رياضيات فصل ثاني

المعادلات التفاضلية

المعادلة التفاضلية:هي المعادلة التي تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما وقد تحوي الاقتران نفسه.

فمثلًا لو كان $y=f\left(x\right)$ فإن: $y^2-y\text{'}=3x+y"$ . هي معادلة تفاضلية تتضمن كل من الاقتران ومشتقتيه الأولى والثانية.

ويكون الاقتران  $y=f\left(x\right)$ حلًا للمعادلة التفاضلية إذا حققها أي إذا عٌوّض الاقتران ومشتقاته في المعادلة وبقيت صحيحة.

مثال:

أحدد فيما إذا كان الاقتران المعطى  $y=\sin x$  يمثل حلًا للمعادلة التفاضلية:   $y+y"=0$

الحل:

$y\text{'}=\cos x$

$y"=-\sin x$

وبجمع الطرفين:

$y+y"=\sin x +-\sin x=0$

لذلك فالاقتران $y=\sin x$  حلًا للمعادلة التفاضلية.

مثال:

أحدد فيما إذا كان الاقتران  $y=e^x$ حلًا للمعادلة التفاضلية : $y-y\text{'}+y"=0$

الحل:

$y=e^x$

$y\text{'}=e^x$

$y"=e^x$

بالتعويض في المعادلة التفاضلية:

$e^x-e^x+e^x\ne 0\to e^x\ne 0$

بالتالي فإن الاقتران   $y=e^x$ ليس حلًا للمعادلة.

---

الحل العام والخاص للمعادلة التفاضلية:

تحل المعادلة التفاضلية بإجراء التكامل لأنها ناتجة عن الاشتقاق. وسيضاف بعد إجراء التكامل قيمة ثابت التكامل c

وإذا ما أعطيت نقطة على منحنى الاقتران أو العلاقة الناتجة وذلك لحل قيمة الثابت c ، فيسمى ذلك بالحل الخاص.

أما الحل العام فتبقى المعادلة الناتجة دون تحديد قيمة c.

مثال:

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:  $\frac{dy}{dx}={(x+1)}^3$

الحل:

بإعادة ترتيب المعادلة:

$y=\int {(x+1)}^{3}dx =\frac{1}{4}{(x+1)}^4+c$

مثال:

أجد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة $(-1,1)$ 

$\frac{dy}{dx}-x^2=3x -\frac{dy}{dx}$

الحل:

بإعادة ترتيب المعادلة:

$2\frac{dy}{dx}=x^2-3x\to \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x^2-3x)$

$y=\frac{1}{2}\int (x^2-3x)dx=\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})+c \mathrm{العام} \mathrm{الحل}$

أما الحل الخاص بتعويض $y=1, x=-1$  لحل قيمة c

$1=\frac{1}{2}(\frac{-1}{3}-\frac{3}{2})+c \to c=\frac{23}{12}$

$y=\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})+\frac{23}{12}$

---

حل المعادلة التفاضلية بفصل المتغيرات:

شاهدنا في المثال السابق أنه وحتى يمكن إجراء التكامل يجب أن يتم فصل   $\frac{dy}{dx}$ في جهة واحدة.

وما سنتعلمه أيضًا فصل المتغيرات بحيث تصبح على النحو التالي:

$\int \left(y \mathrm{بدلالة} \mathrm{المتغيرات}\right) dy=\int \left(x \mathrm{بدلالة} \mathrm{المتغيرات}\right) dx$

مثال:

جد الحل العام للمعادلة التفاضلية :$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{3y^2-1}$

الحل:

بفصل المتغيرات:   $(3y^2-1)dy=(2x+1) dx$

بإجراء التكامل:  $\int (3y^2-1)dy=\int (2x+1)dx\to y^3-y=x^2+x+c$

مثال:

جد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية   $\frac{y^2}{x}=\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(1,1)$.

الحل:

بفصل المتغيرات:$\frac{1}{x}dx=\frac{1}{y^2}dy$

بإجراء التكامل: $\int \frac{1}{x}dx=\int y^{-2}dy\to \ln x+c=\frac{-1}{y}$

بتعويض $y=1 , x=1$ لحل قيمة c            $\ln 1+c=\frac{-1}{1}\Rightarrow c=-1$

الحل الخاص: 

$\frac{-1}{y}=\ln x-1\to \frac{1}{y}=1-\ln x\to y=\frac{1}{1-\ln x}$

مثال:

إذا علمت أن  ${(x+1)}^{2}f\text{'}\left(x\right)=f^2\left(x\right)e^x$، وكان $f\left(2\right)=3, f\left(0\right)=1$ . ، فما قيمة  ${\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx$

الحل:

نعلم أن $f\left(x\right)=y , f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$ لذلك سيعاد كتابة المعادلة السابقة كما يلي : ${(x+1)}^2\frac{dy}{dx}=y^2 e^x$

بفصل المتغيرات:  $\frac{1}{y^2}dy=\frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$

بإجراء التكامل:                                                                                                                                                                                                               $\int \frac{1}{y^2}dy=\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$

وسنحل المقدار   $\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$ بالأجزاء

$\int \frac{1}{y^2}dy=\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$

$\frac{-1}{y}=\frac{-e^x}{x+1}+\int \frac{e^x}{x+1}dx$

$\therefore {\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx=\frac{e^x}{x+1}-\frac{1}{y}=F\left(2\right)-F\left(0\right)$

$when x=2, y=3$

$F\left(2\right)=\frac{e^2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{e^2-1}{3}$

$when x=0, y=1\Rightarrow F\left(0\right)=1-1=0$

${\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\frac{e^2-1}{3}$

---

المعادلة التفاضلية والمسار في خط مستقيم

مثال:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتعطى سرعته بالمعادلة التفاضلية $v=(s+1)(t^2+1)$ .

حيث t الزمن بالثواني ،  s موقع الجسيم بالأمتار، أجد موقع الجسيم بعد 3 ثواني.علمًا بأن موقعه الابتدائي$s\left(0\right)=4m$

الحل:

$\frac{ds}{dt}=(s+1)(t^2+1)$

بفصل المتغيرات:  $\frac{1}{S+1}ds=(t^2+1)dt$

$\int \frac{1}{s+1}dt=\int (t^2+1)dt$

$\ln (s+1)=\frac{t^3}{3}+t+c$

$when t=0, s=4$

$\ln (4+1)=\frac{{\left(0\right)}^3}{3}+0+c\Rightarrow \ln 5=c$

$\ln (s+1)=\frac{t^3}{3}+t+\ln 5$

$s=e^{\frac{t^3}{3}+t+\ln 5}-1$

$wheb t=3 \to s\left(3\right)=e^{12+\ln 5}-1$