رياضيات10 فصل أول

أتحقق من فهمي  صفحة 89

أجد قيمة كل مما يلي 

$a) sin 120°$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 120 \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 60 \mathrm{يساوي} 180و 120\mathrm{بين} \mathrm{الفرق}$

$sin 60=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$\mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} sin \mathrm{ال} \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 120 \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

$sin 120=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

 

$b) tan 240°$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 240 \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{بالتالي} 60 \mathrm{يساوي} 180و 240 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق}$

$tan 60=\sqrt[]{3}$

$\mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} tan \mathrm{ال} \mathrm{الثالث} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 240 \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

$tan 240=\sqrt[]{3}$

 

$c) cos 315°$

$\mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 315 \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 45 \mathrm{يساوي} 360و 315 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق}$

$cos 45=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

$\mathrm{موجبة} \mathrm{قيمة} cos \mathrm{ال} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 315 \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

$cos 315=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

 

$d) sin 210°$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 210 \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{بالتالي} 30 \mathrm{يساوي} 180و 210 \mathrm{بين} \mathrm{الفرق}$

$sin30=\frac{1}{2}$

$\mathrm{سالبة} \mathrm{قيمة} sin \mathrm{ال} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 210 \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

$sin 210=-\frac{1}{2}$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 90

أجد قيمة كل مما يأتي باستعمال الآلة الحاسبة:

a) sin 320°
sin 320 =- 0.643
b) cos 175°
cos 175 =- 0.996
c) tan 245°
tan 245=2.145

---

أتحقق من فهمي  صفحة 92

أجد قيمة (أو قيم )  $\theta$  في كل مما يأتي علما بأن $0°⩽\theta ⩽360°$

$a) cos \theta =-0.4$

$\theta =113.6° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة}$

$180°-113.6°=66.4° \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية}$

$\theta =113.6° \mathrm{الثالث} \mathrm{والثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} cos \mathrm{ال}$

$\theta =180+66.4=246.4°$

 

$b) tan \theta =5.653$

$\theta =80° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة}$

$\theta =80° \mathrm{والثالث} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} tan \mathrm{ال}$

$\theta =180+80=260°$

 

$c) sin \theta =-0.5478$

$\theta =-33.2° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة}$

$\theta =33.2° \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية}$

$\theta =180-33.2°=213.2° \mathrm{والرابع} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \sin \mathrm{ال}$

$\theta =360-33.2=326.8°$

---

أتحقق من فهمي صفحة  92

أجد ارتفاع صندوق الماء الذي موقعه النقطة A عندما تصبح $\theta =235°$

$h=7.5-7.5\times cos 235$

$h\approx 11.8m$

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 93

أجد قيمة كل مما يأتي:

$1) \cos 270°=0$

$2) tan 120°=-tan 60=-\sqrt{3}$

$180-120=60 \mathrm{ثاني} \mathrm{ربع}$

$3) \tan 315°=-tan 45=-1$

$360-315=45 \mathrm{رابع} \mathrm{ربع}$

$4) \sin 130°=0.766 \mathrm{حاسبة} \mathrm{الة}$

$5) \sin 325°=-0.574 \mathrm{حفظ}$

$6) \cos 250°=-0.342$

 

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين$0°$   و  $360°$ لها نسبة الجيب نفسها مثل الزاوية المعطاة:

7) 325°

325 تقع في الربع الرابع
الزاوية المرجع 35= 325-360
الجيب في الربع الرابع سالب
ايضا الجيب سالب في الربع الثالث
الزاوية الثانية هي 215=35+180

8)84°

84 تقع في الربع الاول
الجيب في الربع الاول موجب
ايضا موجب في الربع الثاني
الزاوية الثانية هي 96= 84-180

9)245°

245 تقع في الربع الثالث
الزاوية المرجع 65= 180-245
الجيب في الربع الثالث سالب
ايضا الجيب سالب في الربع الرابع
360-65=295

 

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين $0°$  و $360°$لها نسبة جيب التمام نفسها مثل الزاوية المعطاة : 

10) 280°

280 تقع في الربع الرابع

الزاوية المرجع 80= 280-360

جيب التمام في الربع الرابع موجب

ايضا جيب التمام موجب في الربع الاول

الزاوية الثانية هي 80

11) 150°

150 تقع في الربع الثاني

الزاوية المرجع 30=150-180

جيب التمام في الربع الثاني سالب

ايظا جيب التمام سالب في الربع الثالث

الزاوية الثانية هي 210=30+180

12) 215°

215 تقع في الربع الثالث
الزاوية المرجع 35=180-215
جيب التمام في الربع الثالث سالب
ايضا جيب التمام سالب في الربع الثاني
الزاوية الثانية هـ
، الثانية هى 145= 35-180

أجد فيما يأتي زاوية ثانية بين $0°$ و $360°$ لها نسبة الظل نفسها مثل الزاوية المعطاة:

13) 75°

75 تقع في الربع الاول
الظل في الربع الاول موجب
ايظا الظل موجب في الربع الثالث
الزاوية الثانية هي 255=75+180

14) 300°

300 تقع في الربع الرابع
360-300=60
ايضا الظل سالب في الرابع سالب
الزاوية الثانية هي 120=60-180

15) 235°

235 تقع في الربع الثالث
الزاوية المرجع 55=180-235
الظل في الربع الثالث موجب
ايظا الظل موجب في الربع الاول
الزاوية الثانية هي 55

 

أجد فيما يأتي قيمة( أو قيم)$\theta$   علما بأن  $0°⩽\theta ⩽360°$:

$17) cos\theta =-0.05$

$\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \mathrm{باستخدام}$

$shift \to cos\to -0.05=92.9$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 92.9$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

$180+92.9=272.9$

 

$18) tan\theta =0$

$\theta =0,\theta =180,\theta =360$

$\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة} \mathrm{باستخدام}$

$shift \to cos\to 0.55=33.4$

$\mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} 33.4$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{الجيب}$

$\mathrm{هي} \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

$180-33.4=146.6$

19)   يمثل الشكل الآتي دولابا دوارا في مدينة ألعاب يدور بسرعة ثابتة وتمثل$S$   في الشكل نقطة صعود الراكب الذي موقعه الآن عند النقطة $A$ في حين تمثل النقطة $O$مركز الدولاب  إذا دار الدولاب بزاوية $\theta$ فإن ارتفاع الراكب عن الأرض $\left(h\right)$  بالأمتار يعطى بالعلاقة :  $h=12.5-12.5 \cos \theta$    أجد ارتفاع الراكب عن سطح الأرض عندما تصبح $\theta =345°$

$h=12.5-12.5\times cos 345=12.5-12.5\times 0.996=12.5-12.075=0.425$

20) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس 

إذا دار ضلع انتهاء زاوية قياسها $60°$ في الوضع القياسي بزاوية$150°$ عكس اتجاه عقارب الساعة كيف نجد احاثيي نقطة تقاطع ضلع الانتهاء مع دائرة الوحدة في موقعه الجديد

الحل:

$\left(cos 210,sin 210\right) \mathrm{هي} \mathrm{الوحدة} \mathrm{دائرة} \mathrm{مع} \mathrm{الانتهاء} \mathrm{ضلع} \mathrm{تقاطع} \mathrm{نقطة}$

$\mathrm{لها} \mathrm{المرجع} \mathrm{والزاوية} \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} \mathrm{زاوية} \mathrm{وهي}$

$210-180=30$

$sin 30=\frac{1}{2}و cos 30=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{تقع} 210 \mathrm{الزاوية} \mathrm{ولان}$

$(cos 210,sin 210)=(-\frac{\sqrt[]{3}}{2},-\frac{1}{2})$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{وجيب} \mathrm{الجيب} \mathrm{حيث}$

---

مهارات التفكير العليا

21)  تحد: أجد مجموعة قيم $\theta$ التي تجعل المتباينة الآتية صحيحة علما بأن $90°<\theta <180°$ :

$\cos \theta +\sin \theta <0$

$sin\theta +cos\theta =0$

$sin\theta =-cos\theta$

$\frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{-cos\theta }{cos\theta }$

$tan\theta =-1$

$\theta =135 \mathrm{بالتالي}$

$\theta \in (135,180)$

22) اكتشف الخطأ: حسبت سندس نسبة جيب إحدى الزوايا في الربع الثاني فكانت قيمتها $1.4527$ هل إجابة سندس صحيحة ؟ أبرر إجابتي 

الحل:

ان اكبر قيمة لجيب الزاوية هو 1 واقل قيمة له هو 1 - ونعبر عن ذلك كما يلي:

$-1\le \sin \theta \le 1$

بالتالي الخطا هو ان تكون قيمة الجيب تساوي 1.4527 وهي اكبر من 1 وهذا مستحيل

 

23) تبرير: أجد قيمة ما يأتي مبررا إجابتي : 

$\cos 1°+\cos 2°+\cos 3°+...+ \cos 357°+\cos 358°+\cos 359°+\cos 360°$

الحل:

لانه يقابل القيم الموجبة لجيوب تمام الزاويا في الربعين الاول والرابع قيمة سالبة لجيوب تمام الزوايا المنعكسة في الربعين الثالث والثاني على الترتيب

---

كتاب التمارين

اجد الزاوية المرجعية لكل من الزوايا الاتية 

$1) 117°$

$\theta \text{'}=180-117=63°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية}$

 

$2)250°$

$\mathrm{\theta }\text{'}=250-180=70°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية}$

 

$3) 215°$

$\mathrm{\theta }\text{'}=215-180=35°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية}$

 

$4) 300°$

$\mathrm{\theta }\text{'}=360-300=60°\mathrm{المرجعية} \mathrm{الزاوية}$

 

اجد قيمة كل مما ياتي : 

$5) \sin 170$

$\theta \text{'}=180-170=10°$

$\sin 170=\sin 10=0.1736 \mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة}$

 

$6) \tan 230$

$\mathrm{\theta }\text{'}=230-180=50°$

$\tan 230=\tan 50 =1.1917\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة}$

 

$7) \cos 250$

$\mathrm{\theta }\text{'}=250-180=70°$

$\cos 250=- \cos 70=-0.3420\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة}$

 

$8) \tan 310°$

$\mathrm{\theta }\text{'}=360-310=50°$

$\tan 310 =- \tan 50= -1.1917\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الالة}$

 

اجد القيمة الدقيقة لكل مماياتي ( من دون استعمال الالة الحاسبة)

$9) \cos 135°$

$\theta \text{'}=180-135=45°$

$cos 135=- cos 45=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

 

$10) sin 240°$

$\theta \text{'}=240-180=60°$

$\sin 240=-\sin 60=-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

 

$11) tan 315°$

$\theta \text{'}=360-315=45°$

$\tan 315=-\tan 45=-1$

 

$12) sin 210°$

$\theta \text{'}=210-180=30°$

$\sin 210=-\sin 30=-\frac{1}{2}$

اجد قيمة كل مما ياتي:

$13) \sin 40°+\sin 130°+\sin 220°+\sin 310°=$

$-sin220°-sin310°+sin220°+sin310°=0$

$14) \sin 60°-\sin 120°+\sin 180°-\sin 240°+\sin 300°-\sin 360°$

$=sin60-sin (180-120)+0-sin(240-180)+sin(360-300)-0$

$=sin60-sin60+sin60-sin60=0$

 

اجد في كل مما ياتي زاوية اخرى بين  $0°$ و $360°$ لها نسبة الجيب نفسها مثل الزاوية المعطاة

$15) 80°$

$\mathrm{موجب} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{الجيب}$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{موجب} \mathrm{ايضا}$

$180-80=100°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

$16) 146 \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع}$

$180-146=34°$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{الجيب}$

$\mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$34°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوي}$

 

$17) 215° \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع}$

$215-180=35° \mathrm{المرجع}$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب}$

$\mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{ايضا}$

$360-35=325° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

$18) 306° \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع}$

$360-306=54° \mathrm{المرجع}$

$\mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{الجيب}$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$180+54=234°\mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

اجد في كل مما ياتي زاوية اخرى بين  $0°$  و $360°$ لها نسبة جيب التمام نفسها مثل الزاوية المعطاة

$19) 10° \mathrm{الاول}$

$\mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$360-10=350° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

$20) 125° \mathrm{الثاني}$

$180-125=55° \mathrm{المرجع}$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$180+55=235° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

$21) 208° \mathrm{الثالث}$

$208-180=28° \mathrm{المرجع}$

$\mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$180-28=152° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

$22) 311° \mathrm{الرابع}$

$360-311=49° \mathrm{المرجع}$

$\mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$49° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاويا} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب}$

$\mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا}$

$49° \mathrm{الثانية} \mathrm{الزاوية}$

 

اجد في كل مما ياتي قيمة ( او قيم)  $\theta$ علما بان $0°\le \theta \le 360°$

$23) sin\theta =0.75$

$\theta \approx 48.59°, \theta \approx 131.41°$

 

$24) cos\theta =0.65$

$\theta \approx 49.46°, \theta \approx 310.54°$

 

$25) tan\theta =-1$

$\theta =135°,\theta =315°$

 

$26) sin\theta =-0.87$

$\theta \approx 240°,\theta \approx 300°$

 

$27) sin\theta =0.812$

$\theta \approx 54.29°,\theta \approx 125.71°$

 

$28) tan\theta =-\frac{2}{3}$

$\theta \approx 146.31°,\theta \approx 326.31°$

 

$29) cos\theta =-0.25$

$\theta \approx 104.48°,\theta \approx 255.52°$

 

$30) tan\theta =5$

$\theta \approx 78.69°,\theta \approx 258.69°$

 

31) في دولاب مدينة الالعاب يعطى ارتفاع الراكب عن الارض بعد   x دقيقة من بدء الدوران بالعلاقة : $h=14.5-12.5\cos \left(36x\right)$   حيث $h$ الارتفاع عن سطح الارض بالامتار اجد ارتفاع الراكب بعد$7.5$ دقائق من بدء الدوران .

$h=14.5-12.5cos(36\times 7.5)=14.5-12.5 cos\left(270\right)=14.5-0=14.5 m$

32) يقدر في احدى المدن عدد ساعات النهار  $y$ في كل يوم من ايام السنة حسب رقم اليوم$d$ من السنة بالعلاقة : $y=3 \sin \left(d-81\right)+12$ ما عدد ساعات النهار في هذه المدينة يوم الاول من شهر اب ( اليوم رقم $213$) 

$y=3sin\left(213-81\right)+12=3\times 0.74+12=14.229$