رياضيات 11 فصل ثاني

اللوغاريتم الاعتيادي، واللوغاريتم الطبيعي:

يطلق على اللوغاريتم للأساس $\log 10$ أو 10  اسم اللوغاريتم الاعتيادي ويكتب عادةً من دون أساس .

يعد اقتران اللوغاريتم الاعتيادي: $y=\log x$ الاقتران العكسي للاقتران الأسي $y={10}^x$

أي أنّ: $y=lo{g}_{10}x$ إذا وفقط إذا ${10}^y=x,x>0$

أما اللوغاريتم للأساس e أو $lo{g}_e$ فيسمى اللوغاريتم الطبيعي ويرمز اليه بالرمز  $\ln$ 

ويعد اقتران اللوغاريتم الطبيعي $y=\ln x$ الاقتران العكسي للاقتران الأسي $y=e^x$ 

أي أنّ $y=\ln x$  إذا وفقط إذا $e^y=x,x>0$

---

تنطبق خصائص اللوغاريتمات على اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي ، ويمكن استعمالها لايجاد قيمة كل منهما ، علماً بأن الآلة الحاسبة تحوي زراً خاصاً باللوغاريتم الاعتيادي هو  Log  ، وزراً خاصاً باللوغاريتم الطبيعي هو  Ln ، ويمكن بهما ايجاد القيمة التقريبة لكل من اللوغاريتم الاعتيادي ، واللوغاريتم الطبيعي ، لأي عدد حقيقي موجب .

 

مثال (1) : أستعمل الآلة الحاسبة لايجاد قيمة كل مما يأتي ، مقرباً أجابتك الى أقرب جزء من عشرة :

1) $\log 2.7=0.4313637642\approx 0.4$

2) $log(1.3\times {10}^5)=5.113943352\approx 5.1$

3) $\ln 17=2.833213344\approx 2.8$

 

صيغة تغيير الأساس :

إذا كانت $a,b,x$ أعداداً حقيقيةً موجبةً ، حيث $b\ne 1,a\ne 1$ فإنّ:

$lo{g}_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{lo{g}_{a}b}$ 

مثال (2) : جد قيمة كل مما يأتي ، مقرباً أجابتك الى اقرب جزء من مئة (أن لزم) :

1) $lo{g}_{3}16=\frac{\log 16}{log3}\approx 2.52$

2) $lo{g}_{\frac{1}{2}}10=\frac{\log 10}{log\frac{1}{2}}=\frac{\log 10}{log1-log2}=\frac{1}{-log2}\approx -3.32$

---

المعادلات الأسية :

تعلمت سابقاً مفهوم المعادلة الأسية وهي معادلة تتضمن قوى أسسها متغيرات ، ويتطلب حلها كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه ، ثم المقارنة بين أسي الطرفين وفق القاعدة الآتية :

ولكن ، في بعض المعادلات الأسية لا يمكننا كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه ، مثل المعادلة : $3^x=5$ لذا نستعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية.

إذا كان $b>0$ حيثُ $b\ne 1,x>0,y>0$ فإنّ: $lo{g}_{b}x=lo{g}_{b}y$ إذا وفقط إذا x=y.

 

وتأسيساً على ذلك، يمكن حل المعادلات الأسية التي يتعذر كتابتها في صورة قوتين للأساس نفسه ، وذلك بأخذ اللوغاريتم نفسه لطرفي المعادلة ، ثم استعمال قانون القوة في اللوغاريتمات.

مثال (3) : حل المعادلات الأسية الآتية ، مقرباً أجابتك الى أقرب منزلتين عشريتين :

---

 

المعادلات اللوغاريتمية:

تسمى المعادلات التي تحوي متغيراً داخل تعبير لوغاريتمي معادلو لوغاريتمية ، ولحل المعادلة اللوغاريتمية جبرياً ، أكبها بدلالة لوغاريتم واحد في أحد طرفي المعاداة ، ثم استعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية .

مثال : حل المعادلات اللوغاريتمية الآتية .

 

 

 

 

---