مفهوم أساسي:
إذا كان كل من اقترانين متصلين في الفترة ، وكان ، لكل قيم x في الفترة ،
فإن مساحة المنطقة المحصورة بين تعطى بالعلاقة:
جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين
الحل :
أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين ، إن وجدت. لذلك يجب أن نجعل y موضوع قانون
ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة بتطبيق العلاقة السابقة
لاحظ أن القيمة كانت سالبة لأننا لم نحدد أي الاقترانين هو الأكبر ،
لكن ذلك لا يؤثر في صحة الحل لأننا سنعالج ذلك بأخذ القيمة المطلقة للناتج.
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين في الفترة
الحل :
أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.
نلاحظ إنه عند يتقاطع الاقترانين.وهذا يعني أن المنطقة ستنقسم إلى منطقتين في الفترة
ثانياً :سنطبق العلاقة
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين في الفترة .
الحل :
أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.
ثانياً : ستنقسم المنطقة بين الاقترانين إلى منطقتين
ملاحظة تكتب الحدود بالترتيب التصاعدي
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين
الحل:
أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.
وسنجعل y موضوع قانون في الاقتران الثاني
ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة
بالتالي فإن المساحة الكلية:
تعلم من مرحلة سابقة أن الإزاحة هي التغير في موقع الجسيم فإذا كان يمثل اقتران موقع الجسيم عند الزمن t .
فإن الإزاحة على الفترة الزمنية هي:
أما المسافة المقطوعة فهي كمية موجبة دائمًا وتساوي:
بحيث أن v(t) هو منحنى السرعة لجسيم يتحرك في خط مستقيم ومن المهم ملاحظته أن المساحة المحصورة بين منحنى السرعة -الزمن والمحور x
إذا وقعت فوق المحور x فهي كمية موجبة
وإذا وقعت تحت المحور x فهي كمية سالبة
فإذا كان الحديث عن الإزاحة فالمنطقة فوق المحور موجبة وتحته سالبة. وإذا كان الحديث عن المسافة فالمنطقة دائمًا موجبة .
يبين الشكل المجاور منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية ،
إذا بدأ الجسم الحركة عند ،عندما كانت .
فأجد كلًا مما يأتي:
أولاً : إزاحة الجسيم في الفترة .
الحل:
سنجد المساحة المحصورة بين منحنى السرعة - الزمن والمحور x.
فالمساحة هي مساحة المثلث في الفترة .
ولأنها تمثل الإزاحة تحت المحور x فهي .
والمساحة هي مساحة المثلث والمستطيل في الفترة .
ولأنها تمثل الإزاحة فوق المحور x فهي 9+ بالتالي فإن:
أو من خلال القانون
ثانياً : المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة .
الحل:
يمكن القول أن المسافة تساوي
ثالثاً : الموقع النهائي للجسيم.
الحل:
يقصد بالموقع النهائي للجسيم موقعه بعد 6 ثواني أي s(6) ونحن نعلم أن:
ومن المعطيات نجد أن الموقع الابتدائي والإزاحة حسبت في الفرع (1) وتساوي بالتالي:
تعلم أن أي مساحة محصورة بين منحنيين إذا دارت حول المحور x فإنها تنتج مجسمًا دورانيًا يمكن إيجاد حجمه باستخدام التكامل على النحو التالي:
وهو حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران دورة كاملة حول المحور x في الفترة
أجد حجم الجسم المتولد عن دوران المنطقة المحصورة بين ومحور x في الفترة .
والآن سنجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين اقترانين.
حيث هما نقاط التقاطع بين الاقترانين وعلى الترتيب.
أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين حول المحور x .
سنستخدم قانون الحجم: