الرياضيات فصل أول

التوجيهي أدبي

icon

الدرس الثالث: تطبيقات القيم القصوى

سنتعرف في درس تطبيقات القيم القصوى إلى:

  1. القيمة العظمى المحلية.
  2. القيمة الصغرى المحلية.
  3. اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم القصوى.
  4. استراتيجية حل مسائل القيم القصوى.
  5. إيجاد أكبر مساحة ممكنة.
  6. إيجاد أقل كمية ممكنة.
  7. إيجاد أكبر حجم ممكن.
  8. تطبيقات اقتصادية (التكلفة، التكلفة الحدية، الإيراد، الإيراد الحدي، الربح، الربح الحدي).

 

  •  تعلمت سابقاً أنه إذا كانت x=a  ضمن مجال الاقتران fx، فإن القيمة a تسمى قيمة حرجة للاقتران fx ، إذا كانت f'a=0   ،وتسمى النقطة a,  fa نقطة حرجة للاقتران.

  • كما تعلمت سابقاً أن النقط الحرجة يكون عندها المماس أفقياً يوازي محور x.

  • تعلمت أيضاً أنه لإيجاد النقط الحرجة للاقتران fx ، نضع  f'x=0.

 

مثال1: أجد النقط الحرجة للاقتران: fx=x3-3x+5.

الحل:

الاقتران المعطى fx=x3-3x+5
اشتق الاقتران f'x=3x2-3
نضع    f'x=0 3x2-3=0
بقسمة المعادلة على 3 x2-1=0
بتحليل المعادلة x-1x+1=0
باستخدام خاصية الضرب الصفري x-1=0   or   x+1=0
بحل المعادلتين x=1    or    x=-1

عند x=1   نجد   y

عند x=-1    نجد   y 

y=f1=13-31+5            =1-3+5             =3y=f-1=-13-3-1+5               =-1+3+5               =7

 إذاً، عند   x=1 ,-1  قيم حرجة للاقتران ، والنقط الحرجة هي: 1,3 , -1,7

 

أولًا: تصنيف القيم الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الثانية 

تعلمت سابقاً أن النقط الحرجة تصنف إلى:

  • النقط العظمى المحلية: هي النقطة التي يتحول عندها منحنى الاقتران من متزايد إلى متناقص  (من اليسار إلى اليمين)، أي تتحول عندها إشارة المشتقة الأولى من موجبة إلى سالبة.
  • النقطة الصغرى المحلية:هي النقطة التي يتحول عندها منحنى الاقتران من متناقص إلى متزايد (من اليسار إلى اليمين)، أي تتحول عندها المشتقة الأولى من سالبة إلى موجبة

نظرية

بافتراض وجود f',  f'' لأي نقطة في فترة مفتوحة تحوي c ، وأن : f'c=0، فإنه يمكن استنتاج ما يأتي:

  • إذا كان : f''c<0، فإن fc هي قيمة عظمى محلية للاقتران f.
  • إذا كان: f''c>0، فإن fc هي قيمة صغرى محلية للاقترانf.
  • إذا كان: f''c=0، فإن اختبار المشتقة الثانية يفشل, وفي هذه الحالة ، نلجأ إلى استخدام اختبار المشتقة الأولى لتصنيف القيم القصوى المحلية.

اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم القصوى

  •  أجد المشتقة الأولى للاقتران f، وهي: f'x.
  • أضع المشتقة الأولى للاقتران تساوي صفراً، أي f'x=0.لإيجاد قيم x=a الحرجة للاقتران.
  • أجد المشتقة الثانية للاقتران f عند a، وهي: f''a.
  • نعوض القيم الحرجة للاقتران في المشتقة الثانية

       1. فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة يكون عندها f(a) قيمة صغرى محلية.

      2.  وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة يكون عندها f(a) قيمة عظمى محلية.

 

مثال1: إذا كان: fx=x2-6x+1، فاستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى للاقتران f.

الحل:

الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران.

الاقتران المعطى fx=x2-6x+1
نشتق الاقتران f'x=2x-6
نساوي المشتقة بالصفر ، f'x=0 2x-6=0
بحل المعادلة من خلال إضافة 6 لطرفي المعادلة وقسمة المعادلة على 2 ينتج 2x=6   x=3

إذاً القيمة الحرجة للاقتران f هي:x=3

الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران

اقتران المشتقة الأولى f'x=2x-6
اقتران المشتقة الثانية f''x=2

الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية ؛ لتصنيفها

اقتران المشتقة الثانية f''x=2
نعوض x=3 f''3=2>0

بما أن f''3>0، فإن للاقتران قيمة صغرى محلية عند x=3 ، وهي:  f3=-8    لأن f3=32-63+1=-8

 

مثال 2: إذا كان:   fx=x3-12x+5، فاستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقترانf.

الحل:

الخطوة1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران

الاقتران المعطى fx=x3-12x+5
نشتق الاقتران f'x=3x2-12
نساوي المشتقة بالصفر ،  f'x=0 3x2-12=0
بقسمة المعادلة على 3  x2-4=0
بتحليل المعادلة x-2x+2=0
باستخدام خاصية الضرب الصفري x-2=0  or  x+2=0
بحل المعادلتين x=2  or  x=-2

إذاً القيم الحرجة للاقتران f، هي: x=2  ,  x=-2

الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران

اقتران المشتقة الأولى f'x=3x2-12
اقتران المشتقة الثانية f''x=6x

الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛ لتصنيفها

اقتران المشتقة الثانية f''x=6x
نعوض في المشتقة الثانية x=2  ,  x=-2 f''2=62=12>0f''-2=6-2=-12<0

بما أن f''2>0، فإن للاقتران f قيمة صغرى محلية عند x=2 ، وهي: f2=-11

لأن: f2=23-122+5=-11

بما أن f''-2<0، فإن للاقتران f قيمة عظمى محلية عند x=-2 ، وهي: f-2=21  لأن f-2=-23-12-2+5=21

 

مثال 3:إذا كان: fx=2x3-6x2-18x+1، فاستخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى للاقترانf.

الحل:

الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم الحرجة للاقتران

الاقتران المعطى fx=2x3-6x2-18x+1
نشتق الاقتران f'x=6x2-12x-18
نساوي المشتقة بالصفر ، f'x=0  6x2-12x-18=0
بقسمة المعادلة على 6 x2-2x-3=0
بتحليل المعادلة  x-3x+1=0
باستخدام خاصية الضرب الصفري x-3=0   or   x+1=0
بحل المعادلتين x=3   or   x=-1

إذاً، القيم الحرجة للاقتران f، هي: x=3  ,  x=-1

الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية

اقتران المشتقة الأولى f'x=6x2-12x-18
اقتران المشتقة الثانية f''x=12x-12

الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛لتصنيفها

اقتران المشتقة الثانية f''x=12x-12
نعوض في المشتقة الثانية x=3  ,  x=-1 f''3=123-12=24>0f''-1=12-1-12=-24<0

بما أن f''3>0، فإن للاقتران f قيمة صغرى محلية عند x=3 ، وهي: f3=-53 لأن f3=233-632-183+1=-53

بما أن f''-1<0، فإن للاقتران f قيمة عظمى محلية عند x=-1 ، وهي: f-1=11 لأنf-1=2-13-6-12-18-1+1=11

 

مثال 4: إذا كان: fx=xx2-27، فأستخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى للاقترانf.

الحل:

الخطوة 1: أجد المشتقة الأولى والقيم القصوى للاقتران

الاقتران المعطى fx=xx2-27fx=x3-27x
نشتق الاقتران f'x=3x2-27
نساوي المشتقة بالصفر ، f'x=0 3x2-27=0
بقسمة المعادلة على 3 x2-9=0
بتحليل المعادلة x-3x+3=0
باستخدام خاصية الضرب الصفري x-3=0  or  x+3=0
بحل المعادلتين x=3   or   x=-3

إذاً، القيم الحرجة للاقتران f هي: x=3  ,  x=-3

الخطوة 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران

اقتران المشتقة الأولى f'x=3x2-27
اقتران المشتقة الثانية f''x=6x

الخطوة 3: أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية؛ لتصنيفها

اقتران المشتقة الثانية f''x=6x
نعوض المشتقة الثانية  x=3  ,  x=-3 f''3=63=18>0f''-3=6-3=-18<0

بما أن f''3>0، فإن للاقتران f قيمة صغرى محلية عند x=3 ، وهي: f3=-54 لأن   f3=33-273=-54     

 بما أن f''-3<0، فإن للاقتران f قيمة عظمى محلية عند x=-3 ، وهي: f-3=54f-3=-33-27-3=54 

 

أتحقق من فهمي

 إذا كان: fx=x3-3x2-24x+2، فأستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقتران f.                                                                                                                                         الإجابة: للاقتران f قيمة صغرى محلية عند x=4 ، وهي: f4=-78 ، للاقتران f قيمة عظمى محلية عند x=-2 ، وهي: f-2=30.

 

ثانيا: مسائل على القيم القصوى

استراتيجية حل المسألة

 

1)افهم المسألة: أقرا المسألة بشكل جيد ، ثم أحدد المعلومات اللازمة لحلها.

2) أرسم مخططًا: أرسم مخططًايمثل المسألة إن أمكن، ثم أدون عليه المعلومات المهمة لحل المسالة، وأختار متغيراً يمثل الكمية التي أريد أن أجد لها أكبر قيمة أو أقل قيمة ، وأختار رموزاً للمتغيرات الأخرى في المسألة ، ثم أستعمل المتغيرات لكتابة اقتران قيمته القصوى هي القيمة المطلوبة.

3) أجد القيم الحرجة للاقتران: أجد القيم التي تكون عندها مشتقة الاقتران صفرًا. 

4) أجد القيمة القصوى المطلوبة: أجد القيمة الصغرى أو العظمى المطلوبة.

تطبيقات حياتية

أ) إيجاد أكبر مساحة ممكنة لمستطيل

مثال 1:قطعة أرض مستطيلة الشكل، محيطها 400 متر . جد بعدا قطعة الأرض اللذان يجعلان مساحتها أكبر ما يمكن. 

الحل:      

الخطوة 1: أرسم مخططًا

​​​ أفترض أن طول قطعة الأرض x ، وأن y هو عرضها 

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران مساحة المستطيل:                                                                      مساحة المستطيل                                          A=xy
  • أكتب y  بدلالة x باستعمال المحيط:  
محيط المستطيل p=2x+2y
بتعويض p=400 2x+2y=400
بقسمة المعادلة على 2 x+y=200
بكتابة y بدلالة x y=200-x
  • أعوض y بدلالة x في اقتران المساحة:
    اقتران المساحة A=xy
    بتعويض y=200-x في اقتران المساحة   Ax=x200-x
    بالتبسيط Ax=200x-x2

    إذًا، الاقتران الذي يمثل مساحة قطعة الأرض هو: Ax=200x-x2

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران المساحة Ax=200x-x2
نشتق اقتران المساحة A'x=200-2x
نساوي مشتقة اقتران المساحة بالصفر ، A'=0 200-2x=0
بحل المعادلة من خلال قسمة المعادلة على 2 وإضافة -100 لطرفي المعادلة ينتج 100-x=0x=100

إذًا، توجد قيمة حرجة عند x=100.

الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة

اقتران المشتقة الأولى مساحة A'x=200-2x
اقتران مشتقة الثانية للمساحة A''x=-2

بما أن A''x<0 لجميع قيم x  الموجبة ، فإنه توجد قيمة عظمى محلية عند x=100 ، وهذا يعني أن مساحة قطعة الأرض تكون أكبر ما يمكن عندما x=100 .

إذًا، طول قطعة الأرض تساوي x=100 متر ، وعرضها   y=100  متر  ،  لأن   y=200-x=200-100=100 

 

مثال 2: قطعة أرض مستطيلة الشكل، يمر من أمامها نهر ، أراد صاحبها أن يسيج الجهات الثلاثة ( عدا التي يمر من أمامها النهر) بسياج طوله 600 m ، ما إبعاد القطعة التي تجعل مساحتها أكبر ما يمكن؟

الحل:

الخطوة 1: أرسم مخططًا                                    

أفترض أن طول قطعة الأرضy ، وعرضها x   

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران مساحة المستطيل: 

          مساحة المستطيل                   A=xy   

  • أكتب y بدلالة x باستخدام طول السياج (المحيط)     
محيط قطعة الأرض (ما عدا الجهة الواقعة على النهر) p=y+2x
لكن  p=600 y+2x=600
نكتب y بدلالة x y=600-2x
  • أعوض y=600-2x في اقتران المساحة
اقتران المساحة A=xy
بتعويض y=600-2x في اقتران المساحة Ax=x600-2x
بالتبسيط Ax=600x-2x2

 إذًا، الاقتران الذي يمثل مساحة قطعة الأرض هو: Ax=600x-2x2

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران المساحة Ax=600x-2x2
نشتق اقتران المساحة A'x=600-4x
نساوي مشتقة  اقتران المساحة بالصفر  A'x=0 600-4x=0
بحل المعادلة من خلال إضافة -600 لطرفي المعادلة وقسمة الناتج على -4 ينتج -4x=-600x=150

 إذًا، توجد قيمة حرجة عند x=150.

الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة

اقتران المشتقة الأولى للمساحة A'x=600-4x
اقتران المشتقة الثانية للمساحة A''x=-4

بما أن A''x<0 لجميع قيم x الموجبة ، فإنه توجد قيمة عظمى محلية عند x=150 ، وهذا يعني أن مساحة قطعة الأرض تكون أكبر ما يمكن عندما x=150.

إذًا، عرض قطعة الأرض x يساوي 150 m، وطول قطعة الأرضy يساوي 300 m ، لأن y=600-2x y=600-2150=600-300=300

 

مثال 3:صحيفة ورقية مستطيلة الشكل، مساحتها 50 cm2 ، يراد طباعة إعلان عليها. إذا كان عرض كل هامش في رأس الورقة وأسفلها 1 cm، وفي كل جانب 0.5 cm ، أجد بعدي الورقة اللذين يجعلان المساحة المطبوعة أكبر ما يمكن.

الحل: 

  الخطوة 1:أرسم مخططًا 

أفرض أن طول الورقة x ، وعرضها y

إذًا، يكون طول الورقة المطبوعة x-1 ، وعرضها y-2

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران مساحة المستطيل: 

مساحة المستطيل                   A=xy

  • أكتب y بدلالة x باستخدام مساحة الورق
مساحة المستطيل A=xy
بتعويض  A=50 xy=50
بكتابة y بدلالة x y=50x
  • أعوض y في اقتران المساحة المطبوعة 
اقتران المساحة المطبوعة A=x-1y-2
نعوض y=50x Ax=x-150x-2

 إذًا، الاقتران الذي يمثل المساحة المطبوعة هو: Ax=x-150x-2

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران.

اقتران المساحة المطبوعة Ax=x-150x-2
نشتق اقتران المساحة المطبوعة باستخدام قانون مشتقة ضرب اقترانين A'x=(x-1)-50x2+50x-21
بالتبسيط A'x=-50x+50x2+50x-2A'x=50x2-2
نساوي مشتقة المساحة المطبوعة بالصفر  A'x=0 50x2-2=0
بحل المعادلة 50x2=22x2=50x2=25x=±5

إذًا،  بما أن الطول لا يمكن أن يكون سالب ، فإن النقطه الحرجة للاقترا.ن هي:x=5  .

الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.

مشتقة اقتران المساحة المطبوعة A'x=50x2-2
 المشتقة الثانية لاقتران المساحة المطبوعة A''x=-502xx22=-100xx4A''x=-100x3
بتعويض x=5 في المشتقة الثانية  A''5=-10053=-100125<0

إذًا، بما أن A''5<0 ، فإن للاقتران قيمة عظمى محلية عند x=5 ،

أي أن المساحة المطبوعة تكون أكبر ما يمكن عندما يكون طول الصفيحة 5 cm  ، وعرضها 10 cm ، لأن     y=505=10.

أتحقق من فهمي

أراد شخص بناء غرفة لاستقبال الضيوف في مزرعته، بحيث يكون محيط سقفها 40 m ، جد أكبر مساحة ممكنة لسقف الغرفة.  الإجابة:  أكبر مساحة ممكنة لسقف الغرفة 100 m2.

ب) إيجاد أقل كمية ممكنة

مثال 4:  نريد صنع صندوق  مفتوح من أعلى على شكل متوازي مستطيلات، قاعدته مربعة  الشكل وحجمه 32 cm3 ، جد أبعاد الصندوق التي تجعل كمية المادة المستخدمة لصنعه أقل ما يمكن.

الحل: 

الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات

أفرض أن طول قاعدة الصندوق x ، وعرضها x وارتفاعه h ، كما هو موضح في الشكل المجاور

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران كمية المادة المستخدمة 

 كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق هي: المساحة الجانبية للصندوق+مساحة القاعدة

         حجم متوازي المستطيلات يساوي طول القاعدة x عرض القاعدة x الارتفاع                                          حجم الصندوق                                      v=L×w×h  =x×x×h  =x2h

  • أكتب h بدلالة x باستعمال حجم الصندوق
حجم الصندوق v=x2h
حجم الصندوق يساوي 32   x2h=32
نكتب h بدلالة x h=32x2
  •  أعوض h في اقتران كمية المادة
أقتران  كمية المادة A=4xh+x2
بتعويض h=32x2  Ax=4x32x2+x2
بالتبسيط Ax=128x+x2

  إذًا، اقتران كمية المادة المستخدمة هو: Ax=128x+x2     

الخطوة 4: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران كمية المادة Ax=128x+x2
نشتق الاقتران A'x=-128x2+2x
نساوي المشتقة بالصفر   A'x=0 -128x2+2x=0
بالتبسيط من خلال إضافة 128x2 لطرفي المعادلة والضرب التبادلي ، والقسمة عل 2 ، وأخذ الجذر التكعيبي لطرفي المعادلة ينتج 2x=128x22x3=128x33=643x=4

  إذًا، لاقتران كمية المادة المستخدمة قيمة حرجة عند  x=4.

الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.

 مشتقة اقتران كمية المادة A'x=-128x2+2x
نشتق مشتقة اقتران كمية المادة A''x=1282xx22+2
بالتبسيط A''x=256x3+2
بتعويض x=4 A''4=25643+2         =4+2=6>0

إذًا، بما أن A''4>0 ، فإن لاقتران كمية المادة المستخدمة قيمة صغرى محلية عندما x=4 ، أي أن كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق أقل ما يمكن.

إذُا، طول قاعدة الصندوق 4 cm ، وعرضها 4 cm ، وارتفاع الصندوق  2 cm ، لأن h=3242=3216=2

مثال 5: يريد مصنع إنتاج عُلب من الكرتون على شكل متوازي مستطيلات قاعدتها مربعة ومغلقة، بحيث يكون حجم العلبة الواحدة منها 64 cm3 ، أجد أبعاد العلبة الواحدة التي تجعل كمية المادة المستخدمة لصنعها أقل ما يمكن.

الحل:

الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات                                          

  افرض أن طول قاعدة العلبة x ، وعرضها x ، وارتفاعها h           كما هو موضح بالشكل

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران كمية المادة المستخدمة كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق هي: المساحة الكلية لسطح العلبة.

  المساحة الكلية للعلبة  = المساحة الجانبية + مجموع مساحة القاعدتين                                                        المساحة الكلية للعلبة S حيث       S=4xh+2x2       

  • أكتب h بدلالة x باستعمال حجم متوازي المستطيلات
حجم العلبة V=x2h
بتعويض V=64 64=x2h
بكتابة  h بدلالة x h=64x2
  •  أعوض h=64x2 في اقتران كمية المادة
اقتران كمية المادة S=4xh+2x2
نعوض h=64x2  Sx=4x64x2+2x2
بالتبسيط Sx=256x+2x2

   إذًا، الاقتران الذي يمثل كمية المادة المستخدمة هو: Sx=256x+2x2

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران الكمية المستخدمة Sx=256x+2x2
نشتق الاقتران S'x=-256x2+4x
نساوي المشتقة بالصفر  S'x=0 -256x2+4x=0
بحل المعادلة من خلال إضافة 256x2 لطرفي المعادلة والضرب التبادلي والقسمة على 4  وأخذ الجذر التكعيبي  لطرفي المعادلة ينتج 4x=256x24x3=256x33=643x=4

    إذًا، لاقتران الكمية المستخدمة قيمة حرجة عند x=4.     

الخطوة 4: أستخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.    

 مشتقة اقتران كمية المادة S'x=-256x2+4x
نشتق مشتقة اقتران كمية المادة S''x=2562xx22+4         =512x3+4
نعوض x=4 S''4=51243+4         =8>0

إذًا، بما أن S''4>0 فإن لاقتران كمية المادة قيمة صغرى محلية عن x=4 ، أي أن كمية المادة المستخدمة في صنع الصندوق أقل ما يمكن.

إذُا، طول قاعدة العلبة 4 cm ، وعرضها 4 cm ، وارتفاع العلبة 4 cm ،  لأن  h=6442=6416=4

أتحقق من فهمي

أراد حداد صناعة خزان ماء على شكل متوازي أضلاع مفلق ، قاعدته مربعة ، وحجمه 8 m3 ، جد أبعاد الخزان التي تجعل كمية المادة المستخدمة في صنعه أقل ما يمكن. 

الإجابة: أبعاد الخزان طول قاعدة الخزان 2 m ، وعرضها 2 m ، وارتفاع الخزان 2 m

 

ج) إيجاد أكبر حجم ممكن

مثال 6: صفيحة من الكرتون المقوى مساحتها 42 cm2 ، أراد أحمد صناعة علبة مغلقة منها عل شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة، جد أبعاد العلبة التي تجعل حجمها أكبر ما يمكن.

الحل:

الخطوة 1: أرسم مخططًا وأضع عليه المتغيرات

افرض أن طول العلبة x ، وعرضها x ، وارتفاعها h

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران الحجم   

                        حجم العلبة                                     V=x2h

  • أكتب h بدلالة x 
المساحة الكلية لسطح العلبة S=4xh+2x2
نساوي المساحة ب 42 ونقسم المعادلة على 2 4xh+2x2=422xh+x2=21
نكتب h بدلالة x 2xh=21-x2h=21-x22x
  • أُعوض h=21-x22x في اقتران الحجم
اقتران الحجم V=x2h
بتعويض  h=21-x22x Vx=x221-x22x
بالتبسيط Vx=21x-x32       =1221x-x3

إذًا، اقتران الحجم هو: Vx=1221x-x3

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران الحجم Vx=1221x-x3
نشتق الاقتران V'x=1221-3x2
نساوي المشتقة بالصفر  V'x=0 1221-3x2=0
 بضرب طرفي المعادلة في 2 21-3x2
بإضافة -21 لطرفي المعادلة والضرب في سالب -3x2=-213x2=21
بقسمة المعادلة على 3 x2=7
بحل المعادلة    x=±7

إذًا، بما أن الأبعاد موجبة فإن القيمة الحرجة للاقتران هي: x=7

الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.

مشتقة اقتران الحجم V'x=1221-3x2
نشتق مشتقة اقتران الحجم V''x=12-6x        =-3x
نعوض في المشتقة الثانية   x=7 V''7=-37         =-37<0

إذًا، بما أن V''7<0، فإن لاقتران الحجم قيمة عظمى محلية عند x=7 ، إي أن الحجم أكبر ما يمكن عندما x=7.

إذُا، طول قاعدة العلبة 7 cm ، وعرضها 7 cm ، وارتفاعها 7 cm ، لأن       h=21-7227=21-727=1427=77=7 

 

مثال 7: يراد صنع صندوق مفتوح من أعلى من قطعة مربعة   الشكل طول ضلعها 12 cm، وذلك بقص مربعات متساوية من أطرافها الأربعة ثم ثني الأجزاء البارزة للأعلى. جد أكبر حجم يمكن تكوينه بهذه الطريقة.

الحل:

الخطوة 1: أرسم مخططًا ، وأضع عليه المتغيرات

أفرض أن طول ضلع المربع المراد قصه x

الخطوة 2: أكتب الاقتران الذي أريد إيجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد.

  • أجد اقتران الحجم   

حجم الصندوق =طول القاعدة × عرض القاعدة × الأرتفاع

طول القاعدة 12-2x ، عرض القاعدة 12-2x ، الأرتفاع x

اقتران الحجم  Vx=12-2x12-2xx
بالتبسيط Vx=144-48x+4x2x       =144x-48x2+4x3       =4x3-48x2+144x

   إذًا، اقتران الحجم هو: Vx=4x3-48x2+144x.

الخطوة 3: أجد القيم الحرجة للاقتران

اقتران الحجم Vx4x3-48x2+144x
نشتق اقتران الحجم V'x=12x2-96x+144
نساوي المشتقة بالصفر V'x=0 12x2-96x+144=0
بقسمة طرفي المعادلة على 12 x2-8x+12=0
بتحليل المعادلة x-6x-2=0
ياستخدام خاصية الضرب الصفري x-6=0   or   x-2=0
بحل المعادلتين x=6   or   x=2

إذًا، لاقتران الحجم قيم حرجة عند  x=6  , x=2.

الخطوة 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيمة الحرجة.

اقتران مشتقة الحجم V'x=12x2-96x+144
نشتق اقتران مشتقة الحجم V''x=24x-96
نعوض في المشتقة الثانية x=6  ,  x=2 V''6=246-96=48>0V''2=242-96=-48<0

إذًا، بما أن V''x>0 فإن لاقتران الحجم قيمة صغرى محلية وبالتالي تهمل لأن المطلوب قيمة عظمى

وبما أن  V''2<0 فإن لاقتران الحجم قيمة عظمى محلية عند x=2 ، إي أن حجم الصندوق أكبر ما يمكن عندx=2 ،

وأكبر حجم للصندوق هو V2 ويساوي   128 cm3 لأن   V2=423-4822+1442=32-192+288=128

 

أتحقق من فهمي 

صندوق على شكل متوازي مستطيلات، قاعدته مربعة الشكل، ومجموع أبعاده الثلاثة 120 cm، أجد أبعاده التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.                                        الإجابة: طول قاعدة الصندوق 40 cm، وعرضها 40 cm، وأرتفاع الصندوق 40 cm.

 

 

ثالثا: تطبيقات اقتصادية

هناك العديد من التطبيقات الاقتصادية المهمة على القيم القصوى ومنها: 

  • إيجاد أقل تكلفة : يسمى الاقتران الذي يمثل تكلفة إنتاج x وحدة من منتج معين اقتران التكلفة (cost function) ويرمز له بالرمز Cx، ويسمى معدل تغير C بالنسبة ل x اقتران التكلفة الحدية (marginal cost) ويرمز له بالرمز C'x .

                                   اقتران التكلفة الحدية هو مشتقة اقتران التكلفة

  • إيجاد أكبر إيراد : يسمى الاقتران الذي يمثل إيراد بيع x وحدة من منتج معين اقتران الإيراد (revenue function) ويرمز له بالرمز Rx، ويسمى معدل تغير R بالنسبة ل x اقتران الإيراد الحدي (marginal revenue) ويرمز له بالرمز R'x

.                               اقتران الإيراد الحدي هو مشتقة اقتران الإيراد

  • إيجاد أكبر ربح: يسمى الاقتران الذي يمثل ربح بيع x وحدة من منتج معين اقتران الربح(profit function) ويرمز له بالرمز Px، ويسمى معدل تغير P بالنسبة ل x اقتران الربح الحدي(marginal profit) ويرمز له بالرمز P'x.

                                اقتران الربح الحدي هو مشتقة اقتران الربح

 

مثال 1: إذا كان اقتران التكلفة لإنتاج x قطعة من منتج ما مُعطى بالاقتران: Cx=x2-3x+200دينار، جد التكلفة الحدية لإنتاج 8 قطع.

الحل:

الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران التكلفة

اقتران التكلفة Cx=x2-3x+200
نشتق الاقتران C'x=2x-3

إذًا، اقتران التكلفة الحدية هو: C'x=2x-3

الخطوة 2: أجد التكلفة الحدية عندما x=8

اقتران التكلفة الحدية C'x=2x-3
نعوض x=8 C'8=28-3
بالتبسيط C'8=16-3        =13

إذًا، التكلفة الحدية لإنتاج 8 قطع هي: 13دينار.

 

مثال 2: إذا كان اقتران الإيراد للمبيعات في إحدى المولات هو Rx=2x3+30x دينار، حيث x عدد الوحدات المنتجة من سلعة ما، أجد الإيراد الحدي الناتج عن بيع 10 وحدات.

الحل:

الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران الإيراد

اقتران الإيراد Rx=2x3+30x
نشتق اقتران  R'x=6x2+30

الخطوة 2: أجد الإيراد الحدي عندما  x=10 

اقتران الإيراد الحدي R'x=6x2+30
نعوض x=10 R'10=6102+30
بالتبسيط R'10=6100+30          =600+30          =630

إذًا، الإيراد الحدي لبيع 10 وحدات هو: 630 دينار.

 

مثال 3: يبيع محل x قطعة اسبوعيًا من منتج معين، فإذا كان اقتران الربح هو Px=2x2+280x-200، أجد الربح الحدي لبيع 100 قطعة,

الخطوة 1: أجد مشتقة اقتران الربح

اقتران الربح Px=2x2+280x-200
نشتق الاقتران P'x=4x+280

إذًا، اقتران الربح الحدي هو: P'x=4x+280

الخطوة الثانية: أجد الربح الحدي عندما x=100

اقتران الربح الحدي Px=4x+280
نعوض   x=100 P100=4100+280
بالتبسيط P100=400=280           =680

إذًا، الربح الحدي لبيع 100 قطعة أسبوعيًا هو: 680 دينار.

 

مثال 4: إذا كان الإبراد الناتج عن بيع x قطعة من منتج ما هو: Rx=50x-x2، والتكلفة هي: Cx=20x، أجد قيمة x ، أجد قيمة x التي تجعل الربح أكبر ما يمكن.

الحل: 

الخطوة 1: أجد اقتران الربح

                                 الربح = الإيراد - التكلفة

اقتران الربح = اقتران الإيراد - اقتران التكلفة

                                   Px=Rx-Cx

اقتران الربح

Px=Rx-Cx       =50x-x2-20x       =50x-x2-20x       =30x-x2

إذًا، اقتران الربح هو:  Px=30x-x2

الخطوة 2: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح

اقتران الربح Px=30x-x2
الربح الحدي  P'x=30-2x
نساوي الربح الحدي بالصفرPx=0   30-2x=0

بحل المعادلة من خلال إضافة -30 لطرفي المعادلة

القسمة على-2

-2x=-30x=-30-2x=15

إذًا، القيمة الحرجة لاقتران الربح هي:x=15

الخطوة 3:أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة

اقتران الربح الحدي P'x=30-2x
نشتق اقتران الربح الحدي P''x=-2<0

إذًا، بما أن P''x<0 لجميع قيم x الموجبة ، فإن لاقتران الربح قيمة عظمى محلية عندما x=15 ؛ أي أن قيمة x التي تجعل  الربح أكبر ما يمكن هي:15قطعة

 

مثال 5: ينتج مصنع للحواسيب x جهاز أسبوعيًا، فإذا كانت تكلفة الإنتاج الأسبوعي تُعطى وفق الاقتران: Cx=x2+100x+2000، وكان المصنع يبيع الجهاز الواحد بمبلغ 300 دينار ، فأجد عدد الأجهزة التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن.

الحل: 

الخطوة 1: أجد اقتران الإيراد

اقتران الإيراد ويساوي السعر × الكمية Rx=300x

إذًا، اقتران الإيراد هو:   Rx=300x

الخطوة 2: أجد اقتران الربح

اقتران الربح = اقتران الإيراد - اقتران التكلفة Px=Rx-Cx
نعوض Rx=300xCx=x2+100x+2000 Px=300x-x2+100x+2000
بالتبسيط Px=300x-x2-100x-2000       =-x2+200x-2000

إذًا، اقتران الربح هو: Px=-x2+200x-2000

الخطوة 3: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح

اقتران الربح Px=-x2+200x-2000
اقتران الربح الحدي P'x=-2x+200
نساوي الربح الحدي بالصفر P'x=0 -2x+200=0
بحل المعادلة من خلال إضافة -200 لطرفي المعادلة والقسمة على -2 -2X=-200X=-200-2X=100

إذًا، القيمة الحرجة لاقتران الربح هي: x=100

الخطوة 4:أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة

اقتران الربح الحدي P'x=-2x+200
نشتق اقتران الربح الحدي P''x=-2<0

إذًا، بما أن P''x<0 لجميع قيم x الموجبة، فإن لاقتران الربح قيمة عظمى محلية عندما x=100 ؛ أي أن عدد الأجهزة التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح هو: 100جهاز.

 

مثال 6: ينتج مصنع ثلاجات x ثلاجة أسبوعيًا، فإذا كانت تكلفة الإنتاج الأسبوعي بالدينار تعطى وفق الاقتران: Cx=x2+50x+4200، وكان سعر الثلاجة 550 دينار، فما عدد الثلاجات التي يجب إنتاجها وبيعها أسبوعيًا لتحقيق أكبر ربح ممكن.

الحل:

الخطوة 1: أجد اقتران الإيراد

اقتران الإيراد = السعر × الكمية Rx=550x

الخطوة 2: أجد اقتران الربح 

اقتران الربح=اقتران الإيراد - اقتران التكلفة Px=Rx-CxPx=550x-x2+50x+4200
بالتبسيط Px=550x-x2-50x-4200       =500x-x2-4200       =-x2+500x-4200

إذًا، اقتران الربح هو: Px=-x2+500x-4200

الخطوة 3: أجد القيمة الحرجة لاقتران الربح

اقتران الربح Px=-x2+500x-4200
اقتران الربح الحدي P'x=-2x+500
نساوي اقتران الربح الحدي بالصفر P'x=0 -2x+500=0
بحل المعادلة من خلال إضافة -500 والقسمة على -2 -2x=-500x=-500-2=5002  =250

إذًا،  القيمة الحرجة لاقتران الربح هي: x=250

 الخطوة 4: أستعمل اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة الحرجة

اقتران الربح الحدي P'x=-2x+500
نشتق اقتران الربح الحدي P''x=-2<0

إذًا، بما أن P''x<0 لجميع قيم x الموجبة ، فإن لاقتران الربح قيمة عظمى محلية عندما x=250 ؛ أي أن عدد  الثلاجات التي يجب إنتاجها وبيعها أسبوعيًا لتحقيق أكبر ربح هو: 250 ثلاجة.

 

أتحقق من فهمي

  1. إذا كانت تكلفة إنتاج x وحدة من منتج معين تعُطى وفق الاقتران: Cx=3x2+70x+1500 دينار، جد التكلفة الحدية لإنتاج 10 وحدات من هذا المنتج.                                                                الإجابة: التكلفة الحدية هي: 130 دينار.

  2. إذا كان الإيراد الناتج عن بيع x لعبة من إنتاج مصنع ألعاب يعُطى وفق الاقتران:Rx=0.2x3+40x، جد الإيراد الحدي لبيع 20 لعبة.                                                                                           الإجابة: الإيراد الحدي هو: 280 دينار.

  3. يبيع مصنع غرفة النوم الواحدة بمبلغ 2500دينار ، فإذا كانت تكلفة إنتاج x غرفة شهرًا تعُطى وفق الاقتران:  Cx=5x2+2000x+7500 دينار، جد عدد غرف النوم التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن.                                                                                                                                                                                          الإجابة: عدد غرف النوم هو:50 غرفة