رياضيات 8 فصل ثاني

أتحقق من فهمي (مثال 1) :أحدد المقطع الناتج من تقاطع المستوى مع المجسم في كل مما يأتي, أحدد أي المقاطع هو مقطع عرضي ؟

1- المقطع مستطيل 

لاحظ أنه ليس مقطعاً عرضياً لأن المقطع لا يوازي القاعدة

 

 

 

2-المقطع سداسي وهو مقطع عرضي

 

 

 

 

 

3-المقطع مثلث

لاحظ أنه ليس مقطعاً عرضياً لأن المقطع لا يوازي القاعدة

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي (مثال 2) :أجد حجم المنشور المجاور

 

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي 

    أجد مساحة المقطع العرضي (A) بجمع مساحتي المستطيلين A1 و A2

                    صيغة مساحة المقطع العرضي                                            $A=A1+A2$ 

                    صيغة مساحة المستطيل                             $=\left[L1XC1\right]+ [ L2XC2]$

                    أعوض                                                                      $=[ 5 X8 ]+[ 4 X2 ]$

                    أجد الناتج                                                                          $=40+8=48$

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  ${}^{2}mc48$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

           صيغة حجم المنشور                                       $V=AL$

           أعوض                                                          $=48 X 9$

           أجد الناتج                                                           $=432$

           إذن , حجم المنشور  ${}^{3}mc432$

---

أتحقق من فهمي (مثال 3) : أحدد عدد مستويات التماثل للمنشور السداسي المنتظم المجاور 

 

بما أن قاعدة المنشور على شكل سادسي، فإن لها ستة خطوط تماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بكل من هذه الخطوط الستة،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 7 مستويات.

 

 

---

أتحقق من فهمي (مثال 4) :أكمل رسم المجسم في الشكل المجاور، علما بأن المستوى المظلل مستوى تماثل.

 

بما أنه توجد 4 مكعبات في الشكل، فهذا يعني أنه يجب إضافة 4 مكعبات أخرى على الجهة الأخرى من مستوى التناظر.

 

 

 

 

 

 

المجسم الناتج

 

 

 

 

 

 

ملاحظة : طريقة إكمال رسم الشكل كما تعلمت في الدرس الأول (رسم الأشكال ثلاثية الأبعاد)

 

---

أتحقق من فهمي (مثال 5) :أصف المجسم الدوراني الناتج من دوران كل من الأشكال المستوية الآتية حول المحور المعطى، ثم أحدد قياساته وأرسمه:

1-

 

 

 

 

 

المجسم الدوراني الناتج أسطوانة ارتفاعها 8 وطول نصف قطر قاعدتها 6 

 

 

 

 

 

 

---

2-

 

 

 

 

 

المجسم الدوراني الناتج كرة نصف قطرها 7 

 

 

 

 

 

---

أتدرب وأحل مسائل ص(110-111).

أحدد المقطع الناتج من تقاطع المستوى مع المجسم في كل مما يأتي, أحدد أي المقاطع هو مقطع عرضي ؟

1- المقطع مربع وهو مقطع عرضي

 

 

 

 

 

2-المقطع دائرة 

لاحظ أنه ليس مقطعاً عرضياً لأن المقطع لا يوازي القاعدة

 

 

 

 

3-المقطع مثلث وهو مقطع عرضي

 

 

 

 

 

---

 أجد حجم المنشور المجاور

4-

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي 

أجد مساحة المقطع العرضي (A) بجمع مساحة الثلاثة مستطيلات A1 و A2 و A3

 

                    صيغة مساحة المقطع العرضي                                                              $A=A1+A2 +A3$

                    صيغة مساحة المستطيل                                   $=[ L1XC1 ]+[ L2XC2 ]+[ L3XC3 ]$  

                    أعوض                                                                                $=[ 6X3 ]+[ 5 X15 ]+[6 X3 ]$

                    أجد الناتج                                                                                       $=18+75+18=111$

 

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  ${}^{2}M111$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

 

                 صيغة حجم المنشور                                             $V=AL$

                 أعوض                                                          $=111 X 12$

                 أجد الناتج                                                             $=1332$

           إذن , حجم المنشور   ${}^{3}M 1332$

---

5-

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي 

أجد مساحة المقطع العرضي (A) بجمع مساحتي المستطيل والمثلث A1 و A2 

 

                    صيغة مساحة المقطع العرضي                                                     $A=A1+A2$

                    صيغة مساحة المستطيل , المثلث                $=[\frac{1}{2} XL1XC1 ]+[ L2XC2 ]$

                    أعوض                                                                          $=[\frac{1}{2} X5X2 ]+[ 4X5 ]$

                    أجد الناتج                                                                                    $=5+20=25$

 

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  ${}^{2}M25$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

 

                 صيغة حجم المنشور                                                                                     $V=AL$

                 أعوض                                                                                                       $=25X9$

                 أجد الناتج                                                                                                        $=225$

           إذن , حجم المنشور   ${}^{3}M225$

---

6-

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي 

أجد مساحة المقطع العرضي (A) بجمع مساحتي المستطيلين A1 و A2 

 

                    صيغة مساحة المقطع العرضي                                                   $A=A1+A2$

                    صيغة مساحة المستطيل                                     $=[ L1XC1 ]+[ L2XC2 ]$

                    أعوض                                                                                $=[12X7 ]+[ 3X4 ]$

                    أجد الناتج                                                                                $=84+12=96$

 

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  ${}^{2}M96$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

 

                 صيغة حجم المنشور                                                                                 $V=AL$

                 أعوض                                                                                                  $=96 X 4$

                 أجد الناتج                                                                                                   $=384$

           إذن , حجم المنشور   ${}^{3}M 384$

---

7-

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي  وهو على شكل مثلث

                                                  صيغة مساحة المثلث               $cb\frac{1}{2}=A$

ملاحظة : b يمثل طول القاعدة   , c يمثل ارتفاع المثلث

                                                 أعوض                            $12\times 16\times \frac{1}{2}=A$

                                               أجد الناتج                                    $mc96=A$

 

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  $mc 96$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

 

                 صيغة حجم المنشور                                        $L A=V$

                 أعوض                                                          $7 \times 96=V$

                 أجد الناتج                                                           $672 =V$

           إذن , حجم المنشور  $mc 672$ 

---

8-يبين الشكل المجاور متوازي مستطيلات ,  أحدد عدد مستويات التماثل لهذا المتوازي 

بما أن قاعدة المنشور مستطيل ، فإن له 2 من خطوط التماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بكل من هذه الخطوط ،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 3 مستويات.

 

 

---

9-يبين الشكل المجاور منشورا خماسيا منتظم أحدد عدد مستويات التماثل للمنشور

بما أن قاعدة المنشور على شكل خماسي، فإن لها خمسة خطوط تماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بكل من هذه الخطوط الخمسة،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 6 مستويات.

 

---

10-يبين الشكل المجاور مجسما مقطعه العرضي نصف دائرة أحدد عدد مستويات التماثل لهذا المجسم

بما أن قاعدة المنشور مستطيل ومقطعه العرضي نصف دائرة ، فإن له 1 من خطوط التماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بهذا الخط،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 2 مستويات.

 

---

11-يبين الشكل المجاور منشورا مقطعه العرضي على شكل حرف T  أحدد عدد مستويات التماثل لهذا المنشور

بما أن قاعدة المنشور مستطيل ومقطعه العرضي على شكل حرف T ، فإن له 1 من خطوط التماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بهذا الخط،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 2 مستويات.

 

---

أكمل رسم المجسم في الشكل المجاور، علما بأن المستوى المظلل مستوى تماثل.

 

12-

بما أنه توجد 4 مكعبات في الشكل، فهذا يعني أنه يجب إضافة 4 مكعبات أخرى على الجهة الأخرى من مستوى التناظر.

 

 

 

 

 

المجسم الناتج

 

 

 

 

 

 

---

13-

بما أنه توجد 4 مكعبات في الشكل، فهذا يعني أنه يجب إضافة 4 مكعبات أخرى على الجهة الأخرى من مستوى التناظر.

 

 

 

 

 

المجسم الناتج

 

 

 

 

 

 

 

---

أصف المجسم الدوراني الناتج من دوران كل من الأشكال المستوية الآتية حول المحور المعطى، ثم أحدد قياساته وأرسمه:

 

14-  

 

 

 

 

 

 

المجسم الدوراني الناتج أسطوانة ارتفاعها 8 وطول نصف قطر قاعدتها 8

 

 

 

 

15-

 

 

 

 

 

 

  المجسم الدوراني الناتج مخروط ارتفاعه 6 وطول نصف قطر قاعدته 6

 

 

 

 

---

16- علبة : يبين الشكل المجاور علبة سطحاها العلوي والسفلي متطابقاين، وكلاهما مكون من مستطيل طول 9Cm وعرضه 4Cm مع نصف دائرۃ عند كل نهاية. إذا كان ارتفاع العلبة 3Cm ، فأجد حجمها.

    حجم العلبة  G = حجم المستطيل + حجم الأسطوانة المتكونة من النصف الدائرة 1 + 2

                                                      $Q + W = G$

  حجم المستطيل 

                                      $108 = 9 \times 4 \times 3 = Q$

 حجم الأسطوانة :

                                                  $L \times {}^{2}R \mathrm{\pi }= \mathrm{W}$

 حيث R نصف القطر وL ارتفاع الأسطوانة 

أعوض                        $7.37=3\times 4\times \mathrm{\pi }=\mathrm{W}$

 

حجم العلبة     

${}_{ G=108+37.7=145.7c{m}^3}$

 

---

17- دعامة فولاذية: يبين الشكل الآتي المقطع العرضي لدعامة فولاذية على شكل منشور، طولها $m 2$ ، إذا كانت كتلة ${}^{3}mc 1$ من الفولاني G 79، فأجد كتلة الدعامة.

 

الخطوة 1 :أجد مساحة المقطع العرضي 

أجد مساحة المقطع العرضي (A) بجمع مساحة الثلاث مستطيلات A1 و A2 و A3

                    صيغة مساحة المقطع العرضي                                                              $3A+2A+1A=A$

                    صيغة مساحة المستطيل                                    $=[ L1XC1 ]+[ L2XC2 ]+[ L3XC3 ]$

                    أعوض                                                                            $=[ 8X30 ]+[ 12X14 ]+[ 8X30 ]$

                    أجد الناتج                                                                                  $648=240+168+240=$

إذن , مساحة المقطع العرضي للمنشور  ${}^{2}mc 648$

 

الخطوة 2 : أجد حجم المنشور

 

                 صيغة حجم المنشور                                                 $LA=V$

                 أعوض                                                            $200 \times 648=$

                 أجد الناتج                                                             $129600=$

           إذن , حجم المنشور   ${}^{3}mc 129600$

 

           كتلة الدعامة :  

                                                               $g 4.10238= 79 \times 1296= H$

 

---

تبرير : أرسم المجسم المركب الناتج من تدور كل من الأشكال المستوية الآتية حول المحور المعطى، ثم أصف المجسم المركب الناتج وأحد قياساته:

18- 

 

 

 

 

 

المجسم الدوراني الناتج مخروطين متماثلين قاعدتيهما ملتصقتان ورأسيهما باتجاهين مختلفين. طول نصف قطر قاعدة كل مخروط 2 وارتفاعه 3.

 

 

 

 

 

 

19-

 

 

 

 

 

المجسم الدوراني الناتج اسطوانة يعلوها مخروط طول نصف قطر كل من الأسطوانة وقاعدة المخروط 4، ارتفاع الأسطوانة 8، ارتفاع المخروط 3 وارتفاعه

 

 

 

 

---

20- تحد: أرسم على ورقة منقطة متساوية القياس مجسما مكونا من 6 مكعبات وحدة له 5 مستويات تماثل.

 

 

 

 

 

 

 

---

21-تبرير: أجد المساحة الكلية لسطح المجسم الناتج من دوراتي المثل الآتي حول المحور لا، مبررا إجابتي . (أكتب الإجابة بدلالة $\pi$ )

 

  المجسم الدوراني الناتج مخروط ارتفاعه 2 وطول نصف قطر قاعدته 2 

 

بدلالة $\mathrm{\pi }$  ( $\mathrm{\pi }\frac{8}{3}$ )

 

---

أسئلة كتاب التمارين :

 

1- هل المسبح على شكل منشور ؟ برر إجابتك

 

نعم على شكل منشور , له قاعدتان مضلعتان متوازيتان كل منهما على شكل شبه منحرف 

                    

 

 

2- أجد كمية الماء اللازمة لملء المسبح

 

                                                           $V=\left(\frac{2.2+1.2}{2}\times 25\right)\times 10= 425M^3$

---

أحدد عدد مستويات التماثل لكل مجسم مما يأتي :

3- 

بما أن قاعدة المنشور مربعة ومقطعه العرضي مثلث ، فإن له 1 من خطوط تماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوى تماثل مرتبط بهذا الخط ،

ويوجد أيضا مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 2 من المستويات.

 

 

 

 

4- ويوجد مستوى تماثل مواز للقاعدة يقطع المنشور إلى نصفين متطابقين.

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 1 من المستويات.

 

 

 

 

 

---

5-أرسم مستويات التماثل الأربعة لهرم قاعدته مربعة

 

بما أن قاعدة المنشور مثلث متطابق الأضلاع، فإن لها ثلاثة خطوط تماثل،

وهذا يعني أن للمنشور مستوی تماثل مرتبطا بكل من هذه الخطوط الثلاثة،

ومنه فإن المجموع الكلي لمستويات تماثل هذا المنشور هو 4 مستويات.

 

 

 

ملاحظة لا يوجد مستوى تماثل يوازي القاعدة يقطع الشكل لقسمين متناظرين كالمرآة

 

 

---

6-أكمل رسم المجسم في الشكل المجاور , علما بأن المستوى المظلل مستوى التماثل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بما أنه توجد 5 مكعبات في الشكل، فهذا يعني أنه يجب إضافة 5 مكعبات أخرى على الجهة الأخرى من مستوى التناظر.