رياضيات 11 فصل ثاني

أتحقق من فهمي صفحة 35

1) أُمثِّل الاقتران: f(x) = sin x بيانيًّا في الفترة $[-2\pi ,2\pi ]$.

2) أُمثِّل الاقتران: f(x) = cos x بيانيًّا في الفترة $[-2\pi ,2\pi ]$.

أتحقق من فهمي صفحة 39

أُمثِّل منحنى كل اقتران ممّا يأتي بيانيًّا:

$\mathit{a}\mathbf{)} g(x)=2 \sin x \mathit{b}\mathbf{)} g\left(x\right)=\frac{1}{4} \cos x$

أتحقق من فهمي صفحة 41

أُمثِّل منحنى كل اقتران ممّا يأتي بيانيًّا:

$\mathit{a}\mathbf{)} g(x)=\sin 3x \mathit{b}\mathbf{)} g\left(x\right)=\cos \frac{x}{3}$

أتحقق من فهمي صفحة 42

أُمثِّل منحنى الاقتران g(x) = sinx-3 بيانيًّا.

أتحقق من فهمي صفحة 44

أجد السعة، وطول الدورة، ومعادلة خط الوسط ل لاقتران: ، g(x) = -2 sin(x - π) - 3 ثم أُمثِّله بيانيًّا.

 

أتحقق من فهمي صفحة 46 

يُمثِّل الاقتران: $g\left(t\right)=3 \cos \frac{1}{2}\mathrm{\pi t}$ إزاحة كتلة مُعلَّقة في زنبرك بالسنتيمترات، حيث t الزمن بالثواني:

a) أجد أقصى إزاحة، وطول الدورة، والتردُّد لحركة الكتلة.
b) أُمثِّل منحنى إزاحة الكتلة مع الزمن بيانيًّا.

أتحقق من فهمي صفحة 47

أُمثِّل منحنى الاقتران: $g\left(x\right) = \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}x\right)$ بيانيًّا، ثم أُحدِّد مجاله ومداه. 

المجال: الأعداد الحقيقية جميعها ما عدا 𝑛 حيث 𝑛 عدد صحيح فردي

المدى: الأعداد الحقيقية جميعها

أجد طول الدورة والسعة (إن وُجِدَت) لكل اقتران ممّا يأتي، ثم أُمثِّله بيانيًّا:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }g(x)=3 \sin x \mathbf{2}\mathbf{)} g\left(x\right)=\cos 3x \mathbf{3}\mathbf{)} g(x)=2 \sin (x-\frac{\pi }{3} ) \mathbf{4}\mathbf{)} g\left(x\right)=2-\cos x$

$\mathbf{5}\mathbf{)} g(x)=1+\frac{1}{2} \cos \pi \mathbf{6}\mathbf{)} g\left(x\right)=1+\cos (2x-\frac{\pi }{3}) \mathbf{7}\mathbf{)} g(x)=3+2 \sin 3(x+\pi )$

$\mathbf{8}\mathbf{)} g(x)=\frac{1}{2} \tan x \mathbf{9}\mathbf{)} g\left(x\right)=-1+\tan 2x$

 

أكتب بجانب كل اقتران ممّا يأتي رمز التمثيل البياني المناسب له من بين التمثي لات البيانية $a-f$ الظاهرة أدناه:

$\mathbf{10}\mathbf{)} g(x)=-2+s\mathrm{in} (2x+\pi ) \mathbf{11}\mathbf{)} g\left(x\right)=-\sin (x+\pi ) \mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }g(x)=-3+\cos x$

$\mathbf{13}\mathbf{)} g(x)=\cos (x+\frac{\pi }{2}) \mathbf{14}\mathbf{)} g\left(x\right)=1+\sin \frac{1}{2} x \mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{)} g(x)=1+2 \cos (\frac{1}{2} x+\frac{\pi }{2})$

---

أَصِف التحويلات الهندسية التي طُبِّقت على منحنى الاقتران f لينتج منحنى الاقتران g في كلٍّ ممّا يأتي:

$\mathbf{16}\mathbf{)} f(x)=2 \cos x,g(x)=2\cos (x-\frac{\pi }{2})+1$

$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{4}), g(x)=3 \sin (x+\frac{\pi }{ 4})-2$

$\mathbf{18}\mathbf{)} f(x)=\sin 3x, g(x)=\sin 3(x+3\pi )-5$

$\mathbf{19}\mathbf{)} f(x) =\cos x+9, g(x)=\cos 6(x-\pi )+9$

الحل:

16) إزاحة أفقية نحو اليمين مقدارها $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

إزاحة رأسية للأعلى مقدارها 1

17) توسيع رأسي بمعامل مقداره 3

إزاحة رأسية للأسفل مقدارها 2

18) إزاحة أفقية نحو اليسار مقدارها 3

إزاحة رأسية للأسفل مقدارها 5

19) تضييق أفقي بمعامل مقداره $\frac{1}{6}$

إزاحة أفقية نحو اليمين مقدارها $\pi$ 

إزاحة رأسية للأعلى مقدارها 9

---

عجلة دوّارة: تُمثِّل المعادلة: $h=25 \sin \frac{\mathrm{\pi }}{15}(t -7.5)+30$ الارتفاع عن سطح الأرض بالأقدام لشخص يركب في عجلة دوّارة، حيث t الزمن بالثواني:

20) أُمثِّل منحنى معادلة ارتفاع الشخص مع الزمن بيانيًّا.

21) ما أقصى ارتفاع للشخص وأدنى ارتفاع له عن سطح الأرض؟

الحل:

21) أقصى ارتفاع 55 قدمًا، أدنى ارتفاع 5 أقدام.

---

ضغط الدم: يزداد ضغط دم الإنسان في كل مرَّة ينبض فيها القلب، ثم ينخفض مع راحة القلب بين الضربات.

ويُمكِن نمذجة ضغط دم أحد الأشخاص باستعمال الاقتران: (p(t) = 115 +25 sin(160πt

حيث: (p(t ضغط الدم بوحدة mmHg ، و t الزمن بالدقائق:

22) أجد السعة، وطول الدورة، والتردُّد للاقتران .p

23) أُمثِّل منحنى الاقتران p بيانيًّا.

24) إذا كان هذا الشخص يمارس الرياضة، فكيف يُؤثِّر ذلك في طول الدورة والتردُّد للاقتران

الحل:

22) السعة = 25، طول الدورة = $\frac{1}{80}$ ، التردد = 80

24) يقل طول الدورة ويزيد التردد، لأنه مع ممارسة الرياضة فإن النبضات تصبح أسرع ويزداد ضغط الدم.

---

تبرير: أُميِّز الجملة الصحيحة من الجملة غير الصحيحة في ما يأتي، وأبرّر إجابتي:

25) كل اقتران جيب في صورة y = a₁ sin (b₁x - c₁)+d₁ يُكتَب بوصفه اقتران جيب تمام في صورة .y = a₂ cos (b₂x -c₂)+d₂

26) طول دورة الاقتران f(x) = cos 8x يساوي أربعة أضعاف طول دورة الاقتران $g\left(x\right)=\cos 2x$

الحل:

25) صحيحة، لأنه يمكن الحصول على منحنى اقتران الجيب بعمل إزاحة أفقية لمنحنى اقتران جيب التمام،والعكس صحيح.

26) غير صحيحة، لأن طول دورة الاقتران 𝑓 يساوي $\frac{\pi }{4}$ينما طول دورة الاقتران g يساوي $\mathrm{\pi }$

---

27) تحدٍّ: أستعمل التمثيل البياني المجاور لكتابة قاعدة اقتران في صورة: $y=a \tan bx$

28) تحدٍّ: أملأ الفراغ بما هو مناسب في ما يأتي لتصبح المعادلة صحيحة:

$\cos (-2x+6\pi )=\sin 2 (x+\mathrm{فراغ})$

الحل: