نتاجات الدرس :
- إيجاد نهاية اقتران عند نقطة بيانياً وعددياً وجبرياً .
- البحث في اتصال اقتران عند نقطة.
إيجاد النهايات بيانياً وعددياً:
النهاية عند نقطة: اذا كانت قيمة الاقتران f(x) تقترب من قيمة واحدة L عندما تقترب x من c ، فإن نهاية f(x) عندما تقترب x من c هي L .
تقرأ: نهاية الاقتران f(x) عندما تقترب x من c هي : L
النهاية من الجهتين: تكون النهاية f(x) موجودة عندما تقترب x من c ، إذا وفقط كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين.
مثال (1): إذا كان
الإجابة:
أولاً : إيجاد النهاية بيانياً .
إن مجال الاقتران
وبما أنّ:
فان التمثيل البياني للاقتران f(x) هو نفسه التمثيل البياني للمستقيم y=x+1 مع دائرة صغيرة غير مظللة عند x=1 كما في الشكل المجاور .
نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من الجهتين ، فإن قيم f(x) المقابلة لها تقترب من العدد (2) من الجهتين ، وهذا يعني أن:
ثانياً : إيجاد النهاية عددياً .
ننشىء جدول قيم باختيار قيم x القريبة من العدد 1 من كلا الجهتين ، وإيجاد قيم f(x) المقابلة لها باستعمال الآلة الحاسبة.
نلاحظ أيضاً أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من الجهتين ، فأن قيمة f(x) المقابلة لها تقترب من العدد 2
وهذا يعني أن:
اذن ، النهاية متساوية في كل من الطريقتين .
مثال (2) : اذا كان
الإجابة:
أولاً : إيجاد النهاية بيانياً.
إن الاقتران H(x) متشعب ، ونمثله بيانياً كما في الشكل المجاور .
نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من جهة اليسار ، فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد (4) ، وهذا يعني أن:
ونلاحظ أيضاً إن كلما اقتربت قيم x من العدد (1) من جهة اليمين، فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد (2-) وهذا يعني أن:
وبما ان النهايتين من اليمين ومن اليسار غير متساويتين، فإن
ثانياً : إيجاد النهاية عددياً:
نلاحظ أن كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليسار فإن قيم H(x) تقترب من العدد 4 وكلما اقتربت من اليمين تقترب من العدد -1 ، وبما أن النهايتين من اليمين واليسار غير متساويتين ، فإنّ:
- تدريب: جد كلاً من النهايات الآتية بيانياً و عددياً :
1)
أن نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c لا علاقة لها بقيمة f(c) ، فمثلاً :
نهايات تتضمن (المالانهاية) : في بعض الأحيان ، تكون النهاية من اليمين أو اليسار (أو كليهما) غير موجودة عند قيمة ما ، لأن الاقتران يزداد أو ينقص بصورة غير محدودة قرب تلك القيمة . وفي هذه الحالة ، نصف سلوك الاقتران بأنه يقترب من (المالانهاية) الموجبة (∞) او السالبة (-∞) . |
- مثال (3) : جد النهاية الآتية بيانياً:
الإجابة:
![]() |
نلاحظ من التمثيل البياني للاقتران ، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليسار ازدادت قيم f(x) المقابلة لها بصورة غير محدودة ، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليسار غير موجودة ، ونلاحظ أيضاً أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليمين ، ازدادت قيم f(x) المقابلة لها بصورة غير محدودة ، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليمين غير موجودة ، يمكن وصف سلوك الاقتران كالآتي : |
![]() |
- تدريب: جد النهاية الآتية بيانياً:
إيجاد النهايات جبرياً: نهاية الاقتران المحايد : نهاية الاقتران f(x)=x عند النقطة c هي: c |
الخصائص الأساسية لإيجاد النهايات جبرياً: |
1) خاصية المجموع: |
2) خاصية الفرق: |
3) خاصية الضرب في ثابت: |
4) خاصية الضرب: |
5) خاصية القسمة: |
6) خاصية القوة: |
7) خاصية الجذر النوني: |
- مثال (4) : أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي
1)
الإجابة:
2) |
1)
|
- تدريب : أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي :
1)
النهايات بالتعويض المباشر :
نهايات كثيرات الحدود : اذا كان f(x) كثير حدود ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإن :
نهايات كثيرات الحدود: اذا كان f(x) كثير حدود ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإن:
نهايات الاقترانات النسبية: اذا كان
- مثال (5): جد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً ، وإلا فأذكر السبب :
1)
الإجابة:
3) بما أن x=4 لا تقع في مجال الاقتران النسبي (المقام يساوي صفراً عندها) اذن ، لا يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر . |
2)
|
1)
|
- تدريب : جد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً ، والا فأذكر السبب :
1)
في بعض الحالات يكون ناتج (التعويض المباشر |
- مثال (6) : جد كل نهاية مما يأتي:
1)
الإجابة:
1) بما أن ناتج التعويض 0/0 نحلل المقدار جبرياً ونختصر العوامل المشتركة بين البسط والمقام .
2) نعيد تعريف الاقتران :
- بما أن النهايتين من اليمين ومن اليسار غير متساويتين ، فإن النهاية غير موجودة .
- تدريب : جد كل نهاية مما يأتي:
1)
• الاتصال:
يكون الاقتران متصلاً ، إذا لم يكن تمثيله البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة
ويكون الاقتران متصلاً عند نقطة إذا كان منحناه يمر عبر هذه النقطة دون انقطاع .
• حالات الاتصال أو عدم الاتصال:
غير متصل عند x=1 لأن الاقتران غير معرف عند x=1 |
غير متصل عند x=1 بسبب وجود قفزة (ما يعني أن النهاية غير موجودة) |
غير متصل عند x=1 لأن الاقتران غير معرف عند x=1 على الرغم أن النهاية موجودة عندما x=1 |
متصل عند x=1
|
• الاتصال عند نقطة: يكون الاقتران f(x) متصلاً عند النقطة x=c إذا حقق الشروط الآتية جميعها : - f(x) معرف عند c. - - |
![]() |
- مثال (7): حدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة x المعطاة ، مبرراً أجابتك :
1)
الإجابة:
1) نطبق الشروط:
بما أنّ:
وبما أنّ:
2)
بما أن
- تدريب: حدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة x المعطاة ، مبرراً أجابتك :
1)