رياضيات 9 فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 64

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

بإعادةِ تجميعِ الثوابتِ والمُتغيِّراتِ	$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }(2m^5 n^{11})(m^2 n^4)=\left(2\right) (m^5\times m^2) (n^{11}\times n^4)$
ضربُ القوى	$=\left(2\right)\left(m^{5+2}\right) \left(n^{11+4}\right)$
بالتبسيطِ	$=2m^7{n}^{15}$

 

قوَّةُ القوَّةِ	$\mathit{b}\mathbf{)} ({\left(v^2\right)}^6{)}^9={\left(v^{2\times 6}\right)}^9$
بالتبسيطِ	$={\left(v^{12}\right)}^9$
قوَّةُ القوَّةِ	$=v^{12\times 9}$
بالتبسيطِ	$=v^{108}$

 

قوَّةُ ناتجِ الضربِ	$\mathit{c}\mathbf{)} {\left(5x^3{y}^7\right)}^4={\left(5\right)}^4{\left(x^3\right)}^4{\left(y^7\right)}^4$
قوَّةُ القوَّةِ	$={\left(5\right)}^4\left(x^{3\times 4}\right){\left(y^{7\times 4}\right)}^{ }$
بالتبسيطِ	$=625x^{12}{y}^{28}$

 

قوَّةُ القوَّةِ	$\mathit{d}\mathbf{)}\mathbf{ }(5a^3{b}^4){\left(a{b}^2\right)}^7=(5a^3{b}^4){\left(a\right)}^7{\left(b^2\right)}^7$
بالتبسيطِ	$=\left(5a^3{b}^4\right)(a^7{b}^{14})$
بإعادةِ تجميعِ الثوابتِ والمُتغيِّراتِ	$=\left(5\right)(a^3\times a^7)(b^4\times b^{14})$
ضربُ القوى	$=5a^{10}{b}^{18}$

 

أتحقق من فهمي صفحة 65

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ	$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{m^4 n^5}{m^2 n^3}=(\frac{m^4}{m^2}\left)\right(\frac{n^5}{n^3})$
قسمةُ القوى	$=\left(m^{4-2}\right)\left(n^{5-3}\right)$
بالتبسيطِ	$=m^2{n}^2$

 

قسمةُ القوى	${\mathit{b}\mathbf{)} (\frac{a^8{b}^6}{a^4})}^5={( a^{8-4} b^6)}^5$
بالتبسيطِ	$={\left(a^4{b}^6\right)}^5$
قوَّةُ القوَّةِ	$={\left(a^4\right)}^5{\left(b^6\right)}^5$
بالتبسيطِ	$=a^{20}{b}^{30}$

 

أتحقق من فهمي صفحة 67

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ ذاتِ الأساسِ المُتشابِهِ	$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2h^3 j^{-3} k^4}{3 jk}=\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{j^{-3}}{j}\right) \left(\frac{k^4}{k}\right)h^3$
قسمةُ القوى	$= \left(\frac{2}{3}\right) \left(j^{-3-1}\right) \left(k^{4-1}\right)h^3$
بالتبسيطِ	$=\frac{2}{3} \left(j^{-4}\right) \left(k^3\right)h^3$
تعريفُ الأُسِّ السالبِ	$= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{j^4}\right) \left(k^3\right)h^3$
بالضربِ	$=\frac{2k^3}{3j^4}{h}^3$

---

 

$x^0 = 1$	${\mathit{b}\mathbf{)} (\frac{x^{-2} y^4}{x^0 y^5})}^{-3}={\left(\frac{x^{-2} y^4}{y^5}\right)}^{-3}$
بإعادةِ تجميعِ المُتغيِّراتِ ذاتِ الأساسِ المُتشابِهِ	$=\left(\right(x^{-2}){\left(\frac{y^4}{y^5}\right))}^{-3}$
قسمةُ القوى	$=\left(\right(x^{-2}){( y^{4-5}))}^{-3}$
بالتبسيط	$=\left(\right(x^{-2}){( y^{-1 }))}^{-3}$
قوة القوة	$={\left(x^{-2}\right)}^{-3}{( y^{-1 })}^{-3}$
بالتبسيط	$=x^6{y}^3$

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا: 

$\mathbf{1}\mathbf{)} (3a^3 b^2\left)\right(4a^2 b)=(3\times 4\left)\right(a^3\times a^2) (b^2\times b)=12a^5{b}^3$

---

$\mathbf{2}\mathbf{)} (7a^4{b}^5\left)\right(4a{b}^3)=(7\times 4) (a^4\times a\left)\right(b^5\times b^3)=28a^5{b}^8$

---

$\mathbf{3}\mathbf{)} (5x^2 b^4\left)\right(2a{b}^{-3})=(5\times 2\left)\right(x^2\left)\right(a\left)\right(b^4\times b^{-3})=10x^{2}ab$

---

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }{(x^5 y^3)}^3{\left(x{y}^5\right)}^2={\left(x^5\right)}^3{\left(y^3\right)}^3{\left(x\right)}^2{\left(y^5\right)}^2=x^{15} y^9 x^2 y^{10}=x^{17}{y}^{19}$

---

${\mathbf{5}\mathbf{)} (x^4)}^5{(x^3 y^2)}^5={\left(x^4\right)}^5{\left(x^3\right)}^5{\left(y^2\right)}^5=x^{20}{x}^{15}{y}^{10}=x^{35}{y}^{10}$

---

$\mathbf{6}\mathbf{)} {(5a^3 b^5)}^4={\left(5\right)}^4{\left(a^3\right)}^4{\left(b^5\right)}^4=625a^{12}{b}^{20}$

---

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$\mathbf{7}\mathbf{)} (6a^2 b^3) (5a^{-4} b^{-5})$

$\left(6a^2{b}^3\right) \left(5a^{-4}{b}^{-5}\right)=(6\times 5) (a^2\times a^{-4}) (b^3\times b^{-5})=30a^{-2}{b}^{-2}=\frac{30}{a^2{b}^2}$

 

$\mathbf{8}\mathbf{)} ({(-3x^2)}^4{)}^{-7}$

$({(-3x^2)}^4{)}^{-7}={(-3x^2)}^{-28}=\frac{1}{{(-3x^2)}^{28}}=\frac{1}{{(-3)}^{28}{\left(x^2\right)}^{28}}=\frac{1}{{(-3)}^{28}{\left(x\right)}^{56}}$

 

$\mathbf{9}\mathbf{)} {(m^{-3} n^4)}^{-5}$

${\left(m^{-3}{n}^4\right)}^{-5}={\left(m^{-3}\right)}^{-5}{( n^4)}^{-5}=m^{15}{n}^{-20}=\frac{m^{15}}{n^{20}}$

 

$\mathbf{10}\mathbf{)} \frac{12a^2 b^3}{6ab}$

$\frac{12a^2{b}^3}{6ab}=\left(\frac{12}{6}\right)\left(\frac{a^2}{a}\right)\left(\frac{b^3}{b}\right)=2a{b}^2$

 

$\mathbf{11}\mathbf{)} \frac{12a^{-3} b^4}{3a^2 b^{-3}}$

$\frac{12a^{-3}{b}^4}{3a^2{b}^{-3}}=\left(\frac{12}{3}\right)\left(\frac{a^{-3}}{a^2}\right)\left(\frac{b^4}{b^{-3}}\right)=4a^{-5}{b}^7=\frac{4b^7}{a^5}$

 

$\mathbf{12}\mathbf{)} \frac{(2a^2 b{c}^2)\left(6ab{c}^3\right)}{4a{b}^0 c}$

$=\frac{2\times 6(a^2\times a)(b\times b)(c^2\times c^3)}{4a{b}^{0}c}=\frac{12a^3{b}^2{c}^5}{4a{b}^{0}c}=3a^2{b}^2{c}^4$

 

$\mathbf{13}\mathbf{)} {\left(\frac{v}{w^{-2}}\right)}^3$

${\left(\frac{v}{w^{-2}}\right)}^3=\frac{v^3}{{\left(w^{-2}\right)}^3}=\frac{v^3}{w^{-6}}=v^3{w}^6$

 

$\mathbf{14}\mathbf{)} {\left(\frac{6x^2 y^4}{3x^4 y^3}\right)}^{-2}$

$=\mathbf{\left(}\right(\frac{ 6 }{3}\left)\right(\frac{x^2}{x^4}){\left(\frac{y^4}{y^3}\right)\mathbf{)}}^{-2}={( 2 x^{-2}y)}^{-2}=2^{-2}{x}^4{y}^{-2}=\frac{x^4}{2^2{y}^2}=\frac{x^4}{4y^2}$

 

$\mathbf{15}\mathbf{)} \frac{30a^{-2} b^{-6}}{60a^{-6}{b}^{-8}}$

$\frac{30a^{-2} b^{-6}}{60a^{-6}{b}^{-8}}=\left(\frac{30}{6}\right) \left(\frac{a^{-2}}{a^{-6}}\right) \left(\frac{b^{-6}}{b^{-8}}\right)=5a^4{b}^2$

---

أجدُ مساحةَ كلِّ شكلٍ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

الحل : 

16) مساحة المثلث يساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع :

$A=\frac{1}{2}\left(3u^3{v}^4\right)\left(3u^4{v}^2\right)=\frac{1}{2}(3 \times 3)(u^3\times u^4)(v^4\times v^2)$

$\therefore A=\frac{1}{2} \left(9\right) \left(u^7\right) \left(v^6\right)=\frac{9}{2}{u}^7{v}^6$

---

17) مساحة الدائرة تساوي النسبة التقريبية باي مضروبًا في مربع نصف القطر :

$A={\mathrm{\pi r}}^2=\mathrm{\pi }{\left(2{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2\right)}^2=\mathrm{\pi }\left(2^2\right){\left({\mathrm{x}}^3\right)}^2{\left({\mathrm{y}}^2\right)}^2=4{\mathrm{\pi x}}^6{\mathrm{y}}^4$

---

18) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُكعَّبًا طولُ ضلعِهِ 7u4 v3 وحدةً. أجدُ حجمَ المُكعَّبِ بدلالةِ u و v في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

حجم المكعب : ³(طول الضلع) 

أفرض حجم المكعب هو A

$A={\left(7u^4{v}^3\right)}^3={\left(7\right)}^3{\left(u^4\right)}^3{\left(v^3\right)}^3=343u^{12}{v}^9$
 

---

مهاراتُ التفكيرِ العليا

19) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : الخطأ وقع في مقام المقدار حيث ${(-2)}^{-2} = \frac{1}{4}$وليس 4 ، وكذلك لم يتم رفع a للأس 2-  

الحل الصحيح : 

$\frac{2a^{2}b}{(-2a{b}^3)-2}=\frac{2a^{2}b}{{(-2)}^{-2}{\left(a\right)}^{-2}{\left(b^3\right)}^{-2}}=\frac{2a^{2}b}{{(-2)}^{-2}{\left(a\right)}^{-2} {\left(b\right)}^{-6} }$

$=2a^{2}b\times {(-2)}^2{\left(a\right)}^2{\left(b\right)}^6=2a^{2}b\times 4a^2{b}^6=8a^4{b}^7$

---

20) مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ ضربِهِما هوَ $18x^3 y^4$(أحُلُّ المسألةَ بطريقتينِ مختلفتينِ).

الحل : 

$\left(6x^{2}y\right)\left(3x{y}^3\right)=(6\times 3)(x^2\times x)(y\times y^3)=18x^3{y}^4$

---

تحدٍّ: إذا كانَ $x^n=y$ ، فأُجيبُ عنِ السؤالينِ الآتيينِ تباعًا:

21) أُثبِتُ أنَّ: $x^{2n+1}=x{y}^2$

الحل: 

المعادلة المُعطاة	$x^n = y$
تربيع طرفي المعادلة	${\left(x^n\right)}^2 = {\left(y\right)}^2$
بالتبسيط	${x^{2n}}^{ }= y^2$
تعويض بدلًا من $y^2$  بـ $x^{2n}$  في الشق الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها	$x{y}^2=x\left(x^{2n}\right)=x^1\times x^{2n}=x^{1+2n}$

 

---

22) أجدُ مقدارًا بدلالةِ x و y يُكافِئُ المقدارَ $x^{2n-1}$

الحل : 

$y=x^n\to y^2=x^{2n}$

المقدار بدلالةِ x و y : $\frac{y^2}{x}$

$\frac{y^2}{x}=\frac{x^{2n}}{x}=x^{2n-1}$

 

23) تبريرٌ: يُعبِّرُ المقدارُ $27\pi x^8$ عنْ حجمِ المخروطِ المُجاوِرِ بالوحداتِ المُكعَّبةِ. أكتبُ مقدارًا جبريًّا أُسِّيًّا بدلالةِ x يُعبِّرُ عنْ كلٍّ منْ r و h، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل : 

حجم المخروط يساوي $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض حجم المخروط هو v 

$v=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \to 27{\mathrm{\pi x}}^8=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$

$81\mathrm{\pi } {\mathrm{x}}^8={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\to 81 {\mathrm{x}}^8={\mathrm{r}}^2\mathrm{h}$

$\therefore {\left(9{\mathrm{x}}^4\right)}^2={\mathrm{r}}^2\mathrm{h}$

---

أسئلة كتاب التمارين

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ أيًّا منَ المُتغيِّراتِ لا يساوي صفرًا:

$1) (7a^3{b}^5\left)\right(2a{b}^3)=14a^4{b}^8$

 

$2) (4a^3{b}^5\left)\right(5a^4{b}^{-1})=20a^7{b}^4$

 

$3) \frac{12a^3{b}^{-7} }{4ab}=3a^2{\mathrm{b}}^{-8}=\frac{3{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{b}}^8}$

 

$4) {\left(\frac{5x^3 }{b^8}\right)}^{-2}={( \frac{ b^8 }{5x^3})}^2=\frac{b^{16}}{5^2{x}^6}=\frac{b^{16}}{25x^6}$

 

$5) \frac{{(y{x}^{-3} )}^0 }{ y^4\times 2y^{-2}}=\frac{1}{2y^2}$

 

$6) \frac{45x^3 y^4 z^5}{150x^5 y^4 z^3}=\frac{3x^{-2}{y}^0{z}^2}{10}=\frac{3z^2}{10x^2}$

 

${7) (\frac{ 15x^{-2} y^9}{18x^2 y^3})}^{-1}=\frac{18x^2 y^3}{15x^{-2} y^9}=\frac{6x^4{y}^{-6}}{5}=\frac{6x^4}{5y^6}$

 

$8) \frac{-p^{-1}{q}^{-1} }{-3p{q}^{-3} }=\frac{-\left(p^{-1}\right)\left(q^{-1}\right)}{-3p{q}^{-3} }=\frac{-{\left(pq\right)}^{-1}}{-3p{q}^{-3} }=\frac{\frac{-1}{pq}}{-3p{q}^{-3}}$

$=\frac{-1}{pq}÷\frac{-3p{q}^{-3}}{1}=\frac{-1}{pq}\times \frac{1}{-3p{q}^{-3} }=\frac{-1}{-3p^2{q}^{-2}} =\frac{q^2}{3p^2}$

 

$9) \frac{p^{-3}{q}^{-2} }{q^{-3}{r}^5}=\frac{p^{-3}q}{r^5}=\frac{q}{p^3{r}^5}$

 

$10) {\left(a^3{b}^4\right)}^{-2}{(a^{-3}{b}^{-5} )}^{-4}=\frac{1}{{\left(a^3{b}^4\right)}^2{\left(a^{-3}{b}^{-5}\right)}^4}=\frac{1}{\left(a^6{b}^8\right)\left(a^{-12}{b}^{-20}\right)}=a^6{b}^{12}$

 

$11) {\left(\frac{5a^0 b^4}{c^{-3}}\right)}^2=\frac{25b^8}{c^{-6}}=25b^8{c}^6$

 

$12) 3a(5a^2 b\left)\right(6a{b}^3)=3a(5a^{2}b\left)\right(6a{b}^3)=90a^4{b}^4$

 

$13) (8y^3\left)\right(-3x^2{y}^2\left)\right(\frac{ 3}{ 8}x{y}^3)=(8y^3\left)\right(-3x^2{y}^2\left)\right(\frac{ 3}{ 8}x{y}^3)=-9x^3{y}^8$

 

$14) ({\left(4r^{2}t\right)}^3{)}^2={\left(4r^{2}t\right)}^6=4096 r^{12}{t}^6$

 

$15) \frac{g^0 h^7 j^{-2}}{ g^{-5} h^0 j^{-2}}=g^5{h}^{7 }$

---

أجدُ حجمَ كلِّ شكلٍ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

الحل : 

16) أفرض حجم الكرة هو v

  $v=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(2{\mathrm{s}}^2\right)}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\left(8{\mathrm{s}}^6\right)=\frac{32}{3}{\mathrm{\pi s}}^6$

---

17) أفرض حجم متوازي المستطيلات هو v

$v=\left(5x^{3}y\right) \left(3x^{2}y\right) \left(x^{2}y\right)=15x^7{y}^3$

---

مسألةٌ مفتوحةٌ: أحُلُّ كُلًّ منَ المسألتينِ الآتيتينِ بطريقتينِ مختلفتينِ:

18) أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ ضربِهِما هوَ: $12x^2 y^5$

الحل : 

$\left(4x{y}^2\right)\left(3x{y}^3\right) = 12x^2{y}^5$

---

19) أجدُ مقدارينِ أُسِّيَّينِ ناتجُ قسمةِ أحدِهِما على الآخرِ هوَ: $12x^2 y^5$

الحل : 

$\frac{24 x^3 y^8}{2 x y^3}= 12x^2{y}^5$

---

 

20) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة :  

الخطأ وقع عند قسمة القوى تم تقسيم الأس في البسط على الأس في المقام 

الحل الصحيح :  

$\frac{y^5\times y^3}{y^4}=\frac{y^8}{y^4}=y{ }^{8-4}=y^4$

---