رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 64

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)} (2m^5 n^{11}\left)\right(m^2 n^4) \mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)} ({\left(v^2\right)}^6{)}^9 \\ \mathbf{ } \\ \mathit{c}\mathbf{)} {(5x^3 y^7)}^4 \mathit{d}\mathbf{)} (5a^3 b^4){\left(a{b}^2\right)}^7 \end{gathered}$$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} (2m^5 n^{11}\left)\right(m^2 n^4)$

بإعادةِ تجميعِ الثوابتِ والمُتغيِّراتِ	$(2m^5 n^{11})(m^2 n^4) =\left(2\right) (m^5\times m^2) (n^{11}\times n^4)$
ضربُ القوى	$= \left(2\right)\left(m^{5+2}\right) \left(n^{11+4 }\right)$
بالتبسيطِ	$= 2m^7 n^{15}$

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} ({\left(v^2\right)}^6{)}^9$

قوَّةُ القوَّةِ	$({\left(v^2\right)}^6{)}^9 = {\left(v^{2\times 6}\right)}^9$
بالتبسيطِ	$= {\left(v^{12}\right)}^9$
قوَّةُ القوَّةِ	$= v^{12\times 9}$
بالتبسيطِ	$= v^{108}$

 

---

$\mathit{c}\mathbf{)} {(5x^3 y^7)}^4$

قوَّةُ ناتجِ الضربِ	${(5x^3 y^7)}^4 ={\left(5\right)}^4 {\left(x^3\right)}^4{\left(y^7\right)}^4$
قوَّةُ القوَّةِ	$={\left(5\right)}^4 {(x^{3\times 4} )}^{ }{\left({y^{7\times 4}}^{ }\right)}^{ }$
بالتبسيطِ	$= 625 x^{12} y^{28}$

 

---

 

$\mathit{d}\mathbf{)} (5a^3 b^4){\left(a{b}^2\right)}^7$

قوَّةُ القوَّةِ	$(5a^3 b^4){\left(a{b}^2\right)}^7=(5a^3 b^4) {\left(a\right)}^7{\left(b^2\right)}^7$
بالتبسيطِ	$=(5a^3 b^4) (a^7{ b^{14}) }^{ }$
بإعادةِ تجميعِ الثوابتِ والمُتغيِّراتِ	$= \left(5\right)(a^3\times a^7)(b^4\times b^{14})$
ضربُ القوى	$= 5a^{10}{b}^{18}$

 

---

 

 

أتحقق من فهمي صفحة 65

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{m^4 n^5}{m^2 n^3} \mathit{b}\mathbf{)} {\left(\frac{a^8{b}^6}{a^4}\right)}^5$

الحل :

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{m^4 n^5}{m^2 n^3}$

بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ	$\frac{m^4 n^5}{m^2 n^3}= \left(\frac{m^4}{m^2}\right) \left(\frac{n^5}{n^3}\right)$
قسمةُ القوى	$= (m^{4-2} ) \left(n^{5-3}\right)$
بالتبسيطِ	$= m^2{n}^2$

 

---

$\mathit{b}\mathbf{)} {\left(\frac{a^8{b}^6}{a^4}\right)}^5$

قسمةُ القوى	${\left(\frac{a^8{b}^6}{a^4}\right)}^5= ( a^{8-4} b^6)5$
بالتبسيطِ	$= {\left(a^4{b}^6\right)}^5$
قوَّةُ القوَّةِ	$= {\left(a^4\right)}^5 {\left(b^6\right)}^5$
بالتبسيطِ	$= a^{20}{b}^{30}$

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 67

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{2h^3 j^{-3} k^4}{3 jk} b) {\left(\frac{x^{-2} y^4}{x^0 y^5}\right)}^{-3}$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{2h^3 j^{-3} k^4}{3 jk}$

بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ ذاتِ الأساسِ المُتشابِهِ	$\frac{2h^3 j^{-3} k^4}{3 jk}=\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{j^{-3}}{j}\right) \left(\frac{k^4}{k}\right)h^3$
قسمةُ القوى	$= \left(\frac{2}{3}\right) \left(j^{-3-1}\right) \left(k^{4-1}\right)h^3$
بالتبسيطِ	$=\frac{2}{3} \left(j^{-4}\right) \left(k^3\right)h^3$
تعريفُ الأُسِّ السالبِ	$= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{j^4}\right) \left(k^3\right)h^3$
بالضربِ	$= \frac{2k^3}{3j^4}{h}^3$

 

---

$b) {\left(\frac{x^{-2} y^4}{x^0 y^5}\right)}^{-3}$

$x^0 = 1$	${\left(\frac{x^{-2} y^4}{x^0 y^5}\right)}^{-3}= {\left(\frac{x^{-2} y^4}{y^5}\right)}^{-3}$
بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ ذاتِ الأساسِ المُتشابِهِ	$= \left(\right(x^{-2}){\left(\frac{y^4}{y^5}\right))}^{-3}$
قسمةُ القوى	$= \left(\right(x^{-2}) {( y^{4-5}))}^{-3}$
بالتبسيط	$= \left(\right(x^{-2}) {( y^{-1 }))}^{-3}$
قوة القوة	$= {\left(x^{-2}\right)}^{-3} {( y^{-1 })}^{-3}$
بالتبسيط	$= x^6 y^3$

 

 

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathbf{1}\mathbf{)} (3a^3 b^2\left)\right(4a^2 b)$                             $\mathbf{2}\mathbf{)} (7a^4 b^5\left)\right(4a{b}^3)$                                 $\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }(5x^2 b^4\left)\right(2a{b}^{-3})$

$\mathbf{4}\mathbf{)} {(x^5 y^3)}^3 {\left(x{y}^5\right)}^2$                             $\mathbf{5}\mathbf{)} {\left(x^4\right)}^5 {(x^3 y^2)}^5$                                   $\mathbf{6}\mathbf{)} {(5a^3 b^5)}^4$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} (3a^3 b^2\left)\right(4a^2 b)$

$$\begin{gathered} (3a^3 b^2)(4a^2 b) = (3\times 4)(a^3\times a^2) (b^2\times b) \\ = 12 a^5{b}^3 \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} (7a^4 b^5\left)\right(4a{b}^3)$

$$\begin{gathered} (7a^4 b^5)\left(4a{b}^3\right) = (7\times 4) (a^4\times a) (b^5\times b^3) \\ = 28 a^5 b^8 \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }(5x^2 b^4\left)\right(2a{b}^{-3})$

$$\begin{gathered} (5x^2 b^4)\left(2a{b}^{-3}\right) = (5\times 2) \left(x^2\right) \left(a\right) (b^4\times b^{-3}) \\ = 10 x^{2}a b \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} {(x^5 y^3)}^3 {\left(x{y}^5\right)}^2$

$$\begin{gathered} {(x^5 y^3)}^3 {\left(x{y}^5\right)}^2 ={ \left(x^5\right)}^3 {\left(y^3\right)}^3 {\left(x\right)}^2 {\left(y^5\right)}^2 \\ = x^{15} y^9 x^2 y^{10} \\ = x^{17} y^{19} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} {\left(x^4\right)}^5 {(x^3 y^2)}^5$

$$\begin{gathered} {\left(x^4\right)}^5 {(x^3 y^2)}^5= {\left(x^4\right)}^5 {\left(x^3\right)}^5 {\left(y^2\right)}^5 \\ = x^{20} x^{15} y^{10} \\ = x^{35} y^{10} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{6}\mathbf{)} {(5a^3 b^5)}^4$

$$\begin{gathered} {(5a^3 b^5)}^{4 }= {\left(5\right)}^4 {\left(a^3\right)}^4 {\left(b^5\right)}^4 \\ = 625 a^{12} b^{20} \end{gathered}$$

---

 

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathbf{7}\mathbf{)} (6a^2 b^3) (5a^{-4} b^{-5})$                       $\mathbf{8}\mathbf{)} ({(-3x^2)}^4{)}^{-7}$                                     $\mathbf{9}\mathbf{)} {(m^{-3} n^4)}^{-5}$

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{12a^2 b^3}{6ab}$                                    $\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{12a^{-3} b^4}{3a^2 b^{-3}}$                                     $\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{(2a^2 b{c}^2)\left(6ab{c}^3\right)}{4a{b}^0 c}$

$\mathbf{13}\mathbf{)} {\left(\frac{v}{w^{-2}}\right)}^3$                                      $\mathbf{14}\mathbf{)} {\left(\frac{6x^2 y^4}{3x^4 y^3}\right)}^{-2}$                                  $\mathbf{15}\mathbf{)} \frac{30a^{-2} b^{-6}}{60a^{-6}{b}^{-8}}$

 

الحل : 

$\mathbf{7}\mathbf{)} (6a^2 b^3) (5a^{-4} b^{-5})$

$$\begin{gathered} (6a^2 b^3) (5a^{-4} b^{-5}) = (6\times 5) (a^2\times a^{-4}) (b^3\times b^{-5}) \\ = 30 a^{-2} b^{-2} \\ = \frac{30}{a^2 b^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{8}\mathbf{)} ({(-3x^2)}^4{)}^{-7}$

$$\begin{gathered} ({(-3x^2)}^4{)}^{-7}= {(-3x^2)}^{-28 } \\ = \frac{1}{{(-3x^2)}^{28}} \\ = \frac{1}{{(-3)}^{28} {\left(x^2\right)}^{28}} \\ =\frac{1}{{(-3)}^{28} {\left(x\right)}^{56}} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{9}\mathbf{)} {(m^{-3} n^4)}^{-5}$

$$\begin{gathered} {(m^{-3} n^4)}^{-5} = {\left(m^{-3}\right)}^{-5 }{( n^4)}^{-5} \\ = m^{15} n^{-20} \\ = \frac{m^{15}}{n^{20}} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{12a^2 b^3}{6ab}$

$$\begin{gathered} \frac{12a^2 b^3}{6ab} = \left(\frac{12}{6}\right) \left(\frac{a^2}{a}\right) \left(\frac{b^3}{b}\right) \\ = 2 a b^2 \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{12a^{-3} b^4}{3a^2 b^{-3}}$

$$\begin{gathered} \frac{12a^{-3} b^4}{3a^2 b^{-3}} =\left(\frac{12}{3}\right) \left(\frac{a^{-3}}{a^2}\right) \left(\frac{b^4}{b^{-3}}\right) \\ = 4 a^{-5} b^7 \\ = \frac{4b^7}{a^5} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{(2a^2 b{c}^2)\left(6ab{c}^3\right)}{4a{b}^0 c}$

$$\begin{gathered} \frac{(2a^2 b{c}^2)\left(6ab{c}^3\right)}{4a{b}^0 c}=\frac{2\times 6 (a^2\times a) (b\times b) (c^2\times c^3)}{4a{b}^0 c} \\ =\frac{12 a^3 b^2 c^5 }{4 a b^0 c} \\ = 3 a^2 b^2 c^4 \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{13}\mathbf{)} {\left(\frac{v}{w^{-2}}\right)}^3$

${\left(\frac{v}{w^{-2}}\right)}^3= \frac{v^3}{{\left(w^{-2}\right)}^3} = \frac{v^3}{ w^{-6} } = v^3 w^6$

---

 

$\mathbf{14}\mathbf{)} {\left(\frac{6x^2 y^4}{3x^4 y^3}\right)}^{-2}$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{6x^2 y^4}{3x^4 y^3}\right)}^{-2}=\mathbf{(} (\frac{ 6 }{3}\left)\right(\frac{x^2}{x^4}){\left(\frac{y^4}{y^3}\right)\mathbf{)}}^{-2}\mathbf{}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }= {( 2 x^{-2} y)}^{-2} = 2^{-2} x^4 y^{-2} \\ = \frac{x^4}{2^2 y^2} \\ = \frac{x^4}{4 y^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{15}\mathbf{)} \frac{30a^{-2} b^{-6}}{60a^{-6}{b}^{-8}}$

$$\begin{gathered} \frac{30a^{-2} b^{-6}}{60a^{-6}{b}^{-8}} = \left(\frac{30}{6}\right) \left(\frac{a^{-2}}{a^{-6}}\right) \left(\frac{b^{-6}}{b^{-8}}\right) \\ = 5 a^4 b^2 \end{gathered}$$

---

 

 

أجدُ مساحةَ كلِّ شكلٍ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

الحل : 

16) مساحة المثلث يساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع :

$$\begin{gathered} A = \frac{1}{2} \left(3u^3{v}^4\right) (3u^4 v^2) \\ = \frac{1}{2} (3 \times 3) (u^3\times u^4) (v^4\times v^2) \\ = \frac{1}{2} \left(9\right) \left(u^7\right) \left(v^6\right) \\ = \frac{9}{2} u^7 v^6 \end{gathered}$$

---

 

17) مساحة الدائرة تساوي النسبة التقريبية باي مضروبًا في مربع نصف القطر :

$$\begin{gathered} A = \mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2 \\ \mathrm{A} = \mathrm{\pi } {\left(2{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2\right)}^2 \\ \mathrm{A} = \mathrm{\pi } \left(2^2\right) {\left({\mathrm{x}}^3\right)}^2{\left({\mathrm{y}}^2\right)}^2 \\ \mathrm{A} = 4\mathrm{\pi } {\mathrm{x}}^6 {\mathrm{y}}^4 \end{gathered}$$

---

 

18) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُكعَّبًا طولُ ضلعِهِ 7u4 v3 وحدةً. أجدُ حجمَ المُكعَّبِ بدلالةِ u و v في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

حجم المكعب : ³(طول الضلع) 

أفرض حجم المكعب هو A

$$\begin{gathered} A = {\left(7u^4{v}^3\right)}^3 \\ A = {\left(7\right)}^3 {\left(u^4\right)}^3{\left(v^3\right)}^3 \\ A = 343 u^{12} v^9 \end{gathered}$$
 

---

 

 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

19) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

 

الإجابة : الخطأ وقع في مقام المقدار حيث ${(-2)}^{-2} = \frac{1}{4}$وليس 4 ، وكذلك لم يتم رفع a للأس 2-  

الحل الصحيح : 

$$\begin{gathered} \frac{2a^{2}b}{(-2a{b}^3)-2} = \frac{2a^{2}b}{{(-2)}^{-2}{\left(a\right)}^{-2}{\left(b^3\right)}^{-2}} \\ = \frac{2a^{2}b}{{(-2)}^{-2}{\left(a\right)}^{-2} {\left(b\right)}^{-6} } \\ = 2a^{2}b \times {(-2)}^2 {\left(a\right)}^2 {\left(b\right)}^6 \mathrm{البسط} \mathrm{إلى} \mathrm{السالبة} \mathrm{الأسس} \mathrm{رفع} \\ = 2a^{2}b \times 4a^2 b^6 \\ = 8 a^4 b^7 \end{gathered}$$

---

 

20) مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ ضربِهِما هوَ $18x^3 y^4$(أحُلُّ المسألةَ بطريقتينِ مختلفتينِ).

الحل : 

$$\begin{gathered} \left(6x^{2}y\right) \left(3x{y}^3\right) = (6\times 3) (x^2\times x) (y\times y^3) \\ = 18 x^3{y}^4 \end{gathered}$$
 

---

 

تحدٍّ: إذا كانَ $x^n = y$ ، فأُجيبُ عنِ السؤالينِ الآتيينِ تباعًا:

21) أُثبِتُ أنَّ: $x^{2n+1} = x{y}^2$

الحل : 

 

المعادلة المُعطاة	$x^n = y$
تربيع طرفي المعادلة	${\left(x^n\right)}^2 = {\left(y\right)}^2$
بالتبسيط	${x^{2n}}^{ }= y^2$
تعويض بدلًا من $y^2$  بـ $x^{2n}$  في الشق الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها	$$\begin{gathered} x{y}^2 = x\left(x^{2n}\right) \\ x{y}^2 = x^1\times x^{2n } \\ x{y}^2 = x^{1+2n} \end{gathered}$$

 

---

 

22) أجدُ مقدارًا بدلالةِ x و y يُكافِئُ المقدارَ $x^{2n-1}$

الحل : 

$$\begin{gathered} y = x^n \\ {y}^2 = x^{2n} \mathrm{الطرفين} \mathrm{تربيع} \end{gathered}$$

 

المقدار بدلالةِ x و y : $\frac{y^2}{x}$

$\frac{y^2}{x} = \frac{x^{2n}}{x} = x^{2n-1}$

---

 

 

23) تبريرٌ: يُعبِّرُ المقدارُ $27\pi x^8$ عنْ حجمِ المخروطِ المُجاوِرِ بالوحداتِ المُكعَّبةِ. أكتبُ مقدارًا جبريًّا أُسِّيًّا بدلالةِ x يُعبِّرُ عنْ كلٍّ منْ r و h، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل : 

حجم المخروط يساوي $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض حجم المخروط هو v 

$$\begin{gathered} v = \frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \mathrm{المخروط} \mathrm{مساحة} \\ 27\mathrm{\pi } {\mathrm{x}}^8 = \frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \mathrm{بالتعويض} \\ 81\mathrm{\pi } {\mathrm{x}}^8 = {\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} 3\mathrm{في} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{ضرب} \\ 81 {\mathrm{x}}^8 = {\mathrm{r}}^2\mathrm{h} \mathrm{\pi } \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة} \\ {\left(9{\mathrm{x}}^4\right)}^2 = {\mathrm{r}}^2\mathrm{h} \mathrm{x} \mathrm{بدلالة} \mathrm{أسيًا} \mathrm{جبريًا} \mathrm{مقدارًا} \mathrm{كتابة} \end{gathered}$$

 

---

 

 

أسئلة كتاب التمارين

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } (7a^3 b^5 \left)\right(2a{b}^3 ) \mathbf{2}\mathbf{)} (4a^3 b^5 )(5a^4 b^{-1} ) \mathbf{3}\mathbf{)} \frac{12a^3 b^{-7} }{4ab}$

$\mathbf{4}\mathbf{)} {( \frac{5x^3 }{b^8} )}^{-2} \mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{)} \frac{{(y{x}^{-3} )}^0 }{ y^4 \times 2y^{-2}} \mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{45x^3 y^4 z^5}{150x^5 y^4 z^3}$

$\mathbf{7}\mathbf{)} {\left(\frac{ 15x^{-2} y^9}{18x^2 y^3}\right)}^{-1} \mathbf{8}\mathbf{)} \frac{-p^{-1} q^{-1} }{-3p{q}^{-3} } \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{)} \frac{p^{-3} q^{-2} }{q^{-3} r^5}$

$\mathbf{10}\mathbf{)} {(a^3 b^4 )}^{-2} {(a^{-3} b^{-5} )}^{-4} \mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{( \frac{5a^0 b^4}{c^{-3}} )}^2 \mathbf{12}\mathbf{)} 3a(5a^2 b\left)\right(6a{b}^3)$

$\mathbf{13}\mathbf{)} (8y^3) (-3x^2 y^2) (\frac{ 3}{ 8} x{y}^3) \mathbf{14}\mathbf{)} ({(4r^2 t)}^3{)}^2 \mathbf{15}\mathbf{)} \frac{g^0 h^7 j^{-2}}{ g^{-5} h^0 j^{-2} }$

 

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(7a^3 b^5 \left)\right(2a{b}^3 )$

$(7a^3 b^5 )(2a{b}^3 ) = 14a^4{b}^8$

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} (4a^3 b^5 \left)\right(5a^4 b^{-1})$

$(4a^3 b^5 )(5a^4 b^{-1}) = 20a^7{b}^4$

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{12a^3 b^{-7} }{4ab}$

$\frac{12a^3 b^{-7} }{4ab}= 3a^2 {\mathrm{b}}^{-8} = \frac{3{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{b}}^8}$

---

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} {( \frac{5x^3 }{b^8} )}^{-2}$

${( \frac{5x^3 }{b^8} )}^{-2}= {( \frac{ b^8 }{5x^3 } )}^2 = \frac{b^{16}}{5^2{x}^6} =\frac{b^{16}}{25x^6}$

---

 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \frac{{(y{x}^{-3} )}^0 }{ y^4 \times 2y^{-2}}$

$\frac{{(y{x}^{-3} )}^0 }{ y^4 \times 2y^{-2}}=\frac{1}{2y^2}$

---

 

$\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{45x^3 y^4 z^5}{150x^5 y^4 z^3}$

$\frac{45x^3 y^4 z^5}{150x^5 y^4 z^3}= \frac{3x^{-2}{y}^0{z}^2}{10}= \frac{3z^2}{10x^2}$

---

 

$\mathbf{7}\mathbf{)} {\left(\frac{ 15x^{-2} y^9}{18x^2 y^3}\right)}^{-1}$

${\left(\frac{ 15x^{-2} y^9}{18x^2 y^3}\right)}^{-1}=\frac{18x^2 y^3}{15x^{-2} y^9}=\frac{6x^4{y}^{-6}}{5}=\frac{6x^4}{5y^6}$

---

 

$\mathbf{8}\mathbf{)} \frac{-p^{-1} q^{-1} }{-3p{q}^{-3} }$

$$\begin{gathered} \frac{-p^{-1} q^{-1} }{-3p{q}^{-3} }= \frac{-\left(p^{-1}\right)(q^{-1)}}{-3p{q}^{-3} } \\ = \frac{-{\left(pq\right)}^{-1}}{-3p{q}^{-3} } \\ = \frac{{\displaystyle \frac{-1}{pq}}}{-3p{q}^{-3}} \\ = \frac{-1}{pq}÷\frac{-3p{q}^{-3}}{1} \\ = \frac{-1}{pq}\times \frac{1}{-3p{q}^{-3} } \\ = \frac{-1}{-3p^2{q}^{-2}} \\ = \frac{q^2}{3p^2} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{9}\mathbf{)} \frac{p^{-3} q^{-2} }{q^{-3} r^5}$

$\frac{p^{-3} q^{-2} }{q^{-3} r^5} =\frac{p^{-3}q}{r^5}=\frac{q}{p^3{r}^5}$

---

 

$\mathbf{10}\mathbf{)} {(a^3 b^4 )}^{-2} {(a^{-3} b^{-5} )}^{-4}$

$$\begin{gathered} {(a^3 b^4 )}^{-2} {(a^{-3} b^{-5} )}^{-4} =\frac{1}{{(a^3 b^4 )}^2 {(a^{-3} b^{-5} )}^4} \\ =\frac{1}{\left(a^6{b}^8\right)\left(a^{-12}{b}^{-20}\right)} \\ = \frac{1}{a^{-6}{b}^{-12}} \\ = a^6{b}^{12} \end{gathered}$$

---

 

$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }{( \frac{5a^0 b^4}{c^{-3}} )}^2$

${( \frac{5a^0 b^4}{c^{-3}} )}^2=\frac{25b^8}{c^{-6}} = 25b^8{c}^6$

---

 

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} 3a(5a^2 b\left)\right(6a{b}^3)$

$3a\left(5a^{2}b\right)\left(6a{b}^3\right) = 90a^4{b}^4$

---

 

$\mathbf{13}\mathbf{)} (8y^3) (-3x^2 y^2) (\frac{ 3}{ 8} x{y}^3)$

$\left(8y^3\right) (-3x^2 y^2) (\frac{ 3}{ 8} x y^3) =-9x^3{y}^8$

---

 

$\mathbf{14}\mathbf{)} ({(4r^2 t)}^3{)}^2$

$({(4r^2 t)}^3{)}^2 = {(4r^2 t)}^6 = 4096 r^{12} t^6$

---

 

$\mathbf{15}\mathbf{)} \frac{g^0 h^7 j^{-2}}{ g^{-5} h^0 j^{-2} }$

$\frac{g^0 h^7 j^{-2}}{ g^{-5} h^0 j^{-2} } = g^5{h}^{7 }$

---

 

أجدُ حجمَ كلِّ شكلٍ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

الحل : 

16) أفرض حجم الكرة هو v

  $$\begin{gathered} v =\frac{4}{3}\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^3 \\ \mathrm{v} = \frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(2{\mathrm{s}}^2\right)}^3 \\ \mathrm{v} = \frac{4}{3}\mathrm{\pi }\left(8{\mathrm{s}}^6\right) \\ \mathrm{v} = \frac{32}{3}{\mathrm{\pi s}}^6 \end{gathered}$$

---

17) أفرض حجم متوازي المستطيلات هو v

$$\begin{gathered} v = \left(5x^{3}y\right) \left(3x^{2}y\right) \left(x^{2}y\right) \\ v = 15x^7{y}^3 \end{gathered}$$

 

---

مسألةٌ مفتوحةٌ: أحُلُّ كُلًّ منَ المسألتينِ الآتيتينِ بطريقتينِ مختلفتينِ:

18) أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ ضربِهِما هوَ: $12x^2 y^5$

الحل : 

$\left(4x{y}^2\right)\left(3x{y}^3\right) = 12x^2{y}^5$

---

 

19) أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ قسمةِ أحدِهِما على الآخرِ هوَ: $12x^2 y^5$

الحل : 

$\frac{24 x^3 y^8}{2 x y^3}= 12x^2{y}^5$

---

 

20) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة :  

الخطأ وقع عند قسمة القوى تم تقسيم الأس في البسط على الأس في المقام 

الحل الصحيح :  

$\frac{y^5\times y^3}{y^4} = \frac{y^8}{y^4} = y{ }^{8-4} = y^4$

---