رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي  صفحة 89

أجد قيمة كل مما يلي 

$$\begin{gathered} a) sin 120° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 120 \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 60 \mathrm{يساوي} 180و 120\mathrm{بين} \mathrm{الفرق} \\ sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} sin \mathrm{ال} \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 120 \mathrm{ان} \mathrm{بما} \\ sin 120=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ b) tan 240° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 240 \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{بالتالي} 60 \mathrm{يساوي} 180و 240 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق} \\ tan 60=\sqrt{3} \\ \mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} tan \mathrm{ال} \mathrm{الثالث} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 240 \mathrm{ان} \mathrm{بما} \\ tan 240=\sqrt{3} \\ c) cos 315° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 315 \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 45 \mathrm{يساوي} 360و 315 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق} \\ cos 45=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} cos \mathrm{ال} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 315 \mathrm{ان} \mathrm{بما} \\ cos 315=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ d) sin 210° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 210 \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 30 \mathrm{يساوي} 180و 210 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق} \\ sin 30=\frac{1}{2} \\ \mathrm{سالبة} \mathrm{قيمة} sin \mathrm{ال} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 210 \mathrm{ان} \mathrm{بما} \\ sin 210=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 90

أجد قيمة كل مما يأتي باستعمال الآلة الحاسبة:

$$\begin{gathered} a) \sin 320° \\ sin 320=-0.643 \\ b) \cos 175° \\ cos 175=-0.996 \\ c) \tan 245° \\ tan 245=2.145 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 92

أجد قيمة (أو قيم )  $\theta$  في كل مما يأتي علما بأن $0°⩽\theta ⩽360°$

$$\begin{gathered} a) cos \theta =-0.4 \\ b) tan \theta =5.653 \\ c) sin \theta =-0.5478 \\ a) cos \theta =-0.4 :\mathrm{الحل} \\ \theta =113.6° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة} \\ 180°-113.6°=66.4° \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \theta =113.6° \mathrm{الثالث} \mathrm{والثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} cos \mathrm{ال} \\ \theta =180+66.4=246.4° \\ b) tan \theta =5.653 \\ \theta =80° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة} \\ \theta =80° \mathrm{والثالث} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} tan \mathrm{ال} \\ \theta =180+80=260° \\ c) sin \theta =-0.5478 \\ \theta =-33.2° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة} \\ \theta =33.2° \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \theta =180-33.2°=213.2° \mathrm{والرابع} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \sin \mathrm{ال} \\ \theta =360-33.2=326.8° \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة  92

أجد ارتفاع صندوق الماء الذي موقعه النقطة A عندما تصبح $\theta =235°$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ h=7.5-7.5\times cos 235 \\ h\approx 11.8 m \end{gathered}$$

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 93

أجد قيمة كل مما يأتي:

$$\begin{gathered} \mathrm{حاسبة} \mathrm{الة} \\ 1)\cos 270° \\ =0 \\ 2) tan 120° \\ =-tan 60 \\ =-\sqrt{3} \\ 180-120=60 \\ \mathrm{ثاني} \mathrm{ربع} \\ \mathrm{حاسبة} \mathrm{الة} \\ 3) \tan 315° \\ =-tan 45 \\ =-1 \\ 360-315=45 \\ \mathrm{رابع} \mathrm{ربع} \\ 4) \sin 130° \\ =0.766 \\ \mathrm{حاسبة} \mathrm{الة} \\ 5) \sin 325° \\ =-0.574 \\ \mathrm{حفظ} \\ 6) \cos 250° \\ =-0.342 \end{gathered}$$

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين$0°$   و  $360°$ لها نسبة الجيب نفسها مثل الزاوية المعطاة:

$$\begin{gathered} 7) 325° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 325 \\ 360-325=35 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{سالب} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب} \mathrm{ايضا} \\ 180+35=215 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 8)84° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 84 \\ \mathrm{موجب} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{ايضا} \\ 180-84=96 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 9)245° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 245 \\ 245-180=65 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{سالب} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب} \mathrm{ايضا} \\ 360-65=295 \end{gathered}$$

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين $0°$  و $360°$لها نسبة جيب التمام نفسها مثل الزاوية المعطاة : 

$$\begin{gathered} 10) 280° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 280 \\ 360-280=80 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{موجب} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{البع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \mathrm{ايضا} \\ 80 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 11) 150° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 150 \\ 180-150=30 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{سالب} \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الثااث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \mathrm{ايظا} \\ 180+30=210 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 12) 215° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 215 \\ 215-180=35 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{سالب} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \mathrm{ايضا} \\ 180-35=145 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \end{gathered}$$

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين $0°$ و $360°$ لها نسبة الظل نفسها مثل الزاوية المعطاة:

$$\begin{gathered} 13) 75° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 75 \\ \mathrm{موجب} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{الظل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{الظل} \mathrm{ايظا} \\ 180+75=255 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 14) 300° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 300 \\ 360-300=60 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{سالب} \mathrm{الرابع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الظل} \mathrm{ايضا} \\ 180-60=120 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 15) 235° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 235 \\ 235-180=55 \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{موجب} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{الظل} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{الظل} \mathrm{ايظا} \\ 55 \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \end{gathered}$$

أجد فيما يأتي قيمة( أو قيم)$\theta$   علما بأن  $0°⩽\theta ⩽360°$:

$$\begin{gathered} 16) sin \theta =0.55 \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \mathrm{باستخدام} \\ shift \to cos\to 0.55=33.4 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 33.4 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 180-33.4=146.6 \\ 17) cos \theta =-0.05 \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \mathrm{باستخدام} \\ shift \to cos\to -0.05=92.9 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 92.9 \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 180+92.9=272.9 \\ 18) tan\theta =0 \\ :\mathrm{الحل} \\ \theta =0 , \theta =180 , \theta =360 \end{gathered}$$

19)   يمثل الشكل الآتي دولابا دوارا في مدينة ألعاب يدور بسرعة ثابتة وتمثل$S$   في الشكل نقطة صعود الراكب الذي موقعه الآن عند النقطة $A$ في حين تمثل النقطة $O$مركز الدولاب  إذا دار الدولاب بزاوية $\theta$ فإن ارتفاع الراكب عن الأرض $\left(h\right)$  بالأمتار يعطى بالعلاقة :  $h=12.5-12.5 \cos \theta$    أجد ارتفاع الراكب عن سطح الأرض عندما تصبح $\theta =345°$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ h=12.5-12.5\times cos 345 \\ h=12.5-12.5\times 0.996 \\ h=12.5-12.075 \\ h=0.425 \end{gathered}$$

20) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس 

إذا دار ضلع انتهاء زاوية قياسها $60°$ في الوضع القياسي بزاوية$150°$ عكس اتجاه عقارب الساعة كيف نجد احاثيي نقطة تقاطع ضلع الانتهاء مع دائرة الوحدة في موقعه الجديد

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ \left(cos 210,sin 210\right) \mathrm{هي} \mathrm{الوحدة} \mathrm{دائرة} \mathrm{مع} \mathrm{الانتهاء} \mathrm{ضلع} \mathrm{تقاطع} \mathrm{نقطة} \\ \mathrm{لها} \mathrm{المرجع} \mathrm{والزاوية} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} \mathrm{زاوية} \mathrm{وهي} \\ 210-180=30 \\ sin 30=\frac{1}{2} \\ cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 210 \mathrm{الزاوية} \mathrm{ولان} \\ \left(cos 210,sin 210\right)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}) \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{وجيب} \mathrm{الجيب} \mathrm{حيث} \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

21)  تحد: أجد مجموعة قيم $\theta$ التي تجعل المتباينة الآتية صحيحة علما بأن $90°<\theta <180°$ :

$\cos \theta + \sin \theta <0$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ sin \theta +cos \theta =0 \\ sin \theta =-cos \theta \\ \frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{-cos \theta }{cos \theta } \\ tan \theta =-1 \\ \theta =135 \mathrm{بالتالي} \\ \frac{ +++++++++ 0 ---------}{90 135 180} \\ \theta \in \left(135,180\right) \end{gathered}$$

22) اكتشف الخطأ: حسبت سندس نسبة جيب إحدى الزوايا في الربع الثاني فكانت قيمتها $1.4527$ هل إجابة سندس صحيحة ؟ أبرر إجابتي 

$$\begin{gathered} \mathrm{الحل}: \\ \mathrm{ان} \mathrm{اكبر} \mathrm{قيمة} \mathrm{لجيب} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هو} 1 \mathrm{واقل} \mathrm{قيمة} \mathrm{له} \mathrm{هو} 1- \mathrm{ونعبر} \mathrm{عن} \mathrm{ذلك} \mathrm{كما} \mathrm{يلي} \\ 1\ge \theta nis\ge 1- \\ \mathrm{بالتالي} \mathrm{الخطا} \mathrm{هو} \mathrm{ان} \mathrm{تكون} \mathrm{قيمة} \mathrm{الجيب} \mathrm{تساوي} 4527.1 \mathrm{وهي} \mathrm{اكبر} \mathrm{من} 1 \mathrm{وهذا} \mathrm{مستحيل} \end{gathered}$$

23) تبرير: أجد قيمة ما يأتي مبررا إجابتي : 

$\cos 1°+\cos 2°+ \cos 3°+.....+ \cos 357°+\cos 358°+\cos 359°+ \cos 360°$

$$\begin{gathered} \mathrm{الحل}: \\ 0 \\ \mathrm{لانه} \mathrm{يقابل} \mathrm{القيم} \mathrm{الموجبة} \mathrm{لجيوب} \mathrm{تمام} \mathrm{الزاويا} \mathrm{في} \mathrm{الربعين} \mathrm{الاول} \mathrm{والرابع} \mathrm{قيمة} \mathrm{سالبة} \mathrm{لجيوب} \\ \mathrm{تمام} \mathrm{الزوايا} \mathrm{المنعكسة} \mathrm{في} \mathrm{الربعين} \mathrm{الثالث} \mathrm{والثاني} \mathrm{على} \mathrm{الترتيب} \end{gathered}$$

---

كتاب التمارين

اجد الزاوية المرجعية لكل من الزوايا الاتية 

$$\begin{gathered} 1) 117° \\ \theta \text{'}=180-117=63°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية} \\ 2)250° \\ \mathrm{\theta }\text{'}=250-180=70°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية} \\ 3) 215° \\ \mathrm{\theta }\text{'}=215-180=35°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية} \\ 4) 300° \\ \mathrm{\theta }\text{'}=360-300=60°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية} \end{gathered}$$

اجد قيمة كل مما ياتي : 

$$\begin{gathered} 5) \sin 170 \\ \theta \text{'}=180-170=10° \\ sin 170=sin10=0.1736 \mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \\ 6) \tan 230 \\ \mathrm{\theta }\text{'}=230-180=50° \\ \tan 230=\tan 50 =1.1917\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \\ 7) \cos 250 \\ \mathrm{\theta }\text{'}=250-180=70° \\ \cos 250= - \cos 70=-0.3420\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \\ 8) \tan 310° \\ \mathrm{\theta }\text{'}=360-310=50° \\ \tan 310 =- \tan 50= -1.1917\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \end{gathered}$$

اجد القيمة الدقيقة لكل مماياتي ( من دون استعمال الالة الحاسبة)

$$\begin{gathered} 9) \cos 135° \\ \theta \text{'}=180-135=45° \\ cos 135=- cos 45=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 10) sin 240° \\ \theta \text{'}=240-180=60° \\ \sin 240 = - \sin 60 =-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 11) tan 315° \\ \theta \text{'}=360-315=45° \\ \tan 315 =-\tan 45 =-1 \\ 12) sin 210° \\ \theta \text{'}=210-180=30° \\ \sin 210 =-\sin 30=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

اجد قيمة كل مما ياتي:

$$\begin{gathered} 13) \sin 40°+\sin 130° +\sin 220° +\sin 310°= \\ -sin220°-sin310°+sin220°+sin310°=0 \\ 14) \sin 60°- \sin 120° +\sin 180° - \sin 240°+ \sin 300°- \sin 360° \\ =sin 60 - sin \left(180-120\right) + 0 -sin \left(240-180\right)+sin\left(360-300\right)-0 \\ = sin 60 - sin 60 +sin 60- sin 60 =0 \end{gathered}$$

اجد في كل مما ياتي زاوية اخرى بين  $0°$ و $360°$ لها نسبة الجيب نفسها مثل الزاوية المعطاة

$$\begin{gathered} 15) 80° \\ \mathrm{موجب} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{موجب} \mathrm{ايضا} \\ 180-80=100°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 16) 146 \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ 180-146=34° \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 34°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 17) 215° \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \\ 215-180=35° \mathrm{المرجع} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{ايضا} \\ 360-35=325° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 18) 306° \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 360-306=54° \mathrm{المرجع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 180+54=234°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \end{gathered}$$

اجد في كل مما ياتي زاوية اخرى بين  $0°$  و $360°$ لها نسبة جيب التمام نفسها مثل الزاوية المعطاة

$$\begin{gathered} 19) 10° \mathrm{الاول} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 360-10=350° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 20) 125° \mathrm{الثاني} \\ 180-125=55° \mathrm{المرجع} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 180+55=235° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 21) 208° \mathrm{الثالث} \\ 208-180=28° \mathrm{المرجع} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 180-28=152° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \\ 22) 311° \mathrm{الرابع} \\ 360-311=49° \mathrm{المرجع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \\ 49° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية} \end{gathered}$$

اجد في كل مما ياتي قيمة ( او قيم)  $\theta$ علما بان $0° \le \theta \le 360°$

$$\begin{gathered} 23) sin \theta =0.75 \\ \theta \approx 48.59° , \theta \approx 131.41° \\ 24) cos \theta =0.65 \\ \theta \approx 49.46° , \theta \approx 310.54° \\ 25) tan \theta =-1 \\ \theta =135° , \theta =315° \\ 26) sin \theta =-0.87 \\ \theta \approx 240° , \theta \approx 300° \\ 27) sin \theta =0.812 \\ \theta \approx 54.29° ,\theta \approx 125.71°° \\ 28) tan \theta =-\frac{2}{3} \\ \theta \approx 146.31° , \theta \approx 326.31° \\ 29) cos \theta =-0.25 \\ \theta \approx 104.48° ,\theta \approx 255.52° \\ 30) tan \theta =5 \\ \theta \approx 78.69° ,\theta \approx 258.69° \end{gathered}$$

31) في دولاب مدينة الالعاب يعطى ارتفاع الراكب عن الارض بعد   x دقيقة من بدء الدوران بالعلاقة : $h=14.5-12.5\cos \left(36x\right)$   حيث $h$ الارتفاع عن سطح الارض بالامتار اجد ارتفاع الراكب بعد$7.5$ دقائق من بدء الدوران .

$$\begin{gathered} h=14.5-12.5cos\left(36\times 7.5\right) \\ =14.5-12.5 cos\left(270\right) \\ =14.5-0=14.5 m \end{gathered}$$

32) يقدر في احدى المدن عدد ساعات النهار  $y$ في كل يوم من ايام السنة حسب رقم اليوم$d$ من السنة بالعلاقة : $y=3 \sin \left(d-81\right)+12$ ما عدد ساعات النهار في هذه المدينة يوم الاول من شهر اب ( اليوم رقم $213$) 

$$\begin{gathered} y=3sin\left(213-81\right)+12 \\ =3\times 0.74 +12 \\ = 2.229 +12 \\ =14.229 \end{gathered}$$