الدرس الثالث: تطبيقات القيم القصوى
سنتعرف في درس تطبيقات القيم القصوى إلى:
- القيمة العظمى المحلية.
- القيمة الصغرى المحلية.
- اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم القصوى.
- استراتيجية حل مسائل القيم القصوى.
- إيجاد أكبر مساحة ممكنة.
- إيجاد أقل كمية ممكنة.
- إيجاد أكبر حجم ممكن.
- تطبيقات اقتصادية (التكلفة، التكلفة الحدية، الإيراد، الإيراد الحدي، الربح، الربح الحدي).
-
تعلمت سابقاً أنه إذا كانت
ضمن مجال الاقتران ، فإن القيمة تسمى قيمة حرجة للاقتران ، إذا كانت ،وتسمى النقطة نقطة حرجة للاقتران. -
كما تعلمت سابقاً أن النقط الحرجة يكون عندها المماس أفقياً يوازي محور
. -
تعلمت أيضاً أنه لإيجاد النقط الحرجة للاقتران
، نضع .
مثال1: أجد النقط الحرجة للاقتران:
الحل:
الاقتران المعطى | |
اشتق الاقتران | |
نضع |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بتحليل المعادلة | |
باستخدام خاصية الضرب الصفري | |
بحل المعادلتين | |
عند عند |
إذاً، عند
أولًا: تصنيف القيم الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية
تعلمت سابقاً أن النقط الحرجة تصنف إلى:
النقط العظمى المحلية: هي النقطة التي يتحول عندها منحنى الاقتران من متزايد إلى متناقص (من اليسار إلى اليمين)، أي تتحول عندها إشارة المشتقة الأولى من موجبة إلى سالبة.
- النقطة الصغرى المحلية:هي النقطة التي يتحول عندها منحنى الاقتران من متناقص إلى متزايد (من اليسار إلى اليمين)، أي تتحول عندها المشتقة الأولى من سالبة إلى موجبة
نظرية
بافتراض وجود
- إذا كان :
، فإن هي قيمة عظمى محلية للاقتران . - إذا كان:
، فإن هي قيمة صغرى محلية للاقتران . - إذا كان:
، فإن اختبار المشتقة الثانية يفشل, وفي هذه الحالة ، نلجأ إلى استخدام اختبار المشتقة الأولى لتصنيف القيم القصوى المحلية.
اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم القصوى
- أجد المشتقة الأولى للاقتران
، وهي: . - أضع المشتقة الأولى للاقتران تساوي صفراً، أي
.لإيجاد قيم الحرجة للاقتران. - أجد المشتقة الثانية للاقتران
عند a، وهي: . - نعوض القيم الحرجة للاقتران في المشتقة الثانية
1. فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة يكون عندها
2. وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة يكون عندها
مثال1: إذا كان:
الحل:
الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران.
الاقتران المعطى | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر ، |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة |
إذاً القيمة الحرجة للاقتران
الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران
اقتران المشتقة الأولى | |
اقتران المشتقة الثانية |
الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية ؛ لتصنيفها
اقتران المشتقة الثانية | |
نعوض |
بما أن
مثال 2: إذا كان:
الحل:
الخطوة1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران
الاقتران المعطى | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر ، |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بتحليل المعادلة | |
باستخدام خاصية الضرب الصفري | |
بحل المعادلتين |
إذاً القيم الحرجة للاقتران
الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران
اقتران المشتقة الأولى | |
اقتران المشتقة الثانية |
الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛ لتصنيفها
اقتران المشتقة الثانية | |
نعوض في المشتقة الثانية |
بما أن
لأن:
بما أن
مثال 3:إذا كان:
الحل:
الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران
الاقتران المعطى | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر ، |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بتحليل المعادلة | |
باستخدام خاصية الضرب الصفري | |
بحل المعادلتين |
إذاً، القيم الحرجة للاقتران
الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية
اقتران المشتقة الأولى | |
اقتران المشتقة الثانية |
الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛لتصنيفها
اقتران المشتقة الثانية | |
نعوض في المشتقة الثانية |
بما أن
بما أن
مثال 4: إذا كان:
الحل:
الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم القصوى للاقتران
الاقتران المعطى | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر ، |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بتحليل المعادلة | |
باستخدام خاصية الضرب الصفري | |
بحل المعادلتين |
إذاً، القيم الحرجة للاقتران
الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران
اقتران المشتقة الأولى | |
اقتران المشتقة الثانية |
الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛ لتصنيفها
اقتران المشتقة الثانية | |
نعوض المشتقة الثانية |
بما أن
بما أن
أتحقق من فهمي
إذا كان:
ثانيا: مسائل على القيم القصوى
استراتيجية حل المسألة
1)افهم المسألة: أقرا المسألة بشكل جيد ، ثم أحدد المعلومات اللازمة لحلها.
2) أرسم مخططًا: أرسم مخططًايمثل المسألة إن أمكن، ثم أدون عليه المعلومات المهمة لحل المسالة، وأختار متغيراً يمثل الكمية التي أريد أن أجد لها أكبر قيمة أو أقل قيمة ، وأختار رموزاً للمتغيرات الأخرى في المسألة ، ثم أستعمل المتغيرات لكتابة اقتران قيمته القصوى هي القيمة المطلوبة.
3) أجد القيم الحرجة للاقتران: أجد القيم التي تكون عندها مشتقة الاقتران صفرًا.
4) أجد القيمة القصوى المطلوبة: أجد القيمة الصغرى أو العظمى المطلوبة.
تطبيقات حياتية
أ) إيجاد أكبر مساحة ممكنة لمستطيل
مثال 1:قطعة أرض مستطيلة الشكل، محيطها 400 متر . جد بعدا قطعة الأرض اللذان يجعلان مساحتها أكبر ما يمكن.
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا
أفترض أن طول قطعة الأرض
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران مساحة المستطيل: مساحة المستطيل
- أكتب
بدلالة باستعمال المحيط:
محيط المستطيل | |
بتعويض |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بكتابة |
- أعوض
بدلالة في اقتران المساحة:اقتران المساحة بتعويض في اقتران المساحةبالتبسيط إذًا، الاقتران الذي يمثل مساحة قطعة الأرض هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران المساحة | |
نشتق اقتران المساحة | |
نساوي مشتقة اقتران المساحة بالصفر ، |
|
بحل المعادلة من خلال قسمة المعادلة على |
إذًا، توجد قيمة حرجة عند
الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة
اقتران المشتقة الأولى مساحة | |
اقتران مشتقة الثانية للمساحة |
بما أن
إذًا، طول قطعة الأرض تساوي
مثال 2: قطعة أرض مستطيلة الشكل، يمر من أمامها نهر ، أراد صاحبها أن يسيج الجهات الثلاثة ( عدا التي يمر من أمامها النهر) بسياج طوله
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا
أفترض أن طول قطعة الأرض
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران مساحة المستطيل:
مساحة المستطيل
- أكتب
بدلالة باستخدام طول السياج (المحيط)
محيط قطعة الأرض (ما عدا الجهة الواقعة على النهر) | |
لكن |
|
نكتب |
- أعوض
في اقتران المساحة
اقتران المساحة | |
بتعويض |
|
بالتبسيط |
إذًا، الاقتران الذي يمثل مساحة قطعة الأرض هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران المساحة | |
نشتق اقتران المساحة | |
نساوي مشتقة اقتران المساحة بالصفر |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة |
إذًا، توجد قيمة حرجة عند
الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة
اقتران المشتقة الأولى للمساحة | |
اقتران المشتقة الثانية للمساحة |
بما أن
إذًا، عرض قطعة الأرض
مثال 3:صحيفة ورقية مستطيلة الشكل، مساحتها
الحل:
الخطوة 1:أرسم مخططًا
أفرض أن طول الورقة
إذًا، يكون طول الورقة المطبوعة
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران مساحة المستطيل:
مساحة المستطيل
- أكتب
بدلالة باستخدام مساحة الورق
مساحة المستطيل | |
بتعويض |
|
بكتابة |
- أعوض
في اقتران المساحة المطبوعة
اقتران المساحة المطبوعة | |
نعوض |
إذًا، الاقتران الذي يمثل المساحة المطبوعة هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران.
اقتران المساحة المطبوعة | |
نشتق اقتران المساحة المطبوعة باستخدام قانون مشتقة ضرب اقترانين | |
بالتبسيط | |
نساوي مشتقة المساحة المطبوعة بالصفر |
|
بحل المعادلة |
إذًا، بما أن الطول لا يمكن أن يكون سالب ، فإن النقطه الحرجة للاقترا.ن هي:
الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.
مشتقة اقتران المساحة المطبوعة | |
المشتقة الثانية لاقتران المساحة المطبوعة | |
بتعويض |
إذًا، بما أن
أي أن المساحة المطبوعة تكون أكبر ما يمكن عندما يكون طول الصفيحة
أتحقق من فهمي
أراد شخص بناء غرفة لاستقبال الضيوف في مزرعته، بحيث يكون محيط سقفها
ب) إيجاد أقل كمية ممكنة
مثال 4: نريد صنع صندوق مفتوح من أعلى على شكل متوازي مستطيلات، قاعدته مربعة الشكل وحجمه
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات
أفرض أن طول قاعدة الصندوق
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران كمية المادة المستخدمة
كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق هي: المساحة الجانبية للصندوق+مساحة القاعدة
حجم متوازي المستطيلات يساوي طول القاعدة x عرض القاعدة x الارتفاع حجم الصندوق
- أكتب
بدلالة باستعمال حجم الصندوق
حجم الصندوق | |
حجم الصندوق يساوي |
|
نكتب |
- أعوض
في اقتران كمية المادة
أقتران كمية المادة | |
بتعويض |
|
بالتبسيط |
إذًا، اقتران كمية المادة المستخدمة هو:
الخطوة 4: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران كمية المادة | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر |
|
بالتبسيط من خلال إضافة |
إذًا، لاقتران كمية المادة المستخدمة قيمة حرجة عند
الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.
مشتقة اقتران كمية المادة | |
نشتق مشتقة اقتران كمية المادة | |
بالتبسيط | |
بتعويض |
إذًا، بما أن
إذُا، طول قاعدة الصندوق
مثال 5: يريد مصنع إنتاج عُلب من الكرتون على شكل متوازي مستطيلات قاعدتها مربعة ومغلقة، بحيث يكون حجم العلبة الواحدة منها
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات
افرض أن طول قاعدة العلبة
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران كمية المادة المستخدمة كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق هي: المساحة الكلية لسطح العلبة.
المساحة الكلية للعلبة = المساحة الجانبية + مجموع مساحة القاعدتين المساحة الكلية للعلبة
- أكتب
بدلالة باستعمال حجم متوازي المستطيلات
حجم العلبة | |
بتعويض |
|
بكتابة |
- أعوض
في اقتران كمية المادة
اقتران كمية المادة | |
نعوض |
|
بالتبسيط |
إذًا، الاقتران الذي يمثل كمية المادة المستخدمة هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران الكمية المستخدمة | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة |
إذًا، لاقتران الكمية المستخدمة قيمة حرجة عند
الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.
مشتقة اقتران كمية المادة | |
نشتق مشتقة اقتران كمية المادة | |
نعوض |
إذًا، بما أن
إذُا، طول قاعدة العلبة
أتحقق من فهمي
أراد حداد صناعة خزان ماء على شكل متوازي أضلاع مفلق ، قاعدته مربعة ، وحجمه
الإجابة: أبعاد الخزان طول قاعدة الخزان
ج) إيجاد أكبر حجم ممكن
مثال 6: صفيحة من الكرتون المقوى مساحتها
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات
افرض أن طول العلبة
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران الحجم
حجم العلبة
- أكتب
بدلالة
المساحة الكلية لسطح العلبة | |
نساوي المساحة ب |
|
نكتب |
- أُعوض
في اقتران الحجم
اقتران الحجم | |
بتعويض |
|
بالتبسيط |
إذًا، اقتران الحجم هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران الحجم | |
نشتق الاقتران | |
نساوي المشتقة بالصفر |
|
بضرب طرفي المعادلة في |
|
بإضافة |
|
بقسمة المعادلة على |
|
بحل المعادلة |
إذًا، بما أن الأبعاد موجبة فإن القيمة الحرجة للاقتران هي:
الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.
مشتقة اقتران الحجم | |
نشتق مشتقة اقتران الحجم | |
نعوض في المشتقة الثانية |
إذًا، بما أن
إذُا، طول قاعدة العلبة
مثال 7: يراد صنع صندوق مفتوح من أعلى من قطعة مربعة الشكل طول ضلعها
الحل:
الخطوة 1: أرسم مخططًا ، وأضع عليه المتغيرات
أفرض أن طول ضلع المربع المراد قصه
الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.
- أجد اقتران الحجم
حجم الصندوق =طول القاعدة
طول القاعدة
اقتران الحجم | |
بالتبسيط |
إذًا، اقتران الحجم هو:
الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران
اقتران الحجم | |
نشتق اقتران الحجم | |
نساوي المشتقة بالصفر |
|
بقسمة طرفي المعادلة على |
|
بتحليل المعادلة | |
ياستخدام خاصية الضرب الصفري | |
بحل المعادلتين |
إذًا، لاقتران الحجم قيم حرجة عند
الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.
اقتران مشتقة الحجم | |
نشتق اقتران مشتقة الحجم | |
نعوض في المشتقة الثانية |
إذًا، بما أن
وبما أن
وأكبر حجم للصندوق هو
أتحقق من فهمي
صندوق على شكل متوازي مستطيلات، قاعدته مربعة الشكل، ومجموع أبعاده الثلاثة
ثالثا: تطبيقات اقتصادية
هناك العديد من التطبيقات الاقتصادية المهمة على القيم القصوى ومنها:
- إيجاد أقل تكلفة : يسمى الاقتران الذي يمثل تكلفة إنتاج
وحدة من منتج معين اقتران التكلفة (cost function) ويرمز له بالرمز ، ويسمى معدل تغير بالنسبة ل اقتران التكلفة الحدية (marginal cost) ويرمز له بالرمز .
اقتران التكلفة الحدية هو مشتقة اقتران التكلفة
- إيجاد أكبر إيراد : يسمى الاقتران الذي يمثل إيراد بيع
وحدة من منتج معين اقتران الإيراد (revenue function) ويرمز له بالرمز ، ويسمى معدل تغير بالنسبة ل اقتران الإيراد الحدي (marginal revenue) ويرمز له بالرمز
. اقتران الإيراد الحدي هو مشتقة اقتران الإيراد
- إيجاد أكبر ربح: يسمى الاقتران الذي يمثل ربح بيع
وحدة من منتج معين اقتران الربح(profit function) ويرمز له بالرمز ، ويسمى معدل تغير بالنسبة ل اقتران الربح الحدي(marginal profit) ويرمز له بالرمز .
اقتران الربح الحدي هو مشتقة اقتران الربح
مثال 1: إذا كان اقتران التكلفة لإنتاج
الحل:
الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران التكلفة
اقتران التكلفة | |
نشتق الاقتران |
إذًا، اقتران التكلفة الحدية هو:
الخطوة 2: أجد التكلفة الحدية عندما
اقتران التكلفة الحدية | |
نعوض |
|
بالتبسيط |
إذًا، التكلفة الحدية لإنتاج
مثال 2: إذا كان اقتران الإيراد للمبيعات في إحدى المولات هو
الحل:
الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران الإيراد
اقتران الإيراد | |
نشتق اقتران |
الخطوة 2: أجد الإيراد الحدي عندما
اقتران الإيراد الحدي | |
نعوض |
|
بالتبسيط |
إذًا، الإيراد الحدي لبيع
مثال 3: يبيع محل
الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران الربح
اقتران الربح | |
نشتق الاقتران |
إذًا، اقتران الربح الحدي هو:
الخطوة الثانية: أجد الربح الحدي عندما
اقتران الربح الحدي | |
نعوض |
|
بالتبسيط |
إذًا، الربح الحدي لبيع
مثال 4: إذا كان الإبراد الناتج عن بيع
الحل:
الخطوة 1: أجد اقتران الربح
الربح = الإيراد - التكلفة
اقتران الربح = اقتران الإيراد - اقتران التكلفة
اقتران الربح |
|
إذًا، اقتران الربح هو:
الخطوة 2: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح
اقتران الربح | |
الربح الحدي | |
نساوي الربح الحدي بالصفر |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة القسمة على |
إذًا، القيمة الحرجة لاقتران الربح هي:
الخطوة 3:أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة
اقتران الربح الحدي | |
نشتق اقتران الربح الحدي |
إذًا، بما أن
مثال 5: ينتج مصنع للحواسيب
الحل:
الخطوة 1: أجد اقتران الإيراد
اقتران الإيراد ويساوي السعر |
إذًا، اقتران الإيراد هو:
الخطوة 2: أجد اقتران الربح
اقتران الربح = اقتران الإيراد - اقتران التكلفة | |
نعوض |
|
بالتبسيط |
إذًا، اقتران الربح هو:
الخطوة 3: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح
اقتران الربح | |
اقتران الربح الحدي | |
نساوي الربح الحدي بالصفر |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة |
إذًا، القيمة الحرجة لاقتران الربح هي:
الخطوة 4:أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة
اقتران الربح الحدي | |
نشتق اقتران الربح الحدي |
إذًا، بما أن
مثال 6: ينتج مصنع ثلاجات
الحل:
الخطوة 1: أجد اقتران الإيراد
اقتران الإيراد = السعر |
الخطوة 2: أجد اقتران الربح
اقتران الربح=اقتران الإيراد - اقتران التكلفة | |
بالتبسيط |
إذًا، اقتران الربح هو:
الخطوة 3: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح
اقتران الربح | |
اقتران الربح الحدي | |
نساوي اقتران الربح الحدي بالصفر |
|
بحل المعادلة من خلال إضافة |
إذًا، القيمة الحرجة لاقتران الربح هي:
الخطوة 4: أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة
اقتران الربح الحدي | |
نشتق اقتران الربح الحدي |
إذًا، بما أن
أتحقق من فهمي
-
إذا كانت تكلفة إنتاج
وحدة من منتج معين تعُطى وفق الاقتران: دينار، جد التكلفة الحدية لإنتاج وحدات من هذا المنتج. الإجابة: التكلفة الحدية هي: دينار. -
إذا كان الإيراد الناتج عن بيع
لعبة من إنتاج مصنع ألعاب يعُطى وفق الاقتران: ، جد الإيراد الحدي لبيع لعبة. الإجابة: الإيراد الحدي هو: دينار. -
يبيع مصنع غرفة النوم الواحدة بمبلغ
دينار ، فإذا كانت تكلفة إنتاج غرفة شهرًا تعُطى وفق الاقتران: دينار، جد عدد غرف النوم التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن. الإجابة: عدد غرف النوم هو: غرفة