رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 146

أجد كلا من النهايات الآتية بيانيا وعدديا:

$a) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x^2-9}{x-3}$

الحل بيانيا

$\underset{x\to 3}{lim} \frac{x^2-9}{x-3}=6$

الحل عدديا:

$\underset{x\to 3}{lim} \frac{x^2-9}{x-3}=6$

$b) \underset{x\to 0}{\lim } f(x) , f(x)=\left\{\begin{array}{l}x ,x\le 0\\ 1 ,x>0\end{array}\right.$

الحل بيانيا

غير موجود

الحل عدديا

غير موجود

أتحقق من فهمي

ص: 148

أجد كلا من النهايات الآتية بيانيا:

$a) \underset{x\to 2}{\lim } \frac{1}{x-2}$

غير موجود

$b) \underset{x\to -3}{\lim } \frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}$

$\underset{x\to -3}{lim} \frac{1}{{(x+3)}^2}=\infty$

أتحقق من فهمي

ص: 150

أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

$a) \underset{x\to 1}{\lim } \left(2x^3+3x^2-4\right)$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{lim}\left(2x^3+\underset{x\to 1}{lim}3x^2-\underset{x\to 1}{lim}4\right) \\ 2{\left(\underset{x\to 1}{lim}x\right)}^3+3{\left(\underset{x\to 1}{lim}x\right)}^2-4 \\ =2{\left(1\right)}^3+3{\left(1\right)}^2-4=1 \end{gathered}$$

$b) \underset{x\to 4}{\lim } \frac{\sqrt{1+3x^2}}{3x-2}$

$$\begin{gathered} =\frac{\underset{x\to 4}{lim}\sqrt{1+3{\left(x\right)}^2}}{\underset{x\to 4}{lim}3\left(x\right)-2} \\ =\frac{\sqrt{\underset{x\to 4}{lim}1+3{\left(\underset{x\to 4}{lim}x\right)}^2}}{3\underset{x\to 4}{lim}x-\underset{x\to 4}{lim}2}=\frac{\sqrt{1+3{\left(4\right)}^2}}{3\left(4\right)-2} \\ =\frac{\sqrt{49}}{10}=\frac{7}{10} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 151

أجد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فأذكر السبب:

$a) \underset{x\to 2}{\lim } \left(3x^2-5x+4\right)$

$=3{\left(2\right)}^2-5\left(2\right)+4=6$

$b) \underset{x\to -1}{\lim } \sqrt{1-4x^2}$

العدد 1- لا يقع ضمن مجال الاقتران فذلك لا يمكن ايجاد النهاية بالتعويض المباشر

$c) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x^3-5x-6}{x^2-2}$

$\frac{3^3-5\left(3\right)-6}{3^2-2}=\frac{6}{7}$

$d) \underset{x\to 4}{\lim } \frac{x^2-16}{x-4}$

$\underset{x\to 4}{lim}\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x-4}=\underset{x\to 4}{lim}\left(x+4\right)=8$

أتحقق من فهمي

ص: 153

أجد كل نهاية مما يأتي:

$a) \underset{x\to 0}{\lim } \frac{7x-x^2}{x}$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\left(7-x\right)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\left(7-x\right)=7$

$b) \underset{x\to 0}{\lim } \frac{2-\sqrt{x+4}}{x}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{lim}\frac{2-\sqrt{x+4}}{x}\times \frac{2+\sqrt{x+4}}{2+\sqrt{x+4}} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4-\left(x+4\right)}{x\left(2+\sqrt{x+4}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x}{x\left(2+\sqrt{x+4}\right)} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-1}{2+\sqrt{x+4}}=\frac{-1}{4} \end{gathered}$$

$c) \underset{x\to 5}{\lim } \frac{\left|x-5\right|}{x-5}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 5^{+}}{lim}\frac{x-5}{x-5}=1 \\ \underset{x\to 5^{-}}{lim}\frac{5-x}{x-5}=-1 \\ \mathrm{موجود} \mathrm{غير} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 155

أحدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلا عند قيمة x المعطاة، مبررا إجابتي:

$a) f(x)=x^5+2x^3-x , x=1$

الاقتران متصل عند x=1 لان:

$f\left(1\right)=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=6$

$b) g(x)=\frac{x^2+16}{x-5} , x=5$

الاقتران غير متصل عند x=5 لات الاقتران غير معرف عند x=5

$c) h(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1 , x<3\\ , x=3\\ 5-x ,x\ge 3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} h\left(3\right)=5-3=2 \\ \underset{x\to 3^{+}}{lim} h\left(x\right)=2 \\ \underset{x\to 3^{-}}{lim} h\left(x\right)=2 \\ \underset{x\to 3}{lim} h\left(x\right)=2 \\ h\left(3\right)=\underset{x\to 3}{lim} h\left(x\right)=2 \end{gathered}$$

إذن الاقتران متصل عند x=3

$d) p(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+16}{x-5} , x\ne 5\\ 10 , x=5\end{array},x=5\right.$

$$\begin{gathered} p\left(5\right)=10 \\ \underset{x\to 5}{lim}p\left(x\right)=\underset{x\to 5}{lim}\frac{x^2-25}{x-5} \\ =\underset{x\to 5}{lim} \left(x+5\right)=10 \\ p\left(5\right)=\underset{x\to 5}{lim}p\left(x\right)=10 \end{gathered}$$

إذن الاقتران متصل عند x=5

أتدرب وأحل المسائل

أجد كلا من النهايات الآتية بيانيا وعدديا:

$1) \underset{x\to 2}{\lim } \left(x^2+1\right)$

$\underset{x\to 2}{lim}\left(x^2+1\right)=5$

$\underset{x\to 2}{lim}\left(x^2+1\right)=5$

$2) \underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x-2}$

غير موجود

$3) \underset{x\to 3}{\lim } \left(x+7\right)$

$\underset{x\to 3}{lim} (x+7)=10$

$4) \underset{x\to 0}{lim} \left|x\right|$

$\underset{x\to 0}{lim} \left|x\right|=0$

$\underset{x\to 0}{lim} \left|x\right|=0$

$5) \underset{x\to -1}{\lim } \left(x^2-5\right)$

$\underset{x\to -1}{lim} (x^2-5)=-4$

$6) \underset{x\to 0}{\lim } \left(\frac{1}{x}-2\right)$

غير موجودة

غير موجودة

$7) \underset{x\to -2}{\lim } \left(4-x^2\right)$

$\underset{x\to -2}{lim} (4-x^2)=0$

$\underset{x\to -2}{lim} (4-x^2)=0$

$8) \underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$

$\underset{x\to 2}{lim} \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=3$

$9) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}$

$\underset{x\to 3}{lim} \frac{1}{{(x-3)}^2}=\infty$

$10) \underset{x\to 3}{\lim } f(x) , f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1 ,x\ne 3\\ 1 ,x=3\end{array}\right.$

$\underset{x\to 3}{lim} f\left(x\right)=-1$

$11) \underset{x\to 2}{\lim } h(x) , h(x)=\left\{\begin{array}{l}2x , x<2\\ x^2 ,x\ge 2\end{array}\right.$

بيانيا:

عدديا:

$\underset{x\to 2}{lim}h\left(x\right)=4$

$12) \underset{x\to -2}{\lim } p(x) , p(x)=\left\{\begin{array}{l}x+6 ,x<-2\\ -\frac{1}{2}x+1 , x>-2\end{array}\right.$

بيانيا:

عدديا:

غير موجودة

$13) \underset{x\to 0}{\lim } g(x), g(x)=\left\{\begin{array}{l}x ,x\le 0\\ \sqrt{x} ,x>0\end{array}\right.$

بيانيا:

عدديا:

$\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=0$

أستعمل التمثيل البياني؛ لأجد كل نهاية مما يأتي:

$14) \underset{x\to 2}{\lim } f(x)$

$\underset{x\to 2}{lim} f\left(x\right)=4$

$15) \underset{x\to -2}{\lim } f(x)$

غير موجودة

أستعمل التمثيل البياني؛ لأجد كل نهاية مما يأتي:

$16) \underset{x\to 1}{\lim } h(x)$

$\underset{x\to 1}{lim} h\left(x\right)=-1$

$17) \underset{x\to 2}{\lim } h(x)$

غير موجودة

$18) \underset{x\to 3}{\lim } h(x)$

$\underset{x\to 3}{lim} h\left(x\right)=2$

أجد كل نهاية مما يأتي:

$19) \underset{x\to 3}{\lim } \left(x^2-4x+7\right)$

$=9-12+7=4$

$20) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x^2-16}{x-4}$

$=\frac{9-16}{3-4}=\frac{-7}{-1}=7$

$21) \underset{x\to 9}{\lim } {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$

$={\left(3+\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{100}{9}$

$22) \underset{x\to 2\mathrm{\pi }}{\lim } \left(x^3+\mathrm{\pi x}-5{\mathrm{\pi }}^3\right)$

$$\begin{gathered} =8{\mathrm{\pi }}^3+2{\mathrm{\pi }}^2-5{\mathrm{\pi }}^3 \\ =3{\mathrm{\pi }}^3+2{\mathrm{\pi }}^2 \end{gathered}$$

$23) \underset{x\to -3}{\lim } \sqrt{\frac{x-3}{2x+4}}$

$=\sqrt{\frac{-6}{-2}}=\sqrt{3}$

$24) \underset{x\to 4}{\lim } \sqrt[3]{x^2+11}$

$=\sqrt[3]{16+11}=3$

$25) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x^3-27}{x-3}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 3}{lim}\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x-3} \\ =\underset{x\to 3}{lim}\left(x^2+3x+9\right)=27 \end{gathered}$$

$26) \underset{x\to -1}{\lim } \frac{2x^2+5x+3}{x+1}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to -1}{lim}\frac{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)} \\ =\underset{x\to -1}{lim}\left(2x+3\right)=1 \end{gathered}$$

$27) \underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-x-2}{\left|x-2\right|}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|} \\ \underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(x+1\right)=3 \\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{2-x}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(-1\right)\left(x+1\right)=-3 \end{gathered}$$

غير موجودة

$28) \underset{x\to 3}{\lim } f(x) , f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1 , x<3\\ 3x-7 ,x>3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{+}}{lim}\left(3x-7\right)=2 \\ \underset{x\to 3^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{lim}\left(x-1\right)=2 \\ \underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=2 \end{gathered}$$

$29) \underset{t\to 4}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{t-4}$

$$\begin{gathered} \underset{t\to 4}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{t-4}\times \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ =\underset{t\to 4}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\left(t-4\right)\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\underset{t\to 4}{lim}\frac{4-t}{4t}\times \frac{1}{\left(t-4\right)\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)} \\ =\underset{t\to 4}{lim}\frac{-1}{4t\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{-1}{16} \end{gathered}$$

$30) \underset{x\to 3}{\lim } \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 3}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\times \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} \\ =\underset{x\to 3}{lim}\frac{x+1-4}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

31) إذا كان $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ، حيث $a\ne 0$، وكان f(0)=0، $\underset{x\to 1}{\lim } f\left(x\right)=5$، $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=8$؛ فأجد قيم الثوابت a و b و c.

بما أن القتران كثير حدود فإن

$$\begin{gathered} c=0 \\ \underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=5=f\left(1\right) \\ a{\left(1\right)}^2+b\left(1\right)+0=5 \\ a+b=5 \\ \underset{x\to -2}{lim}f\left(x\right)=8=f(-2) \\ a{(-2)}^2+b\left(-2\right)+0=8 \\ 4a-2b=8 \end{gathered}$$

بحل نظام المعادلات الخطية الناتج بالحذف أو التعويض نجد أن

$a=3 , b=2$

أستعمل التمثيل البياني؛ لأجد كل نهاية مما يأتي:

 

$32) \underset{x\to 2}{\lim } \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)$

$=2+0=2$

$33) \underset{x\to -1}{\lim } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

غير موجودة

$34) \underset{x\to 1}{\lim } \sqrt{3+f\left(x\right)}$

$=\sqrt{3+1}=2$

$35) \underset{x\to 0}{\lim } \left(f\left(x\right)\times g\left(x\right)\right)$

$=0\times \underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=0$

أحدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلا عند قيمة x المعطاة، مبررا إجابتي:

$36) f(x)={\mathrm{\pi x}}^2+4.2\mathrm{x}+7 , \mathrm{x}=-5$

متصل لأنه كثير الحدود

$37) g(x)=\frac{16}{x^2+25} , x=-5$

متصل لأن الاقتران نسبي معرف عند x=-5

$38) h(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2 , x<0\\ 2+\sqrt{k} , x\ge 0\end{array},x=0\right.$

$$\begin{gathered} h\left(0\right)=3 \\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}h\left(x\right)=3 \\ \underset{x\to 0^{-}}{lim}h\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

غير موجودة

إذن الاقتران غير متصل عند x=0

39) إذا كان $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x+3 ,x\ne 3\\ 2+\sqrt{k} ,x=3\end{array}$، متصلا عند x=3؛ فأجد قيمة الثابت k.

الاقتران متصل عند x=3 إذن

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=f\left(3\right) \\ 3+3=2+\sqrt{k} \\ 4=\sqrt{k} \\ k=16 \end{gathered}$$

أفران: يتحكم فني مختبر في درجة الحرارة T داخل فرن (القمين) لتزداد بمقدار $2^{°}C$ لكل دقيقة بدءا بالدرجة $0^{°}C$ خلال الدقائق الستين الأولى، وبعد ذلك يبدأ بخفض درجة حرارة الفرن بمقدار $3^{°}C$ لكل دقيقة. ويمثل الاقتران الآتي العلاقة بين درجة T والزمن t بالدقائق:

$T\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}2t , t⩽60\\ k-3t ,t>60\end{array}\right.$

40) أجد قيمة k التي تجعل الاقتران T متصلا عند t=60

الاقتران متصل عند t=60 إذن

$$\begin{gathered} \underset{t\to {60}^{+}}{lim}T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{lim}T\left(t\right) \\ k-3\left(60\right)=2\left(60\right) \\ k=300 \end{gathered}$$

41) أبين لماذا يجب أن يكون الاقتران T متصلا عند t=60

يجب أن يكون الاقتران متصل عند t=60 حتى يكون التبريد في الفرن بالتدريج وليس بشكل مفاجئ كما أن الحرارة لا تنقطع عن الفرن حتى يكون هناك درجة الحرارة قبل 60 وبعدها.

مهارات التفكير العليا

42) تحد: أجد $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+\left|x-1\right|-1}{\left|x-1\right|}$ بيانيا وجبريا.

بيانيا:

جبريا:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2-x-1-1}{x-1} \\ =\underset{x\to x^{+}}{lim}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1} \\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x+2\right)=3 \\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-x+1-1}{1-x} \\ =\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-x}{1-x}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x\left(x-1\right)}{1-x}=-1 \\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2+\left|x-1\right|-1}{\left|x-1\right|}\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2+\left|x-1\right|-1}{\left|x-1\right|} \end{gathered}$$

غير موجودة

43) تبرير: أجد قيمتي الثابتين m و b اللتين تجعلان $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\sqrt{mx+b}-3}{x}=1$، مبررا إجابتي.

بما أن المقام صفر والنهاية موجودة إذن البسط صفر

$$\begin{gathered} \sqrt{m\left(0\right)++b}-3=0 \\ \sqrt{b}=3 \\ b=9 \\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{mx+b}-3}{x}\times \frac{\sqrt{mx+b}+3}{\sqrt{mx+b}+3} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{mx+b-9}{x\left(\sqrt{mx+b+3}\right)} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{mx+9-9}{x\left(\sqrt{mx+9}+3\right)} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{m}{\left(\sqrt{mx+9}+3\right)} \\ =\frac{m}{3+3}=1 \\ m=6 \end{gathered}$$

44) تبرير: أجد قيمة الثابت a التي تجعل $\underset{x\to 1}{\lim } (\frac{1}{x-1}-\frac{a}{x^2-1})$ موجودة.

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1-a\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)} \\ =\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1-ax+a}{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)} \\ \underset{x\to 1}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x-a+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-a+1}{\left(x^2-1\right)} \end{gathered}$$

بما أن المقام عند x=1 صفر والنهاية موجودة إذن البسط عند x=1 يجب أن يكون صفر

$$\begin{gathered} 1-a+1=0 \\ a=2 \end{gathered}$$

حل أسئلة كتاب التمارين

يبين التمثيل البياني المجاور منحنى الاقتران f(t) أجد كلا من النهايات الآتية (إن وجدت):

$1) \underset{x\to -2}{\lim }f(t)$

$=0$

$2) \underset{x\to -1}{\lim }f(t)$

$=-1$

$3) \underset{x\to 0}{\lim }f(t)$

غير موجودة

أجد كلا من النهايات الآتية بيانيا وعدديا:

$4) \underset{x\to 5}{\lim }\left(\frac{x^2-25}{x-5}\right)$

 

$=10$

$5) \underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-x+2\right)$

 

$=8$

$6) \underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{1}{1-x}\right)$

 

غير موجودة

إذا كان $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2 , x\le 2\\ 6-x , x>2\end{array}$؛ فأجيب عما يأتي:

7) أمثل f(x)بيانيا.

8) أجد كلا من النهايات الآتية من التمثيل البياني للاقتران f(x):

$a) \underset{x\to 2}{\lim }f(x)$

$=4$

$b) \underset{x\to 1}{\lim } f(x)$

$=1$

$c) \underset{x\to 6}{\lim } f(x)$

$=0$

اجد كلا من النهايات الآتية:

$9) \underset{x\to -7}{\lim }\left(2x+5\right)$

$=2\left(-7\right)+5=-9$

$10) \underset{x\to 2}{\lim } \left(-x^2+5x-2\right)$

$=4$

$11) \underset{t\to 2}{\lim }\frac{t+3}{t+6}$

$=\frac{5}{8}$

$12) \underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{2x-2}{1-x}\right)$

$=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2\left(x-1\right)}{1-x}=-2$

$13) \underset{x\to 3}{\lim }\left(\frac{2x-6}{x+5}\right)$

$=\frac{2\left(3\right)-6}{3+5}=0$

$14) \underset{z\to -4}{\lim }\sqrt[3]{2z-8}$

$=\sqrt[3]{2\left(-4\right)-8}=0$

$15) \underset{x\to 3}{\lim } \left(\frac{2x^3-18}{x^3-27}\right)$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 3}{lim}\frac{2\left(x^2-9\right)}{x^3-27} \\ =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)} \\ =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2\left(x+9\right)}{\left(x^2+3x+9\right)}=\frac{24}{27}=\frac{8}{9} \end{gathered}$$

$16) \underset{x\to 5}{\lim }\left(\frac{x^2-7x+10}{25-5x}\right)$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 5}{lim}\frac{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}{5\left(5-x\right)} \\ =\underset{x\to 5}{lim}\frac{-1\left(x-2\right)}{5}=\frac{-3}{5} \end{gathered}$$

$17) \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{3x+1}-1}{x}\right)$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{3x+1}+1}{x}\times \frac{\sqrt{3x+1}+1}{\sqrt{3x+1}+1} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x+1-1}{x\left(\sqrt{3x+1}+1\right)} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

18) أبحث في اتصال الاقتران $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-4}{2-x} ,x<2\\ x-6 , x\ge 2\end{array}\right.$، عند x=2

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=-4 \\ \underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(x-6\right)=-4 \\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x^2-4}{2-x}=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2-x} \\ =\underset{x\to 2^{-}}{lim}-1\left(x+2\right)=-4 \\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right) \\ \underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=-4=f\left(2\right) \end{gathered}$$