رياضيات 9 فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 50

يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ برجَ اتصالاتِ، طولُ ظلِّهِ$10 m$. إذا كانَتِ الزاويةُ التي تصنعُها أشعةُ الشمسِ معَ نهايةِ الظلِّ على سطحِ الأرضِ هيَ ° 72 ، فأجدُ ارتفاعَ البرجِ.

الحل : 

أفرض ارتفاع البرج هو  x، واستخدم نسبة الظل

$\tan 72°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{x}{10}$

$10 \tan 72°=x\Rightarrow x\approx 30.78m$ 

---

أتحقق من فهمي صفحة 51

أجدُ قياسَ $\angle L$ في كلٍّ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ جزءٍ منْ عشرةٍ : 

الحل : 

أستخدم النسبة المثلثية المناسبة لكل سؤال ، ثمّ أستخدم معكوس النسبة المثلثية لإيجاد قياس الزاوية L باستخدام الآلة الحاسبة مقربًا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة   

a) $\sin L=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{1}{4}$

$m\angle L={\sin }^{-1 }\left(\frac{1}{4}\right)\approx 14.5°$

---

b) $\cos L=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{3}{8}$

$m\angle L={\cos }^{-1 }\left(\frac{3}{8}\right)\approx 68°$

---

c) $\tan L=\frac{ \mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{6}{9}$

$m\angle L={\tan }^{-1 }\left(\frac{6}{9}\right)\approx 33.7°$

---

أتحقق من فهمي صفحة  53

أجدُ قيمةَ x في المُثلَّثِ المُجاوِرِ.

الحل: 

$\cos 45°=\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}\to \frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{7\sqrt[]{2}}{x}\to x=14$

---

أتحقق من فهمي صفحة 54

طائرةٌ: رصدَتْ ليلى طائرةً في السماءِ بزاويةِ ارتفاعٍ مقدارُها °21 لحظةَ مرورِها فوقَ  سطحِ أحدِ المنازلِ. إذا كانَ بُعْدُ ليلى عنِ المنزلِ هوَ $3.8 km$، فأجدُ ارتفاعَ الطائرةِ عنِ  المنزلِ.

الحل: 

أفرض ارتفاع الطائرة عن المنزل يساوي L ، وأستخدم النسبة المثلثية (الظل)

$\tan 21°=\frac{\mathrm{المقابل} }{\mathrm{المجاور}}\to \tan 21°=\frac{L}{3.8}$ $L=3.8t\mathrm{an} 21°\approx 1.5 km$

 

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجدُ قيمةَ x في كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ جزءٍ منْ مئةٍ :

الحل : 

1) 

$\sin 24°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}\to \sin 24°=\frac{x}{13}$

$13\sin 24°=x \to x\approx 5.29cm$

---

2) 

$\sin 36°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{59}{x}\to x\sin 36°=59$

$x=\frac{59}{\sin 36°} \to x\approx 100.38cm$

---

3) 

$\sin 75°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{15}{x}\to x \sin 75°=15$

$x=\frac{15}{\sin 75°}\to x\approx 15.53cm$

---

الحل: 

4) 

$\cos 48°=\frac{ \mathrm{المجاور} }{\mathrm{الوتر}}=\frac{x}{8}$

$8\cos 48°=x\to x\approx 5.35cm$

---

5) 

$\cos 49°=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{6.5}{x}\to x \cos 49°=6.5$

$x=\frac{6.5}{\cos 49°}\to x\approx 9.9 cm$

---

6) 

$\cos 52°=\frac{ \mathrm{المجاور} }{\mathrm{الوتر}}=\frac{x}{14}$

$14 \cos 52°=x\to x\approx 8.62cm$

---

 

الحل : 

7) $\tan 63°=\frac{ \mathrm{المقابل} }{\mathrm{المجاور}}=\frac{x}{7}$

$7 \tan 63°=x\to x\approx 13.74cm$

---

8) $\tan 34°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{6}{x}\to x \tan 34°=6$

$x=\frac{6}{\tan 34°}\to x\approx 8.9cm$

---

9)$\tan 33°=\frac{ \mathrm{المقابل} }{\mathrm{المجاور}}=\frac{x}{11}\to 11 \tan 33°=x\to x\approx 7.14cm$

---

أجدُ قيمةَ x في كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ جزءٍ منْ عشرةٍ:

الحل :

أستخدم النسبة المثلثية المناسبة لكل سؤال ، ثمّ أستخدم معكوس النسبة المثلثية لإيجاد قياس الزاوية x باستخدام الآلة الحاسبة مقربًا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة    

10) $\sin x=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{3}{8}$

$m\angle x={\sin }^{-1 }\left(\frac{3}{8}\right)\approx 22°$

---

11) $\sin x=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{8}{15}$

$m\angle x={\sin }^{-1}\left(\frac{8}{15}\right)\approx 32.2°$

---

12) $\cos x=\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{1}{4}$

$m\angle x={\cos }^{-1 }\left(\frac{1}{4}\right)\approx 75.5°$

---

الحل :

13)  $\cos x=\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{13}{17}$

$m\angle x={\cos }^{-1 }\left(\frac{13}{17}\right)\approx 40.1°$

---

14)  $\tan x=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور} }=\frac{3.5}{4}$

$m\angle x={\tan }^{-1 }\left(\frac{3.5}{4}\right)\approx 41.2°$

---

15)  هنا مطلوب طول الضلع المقابل للزاوية $78°$

$\tan 78°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور} }=\frac{x}{56}$

$56 \tan 78°=x\to x\approx 263.5$

16) وُضِعَ هوائيُّ بثٍّ فوقَ بُرْجِ محطَّةٍ إذاعيةٍ، واستُعمِلَ سلكٌ داعمٌ طولُهُ $76 m$ لتثبيتِ طرفِ الهوائيِّ بسطحِ الأرضِ كما في الشكلِ المُجاوِرِ. إذا كانَ ارتفاعُ البُرْجِ والهوائيِّ هوَ $60 m$ ، فأجدُ الزاويةَ بينَ السلكِ وسطحِ الأرضِ.

الحل : 

$\sin x=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{60}{76}=\frac{15}{19}$

$m\angle x={\sin }^{-1 }\left(\frac{15}{19}\right)\approx 52°$

---

أستعملُ النسبَ المُثلَّثيةَ لإيجادِ قيمةِ x في كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي : 

 

الحل:  قياسات زوايا المثلث $30° - 60° - 90°$  ، استخدم نسبة (الجيب) للزاوية $60°$ $\sin 60°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{50}{x}$ $\frac{\sqrt[]{3} }{2}=\frac{50}{x}$ $\sqrt[]{3} x=100\to x=\frac{100}{\sqrt[]{3}}$

 

---

الحل : 

أُسمي رؤوس المثلثات، وأجد طول BD باستخدام نسبة  جيب التمام للزاوية 

$\cos 60°=\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{BD}{10}\to \frac{1}{2}=\frac{BD}{10}$

$2BD=10\Rightarrow BD=5$

أجد طول DC  

$DC=BC-BD=5(1+\sqrt[]{3} )-5$

$DC=5+5\sqrt[]{3}-5 =5\sqrt[]{3}$

الآن أجد قيمة x باستخدام نسبة جيب الزاوية $45°$ في المثلث $ADC$

$\cos 45°=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{DC}{x}$

$\frac{1 }{\sqrt[]{2}}=\frac{5\sqrt[]{3}}{x}$

$x=5\sqrt[]{3}\times \sqrt[]{2}=5\sqrt[]{6}$

---

الحل:

$\cos 60°=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{30-x}{20}$

$\frac{1 }{2}=\frac{30-x}{20} \to 60 -2x=20$

$-2x=-40\to x=20$

---

20) يُبيِّنُ الشكلُ الآتي $△ABC$. أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ لإيجادِ أقصرِ مسافةٍ بينَ النقطةِ $B$ و $\stackrel{—}{AC}$

الحل : 

أقصر مسافة بين النقطة B و $\stackrel{-}{AC}$ هو العمود الواصل بين النقطة B والمستقيم AC   

أجد طول BD  باستخدام نسبة الجيب للزاوية 34 $\sin 34°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{BD}{25}$ $25 \sin 34°=BD$ $BD\approx 14cm$

 

21) يُبيِّنُ الشكلُ الآتي المُربَّعَ $ABCD$الذي طولُ ضلعِهِ $40cm$. إذا كانَتِ النقطةُ P تقعُ داخلَ المُربَّعِ كما في الشكلِ ، فأجدُ بُعْدَ هذهِ النقطةِ عنْ كلٍّ منْ $\stackrel{-}{CD} , \stackrel{-}{AB} , \stackrel{-}{AD}$

الحل: 

بُعد النقطة P عن الضلع AD 

$\sin 50°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{PR}{32}$ $32 \sin 50°=PR\to PR\approx 25cm$

بُعد النقطة P عن الضلع AB 

$\sin 40°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{PK}{32}$ $32\sin 40°=PK\to PK\approx 21cm$

 بُعد النقطة P عن الضلع CD

$KM=BC$ $KM=40cm$ $KM=PK+PM$ $40=21+PM\Rightarrow PM\approx 19cm$

 

---

 

22) وُضِعَ سُلَّمٌ على أحدِ أطرافِ مبنًى كما في الشكلِ المُجاوِرِ، وكانَتِ الزاويةُ التي يصنعُها السُّلَّمُ معَ الأرضِ هيَ ° 75 ؛ لتجنُّبِ السقوطِ عنْهُ. أجدُ ارتفاعَ طرفِ السُلَّمِ عنْ سطحِ الأرضِ في هذهِ الحالةِ إذا كانَ طولُهُ $6 m$ .

الحل : 

أفرض ارتفاع طرف السلم العلوي عن سطح الأرض هو x

$\sin 75°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{x}{6}$

$6 \sin 75°=x\Rightarrow x\approx 5.8m$

---

 

23) وقفَ عصفورٌ على شجرةٍ ارتفاعُها $12 m$ ، مُراقِبًا دودةً على سطحِ الأرضِ بزاويةِ انخفاضٍ مقدارُها ° 34 . أجدُ المسافةَ بينَ الدودةِ والعصفورِ.

الحل: 

أفرض أنّ البعد بين العصفور والدودة يساوي x (وهو وتر في المثلث القائم المُتكون) 

$\sin 34°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{12}{x}$ $x \sin 34°=12 \to x=\frac{12}{\sin 34°} \to x\approx 21m$

 

---

 

24) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ رافعةً، في نهايةِ ذراعِها حبلٌ متينٌ يرفعُ حاويةً كبيرةً. إذا كانَتِ الزاويةُ بينَ الحبلِ والذراعِ  $54°$ ، وكانَ بُعْدُ الحاويةِ عنْ بدايةِ الذراعِ $3.5 m$ ، فأجدُ طولَ ذراعِ الرافعةِ.

الحل : 

أفرض طول الذراع هو  x (وهو وتر في المثلث القائم المُتكون)

$\sin 54°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{3.5}{x}$

$x \sin 54°=3.5$

$x=\frac{3.5}{\sin 54°}\approx 4m$

---

مهاراتُ التفكيرِ العليا

25) تبريرٌ : أجدُ قيمةَ x في الشكلِ الآتي، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل: 

أجد طول BD من نسبة جيب التمام للزاوية $46°$ في المثلث ADB $\cos 46°=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{BD}{15.1}$ $15.1\cos 46°=BD\Rightarrow BD\approx 10.5cm$ أجد طول DC من نسبة جيب الزاوية $51°$ في المثلث ADC $\sin 51°=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{DC}{24.4}$ $24.4 \sin 51°=DC\to DC\approx 19cm$ طول BC  $BC=BD+DC=10.5+19=29.5cm$ الآن أجد قياس الزاوية x باستخدام معكوس نسبة الجيب في المثلث BEC $\sin x=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{14.3}{29.5}$ $m\angle x={\sin }^{-1}\left(\frac{14.3}{29.5}\right)\approx 29°$

 

26) تحدٍّ: يُبيِّنُ الشكلُ الآتي خماسيًّا مُنتظَمًا، طولُ نصفِ قُطْرِهِ r. أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ لإيجادِ مساحةِ الخماسيِّ.

الحل : 

أجد قيمة r من نسبة جيب التمام للزاوية $36°$ في المثلث PKC $\cos 36°=\frac{ \mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{12}{r}$ $r \cos 36°=12 \to r=\frac{12}{cos 36°}\approx 15 in$

أجد طول CK باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث PKC

$r^2={\left(PK\right)}^2+{\left(CK\right)}^2{15}^2={12}^2+{\left(CK\right)}^2$

$225=144+{\left(CK\right)}^2$

${\left(CK\right)}^2=81\Rightarrow CK\approx 9in$

المثلثين PKC ، PKA متطابقين ، إذن : $CK=KA=9$ ، وعليه فإنّ طول $CA = 18 in$

أجد مساحة المثلث CPA  

$\frac{1}{2}\times CA\times PK=\frac{1}{2}\times 18\times 12\approx 108i{n}^2$

بما أنّ المضلع خماسي منتظم فهو يحتوي على 5 مثلثات متطابقة 

إذن مساحة المضلع الخماسي تساوي عدد المثلثات مضروبًا في مساحة المثلث الواحد ، أي : $5 \times 108 \approx 540 i{n}^2$ 

---

أسئلة كتاب التمارين

أجدُ قيمةَ x في كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ جزءٍ منْ عشرةٍ :

الحل : 

1)$\cos 48°=\frac{50}{x} \to x=\frac{50}{\cos 48°} \to x\approx 74.7$

---

2) $\cos 37°=\frac{x}{20} \to 20 \cos 37°=x\to x\approx 16$

---

3) $\tan 76°=\frac{x}{5}\to x=5\tan 76°\to x\approx 20.1$

---

 

الحل : 

4) $\tan 59°=\frac{230}{x}\to x=\frac{230}{\tan 59°}\to x\approx 138.2$

---

5) $\tan x=\frac{54}{45}=\frac{6}{5}\to m\angle x={\tan }^{-1} \left(\frac{6}{5}\right)\approx 50.2°$

---

6) $\cos x=\frac{50}{70}=\frac{5}{7}\to m\angle x={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)\approx 44.4°$

---

أستعملُ النسبَ المُثلَّثيةَ لإيجادِ قيمةِ x في كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي:

الحل :

7) $s\mathrm{in}45°=\frac{x}{30}\to \frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{x}{30}\to x=\frac{30}{\sqrt[]{2}}$

 

8) 

$\sin 30°=\frac{J}{10} \to \frac{1}{2}=\frac{J}{10} \to J=5$ $cos 60°=\frac{ J}{x}\to \frac{1}{2}= \frac{5}{x}\to x=10$

9) $\tan 60°=\frac{250}{x}\to \sqrt[]{3} x=250\to x=\frac{250}{\sqrt{3}}$

10) رصدَ أحمدُ قِمَّةَ منارةٍ بزاويةٍ ارتفاعُ قياسِها ° 37 . إذا كانَ بُعْدُ أحمدَ عنْ قاعدةِ المنارةِ هوَ  $280 m$ ، فأجدُ ارتفاعَ المنارةِ.

الحل :

أفرض ارتفاعَ المنارةِ يساوي L

$\tan 37°=\frac{L}{280}\to 280 \tan 37°=L\to L\approx 211 m$

11) يُمثِّلُ الشكلُ المُجاوِرُ المبنى A والمبنى C. إذا كانَ ارتفاعُ المبنى A هوَ $30 m$ ، وكانَتِ المسافةُ بينَ المبنيينِ هيَ $40 m$ ، فأستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ لإيجادِ ارتفاعِ المبنى C.

الحل:

$\tan 30°=\frac{x}{40}\to \frac{1}{\sqrt[]{3}}=\frac{x}{40}\to \sqrt[]{3} x= 40$ $x=\frac{40}{\sqrt[]{3}}\to x\approx 23m$ ارتفاع المبنى C  :  $30+23\approx 53m$