رياضيات أدبي فصل ثاني

أولًا : أيجاد المشتقة باستخدام التعريف العام 

تعلّمت سابقًا أنّه يُمكن إيجاد ميل منحنى الاقتران عند نقطة ما عن طريق المشتقة، وذلك بإيجاد ميل المماس عند هذه النقطة.

 

يُمثّل الشكل المجاور مماسًا لمنحنى اقتران عند النقطة  P . أُلاحِظ أنَّ النقطة Q1 في أثناء حركتها على منحنى الاقتران نحو النقطة P تمرّ بالنقاط : Q2 و Q3 و Q4 ، وأنّ ميل كل من القواطع :  $\overline{ P{Q}_2} و \overline{P{Q}_3} و \overline{P{Q}_4}$ يقترب شيئًا فشيئًا من ميل المماس عند النقطة P

 

 

 

 

اعتمادًا على ذلك ، يُمكِن إيجاد مشتقة اقتران قاعدته معلومة ، مثل :   $y=3x^2$
فمثاً، إذا كانت النقطة Q تبعد مسافة أفقية صغيرة مقدارها h عن النقطة  $p(x,3x^2)$ ، فإنَّ إحداثيي النقطة Q هما : ($(x+h , (3{(x+h)}^2)$إذن: ميل القاطع PQ يساوي :  

$$\begin{gathered} m =\frac{∆y}{∆x} \\ =\frac{3{(x+h)}^2 - 3x^2}{(x+h) - x} \\ =\frac{3x^2+6hx +3h^2 - 3x^2}{h} \\ =\frac{6hx +3h^2}{h} \\ =6x +3h \end{gathered}$$

وعند اقتراب النقطة Q من النقطة P ، فإنَّ المسافة الأفقية h تصبح أصغر فأصغر ؛ ما يعني أنّ هذه المسافة تقترب من الصفر ، وهي تُكتَب كما يأتي: .h → 0  وبذلك ، فإنَّ ميل المماس عند النقطة P يساوي نهاية 6x + 3h عندما  h → 0 :

$m = \underset{h\to 0}{\lim } (6x + 3h) = 6x$

وتُسمى 6x مشتقة الاقتران  $y = 3x^2$  ، ويُرمَز إليها بالرمز   $\frac{dy}{dx}$

إذن : إذا كان  $y = 3x^2$  فإنّ : $\frac{dy}{dx}= 6x$ .

يُطلَق على هذه الطريقة في إيجاد مشتقة اقتران عند نقطة ما اسم التعريف العام للمشتقة  ( definition of the derivative )

ملاحظة : (يُرمز إلى مشتقة الاقتران :  $y = f\left(x\right)$  ، بالرموز  : $f\text{'}\left(x\right)$ ،  $y\text{'}$  ، $\frac{dy}{dx}$ )

مفهوم أساسي ( التعريف العام للمشتقة)

مشتقة الاقتران f بالنسبة إلى المُتغيِّر  x هي الاقتران ' f الذي قيمته عند x :

$f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h) - f\left(x\right)}{h}$        ، بشرط وجود النهاية.

مثال : 

أجد مشتقة الاقتران :  $f\left(x\right) = 4x^2$ باستخدام التعريف العام للمشتقة عندما $x = 2$

االحل : 

التعريف العام للمشتقة	$f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h) - f\left(x\right)}{h}$
بتعويض $x = 2$	$f\text{'}\left(2\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h) - f\left(2\right)}{h}$
بتعويض $f(2+h) = 4{(2+h)}^2 , f\left(2\right) =4{\left(2\right)}^2$	$= \underset{h\to 0}{\lim }\frac{4{(2+h)}^2-4{\left(2\right)}^2}{h}$
بالتبسيط	$= \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{16} +16h + 4h^2 -\cancel{16}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16h + 4h^2}{h}$
بإخراج h عامل مشترك واختصاره من البسط والمقام	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{h}(16 + 4h)}{\cancel{h}}$
بتعويض $h = 0$	$$\begin{gathered} = \underset{h\to 0}{\lim }(16 + 4h) \\ = 16 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

يُمكن استعمال التعريف العام للمشتقة لإيجاد اقتران جديد يُمثل مشتقة الاقتران الأصلي.

مثال :

أجد مشتقة الاقتران: y = 6x -  5  باستخدام التعريف العام للمشتقة.

الحل : 

التعريف العام للمشتقة	$\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h) - f\left(x\right)}{h}$
بتعويض $f\left(x\right) = 6x -5 , f(x+h) = 6(x+h) - 5$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6(x+h) -5 -( 6x- 5)}{h}$
بفك الاقواس والتبسيط	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{6x}+6h \cancel{-5} -\cancel{6x} \cancel{+5}}{h}$
باختصار  h من البسط والمقام	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6\cancel{h} }{ \cancel{h}}$
نهاية الثابت	$=\underset{ h\to 0}{\lim }6 = 6$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثانيًا : أيجاد المشتقة باستخدام قواعد الاشتقاق  

1) مشتقة اقتران القوة 

يُطلق على الاقتران : $f\left(x\right) = x^n$ الذي فيه n عدد حقيقي اسم اقتران القوَّة ( power function )، ومن أمثلته : $f\left(x\right) = x^6 , g\left(x\right) =\frac{3}{x^2} , h\left(x\right) = \sqrt{x^3}$ 

يُمكن اشتقاق اقترانات القوة باستخدام قاعدة مشتقة اقتران القوة. 

مفهوم أساسي (مشتقة اقترانات القوة)

بالكلمات : عند اشتقاق الاقتران :   $y = x^{\mathrm{n}}$ ، فإنَّ أُسّ x في المشتقة يكون أقل بواحد من أُسّ x في الاقتران الأصلي ، ومعامل x في المشتقة يساوي أُسّ x في الاقتران الأصلي.

بالرموز  :  إذا كان $y = x^{\mathrm{n}}$  ، حيث n   عدد حقيقي  ، فإنّ : $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} = n{x}^{\mathrm{n}-1}$

مثال :

أجد مشتقة كل اقتران في كل مما يأتي :          $\mathit{a}\mathbf{)} f(x) = x^4 \mathit{b}\mathbf{)} g(x) = \frac{1}{x^2} \mathit{c}\mathbf{)} h\left(x\right) = \sqrt[3]{x^5}$

 

الحل :	$$\begin{gathered} \mathbf{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$
قاعدة مشتقة القوة	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right) = 4 x^{4-1} \\ = 4x^{3 } \end{gathered}$$
الحل :	$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{ }\mathbf{ }$
كتابة الاقتران في صورة أُسّية	$g\left(x\right) = x^{-2}$
قاعدة مشتقة القوة	$g\text{'}\left(x\right) = -2x^{-2-1}$
التبسيط	$g\text{'}\left(x\right) = -2x^{-3}$
تعريف الأس السالب	$g\text{'}\left(x\right) = \frac{-2}{x^3}$
الحل :	$\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt[\mathbf{3}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{5}}}$
تحويل الصيغة الجذرية إلى صيغة أسية	$h\left(x\right) = x^{\frac{5 }{3}}$
قاعدة مشتقة القوة	$h\text{'}\left(x\right) = \frac{5}{3}{x}^{\frac{5}{3}-1}$
التبسيط	$h\text{'}\left(x\right) = \frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}}$
تحويل الصيغة الأسية إلى الصيغة الجذرية	$h\text{'}\left(x\right) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

توجد أيضًا بعض القواعد التي تُسهِّل عملية إيجاد مشتقة الاقترانات التي تتضمَّن حدودها اقترانات القوة. 

مفهوم أساسي (قواعد أخرى للمشتقة)

مشتقة الثابت :

إذا كان y = c ، حيث c عدد حقيقي ، فإنّ :  $\frac{dy}{dx}= 0$  ، أي أنّ مشتقة الثابت  تساوي صفرًا.
مشتقة مضاعفات القوة :

إذا كان  $y = a{x}^n$ ، حيث n و a عددان حقيقيان ، فإنّ : $\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1}$ .

مشتقة المجموع أو الفرق :

إذا كان y = u ± v ، حيث u و v اقترانا قوة ، فإنّ : $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ .

مثال  :

أجد مشتقة كل اقتران في كل مما يأتي :       $\mathit{a}\mathbf{)} y = \sqrt{x^3} + 5x^7 \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ } y = \frac{4x-3}{x}$

الحل :	$\mathbf{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}{\mathbf{x}}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$
تحويل الصيغة الجذرية إلى صيغة أسية	$y = x^{\frac{1}{3}}+ 5x^7$
قاعدة مشتقة اقتران القوة، وقاعدة مشتقة المجموع	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}} + 5\times 7x^6$
التبسيط بتحويل الأس السالب إلى موجب وتحويل الصيغة الأسية إلى الصيغة الجذرية	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3} \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right) + 35x^6$
الحل :	$\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}}{\mathbf{x}}$
بتوزيع البسط على المقام	$y = \frac{4x}{x} - \frac{3}{x}$
بالإختصار  وكتابة الاقتران في الصيغة الأسية	$y = 4 - 3x^{-1}$
قواعد مشتقات الثابت ، ومضاعفات القوة ، والفرق	$\frac{dy}{dx}= 0 - 3 \times -1 x^{-2}$
التبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{x^2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثالثًا : أيجاد السرعة اللحظية لجسم متحرك (استخدام قواعد المشتقة)   

 تَعلَم أنّ :  السرعة اللحظية لجسم مُتحرك تساوي مشتقة اقتران المسافة المقطوعة عند لحظة مُعيّنة ، والآن سأستخدم  قواعد المشتقة التي تعرّفتها في هذا الدرس لإيجاد السرعة اللحظية.

مثال :

يُمثل الاقتران : $S\left(t\right) = t^3 -3t^2 + 1$ المسافة التي يقطعها جسم متحرك بالأمتار (m) ، حيث t الزمن بالثواني (s) ، أجد سرعة الجسم بعد (5) ثوانٍ من بدء حركته.

الحل :

السرعة  =  مشتقة اقتران المسافة ، والمطلوب إيجاد السرعة عندما  t = 5

مشتقة اقتران المسافة	$S\text{'}\left(t\right) = 3t^2 - 6t$
تعويض  t = 5	$S\text{'}\left(5\right) = 3{\left(5\right)}^2- 6\left(5\right)$
بالتبسيط	$S\text{'}\left(5\right) = 45 m/s$

 

إذن سرعة الجسم بعد 5 ثوانٍ من بدء حركته هي 45m/s