رياضيات أعمال فصل أول

مصفوفة الوحدة، والنظير الضربي للمصفوفة

مصفوفة الوحدة، يُرمَز إليها بالرمز I، ويكون جميع عناصر قُطْرها الرئيس 1، وتكون بقيَّة عناصرها أصفارًا، وتمتاز بخاصية في ضرب المصفوفات تُشبِه خاصية العدد 1 في ضرب الأعداد الحقيقية.

 

مصفوفة الوحدة من الرتبة $2\times 2$ هي:

مصفوفة الوحدة من الرتبة $3\times 3$ هي:

 

المصفوفة المُحايِدة لعملية ضرب المصفوفات

مصفوفة الوحدة I هي المصفوفة المُحايِدة لعملية ضرب المصفوفات، التي إذا ضُرِبت في أيِّ مصفوفة أُخرى من الرتبة نفسها كان ناتج الضرب هو المصفوفة الأُخرى نفسها.

بالرموز: لأيِّ مصفوفة مُربَّعة A، لها رتبة المصفوفة المُحايِدة I نفسها، فإنَّ:

$I\times A=A\times I=A$

 

 

النظير الضربي للمصفوفة المُربَّعة

النظير الضربي للمصفوفة المُربَّعة A هو المصفوفة A^-1 ، حيث:

✨ A^-1 هو رمز للنظير الضربي للمصفوفة A، وليس $\frac{1}{A}$

 

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة غير مُنفرِدة من الرتبة $\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{2}$

إذا كانت مُحدِّدة المصفوفة A ذات الرتبة 2 × 2 لا تساوي صفرًا، فإنَّ لها نظيرًا ضربيًّا يُمكِن إيجاده باتِّباع الخطوات الآتية:

1 تبديل موقع كلٍّ من عنصري القُطْر الرئيس.

2 ضرب عنصري القُطْر الآخر في 1- . 

3 ضرب المصفوفة الناتجة في مقلوب المُحدِّدة، أو $\left(\frac{1}{\left|A\right|}\right)$

بالرموز: إذا كان $\left|A\right|\ne 0$، فإنَّ النظير الضربي للمصفوفة: 

المعادلات المصفوفية

لحلِّ نظام من معادلتين خطِّيتين بمُتغيِّرين، أُحوِّلهما أوَّلًًا إلى معادلة مصفوفية صورتها: AX = B ، حيث A مصفوفة معامات المُتغيِّرين، و X مصفوفة المُتغيِّرات في المعادلتين الخطِّيتين، و B مصفوفة الثوابت، فيكون حلُّ هذا النظام هو: X = A^-1 B ؛ شرط أنْ تكون المصفوفة A غير مُنفرِدة.