رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

لعله من أهم تطبيقات التكامل المحدود: إيجاد المساحات والحجوم الدورانية.

ويناقش هذا الدرس المساحة المغلقة المحصورة بين منحنى اقترانين وعلاقته بالتكامل المحدود, حيث تعطى المساحة المغلقة بين منحنى الاقترانين f(x) و g(x) في المستوى الإحداثي على الفترة [a,b] بالصيغة:

A=abf(x)-g(x)dx

وإذا لم تُحدد فترة للمساحة, تكون المساحة بين المنحنيين في الفترة المحصورة بين نقاط تقاطعهما.

أما الحجوم الدورانية الناتجة من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f(x) والمحور x على الفترة [a,b], فإنها تُعطى بالصيغة:

V=abπ(f(x))2dx

وإذا كانت المنطقة محصورة بين منحنيي الاقترانين f(x) و g(x), فإن الحجم الدوراني يعطى بالصيغة:

V=abπ((f(x))2-(g(x))2)dx

وكذلك, من تطبيقات التكامل المحدود, ربط المساحات بالإزاحة والمسافة المقطوعة لجسم يسير في خط مستقيم خلال فترة زمنية محددة, اعتمادًا على الصيغتين:

abv(t) dt =الإزاحةabv(t) dt =المقطوعة المسافة 

حيث v(t) هي اقتران السرعة المتجهة في الفترة الزمنية [a,b] فبذلك, تكون المسافة المقطوعة هي المساحة المحصورة بين منحنى السرعة المتجهة والمحور الأفقي t في الفترة الزمنية [a,b].