رياضيات فصل ثاني

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 41

أجدُ قِيَمَ النسبِ المُثلَّثيةِ الثلاثِ للزاويةِ T في المُثلَّثِ المُجاوِرِ.

الحل : 

الخطوةُ 1: أستعملُ نظريةَ فيثاغورس لإيجادِ t

نظريةُ فيثاغورس s2 = r2 + t2
بتعويض s = 12  , r = 5 122 = 52 + t2
بالتبسيطِ  144 = 25 + t2
بطرح 25 من طرفي المعادلة  t2 = 119
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ لطرفيِ المعادلةِ t  = ±119

بما أنَّ الطولَ لا يُمكِنُ أنْ يكونَ سالبًا، فإنَّ t  = 119

الخطوةُ 2 : أجدُ النسبَ المُثلَّثيةَ الثلاثَ.

tan T = tr = 119 5 cos T = rs=512 sin T = ts = 11912

أتحقق من فهمي صفحة 43

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ ثلاثِ منازلَ عشريةٍ : 

a) sin 36°                                       b) cos 70°                             c) tan 82°

الحل : 

a) sin 36° =0.588                                      b) cos 70° =0.342                           c) tan 82°=7.115

 


أتحقق من فهمي صفحة 44

أجدُ قياسَ A في كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ:

a) sin A = 49                                       b) cos A = 0.64                                          c) tan A = 0.707

الحل : 

a) sin A = 49                                              b) cos A = 0.64                                     c) tan A = 0.707mA =  sin-1(49)                                    mA =  cos-1( 0.64)                         mA =  tan-1(0.707)mA = 26.4°                                            mA = 50.2°                                        mA = 35.3°        

 


أتحقق من فهمي صفحة 46 

في المُثلَّثِ المُجاوِرِ، إذا كانَ cos A = 45 ، فأجدُ  sin A .

الحل : 

مُتطابِقةُ فيثاغورس sin2A + cos2A = 1
بتعويضِ cos A = 45 sin2A + (45)2  = 1
بالتربيعِ sin2A + 1625   = 1
بطرحِ 1625  من طرفي المعادلة  sin2A=  925
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ للطرفينِ sin A = ±35

بما أنَّ جيبَ الزاويةِ A في المُثلَّثِ قائمِ الزاويةِ ABC هوَ ناتجُ قسمةِ طولِ الضلعِ المقابل على الوترِ، وبما أنَّ الأطوالَ لا يُمكِنُ أنْ تكونَ سالبةً، فإنَّ sin A قيمةٌ موجبةٌ ؛ أيْ sin A = 35


أتحقق من فهمي صفحة 46 

إذا كانَ  sin 70° = 0.9397، فأجدُ cos 20°

الحل : 

تعريفُ الجيبِ وجيبِ التمامِ للزوايا المُتتامَّةِ sin A = cos (90°-A) 
بتعويضِ A = 70° sin 70° = cos (90°-70°) 
بالتبسيطِ sin 70° = cos 20° 
بتعويضِ  sin 70° = 0.9397 0.9397= cos 20° 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أجدُ قِيَمَ النسبِ المُثلَّثيةِ الثلاثِ للزاويةِ A في كلٍّ ممّا يأتي، تاركًا إجابتي في صورةِ كسرٍ :

الحل : 

1) أجد طول AB باستخدام نظرية فيثاغورس : AB = 12  

tan A = BCAB=512 cos A = ABAC=1213 sin A = BCAC = 513

 

2) أجد طول AB باستخدام نظرية فيثاغورس : AB = 25  

tan A = BCAC=724 cos A = ACAB=2425 sin A = BCAB = 725

 

3) أجد طول AB باستخدام نظرية فيثاغورس : AB = 161

tan A = BCAB=8161 cos A = ABAC=16115 sin A = BCAC = 815

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ ثلاثِ منازلَ عشريةٍ : 

 6) sin 90° = 1 5) sin 67.2°   0.913  4) sin 43°  0.682
 9) cos 90° = 0 8) cos 22°  0.927 7) cos 80°   0.174   
12) tan 30°  0.577 11) tan 45° = 1 10) tan 20°  0.364
15) 9 cos 8°  8.912 14) 7 tan 52°  8.96 13) 4 sin 63°  3.564
18) 7cos 60° = 14 17) 3tan 64°  1.463 16) 5sin 31°  9.708

 


أجدُ قياسَ B  في كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ :

19) sin B = 0.5                                    20) sin B = 0.999                                      21) sin B = 0.877

الحل : 

 21) sin B = 0.877mB = sin-1(0.877)  61.3° 20) sin B = 0.999mB = sin-1(0.999)  87.4°

19) sin B = 0.5mB = sin-1(0.5) = 30°   

 


أجدُ قياسَ  Nفي كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ : 

22) cos N = 0.2                                           23) cos N = 0.5                                               24) cos N = 0.999

الحل : 

24) cos N = 0.999 mN = cos-1(0.999)  2.6° 23) cos N = 0.5 mN = cos-1(0.5) = 60° 22) cos N = 0.2 mN = cos-1(0.2)  78.5°

 


أجدُ قياسَ  M في كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ :

25) tan M = 0.6                                             26) tan M = 2.67                                        27) tan M = 4.38

الحل : 

27) tan M = 4.38mM =tan-1(4.38)  77.1° 26) tan M = 2.67mM =tan-1(2.67)  69.5° 25) tan M = 0.6mM =tan-1(0.6)  31° 

28)  في المُثلَّثِ المُجاوِرِ، إذا كانَ sin A = 817 ، فأجدُ  cos A.

الحل : 

sin2A + cos2A = 1

(817)2 + cos2A = 1

64289 +  cos2A = 1

cos2A = 225289

cos A = ±1517

ولأنّ A زاوية حادة فإنّ cos A =1517


29)  إذا كانَ 0.57358 = ° cos 55 ، فأجدُ sin 35°

الحل : 

تعريفُ الجيبِ وجيبِ التمامِ للزوايا المُتتامَّةِ cos A = sin (90°-A)  
بتعويضِ  A= 55 cos 55 = sin (90°-55)  
بالتبسيطِ cos 55 = sin 35 
بتعويضِ 0.57358 = ° cos 55 0.57358 = sin 35° 

30) إذا كانَ 0.9781 = ° sin 78 ، فأجدُ ° cos 12 ، و sin 12°.

الحل : 

cos 12° =  sin 78° = 0.9781   (تعريفُ الجيبِ وجيبِ التمامِ للزوايا المُتتامَّةِ)

الآن أجد  sin 12° من متطابقة فيثاغورس 

sin2A + cos2A = 1 

sin212°  + cos212° = 1

sin212°+(0.9781)2=1

sin212°+0.95667961=1

sin212° =0.04332039

sin12° = ±0.04332039  0.208


مهاراتُ التفكيرِ العليا

تبريرٌ: أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ للإجابةِ عنِ الأسئلةِ
الآتيةِ، مُبرِّرًا إجابتي:

31) أُحدِّدُ النسبَ المُثلَّثيةَ المتساويةَ في الشكلِ.

32) ما قياسُ كلٍّ منَ الزاويةِ X ، والزاويةِ Z؟

33) أكتبُ استنتاجًا بناءً على إجابتي عنِ السؤالينِ السابقينِ.

الحل : 

31) mX = mZ  (زوايا القاعدة في مثلث متطابق الضلعين ) ، إذن الزاويتين لهما نسب متساوية . 

sin X = YZXZ = 332 = 12

 sin Z = XYXZ = 332 = 12 

cos X = YXXZ = 332 = 12

cos Z = YZXZ = 332 = 12


32) بما أنّ المثلث XYZ قائم الزاوية ، إذن مجموع زوايا القاعدة يساوي 90° ، وبما أنهما زاويتين متطابقتين في القياس ، إذن قياس كل من الزاويتين يساوي 45° 


33) أستنتج أنّ :  sin 45° = cos 45° = 12 


تبريرٌ: إذا كانَ ΔLMN قائمَ الزاويةِ في M، فأُثبِتُ صحَّةَ كلِّ متباينةٍ ممّا يأتي:

34) sin L < 1                35) cos L < 1

الحل : 

34) sin L =lm  وبما أنّ الضلع المقابل للزاوية L أقل من طول الوتر  ، أي جيب الزاوية L هو عبارة عن كسر عادي بسطه أقل من مقامه فقيمته أقل من 1   إذن : sin L < 1

35) cos L = nm  وبما أنّ الضلع المجاور للزاوية L أقل من طول الوتر  ، أي جيب تمام الزاوية L هو عبارة عن كسر عادي بسطه أقل من مقامه فقيمته أقل من 1   إذن : cos L < 1

36) تحدٍّ: مُعتمِدًا الشكلَ الآتيَ، أُثبِتُ أنَّ tan A = sin Acos A

الحل : 

في المثلث ABC 

sin A = ac                 cos A = bc                tan A = ab

الشق الأيمن للمعادلة : 

 sin Acos A = acbc = ab = tan A

أجد النسب المثلثية الثلاثة عند قسمة أطوال أضلاع المثلث على c 

sin A =ac1 = ac                   cos A = bc1= bc                          tan A = acbc = ab

الشق الأيمن للمعادلة : 

 sin Acos A = acbc = ab = tan A


أسئلة كتاب التمارين

أجدُ قِيَمَ النسبِ المُثلَّثيةِ الثلاثِ للزاويةِ E في كلٍّ ممّا يأتي، تاركًا إجابتي في صورةِ كسرٍ : 

الحل : 

1) أجد طول DF باستخدام نظرية فيثاغورس : DF = 9 

tan E = DFFE= 912= 34 cos E = EFDE= 1215= 45 sin E = DFDE= 915= 35

 

2) أجد طول DE باستخدام نظرية فيثاغورس : DE = 37 

tan E = DFFE= 1235  cos E = EFDE= 3537  sin E = DFDE= 1237 

 

3) أجد طول DE باستخدام نظرية فيثاغورس : EF = 507 

tan E = DFEF= 13507  cos E = EFDE= 50726  sin E = DFDE= 1326 =12

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ ثلاثِ منازلَ عشريةٍ : 

6) sin 72°  0.951 5) sin 17°  0.292 4) sin 0° = 0
9) cos 29°  0.875 8) cos 82°  0.139 7) cos 7°  0.993
12) tan 78°  4.705 11) tan 59°  1.664 10) tan 15°  0.267
15) 7 cos 52°  4.31 14) 7cos 32°   8.254 13) 5 tan 80°  28.356

أجدُ قياسَ الزاويةِ في كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ :  

16) sin B = 0.7245                                 17) cos C = 0.2493                           18) tan E = 9.4618

الحل : 

18) tan E = 9.4618mE =tan-1(9.4618)  84° 17) cos C = 0.2493mC =cos-1(0.2493) 75.6° 16) sin B = 0.7245mB =sin-1(0.7245)  46.4°

19) مُعتمِدًا المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ، أُحدِّدُ النسبَ المُثلَّثيةَ التي تساوي 12 مما  
يأتي (أُحدِّدُ جميعَ الخياراتِ المُمكِنةِ):

sin L            cos L            sin J            cos J

الحل : 

(جيب الزاوية L يساوي 0.5)  : sin L = JKJL= 24 = 12 

(جيب التمام للزاوية L لا يساوي 0.5) : cos L = LKJL = 234 = 32

(جيب الزاوية J  لا يساوي 0.5)  : sin J = LKJL= 234 = 32

(جيب التمام للزاوية J يساوي 0.5)  :  cos J = JKJL= 24 = 12


20)  أكتشفُ الخطأَ : أُبيِّنُ الخطأَ في الحَلِّ المُجاوِرِ، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الحل : 

الخطأ بقسمة طول الضلع المقابل للزاوية D على طول الوتر  ، والصحيح : ظل الزاوية D ينتج من قسمة طول الضلع المقابل الزاوية D على طول الضلع المجاور لها ، أي : 

tan D = EFED= 3512