حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 67
في تجربة إلقاء حجر نرد مرَّة واحدة، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على العدد الظاهر ، فأجد مجموعة قِيَم X .
الحل :
عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
أتحقق من فهمي صفحة 68
في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قِيَم X
الحل :
أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك، فإنَّ :
عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد مرات ظهور الكتابة المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم : 0 ، 1 ، 2 ، 3
إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 }
أتحقق من فهمي صفحة 69
في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 6 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 0 إلى 5، إذا دلَّ المتغير
العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4
الحل :
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :
المجاميع المُمكِنة للعدد 4 باستعمال البطاقات :
إذن عناصر الحادث = {(0,4) , (4,0) , (1,3) , (3,1)}
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا من البطاقات الظاهرة في الشكل المجاور، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على حاصل ضرب العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين ، فأجد مجموعة قِيَم X في الحالات الآتية : |
1) السحب على التوالي مع الإرجاع.
الحل :
قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، إذن :
إذن قيم هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3, 4 , 6 , 9 }
2) السحب على التوالي من دون إرجاع.
الحل :
قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، مع مراعاة أن السحب هنا بدون إرجاع إذن :
إذن قيم هي : 𝑋 = { 2 , 3 , 6 }
3) سحب البطاقتين معًا.
الحل :
سحب البطاقتين معًا يكافئ السحب من دون إرجاع ، إذن : 𝑋 = { 2 , 3 , 6 }
إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر عند |
4)مجموع العددين.
الحل :
قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط)
إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
5) القيمة المطلقة للفرق بين العددين.
الحل :
أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو :
إذن : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 }
6) حاصل ضرب العددين.
الحل :
أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو :
إذن : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 }
7) في تجربة سحب ثلاث كرات عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 3 كرات حمراء، و 3 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، جميعها مُتماثِلة،
إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الحمراء في السحبة ، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 2
الحل :
R : حمراء ، Y : صفراء ، G : خضراء
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي كل الترتيبات التي تحتوي على كرتين حمراوين :
إذن : 𝐴 = { (𝑅,𝑅,𝑌),(𝑅,𝑌,𝑅),(𝑌,𝑅,𝑅),(𝑅,𝑅,𝐺),(𝑅,𝐺,𝑅),(𝐺,𝑅,𝑅) }
8) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم). مسألة اليوم في لعبة رمي السهام ، رمى كلٌّ من إبراهيم ويوسف سهمين على لوحة |
الحل :
قيم المتغير العشوائي X مُرتبطة بمجموع النقاط التي سيحققها كل من إبراهيم أو يوسف ، حيث رمى كل منهما سهمين .
ألاحظ أنّ أكبر مجموع يُمكن أن يتحقق هو : ، وأقل مجموع يُمكن أن يتحقق هو : ثم أجد المجاميع المحصورة بين أكبر مجموع وأقل مجموع فتكون : ، حيث يُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط.
إذن هناك 8 مجاميع مختلفة .
9) مسألة مفتوحة : أَصِف موقفًا تكون فيه قِيَم المتغير العشوائي
الحل :
سحب كرتين معًا من صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و 4 كرات صفراء و 3 كرات خضراء ، إذا دل المتغير العشوائي X على ظهور كرتين حمراء .
فإنّ المتغير العشوائي X سيأخذ القَيم : X = 0 عند سحب كرتين ليس بينهما كرة حمراء ، مثل :
X = 1 عند سحب كرتين أحدهما كرة حمراء ، مثل : ، X = 2 عند سحب كرتين حمراء :
10) تبرير : في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 3 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة بأحد الأرقام: 1 , 3 , 5 ، إذا دلَّ المتغير
العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قِيَمه : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ، فأُحدِّد إذا كان السحب مع الإرجاع، أو من
دون إرجاع ، مُبرِّرًا إجابتي.
الإجابة :
السحب مع الإرجاع ؛ لأنّ القيمة 2 تنتج من 1 + 1 ، وهذا يدل على أن البطاقة التي تحمل الرقم 1 أعيد سحبها وكذلك القيمة 10 نتجت من 5 + 5
11) تحدٍّ : أَصِف موقفًا حياتيًّا تكون فيه بعض قِيَم المتغير العشوائي موجبة، وبعض قِيَمه الأُخرى سالبة.
إجابة محتملة : سلعة تكلفتها 5 دنانير ، وبيعت في أيام مختلفة بالأسعار : 6 ، 7 ، 5 ، 4 ، 3 ، وكان المتغير العشوائي يدل على مقدار الربح أو الخسارة.
أسئلة كتاب التمارين
1) في تجربة لاختيار عائلة لديها طفلان عشوائيًّا، وتسجيلهما بحسب الجنس وتسلسل الولادة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الذكور، فأجد
مجموعة قيم X. (إرشاد: أستعمل حرف B للذكور، وحرف G للإناث).
الحل :
أفرض أنَّ B تعني ولد ، وأنَّ G تعني بنت. وبذلك، فإنَّ :
عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد الذكور المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم : 0 ، 1 ، 2
إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 }
2) في تجربة إلقاء 4 قطع نقد معدنية عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم X.
(إرشاد : أستعمل حرف H للصورة، وحرف T للكتابة).
الحل :
أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك، فإنَّ :
عدد عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
نظرًا لأن عدد عناصر Ω كبير نسبيًا فيمكن تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي X ، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين ، على النحو الآتي :
العنصر ( 4 صورة) ، والعنصر ( 4 كتابة) | |
عددمرات ظهور الكتابة المرتبط بالعنصر |
ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 4
إذن ، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X هي : { 4 , 3 , 2 , 1 , 0}
3) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ
المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4
الحل :
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، (والسحب من دون إرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :
إذن : 𝐴 = { (1 , 3) , (3 , 1) }
4) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ المتغير
العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4
الحل :
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو B ، (والسحب مع الإرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :
إذن : 𝐵 = { (1 , 3) , (3 , 1) , (2 , 2) }
إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر عند أحد الأعداد، فأجد مجموعة قيم المتغير العشوائي X إذا دلَّ على: |
5) مجموع العددين.
الحل :
قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط)
إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
6) القيمة المطلقة للفرق بين العددين.
الحل :
أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو :
(ويُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط)
إذن : قيم X هي : 𝑋 = { 1 , 2 , 3 , 4 }
7) ناتج ضرب العددين.
الحل :
أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو :
ويُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط
إذن : قيم X هي : 𝑋 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 }