رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي 1 : 

في$△ABC$ إذا علمت أن $\angle A \cong \angle B$ فأثبت أن $\overline{CA} \cong \overline{CB}$ باستعمال البرهان ذي العامودين 

العبارات	المبررات
$\angle A \cong \angle B$	معطى
$\overline{CA} \cong \overline{CB}$	عكس النظرية

 

 

 

---

أتحقق من فهمي 2 : 

3- أسمي زاويتين متطابقتين غير مشار إلى تطابقهما في الشكل 

$\angle WVS \cong \angle WSV \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \overline{WS} \mathrm{تقابل} \angle WVS و \overline{WV} \mathrm{تقابل} \angle WSV$

 

4- أسمي قطعتين مستقيمتين متطابقتين غير مشار إلى تطابقهما في الشكل 

$\overline{TS} \cong \overline{TR} \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \angle TSR \mathrm{تقابل} \overline{TR} و \angle TRS \mathrm{تقابل} \overline{TS}$

 

 

 

---

أتحقق من فهمي 3 : 

3- أجد قيمة كل من x و  y  في الشكل المجاور  

 الخطوة 1 : أجد قيمة X

بما أن $\overline{AC} \cong \overline{AD} \cong \overline{CD}$ فإن $△ADC$ متطابق الزوايا

ومنه $X = 60°$

الخطوة 2 : أجد قيمة Y 

بما أن $\angle ACD = 60° و \angle BCD = 90°$

 فإن        $$\begin{gathered} \angle BCA = \angle BCD - \angle ACD \\ = 90° - 60° \\ = 30° \end{gathered}$$

وبما أن $\overline{BA} \cong \overline{BC}$ فإن   $\angle BCA \cong \angle BAC = 30°$

ومجموع زوايا المثلث $180°$ إذن 

                                        $$\begin{gathered} \angle BCA + \angle BAC + y° = 180° \\ 30° + 30° + y° = 180° \\ 60° + y° = 180° \\ y° = 120° \end{gathered}$$

 

---

أتحقق من فهمي 4 : 

بلياردو : كرات البلياردو على شكل مثل متطابق الأضلاع كما في الشكل المجاور؛

لأن شكل المثل قادر على نقل الطاقة الحركية من الكرة الأولى في الواجهة إلى غيرها من الكرات،

فتتحرك كلها من ضربة واحدة. أجد قيمة المتغير x

بما أنه متطابق الأضلاع إذن :

                                               $$\begin{gathered} \left(21-x\right) = \left(x + 5\right) \\ 21-5 = x + x \\ 16÷2 = 2x ÷2 \\ x = 8 \end{gathered}$$

 

---

أتدرب وأحل مسائل  :

1- إذا كان$\overline{AD} \cong \overline{AH}$  فاسمي زاويتين متطابقتين 

$\angle AHD \cong \angle ADH \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \overline{AD} \mathrm{تقابل} \angle AHD و \overline{AH} \mathrm{تقابل} \angle ADH$

 

2-إذا كان $\angle BDH \cong \angle BHD$ فاسمي قطعتين مستقيمتين متطابقتين

$\overline{BH} \cong \overline{BD} \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \angle BDH \mathrm{تقابل} \overline{BH} و \angle BHD \mathrm{تقابل} \overline{BD}$

 

---

3- إذا كان $\overline{LT} \cong \overline{LQ}$ فاسمي زاويتين متطابقتين 

$\angle LTQ \cong \angle LQT \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \overline{LQ} \mathrm{تقابل} \angle LTQ و \overline{LT} \mathrm{تقابل} \angle LQT$

 

4-إذا كان $\overline{LX} \cong \overline{LW}$ فاسمي زاويتين متطابقتين

$\angle LXW \cong \angle LWX \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \overline{LW} \mathrm{تقابل} \angle LXW و \overline{LX} \mathrm{تقابل} \angle LWX$

 

5-إذا كان $\overline{LY} \cong \overline{LZ}$  فاسمي زاويتين متطابقتين

$\angle LYZ \cong \angle LZY \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \overline{LZ} \mathrm{تقابل} \angle LYZ و \overline{LY} \mathrm{تقابل} \angle LZY$

 

6-إذا كان $\angle LXW \cong \angle LWX$فاسمي قطعتين مستقيمتين متطابقتين

$\overline{LW} \cong \overline{LX} \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \angle LXW \mathrm{تقابل} \overline{LW} و \angle LWX \mathrm{تقابل} \overline{LX}$

 

7-إذا كان $\angle LSR \cong \angle LRS$ فاسمي قطعتين مستقيمتين متطابقتين

$\overline{LR} \cong \overline{LS} \mathrm{فإن} \mathrm{لذا} , \angle LSR \mathrm{تقابل} \overline{LR} و \angle LRS \mathrm{تقابل} \overline{LS}$

 

---

8- العلم الأردني: العلم الأردني مستطيل طوله مثلا عرضه، فيه مثلث متطابق الضلعين لونه أحمر،

وارتفاع المثلث $\overline{BE}$ يساوي نصف طول العلم.

أثبت أن $△DBA \cong △ EBA$

العبارات	المبررات
$▭ADBE$ مستطيل	معطى
$\angle AEB \cong DBE = 90°$	التعريف
$\angle ABE \cong \angle BAD$	تبادل داخلي
$\overline{AB} \cong \overline{AB}$	ضلع مشترك
$△DAB \cong △EBA$	HL

 

---

9-وفي الشكل الآتي، إذا علمت أن $△XKF$ متطابق الأضلاع، و$\overline{XJ}$ ينصف $\angle X$ ، فأكتب برهانا ذا عمودين؛ لإثبات أن $J$ نقطة منتصف $\overline{KF}$

العبارات	المبررات
$\overline{XK} \cong \overline{XF}$	من التعريف
$△XKF$	معطى
$\angle KXJ \cong \angle JXF$	$\angle X \mathrm{يصنف} \overline{XJ}$
$\overline{XJ} \cong \overline{XJ}$	ضلع مشترك
$△KXJ \cong △JXF$	SAS
$\overline{KJ} \cong \overline{JF}$	من التطابق

 

 

 

---

10-في الشكل الآتي، إذا علمت أن $△MLP$ متطابق الضلعين و N نقطة منتصف $\overline{MP}$ ، فأكتب برهانا سهما؛ لإثبات أن $\overline{LN} \perp \overline{MP}$

 

 

 

 

 

 

 

---

11- أجد قيمة X في الشكل التالي 

بما أن المثلث الذي فيه الزاوية 60 متطابق الأضلاع فإن الضلع المشترك بين المثلثين يساوي 2X+5 

وبما أن المثلث الأخر زواية القاعدة متساوية إذا هو مثلث متساوي الساقين 

النتيجة : 

              $2X + 5 = 3X - 13$

أحل المعادلة 

               $$\begin{gathered} 13+5 = 3X-2X \\ 18 = X \end{gathered}$$

 

---

12-أجد قيمة X في الشكل التالي

بما أنه مثلث متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة متساوية 

وأيضا زوايا المثلث تساوي 180

ومنه $2\left(3X+8\right)° + \left(2X+20\right)° = 180°$

أحل المعادلة :

           $$\begin{gathered} 2\left(3X+8\right) + \left(2X+20\right) = 180 \\ 6X + 16 + 2X + 20 = 180 \\ 8X + 36 = 180 \\ 8X = 144 \\ X = 18 \end{gathered}$$

 

---

13-أجد قيمة X في الشكل التالي

بما أن الملثل متساوي الساقين اذا زواية القاعدة متساوية 

ومنه $\left(2X - 25\right) = \left(X + 5\right)$

أحل المعادلة : 

          $$\begin{gathered} \left(2X - 25\right) = \left(X + 5\right) \\ 2X - X = 25 + 5 \\ X = 30 \end{gathered}$$

 

---

14-أجد قيمة X في الشكل التالي

بما أن المثلث متطابق الأضلاع ومنه نستنتج أن زوايا المثلث متساوية

 

إذا :

      $$\begin{gathered} 3 \times 3X = 180° \\ 9X = 180 \\ X = 20 \end{gathered}$$

 

 

 

---

حقيبة يبين الشكل المجاور تصميماً لحقيبة قماشية 

 

15- أثبت أن $△ABE \cong △DCE$

العبارات	المبررات
$\overline{CD} \cong \overline{AB}$	معطى
$\overline{ED} \cong \overline{EA}$	معطى
$\angle BAE \cong \angle EDC$	معطى
$△ABE \cong △DCE$	SAS

 

16- أسمي المثلثات المتطابقة الضلعين في الحقيبة 

 

$$\begin{gathered} \overline{AE}\cong \overline{DE} \mathrm{في} \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق}△AED \\ \overline{BE}\cong \overline{CE} \mathrm{في} \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق}△CEB \end{gathered}$$

 

17- أسمي ثلاث زوايا تتطابق مع $\angle EAD$

$\angle EDA \cong \angle ECB \cong \angle EBC$

 

---

18- أجد قيمة X و Y في الشكل التالي 

بما أن المثلث الذي يحتوي الزاوية X متطابق الأضلاع إذا جميع الزوايا متساوية و تساوي 60

إذا $X = 60°$

وبما أن المثلث الذي يحتوي على y متساوي الساقين إذا زوايا القاعدة متساوية $\angle 2 \cong \angle y$

وبما أن الزاويا $\angle 1 \cong \angle 2$ تبادل داخلي

وقياس الزاويا $\angle 1 = 60°$

اذا $y = 60°$

---

19- أجد قيمة X و Y في الشكل التالي 

بما أن المثلث الذي على اليمين متساوي الزوايا إذا هو متطابق الأضلاع

بما أن المثلث الذي على اليسار متساوي الزوايا في القاعدة إذا هو متطابق الضلعين

ومنه نستنتج انه الالاضلاع الثلاثة المشار اليها في الشكل متساوية

أحل المعادلات: 

                              $$\begin{gathered} y + 12 = 5y - 4 \\ 12 + 4 = 5y - y \\ 16 = 4y \\ y = 4 \end{gathered}$$

إذن قيمة $y = 4$

مع تعويض قيمة y في المعدلة

                   $$\begin{gathered} 3x - 5 = 5 \times \left(4\right) - 4 \\ 3x - 5 = 16 \\ 3x = 21 \\ x = 7 \end{gathered}$$

إذن فيمة $x = 7$

---

أسئلة كتاب التمارين  :

1- أجد قيمة X في الشكل التالي

بما أن زوايا القاعدة متساوية إذا هو مثلث متساوي الساقين

إذا : 

      $$\begin{gathered} 3X + 4 = 22 \\ 3X = 18 \\ X = 6 \end{gathered}$$

 

 

---

2-أجد قيمة X في الشكل التالي 

 

بما أن زوايا القاعدة متساوية إذا هو مثلث متساوي الساقين

إذا : 

       $$\begin{gathered} 5X + 5 = 35 \\ 5X = 30 \\ X = 6 \end{gathered}$$

 

 

 

---

3-أجد قيمة X في الشكل التالي 

بما أن المثلث متساوي الساقين إذا زوايا القاعدة متساوية

إذا :

      $$\begin{gathered} 9X = 72 \\ X = 8 \end{gathered}$$

 

---

4- أجد قيمة X في الشكل التالي 

بما أن المثلث 2 متساوي الزوايا اذا قياس الزاوية المجاورة لx تساوي 60

وبما أن زوايا القاعدة متساوية في 1 و زوايا القاعدة متساوية في 3 

وتساوي زوايا المثلث 1 تساوي الزوايا في مثلث 3 

إذا نستنتج أنه 

                         $$\begin{gathered} 60 + x + x = 360 \\ 2x + 60 = 360 \\ 2x = 300 \\ x = 150 \end{gathered}$$

 

 

---

5- أجد قيمة X و Y في الشكل التالي  

الزاوية الخارجية x تساوي قياس الزاويتين الداخليتين البعيدتين

      $$\begin{gathered} x = 2b \\ b = \frac{x}{2} \end{gathered}$$

ومنه نستنتج للمثلث الكبير أن قياس الزاويا 180

$$\begin{gathered} 180 = x + 90 + \frac{x}{2} \\ 180 = \frac{3x}{2}+90 \\ 90 = \frac{3x}{2} \\ x = 60 \end{gathered}$$

إذن قيمة  $x = 60$

     $$\begin{gathered} 180 = b + b + y \\ 180 = \frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y \\ 180 = x +y \\ 180 = 60 + y \\ y = 120 \end{gathered}$$

إذن قيمة  $y = 120$

 

---

6- أجد قيمة X و Y في الشكل التالي  

بما أن المثلث الذي على اليسىار متطابق الزوايا وقياس الزاوية = 60

نستنتج أن المثلث الكبير  يساوي التالي 

$$\begin{gathered} 180 = 60 + 30 + \angle x \\ 180 = 90 + \angle x \\ \angle x = 90 \end{gathered}$$

بما أن المثلث الذي على اليسىار متطابق الزوايا إذن هو متطابق الاضلاع 

اذا بنظرية فيثاغورس 

$$\begin{gathered} {\left(80\right)}^2 = {\left(8y\right)}^2 + {\left(40\right)}^2 \\ 6400 = 64y^2 + 1600 \\ 4800 = 64y^2 \\ {y}^2 = 75 = \pm \sqrt{75} \end{gathered}$$

 

 

 

 

---

7- اكتشف الخطأ : تقول ريما : بما أن $\angle A \cong \angle C$ فإن $\overline{AC} \cong \overline{BC}$ ومنه فإن $BC = 6 cm$ اكتشف الخطأ في قول ريما وأصححه 

 

بما أن $\angle A \cong \angle C$ فإن  $\overline{AB} \cong \overline{BC}$ ومنه فإن $BC = 5 cm$