درسنا سابقًا أن ضرب المتجه في عدد حقيقي R ، ينتج عنه متجه جديد:
أولاً له نفس اتجاه إذا كانت
ثانياً له عكس اتجاه إذا كانت .
فمثلًا: المتجه هو متجه له نفس اتجاه ومقداره يساوي أربعة أمثال مقدار
والمتجه هو متجه له عكس اتجاه , ، ومقداره يساوي نصف مقدار .
فبذلك تكون المتجهات متوازية.
لذلك: يُقال أنَّ المتجهين أنهما متوازيان ، إذا وفقط إذا أمكن كتابة:
حيث R عدد حقيقي .
ويمكن توظيف توازي المتجهات في:
أولاً : اثبات بعض خصائص الأشكال الهندسية.
ثانياً : اثبات أن ثلاثة نقاط تقع على استقامة واحدة.
إذا كان:
أولاً : هل
الحل: نجد المتجهين :
نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي R بحيث يكون المتجه:
ثانياً : بين أن النقاط تقع على استقامة واحدة.
الحل: نجد المتجهين (لهما البداية نفسها)
إذن: المتجهان متوازيان ولأن لهما نقطة البداية نفسها A ، فإن النقاط تقع على استقامة واحدة.
ثالثاً: إذا كان يوازي يوازي فجد قيمة الثابتين
الحل: نجد المتجهين:
بما أن فإنه يوجد عدد حقيقي بحيث أن:
في المثلث المجاور، ،D تقع على بحيث أن
E تقع على بحيث أن أثبت أن
الحل: لاحظ التمثيل أعلاه:
نكتب المتجهين : :
إذن: المتجهان متوازيان.
في متوازي الأضلاع المجاور ، إذا كان
تقع على امتداد من جهة حيث . أثبت أن النقاط تقع على استقامة واحدة.
الحل: لاحظ الشكل المجاور: نكتب المتجهين حيث أن لهما البداية نفسها (F).
(لاحظ أن ضلعي متوازي الأضلاع المتقابلين ، متوازيان ولهما الطول نفسه)
ولأن لهما نفس البداية F فإن النقاط E و F و G تقع على استقامة واحدة .
لكتابة المعادلة المتجهة لمستقيم في الفضاء:
نحتاج إلى معرفة نقطة تقع عليه ، ومتجه يوازيه وتكون المعادلة المتجهة على الصورة: ، حيث:
هو متجه الموقع للنقطة الواقعة على المستقيم
هو متجه يوازي المستقيم (ويسمى: اتجاه المستقيم)
t هو المتغير الوسيط .
ويفضل أن يكون العامل المشترك الأكبر لإحداثيات المتجه في صورته الإحداثية (1).
جد المعادلة المتجهة للمستقيم L الذي يمر بالنقطة ويوازي المتجه
الحل:
متجه الموقع للنقطة p هو :
اتجاه المستقيم L هو : ويمكن قسمة الإحداثيات على 3 فينتج اتجاه المستقيم L:
فتكون المعادلة للمتجه المستقيم L هي:
ويمكن كتابتها باستخدام متجهات الوحدة على الصورة:
جد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطتين:
الحل:
لإيجاد اتجاه المستقيم: نجد المتجه
فيكون اتجاه المستقيم هو وهو متجه يوازي المستقيم ومعادلته المتجهة هي:
ويمكن استبدال متجه موقع النقطة A باتجاه موقع النقطة B لأن كلا النقطتان A و B تقع على المستقيم.
بين أن النقطة تقع على المستقيم الذي معادلته
الحل:
نعوض متجه موقع النقطة A في معادلة المستقيم:
تنتج المعادلات التالية:
بما أن المعادلات الثلاث نتج عنها الحل نفسه فإن النقطة تقع على المستقيم.
إذا كانت النقطة تقع على المستقيم الذي معادلته المتجه:
فجد قيمة كل من الثابتين x و z.
الحل:
تعويض متجه موقع النقطة p في المعادلة المتجه للمستقيم:
بما أن الإحداثي y هو 7 فإن:
وبتعويض ينتج أن:
نقول عن مستقيمين في الفضاء أنهما متخالفان إذا لم يوجد مستوى يحويهما ولم يتقاطعا مثل المستقيمين L و h في الشكل المجاور.
وإذا كان لدينا المستقيمان: :
أولاً : يتوازى المستقيمان إذا وفقط إذا كان لهما الاتجاه نفسه (أي أن ).
ثانياً : يتقاطع المستقيمان إذا نتجت قيمة واحدة فقط لكل من المتغيرين الوسيطين t و u عند حل المعادلات الثلاث الناتجة من مساواة متجهي الموقع للمستقيمين.
ثالثاً : إذا لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين يكونان متخالفين.
إذا كان لدينا المستقيمات:
أولاً : أي المستقيمات الثلاثة متوازية مع بعضها؟
الحل:
لاحظ اتجاه كل مستقيم:
نلاحظ أن المتجهين متوازيان وهما يمثلان اتجاهي المستقيمين
إذن المستقيمان متوازيان .
ثانياً : بين أن المستقيمين متقاطعان وجد نقطة تقاطعهما.
الحل:
تساوي متجهي الموقع
تنتج المعادلات التالية:
بحل المعادلتين (1) و(2):
بتعويض في معادلة (1)
وهي معادلة صحيحة : إذن المستقيمان متقاطعان.
ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض في المعادلة المتجه للمستقيم .
(أو في المعادلة المتجه للمستقيم )
إذن متجه الموقع لنقطة التقاطع هو: . فتكون نقطة التقاطع هي .
ثالثاً: هل المستقيمان متخالفان؟ وضح ذلك.
الحل:
بمساواة متجهي الموقع:
إذن: المستقيمان متخالفان .