رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

الدرس الخامس: المساحة والحجوم .

التحقق من الفهم ص  77

 a أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :   g(x)=x2+1 , f(x)=x،

        والمستقسمين  x=0 , x=3 .

 Solution: A=0 3(x2+1-x)dx   =x33+x-23x32 30   =273+3-23(3)32 =12-23=8.54            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=2-sinx , f(x)=sinx   

        والمستقسمين  x=0 , x=π 

 Solution: A=0 π(2-sinx-sinx)dx   =0 π(2-2sinx)dx   =2x+2cosx π0   =2π+2(cosπ-cos0)   =2π+2(-1-1)=2π-4=2.28

التحقق من الفهم ص  79

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=x+2 , f(x)=x2

 Solution: f(x)=g(x)  x2=x+2   To find  intersections pointsx2-x-2=0(x-2)(x+1)=0 x=-1 , 2 A=-1 1(x+2-x2)dx   =x22+2x-x33  2-1   =32+2(3)-93=92=4.5

التحقق من الفهم ص  81

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرّك على  

المحور x   في الفترة الزمنية

إذا بدأ الجسَيْم الحركة من x = 3  عندما 0=t . فأجد كلا مما يأتي:

a إزاحة الجُسَيم في الفترة الزمنية المعطاة.   

 

     Solution: A=A1+A2+A3+A4+A5    =12(1×1)+(2×1)+12(12×1)-12(12×1)-(1×1)   =12+2+14-14-1=1.5 units

b المسافة التي قطعها الجْسَيْم في الفترة الزمنية المعطاة.

 Solution: A=A1+A2+A3+A4+A5    =|12(1×1)|+|(2×1)|+|12(12×1)|-12(12×1)-|(1×1) |=12+2+14+14+1=4 m

c الموقع النهائي للجسيم .

 Solution: S(5)-S(0)=0 5V(t)dt S(5)-112=4 S(5)=9.5

التحقق من الفهم ص  83

أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران  f(x)=1x.

والمحور  والمستقيمين x=1  ، x=4   حول المحور x: 

 Solution: v=π1 4(1x)2dx   =- πx 41   =π-π4

التحقق من الفهم ص  85

أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  g(x)=x2 , f(x)=x.

حول المحور x: 

 Solution: x2=x x4=x x4-x=0 x( x3-1)=0 x( x-1)(x2+x+1)=0 x=0 , 1 v=π0 1( (x)2-(x2)2 )dx   =π0 1(x-x4)dx=π(x22-x55) 10    =π(12-15)=3π10

تمارين ومسائل

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية : 

 1 Solution: A=-1 1(x2--2x4)dx   =-1 1(x2+2x4)dx=x33+2x55  1-1   =23+45=225 

 

 

 2 Solution: A=2-2 0(x3-3x-x)dx   =2-2 0(x3-4x)dx=2(x44-2x2)   0-2   =2(-164-2(-4))=8     

 

 3 Solution: A=03(e0.5x-e-0.5x)dx   =(2e0.5x+2e-0.5x) 30   =(2e1.5-2+2e-1.5-2)   =(2e1.5+2e1.5-4)=2+2e3e1.5-4        

 

 4 Solution: A=0 π4(sec2x-sinx)dx   =(tanx+cosx)  π4 0   =1+12-1=12   

 

 5 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=2x2  , f(x)=12x2+6 

 Solution: f(x)=g(x)  12x2+6=2x2   To find  intersections pointsx2+12-4x2=012-3x2=0 x=-2 , 2 A=-2 2|12x2+6-2x2|dx   =-2 2|6-32x2|dx   =|6x-x32|    2-2=|24-8|=16

6 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين : g(x)=3x , f(x)=4x ،

        والمستقيم  x=1  في الربع الأول .

 Solution: f(x)=g(x)  4x=3x   To find  intersections points x=0 A=0 1| 4x-3x|dx   =| 4xln4-3xln3|  10   =| 4-1ln4-3-1ln3|    =| 3ln4-2ln3|=ln27-ln16ln3 ln4=0.34

 

7 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=cosx , f(x)=ex .

      والمستقيم  x=π2  في الربع الأول .

 Solution: f(x)=g(x)  ex=cosx  To find  intersections points x=0 A=0 π2| ex-cosx|dx   =|ex-sinx| π2 0   =|eπ2-e0-sin(π2)+sin(0)|    =eπ2-2=2.8

 

8 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=-x2+2x , f(x)=3x3-x2-10x

 

   Solution: f(x)=g(x)  3x3-x2-10x=-x2+2x  To find  intersections points 3x3-12x=0 x3-4x=0 x(x2-4)=0 x=-2 , 0 , 2 A=-2 0(3x3-12x)dx+0 2(-3x3+12x)dx   =(3x44-6x2)  0-2 + (-3x44+6x2)  20   =(-12+24)+ (-12+24)=24

9 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  g(x)=4x+12 , f(x)=4-x2

         والمستقيمين  x=-1 , x=2

 Solution: f(x)=g(x) 4-x2=4x+12  To find  intersections pointsx2+4x-8=0x=-4±16-4×1×82=-4±-162  without solution A=-1  2|x2+4x-8|dx   =|x33+x2-8x|   2-1    =|8+13+4-1-82+1|    =|3+3-24|=|-18|=18

 

10 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنىين الاقترانين :  h(x)=4x, f(x)=12x2

 Solution: f(x)=h(x)  12x2=4x  To find  intersections points x4-64x=0 x(x3-64)=0 x=4, 0  A=0 4(4x-12x2)dx   =(8x323-x36) 40   =(643-323)=323

 

11 يبين الشكل منحنى الاقتران   f(x)=x2 إذا كان إحداثيا النقطة A  هما  A(a,a2) ،  

         فأثبت أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران   والمستقيم AB          

         تساوي ثلثي مساحة المستطيلABCD .    

  Solution: Equation of AB: y=a2 A=20 a(a2-x2)dx   =2(a2x-x33) a0    =2(a3-a33)=4a33  Arectangel=2a×a2=2a3 20 a(a2-x2)dx=23 Arectangel 4a33=23 Arectangel

12  يبين الشكل منحنى الاقتران   f(x)=2x2+x، إذا كان احداثي x   

         لكل من النقطة A ، والنقطة B  هما 2 و 12 على الترتيب .

       أجد مساحة المنطقة المحصورة بين المستقيم AB ومنحنى الاقتران .

 Solution: Equation of AB : A(12,f(12)) , B(2,f(2)) y-y1=m(x-x1) y-f(12)=f(2)-f(12)2-12(x-12)but f(x)=2x2+x y-172=52-17232(x-12) y-172=-4(x-12) 2y-17=-8x+4 y=-4x+212 A=12 2(-4x+212-2x2-x)dx   =12 2(-5x-2x2+212)dx   =(-5x22+2x+212x)   21/2       =(-10+58+1-4+212×32)   =(-13+1318)=278=3.375

 

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرّك على  

المحور x   في الفترة الزمنية 0 , 8 ، إذا بدأ الجسَيْم الحركة من  x =5  

عندما 0=t . فأجد كلا مما يأتي:

13 إزاحة الجُسَيم في الفترة الزمنية المعطاة.

     Solution: A=A1+A2+A3    =12(1×2)-12((1+3)×2)+12(4×4)    =1-4+8=5 units

 14 المسافة التي قطعها الجْسَيْم في الفترة الزمنية المعطاة.

 Solution: A=A1+A2+A3    =|12(1×2)|+|12((1+3)×2)|+|12(4×4)|    =1+4+8=13 units

 15 الموقع النهائي للجسيم .

   Solution: S(8)-S(0)=0 8V(t)dt S(8)-S(0)=13 S(8)-1=13 S(8)=14

 يبين الشكل منحنى الاقترانين   g(x)= 5+4x-x2 , f(x)=x2-10x+25  

معتمدا هذا الشكل أجيب عن السؤالين الآتيين  تباعاً

16 أجد إحداثيي كل من النقطتين A ، B

 

 Solution: f(x)=h(x)  x2-10x+25=5+4x-x2  To find  intersections points 2x2-14x+20=0 x2-7x+10=0(x-5)(x-2)=0 x=2, 5 

17 أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المظللة حول المحور x . 

  Solution: f(x)=g(x)  x2-10x+25=5+4x-x2  To find  intersections points 2x2-14x+20=0 x2-7x+10=0(x-5)(x-2)=0 x=2, 5  V=π2 5((x2-10x+25)2-(5+4x-x2)2)dx    =π2 5(x4-20x3+150x2-500x+625- (x4-8x3+6x2+40x+25))dx    =π2 5(-12x3+144x2-540x+600)dx    =π(-3x4+144x33-270x2+600x) 50    =π(-3(625)+144(125)3-270(25)+600(5))    =π(-1875+6000-6750+3000)    =π(-5625+6000)=375π

 

18 أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f(x)=sinx .

          في الفترة   [0 , π]حول المحور   x

 Solution: v=π0 π( (sinx)2)dx   =π0 π(sinx)dx=π(-cosx)π0 =π(-cosπ+cos0)   =π(1+1)=2π

 

19 أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  g(x)=x3 , f(x)=x  .

         حول المحور   x

 Solution: f(x)=g(x)  x=x3  To find  intersections points   x=x6    x6-x=0  x(x5-1)=0 x=0, 1  V=π0 1((x)2-(x3)2 )dx =π0 1(x-x6)dx=π(x22-x77)10    =π(12-17)=5π14

20  أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران  f(x)=1+secx

              في الفترة (-π3,π3 )  والمستقيم  y=3 ، حول المحور  x .

 Solution: 1+secx=3secx=2cosx=12x=-π3,π3 V=π-π3 -π3((3)2-(1+secx)2)dx   =π-π3 -π3(9-1-2secx-sec2x)dx   =π-π3 -π3(8-2secx-sec2x)dxsecx =secx×secx+tanxsecx+tanxsecx =sec2x+secx tanxsecx+tanx So :V=π-π3 -π3(8-2sec2x+secx tanxsecx+tanx-sec2x)dx     =π(8x-2ln(secx+tanx)-tanx)π3-π3    =π(-2ln(32+1)+2ln(1-32)+16π3+23)=25.21

 

يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران  f(x)=2x-2 حيث : x1                          

إذا كانت النقطة P(9,4)  تقع على منحنى الاقتران f ، حيث  PA  يوازي المحور y ، 

و  PBيوازي المحور x فأجد كلا مما ياتي :

21  أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f ، والمستقيم  y=4  ، والمحورين الاحداثيين .

      Solution: 2x-2=0  To find  intersections points   2x-2=0 x= 1 2x-2=4   2x-2=16 x= 9  A=0 1(4-0 )dx+19(4-2x-2 )dx    =(4x) 10+(4x-2(2x-2)326) 91    =4+36-643-4=443

22 أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران f ، والمستقيم  x=9  والمحور x .

    Solution: A=19(2x-2 )dx    =(2x-2)32391=643 

 

23 تبرير : يبين الشكل المجاور المنطقة المحصورة بين المحورين الإحداثيين          

 

في الربع الأول:ومنحنى الاقتران:  f(x)=2x-2 والمستقيمين: y=5 , x=6 .

 أجد حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة حول المحور x   مبررا إجابتي.

 Solution: 2x-2=0  To find  intersections points   x-2=0 x= 2  A=π0 2((5)2-(0)2)dx+π2 6((5)2-(2x-2)2)dx   =π0 2(25)dx+π2 6(25-(4(x-2))dx   =π0 2(25)dx+π2 6(33-4x)dx    =50π+132π-(2x2)π 62     =182π-64π=118π 

 

 

تبرير: تبين الشكل المجاور منحنيي الاقترانين:  h(x)=sinx ,  f(x)=cosx .  

 مُعتمدًا هذا الشكل. أجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعا:

24 أجد إحداثيي النقطة A .

 

 Solution: To find  A f(x)=h(x) cosx=sinx tanx=1 x=π4

25 أجد مساحة كل من المناطق:  R1 , R2 , R3

 Solution: R1=0 π4(cosx -sinx )dx       =sinx+cosx π4 0=2-1 R2=0 π4(sinx )dx+π4 π2(cosx )dx       =-cosx π4 0+sinx π2 π4=1-12+1-12=2-2 R3=π4 π2(sinx-cosx)dx+π2 π(sinx)dx       =-sinx-cosx π4 0-cosx   π π2 =1-2 +1=2-2

26 أثبت أن مساحة المنطقة  R1 إلى مساحة المنطقة  R2 تساوي :  2:2

 Solution: R1=2-1 R2=2-2R1R2=2-12-2      =2-12-2×2+22+2      =22+2-2-24-2=22

 

تحد: إذا كان العمودي على المماس لمنحنى الاقتران:  f(x)=x2-4x+6

        عند النقطة(1 , 3) يقطع منحنى الاقتران مرة أخر ى عند النقطة P  . فأجد كلا مما يأتي:

27  إحداثيات النقطة P .

 Solution: f(x)=x2-4x+6 f'(x)=2x-4m= f'(1)=2(1)-4=-2 y-y1=-1m(x-x1) y-3=12(x-1) 2y-6=x-1 y=x+52 now  f(x)=y x2-4x+6=x+522x2-8x+12=x+52x2-9x+7=0(2x-7)(x-1)=0x=1 , 72P=(x , y)=(72,174)

28  مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران والعمودي على المماس ، مقربا إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية.

 Solution: A=1 72(x+52-x2+4x-6 )dx       =(x24+52x-x33+2x2-6x)72 1=2.604

29  تبرير: المنطقة المظللة في الشكل المجاور محصورة بين قطعين مكافئين ،        

         يقطع كل منهما المحور x  عندما x = -1  . إذا كانت معادلتا القطعين هما:

         y=2k(x2-1) , y=k(1-x2),   وكانت مساحة المنطقة المظللة هي

         8 وحدات مربعة ؛ فأجد قيمة الثابت K .

 

 Solution:  2k(x2-1)=k(1-x2)  To find  intersections points  2x2-2=1-x2  3x2=3 x=±1  A=-1 1(k(1-x2)-2k(x2-1))dx=8   =-1 1(k-kx2-2kx2+2k)dx=8   =3-1 1(k-kx2)dx=8   =3(kx-kx33) 1-1=8    2k-2k3=83    4k3=83k=2