رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

icon

نتاجات الدرس : 
- إيجاد نهاية اقتران عند نقطة بيانياً وعددياً وجبرياً .
- البحث في اتصال اقتران عند نقطة.

إيجاد النهايات بيانياً وعددياً: 
النهاية عند نقطة
: اذا كانت قيمة الاقتران f(x) تقترب من قيمة واحدة L عندما تقترب x من c ، فإن نهاية f(x) عندما تقترب x من c هي L .

limxcf(x)=L

تقرأ: نهاية الاقتران f(x) عندما تقترب x من c هي : L 

النهاية من الجهتين: تكون النهاية f(x) موجودة عندما تقترب x من c ، إذا وفقط كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين.

limxc-f(x)=limxc+f(x)=L إذا وفقط إذا limxcf(x)=L
 


مثال (1): إذا كان f(x)=x2-1x-1 ، فجد limx1f(x) بيانياً وعددياً: 

الإجابة:

أولاً : إيجاد النهاية بيانياً .
إن مجال الاقتران f(x)=x2-1x-1 هو مجموعة الاعداد الحقيقية R ما عدا (1)
وبما أنّ: f(x)=x2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1

فان التمثيل البياني للاقتران f(x) هو نفسه التمثيل البياني للمستقيم y=x+1 مع دائرة صغيرة غير مظللة عند x=1 كما في الشكل المجاور . 

نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من الجهتين ، فإن قيم f(x) المقابلة لها تقترب من العدد (2) من الجهتين ، وهذا يعني أن:

limx1x2-1x-1=2

ثانياً : إيجاد النهاية عددياً .
ننشىء جدول قيم باختيار قيم x القريبة من العدد 1 من كلا الجهتين ، وإيجاد قيم f(x) المقابلة لها باستعمال الآلة الحاسبة.


نلاحظ أيضاً أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من الجهتين ، فأن قيمة f(x) المقابلة لها تقترب من العدد 2

وهذا يعني أن: limx1x2-1x-1=2

اذن ، النهاية متساوية في كل من الطريقتين .


مثال (2) : اذا كان H(x)=2x+2  , x<12x-4  , x1 ، فجد limx1H(x)  

الإجابة:

أولاً : إيجاد النهاية بيانياً.
إن الاقتران H(x) متشعب ، ونمثله بيانياً كما في الشكل المجاور .
نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من جهة اليسار ، فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد (4) ، وهذا يعني أن: limx1-H(x)=4

ونلاحظ أيضاً إن كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من جهة اليمين، فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد (2-) وهذا يعني أن: limx1+H(x)=-2
وبما ان النهايتين من اليمين ومن اليسار غير متساويتين، فإن limx1H(x)  غير موجودة .

ثانياً : إيجاد النهاية عددياً: 
نلاحظ أن كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليسار فإن قيم H(x) تقترب من العدد 4 وكلما اقتربت من اليمين تقترب من العدد -1  ، وبما أن النهايتين من اليمين واليسار غير متساويتين ، فإنّ: limx1H(x) غير موجودة.

 

تدريب: جد كلاً من النهايات الآتية بيانياً و عددياً : 

1)  limx3(x+7)            2) limx0f(x) , f(x)=x , x01 , x>0


أن نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c لا علاقة لها بقيمة f(c) ، فمثلاً : 

limxcf(x)=L في الحالات الثلاث الآتية:

نهايات تتضمن (المالانهاية) : 
في بعض الأحيان ، تكون النهاية من اليمين أو اليسار (أو كليهما) غير موجودة عند قيمة ما ،  لأن الاقتران يزداد أو ينقص بصورة غير محدودة  قرب تلك القيمة . وفي هذه الحالة ، نصف سلوك الاقتران بأنه يقترب من (المالانهاية) الموجبة (∞)  او السالبة (-∞) .

- مثال (3) : جد النهاية الآتية بيانياً: limx01x2

الإجابة:

نلاحظ من التمثيل البياني للاقتران ، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليسار ازدادت قيم f(x) المقابلة لها بصورة غير محدودة ، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليسار غير موجودة ، ونلاحظ أيضاً أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليمين ، ازدادت قيم f(x) المقابلة لها بصورة غير محدودة ، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليمين غير موجودة ، يمكن وصف سلوك الاقتران كالآتي : 

limx0-1x2=  ,  limx0+1x2=      limx01x2=


- تدريب: جد النهاية الآتية بيانياً: limx21x-2


إيجاد النهايات جبرياً: 
نهاية الاقتران الثابت عند أي نقطة c هي القيمة الثابتة للاقتران.

limxck=k

نهاية الاقتران المحايد : نهاية الاقتران f(x)=x عند النقطة c هي: c

limxcx=c


الخصائص الأساسية لإيجاد النهايات جبرياً: 
اذا كان k,c عددين حقيقيين ، و n عدداً صحيحاً موجباً ، وكانت النهايتان limxcf(x) , limxcg(x) 
موجودتين ، فإن كلاً من الخصائص الآتية صحيحة: 

1) خاصية المجموع:

limxc(f(x)+g(x))=limxcf(x)+limxcg(x)

2) خاصية الفرق: 

limxc(f(x)-g(x))=limxcf(x)-limxcg(x)

3) خاصية الضرب في ثابت: 

limxc(kf(x))=klimxcf(x)

4) خاصية الضرب: 

limxc(f(x)×g(x))=limxcf(x)×limxcg(x)

5) خاصية القسمة: 

limxc(f(x)g(x))=limxcf(x)limxcg(x) , limxcg(x)0

6) خاصية القوة: 

limxc(f(x))n=(limxcf(x) )n

7) خاصية الجذر النوني: 

limxcf(x)n=limxcf(x) n


- مثال (4) : أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي 
1) limx-1(x3-4x+6)                 2)  limx41+3x23x-2

الإجابة:

2) 

=limx41+3x2limx4(3x-2)=limx4(1+3x2)limx4(3x-2)=limx41+3(limx4x)2limx43x-limx42=4910=710

1)

 limx-1x3-limx-14x+limx-16=(limx-1x)3-limx-14x+limx-16==(-1)3-4(-1)+6=9

 

 


تدريب : أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي : 

1) limx1(2x3+3x2-4)               2) limx5x2x-1


النهايات بالتعويض المباشر : 
نهايات كثيرات الحدود : اذا كان f(x) كثير حدود ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإن : 

نهايات كثيرات الحدود: اذا كان f(x) كثير حدود ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإن: limxcf(x)=f(c)

نهايات الاقترانات النسبية: اذا كان f(x)=p(x)q(x) اقتراناً نسبياً ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإن:

limxcf(x)=f(c)=p(c)q(c) ,q(c)0


مثال (5): جد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً ، وإلا فأذكر السبب : 

1) limx2(3x2-5x+4)          2) limx-1x2+5xx4+2           3) limx4x2-16x-4

الإجابة:

3) بما أن x=4 لا تقع في مجال الاقتران النسبي (المقام يساوي صفراً عندها) اذن ، لا يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر .

2) 

=(-1)2+5(-1)(-1)4+2=-43

 

1)

 =3(4)-5(2)+4=12-10+4=6

 


- تدريب : جد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً ، والا فأذكر السبب : 

1) limx2(x3-9x+4)               2) limx3x3-5x-6x2-2                   3) limx3x2-9x-3


في بعض الحالات يكون ناتج (التعويض المباشر 00) ولحل هذه المشكلة نحتاج الى البحث عن صيغة مكافئة للاقتران ، عن طريق تبسيطه جبرياً ، وذلك بتحليل وإيجاد عوامل مشتركة بين كل من البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة.

- مثال (6) : جد كل نهاية مما يأتي: 

1) limx-3x2-x-12x+3             2) limx2|x-2|x-2 

الإجابة:

1) بما أن ناتج التعويض 0/0  نحلل المقدار جبرياً ونختصر العوامل المشتركة بين البسط والمقام .

=limx-3(x-4)(x+3)x+3=limx-3(x-4)=-3-4=-7

2) نعيد تعريف  الاقتران :

f(x)=|x-2|x-2=x-2x-2  ,x>2-(x-2)x-2,x<2

limx2-f(x)=limx2-(-1)=-1limx2+f(x)=limx2+(1)=1

- بما أن النهايتين من اليمين ومن اليسار غير متساويتين ، فإن النهاية غير موجودة .


- تدريب : جد كل نهاية مما يأتي: 

1) limx07x-x2x           2) limx02-x+4x


الاتصال
يكون الاقتران متصلاً ، إذا لم يكن تمثيله البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة 
ويكون الاقتران متصلاً عند نقطة إذا كان منحناه يمر عبر هذه النقطة دون انقطاع .

• حالات الاتصال أو عدم الاتصال: 

غير متصل عند x=1

لأن الاقتران غير معرف عند x=1 

غير متصل عند x=1

بسبب وجود قفزة (ما يعني أن النهاية غير موجودة)

غير متصل عند x=1

لأن الاقتران غير معرف عند x=1 على الرغم أن النهاية موجودة عندما x=1 

متصل عند x=1

 

 


 الاتصال عند نقطة: 

يكون الاقتران f(x) متصلاً عند النقطة x=c إذا حقق الشروط الآتية جميعها :

- f(x) معرف عند c.

limxcf(x) موجودة.

limxcf(x)=f(c)

مثال (7): حدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة x المعطاة ، مبرراً أجابتك :

1) h(x)=x2-3 ,x-1x-1  ,x>-1               2) f(x)=x3-x , x=3

الإجابة:

1) نطبق الشروط: 

h(-1)=(-1)2-3=-2

limx-1-(x2-3)=-2

limx-1+(x-1)=-2

بما أنّ: limx-1-h(x)=limx-1+h(x)=-2

وبما أنّ: limx-1h(x)=h(-1)=-2 ، إذن: h(x) متصل عند x=-1
 

2) f(3)=(3)3-3=24

     limx3f(x)=(3)2-3=24

بما أن limx3f(x)=f(3)=24 ، اذن : f(x) متصل عند x=3


- تدريب: حدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة x المعطاة ، مبرراً أجابتك :

1) h(x)={x-1   ,x<35-x   ,x3                   2) f(x)=x5+2x3-x   , x=1