مقدار الربح  أو الخسارة. 

 


 

أسئلة كتاب التمارين 

1) في تجربة لاختيار عائلة لديها طفلان عشوائيًّا، وتسجيلهما بحسب الجنس وتسلسل الولادة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الذكور، فأجد

مجموعة قيم  X. (إرشاد: أستعمل حرف B للذكور، وحرف G للإناث).

الحل :  

أفرض أنَّ B تعني ولد ، وأنَّ G تعني بنت. وبذلك،  فإنَّ : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : Ω = { (B,B) , (B,G) , (G,B) ,(G ,G)} 

ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد الذكور المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم  : 0 ، 1 ، 2   

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 }

 


 

2) في تجربة إلقاء 4 قطع نقد معدنية عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم  X. 

(إرشاد : أستعمل حرف H للصورة، وحرف T للكتابة).

الحل :  

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عدد عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : 24 = 16

نظرًا لأن عدد عناصر Ω كبير نسبيًا فيمكن تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي X ، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين ، على النحو الآتي : 

العنصر ( 4 صورة) ، والعنصر ( 4 كتابة) Ω ={(H,H, H,H), ... ,(T,T,T,T)}                                         X =          0         ...          4
 
عددمرات ظهور الكتابة المرتبط بالعنصر

 

 

 

ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 4  

إذن ، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X هي : { 4 , 3 , 2 , 1 , 0} 

 


 

3) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ

المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4 

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، (والسحب من دون إرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :  

إذن :   𝐴 = { (1 , 3) , (3 , 1) } 

 


 

4) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو B ، (والسحب مع الإرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :  

إذن : 𝐵 = { (1 , 3) , (3 , 1) , (2 , 2) }


 

إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر

عند أحد الأعداد، فأجد مجموعة قيم المتغير العشوائي X إذا دلَّ على:

 

 

 

 

 

5) مجموع العددين.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)    

إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }   


6) القيمة المطلقة للفرق بين العددين. 

الحل :  

أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

|0-1| = 1  , |1-1| = 0 , |2-1| = 1  ,  |3-1| = 2  ,  |3-0| =3 ,  |0-4| =4 , ...   (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)   

إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 }   


7) ناتج ضرب العددين.

الحل :  

أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

0×1 = 0  ,  1×1 =1 ,  2×1 = 2  ,  3×1 = 3 ,  2×2 = 4  ,  3×2 = 6 , 2×4 = 8 ,  3×3 = 9  ,  3×4 =12 ,...

ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط    

إذن : قيم X هي :  𝑋 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 }