رياضيات فصل أول

النهايات والاتصال

أتحقق من فهمي صفحة 54

أجد كلًًّّا من النهايات الآتية بيانيًّا وعدديًّا:

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim}\frac{ x^2 -9 }{x -3}$

$\mathit{b}\mathbf{)} \underset{x\to 0}{lim}f(x) , f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x , x\le 0\\ 1 , x>0\end{array}\right.$

الحل:

a) عدديا $\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6$	بيانيا $\underset{x\to 3}{lim}\frac{ x^2 -9 }{x -3}=6$
b) عدديا $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right) \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$	بيانيا $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right) \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 56

أجد كلًًّّا من النهايات الآتية بيانيًّا:

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim}\frac{ 1 }{x -2}$

$\mathit{b}\mathbf{)} \underset{x\to -3}{lim}\frac{ 1 }{{(x +3)}^2}$

الحل:

a) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{ 1 }{x -2} \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$

b) $\underset{x\to -3}{lim}\frac{ 1 }{{(x +3)}^2}=\infty$

---

أتحقق من فهمي صفحة 58

أستعملُ خصائص النهايات لحساب كلّ نهاية ممّا يأتي:

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{x\to 1}{\lim } (2x^3 + 3x^2 -4)$

$\mathit{b}\mathbf{)} \underset{x\to 4}{\lim } \frac{\sqrt{1+3x^2}}{3x-2}$

الحل:

a)  $\underset{x\to 1}{\lim } (2x^3 + 3x^2 -4)=(\underset{x\to 1}{\lim }2x^3+\underset{x\to 1}{\lim } 3x^2-\underset{x\to 1}{\lim } 4)=2(1{)}^3+3(1{)}^2-4=1$

b)

---

أتحقق من فهمي صفحة 59

أجد كلّ نهاية ممّا يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلّّا فأذكرُ السبب:

$\mathit{a}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} (3x^2 - 5x +4)$	$\mathit{b}\mathbf{)}\underset{x\to -1}{lim} \sqrt{1+4x^2}$
$\mathit{c}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} \frac{x^3 - 5x -6}{x^2 - 2}$	$\mathit{d}\mathbf{)} \underset{x\to 4}{lim} \frac{x^2-16}{x-4}$

الحل:

---

أتحقق من فهمي صفحة 61

أجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{x\to 0}{lim} \frac{7x - x^2}{x}$

$\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{x\to 0}{lim} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x}$

$\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\underset{x\to 5}{lim} \frac{|x-5|}{x-5}$

الحل:

a) $\underset{x\to 0}{lim} \frac{7x - x^2}{x} =\underset{x\to 0}{lim} \frac{x(7 - x)}{x} =7$
b) $$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{lim} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x} =\underset{x\to 0}{lim} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x} \times \frac{2+\sqrt{x+4}}{2+\sqrt{x+4}} \\ =\underset{x\to 0}{lim} \frac{4-(x+4)}{x(2+\sqrt{x+4})}=\underset{x\to 0}{lim} \frac{-x}{x(2+\sqrt{x+4})}=\frac{-1}{4} \end{gathered}$$	c) $$\begin{gathered} \mathbf{ }\underset{x\to 5^{+}}{lim} \frac{x-5}{x-5}=1 \\ \mathbf{ }\underset{x\to 5-}{lim} \frac{x-5}{x-5}=-1 \\ \Rightarrow \mathbf{ }\underset{x\to 5}{lim} \frac{|x-5|}{x-5} \mathrm{موجودة} \mathrm{غير} \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 64

أُحدّد إذا كان كلّ اقتران ممّا يأتي متّصلًًا عند قيمة x المعطاة، وأبرّر إجابتي:

$\mathit{a}\mathbf{)} f(x) = x^5 + 2x^3 -x , x = 1$	$\mathit{b}\mathbf{)} g(x) = \frac{x^2 + 16}{x - 5} , x = 5$
$\mathit{c}\mathbf{)} h(x) =\left\{\begin{array}{l} x - 1 , x < 3\\ 5 - x , x \ge 3\end{array}\right. , x = 3$	$\mathit{d}\mathbf{)} p(x) =\left\{\begin{array}{l}\frac{ x^2 - 25}{x - 5} , x \ne 5\\ 10 , x = 5\end{array}\right. , x = 5$

الحل:

a) الاقتران متصل عند x=1 لأن $f\left(1\right)=\underset{x\to 1}{lim} f\left(x\right)=6$.

b) الاقتران غير متصل عند x=5 لأن الاقتران غير معرف عند x=5 

c)

 $$\begin{gathered} h\left(3\right)=5-3= 2 \\ \underset{x\to 3^{+}}{lim}h\left(x\right)=2 \\ \underset{x\to 3^{-}}{lim}h\left(x\right)=2 \\ \Rightarrow h\left(3\right)=\underset{x\to 3}{lim}h\left(x\right)=2 \end{gathered}$$

إذن الاقتران متصل عند x=3.

d)

---

أتدرّب وأحلّ المسائل (صفحة 64)
أجد كلا من النهايات الآتية بيانيًّا وعدديًّا:

$\mathbf{1}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} \frac{1}{x-2}$	$\mathbf{2}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} (x+7)$	$\mathbf{3}\mathbf{)} \underset{x\to 0}{lim}|x|$
$\mathbf{4}\mathbf{)} \underset{x\to -1}{lim}(x^2-5)$	$\mathbf{5}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$	$\mathbf{6}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} \frac{1}{{(x-3)}^2}$
$\mathbf{7}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim} f(x) , f(x)=\{\begin{array}{l}-1 , x\ne 3\\ 1 , x=3\end{array}$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\underset{x\to -2}{lim} p(x) , p(x)=\{\begin{array}{l}x+6 , x<-2\\ -\frac{1}{2}x+1 , x>-2\end{array}$

الحل:

1) $\underset{x\to 2}{lim} \frac{1}{x-2} \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$	2) $\underset{x\to 3}{lim} (x+7)=10$
3) $\underset{x\to 0}{lim}\left|x\right|=0$	4) $\underset{x\to -1}{lim}(x^2-5)=-4$
5) $\underset{x\to 2}{lim} \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=3$	6) $\underset{x\to 3}{lim} \frac{1}{{(x-3)}^2}=\infty$
7)  $\underset{x\to 3}{lim} f\left(x\right) =-1$	8) $\underset{x\to -2}{lim} p\left(x\right) \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$

---

أجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

$\mathbf{9}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim} (x^2-4x+7)$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim} \frac{x^2-16}{x-4}$	$\mathbf{11}\mathbf{)}\underset{x\to 9}{lim}{(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2 }$
$\mathbf{12}\mathbf{\left)}\underset{x\to 2\mathrm{\pi }}{lim}\right(x^3+\pi x-5{\pi }^3)$	$\mathbf{13}\mathbf{)}\underset{x\to -3}{lim}\sqrt{\frac{x-3}{2x+4}}$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\underset{x\to 4}{lim}\mathbf{ }\sqrt[3]{x^2+11}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-27}{x-3}$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^2+5x+3}{x+1}$	$\mathbf{17}\mathbf{)}\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-x-2}{|x-2|}$
$\mathbf{18}\mathbf{\left)}\underset{x\to 3}{lim}f\right(x) , f(x)=\{\begin{array}{l}x - 1 , x < 3\\ 3x - 7 , x > 3\end{array}$	$\mathbf{19}\mathbf{)} \underset{t\to 4}{lim} \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{t-4}$	$\mathbf{20}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} \frac{{\displaystyle \sqrt{x+1}-2}}{x-3}$

الحل:

$\mathbf{9}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim} (x^2-4x+7)=9-12+7=4$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim} \frac{x^2-16}{x-4}=\frac{9-16}{3-4}=7$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\underset{x\to 9}{lim}{(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2 }={(3+\frac{1}{3})}^2=\frac{100}{9}$	$\mathbf{12}\mathbf{\left)}\underset{x\to 2\mathrm{\pi }}{lim}\right(x^3+\pi x-5{\pi }^3)=3{\pi }^3+2{\pi }^2$
$\mathbf{13}\mathbf{)}\underset{x\to -3}{lim}\sqrt{\frac{x-3}{2x+4}}=\sqrt{3}$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\underset{x\to 4}{lim}\mathbf{ }\sqrt[3]{x^2+11}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-27}{x-3}\mathbf{=}\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x-3}=27$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^2+5x+3}{x+1}\mathbf{=}\underset{x\to -1}{lim}\frac{(2x+3)(x+1)}{x+1}=1$
$\mathbf{17}\mathbf{)}\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}\ne \underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}$ $3\ne -3$ $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-x-2}{|x-2|} \mathrm{موجودة} \mathrm{غير}$	$$\begin{gathered} \mathbf{18}\mathbf{\left)}\underset{x\to 3^{+}}{lim}f\right(x)=\underset{x\to 3^{+}}{lim}(3x-7) =2 \\ \underset{x\to 3-}{lim}f(x)=\underset{x\to 3-}{lim}(x-1) =2 \\ \underset{x\to 3}{lim}f(x)=2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{19}\mathbf{)}\underset{t\to 4}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}}}{t-4}\times \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}} \\ =\underset{t\to 4}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{t}-\frac{1}{4}}}{(t-4)\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}\right)}=\underset{t\to 4}{lim}\frac{4-t}{4t}\times \frac{1}{(t-4)\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}\right)} \\ =\underset{t\to 4}{lim}\frac{-1}{4t \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}\right)}=\frac{-1}{16} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{20}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} \frac{{\displaystyle \sqrt{x+1}-2}}{x-3}\times \frac{{\displaystyle \sqrt{x+1}+2}}{\sqrt{x+1}+2} \\ \underset{x\to 3}{lim} \frac{{\displaystyle x+1-4}}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

أستعملُ التمثيل البياني؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

	$\mathbf{21}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} f(x)$
	$\mathbf{22}\mathbf{)} \underset{x\to -2}{lim} f(x)$

الحل:

21) 4

22) غير موجودة
 

---

أستعملُ التمثيل البياني؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

$\mathbf{23}\mathbf{)} \underset{x\to 1}{lim} h(x)$
$\mathbf{24}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} h(x)$
$\mathbf{25}\mathbf{)} \underset{x\to 3}{lim} h(x)$

الحل:

23) $\underset{x\to 1}{lim} h\left(x\right)=-1$

24) غير موجودة

25) $\underset{x\to 3}{lim} h\left(x\right)=2$

---

26) إذا كان $f\left(x\right) = a{x}^2 + bx + c$ ، حيثُ $a\ne 0$ ، وكان $f\left(0\right)=0$ ، $\underset{x\to 1}{lim} f\left(x\right)=5$ ، $\underset{x\to -2}{lim} f\left(x\right)=8$ ؛ فأجد قيم الثوابت a و b و c.

الحل:

$f\left(0\right)=0\to c=0$

بما أن الاقتران كثير حدود فإنّ:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{lim} f\left(x\right)=5=f\left(1\right)\to a(1{)}^2+b(1)+0=5 \\ a+b=5 \end{gathered}$$   $$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{lim} f\left(x\right)=8=f(-2)\to a(-2{)}^2+b(-2)+0=8 \\ 4a-2b=8 \end{gathered}$$

بح حل نظام المعادلات الخطية الناتج بالحذف او التعويض نجد أنّ: $a=3 , b=2$

---

أستعملُ التمثيلين البيانيين المجاورين؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

$\mathbf{27}\mathbf{)} \underset{x\to 2}{lim} (f\left(x\right) + g\left(x\right))$

$\mathbf{28}\mathbf{)} \underset{x\to 1}{lim} \sqrt{3+f\left(x\right)}$

$\mathbf{29}\mathbf{)} \underset{x\to 0}{lim} (f\left(x\right) \times g\left(x\right))$

الحل:

27) $\underset{x\to 2}{lim} \left(f\right(x) + g(x\left)\right)=2+0=2$

28) $\underset{x\to 1}{lim} \sqrt{3+f\left(x\right)}=\sqrt{3+1}=2$

29) $\underset{x\to 0}{lim} \left(f\right(x) \times g(x\left)\right)=0\times \underset{x\to 0}{lim} g\left(x\right)=0$

---

أُحدّد إذا كان كلّ اقتران ممّا يأتي متّصلًًا عند قيمة x المعطاة، وأبرّر إجابتي:

$\mathbf{30}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = \pi x^2+ 4.2x +7 , x=-5$

$\mathbf{31}\mathbf{)} g(x)=\frac{16 }{ x^2+25}, x=-5$

$\mathbf{32}\mathbf{)} h(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2 , x < 0\\ 3 , x \ge 0\end{array}\right. , x = 0$

الحل:

30) متصل لأنه كثير حدود

31) متصل لأن الاقتران نسبي معرف عند $x=-5$

32) $h\left(0\right)=3$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim} h\left(x\right)=3 , \underset{x\to 0^{-}}{lim} h\left(x\right)=0$

$\underset{x\to 0}{lim} h\left(x\right)$ غير موجودة

إذن الاقتران غير متصل عند $x=0$

---

33) إذا كان $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x + 3 , x \ne 3\\ 2 + \sqrt{k} , x = 3\end{array}\right.$ متّصلًًا عند x = 3 ؛ فأجد قيمة الثابت

الحل:

الاقتران متصل عند $x=3$ ، إذن: $$\begin{gathered} \underset{x\to 3}{lim} f\left(x\right)=f\left(3\right) \\ 3+3=2+\sqrt{k } \to \sqrt{k }=4 \to k=16 \end{gathered}$$

---

مهارات التفكير العليا

34) تحدّ: أجد $\underset{x\to 1}{lim} \frac{x^2+|x-1|-1}{|x-1|}$ بيانيًّا وجبريًّا.

الحل:

---

35) تبرير: أجد قيمتَي الثابتين m و b اللتين تجعلان $\underset{x\to 0}{lim} \frac{\sqrt{mx+b}-3}{x}=1$ ، وأبرّر إجابتي.

الحل:

بما أن المقام صفر والنهاية موجودة اذن البسط صفر 

$\sqrt{m\left(0\right)+b}-3=0 \to \sqrt{b}=3 \to b=9$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{lim} \frac{\sqrt{mx+b}-3}{x}\times \frac{\sqrt{mx+b}+3}{\sqrt{mx+b}+3}=\underset{x\to 0}{lim} \frac{mx+b-9}{x(\sqrt{mx+b}+3)} \\ \underset{x\to 0}{lim} \frac{mx+9-9}{x(\sqrt{mx+9}+3)}=\underset{x\to 0}{lim} \frac{m}{(\sqrt{mx+9}+3)}=\frac{m}{3+3}=1 \\ \to m=6 \end{gathered}$$

---

36) تبرير: أجد قيمة الثابت a التي تجعل $\underset{x\to 1}{lim} (\frac{1}{x-1}-\frac{a}{x^2-1})$ موجودة، وأبرّر إجابتي.

الحل:

$\underset{x\to 1}{lim} (\frac{1}{x-1}-\frac{a}{x^2-1})=\underset{x\to 1}{lim} \frac{x^2-1-a(x-1)}{(x-1)(x^2-1)}=\underset{x\to 1}{lim} \frac{x^2-1-ax+1}{(x-1)(x^2-1)}$

بتحليل البسط :

$\underset{x\to 1}{lim} \frac{(x-1)(x-a+1)}{(x-1)(x^2-1)}=\underset{x\to 1}{lim} \frac{(x-a+1)}{(x^2-1)}$

بما أن المقام عند x=1 صفر والنهاية موجودة اذن البسط عند x=1 يجب أن يكون صفر 

$1-a+1=0 \to a=2$