توزيع ذي الحدِّين
أتحقَّق من فهمي (صفحة 80)
أُبيِّن إذا كانت التجربة تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدَّين في كلٍّ ممّا يأتي:
a) إلقاء حجر نرد منتظم 20 مَرَّة، ثم كتابة عدد المَرَّات التي يظهر فيها العدد 1 على الوجه العلوي لحجر النرد.
الحل:
أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:
1- اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة ومُتكرِّرة وعددها 20 مَرَّة.
2- فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح(ظهور العدد 1) وفشل ( عدم ظهور العدد 1).
3- ثبات احتمال النجاح(ظهور العدد 1) في كل محاولة ويساوي .
4- وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة وعددها 20.
إذًا،تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين.
b) اختيار 7 طلبة عشوائيًا من صف روضة فيه 15 ولدًا و 10 بنات،ثم كتابة عدد البنات اللاتي وقع عليهن الاختيار .
الحل:
لا تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين بسبب عدم تحقيقها أحد الشروط. وهو: استقلالية المحاولات، لأن نتيجة اختيار أي طالب تتأثر بنتيجة اختيار الطالب السابق له (بسبب عدم الإرجاع)،أي أنْ المحاولات غير مستقلة.
أتحقَّق من فهمي (صفحة 82)
إذا كان:، فأجد كُلاً ممّا يأتي:
الحل:
a)
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
b)
مجموع احتمال الحوادث المتنافية |
|
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
C)
مجموع احتمال الحوادث المتنافية |
|
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
أتحقَّق من فهمي (صفحة 83)
طقس:في دراسة تناولت حالة الطقس مدَّة طويلة في إحدى المدن، تبيَّن أنَّ احتمال أنْ يكون أيُّ يوم فيها ماطرًا هو . إذا اختيرت أيام عشوائيًا، فأجد كُلاً ممّا يأتي:
a) احتمال أنْ تكون أيام فقط من هذه الأيام ماطرة.
b) احتمال أنْ يكون يوم واحد على الأقل من هذه الأيام ماطرًا.
الحل:
a) احتمال أنْ تكون أيام فقط من هذه الأيام ماطرة هو: .
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ تكون أيام فقط من هذه الأيام ماطرة هو: 0.119 تقريبًا.
b) احتمال أنْ يكون يوم واحد على الأقل من هذه الأيام ماطرًا هو: .
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ يكون يوم واحد على الأقل من هذه الأيام ماطرًا هو:
أتحقَّق من فهمي (صفحة 84)
اتصالات: بعد إجراء مسح لمشتركي إحدى شركات الاتصالات، تبيَّن أنَّ %30 من المشتركين هم من الإناث. إذا اختير 400 مشترك عشوائيًا لاستطلاع آرائهم حيال الخدمات التي تُقدِّمها الشركة، فأجد عدد الإناث المُتوقَّع في هذه العيِّنة.
الحل:
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، عدد الإناث المُتوقَّع في هذه العيِّنة 120.
أتحقَّق من فهمي (صفحة 85)
إذا كان: ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
a) التوقَّع
b) التباين
الحل:
a) التوقَّع
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
b) التباين
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط |
أتدرَّب وأحُلُّ المسائل (صفحة 86، 87)
أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدين في كلًّ ممّا يأتي:
1) إلقاء قطعة نقد 80 مَرَّة، ثم تسجيل عدد مَرّات ظهور الكتابة.
الحل:
أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:
1- اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة بسبب أن نتيجة إلقاء قطعة النقد لا تؤثر على نتيجة المحاولة اللاحقة، ومُتكرِّرة وعددها 80.
2- فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح(ظهور الكتابة) وفشل ( ظهور الصورة).
3- ثبات احتمال النجاح(ظهور الكتابة) في كل محاولة ويساوي.
4- وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة وعددها 80.
إذًا،تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين لأنها تحقق الشروط الأربعة.
2) إلقــاء حجر نرد منتظم 20 مَرَّة، ثم كتابة عدد المَـرّات التي ظهر فيها العدد 4 على الوجه العلوي لحجر النرد.
الحل:
أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:
1- اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة بسبب أن نتيجة إلقاء حجر النرد لا تؤثر على نتيجة المحاولة اللاحقة، ومُتكرِّرة وعددها 20.
2- فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح(ظهور العدد 4) وفشل (عدم ظهور العدد 4).
3- ثبات احتمال النجاح(ظهور العدد 4) في كل محاولة ويساوي .
4- وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة وعددها 20.
إذًا،تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين لأنها تحقق الشروط الأربعة.
3) إطلاق أسهم بشكل مُتكرِّر نحو هدف، ثم التوقُّف عند إصابته أوَّل مَرَّة.
الحل:
بما أن عدد المحاولات في هذه التجربة غير محدد، فإن التجربة لا تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدَّين.
4) إذا كان متغيراً عشوائياً ذا حدَّين، وكان معاملاه: ، فأُعبِّر عن هذا المُتغيِّر بالرموز.
الحل:
***إذا كان: ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي، مُقربًا إجابتي إلى أقرب منازل عشرية.
5)
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
6)
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
7)
الحل:
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين |
|
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
***إذا كان: ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
8)
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط |
9)
الحل:
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط |
10)
الحل:
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط |
مساجد: بعد إجراء مسح للمُصلّين في أحد مساجد العاصمة عمّان، تبيَّن أنَّ %60 من هؤلاء المُصلّين تقلُّ أعمارهم عن 50 عامًا. إذا اختير 12 مُصلّيًا من مرتادي هذا المسجد عشوائيًا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
11) احتمال أنْ تقلَّ أعمار 7 منهم فقط عن 50 عامًا.
12) احتمال أنْ يقلَّ عُمُر اثنين منهم على الأكثر عن 50 عامًا.
الحل:
إذا دل المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين على عدد رواد المسجد الذين تقلُّ أعمارهم عن 50 عامًا، فإن:
11) احتمال أنْ تقلَّ أعمار 7 منهم فقط عن 50 عامًا هو: .
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ تقلَّ أعمار 7 منهم فقط عن 50 عامًا هو:0.227 تقريبًا.
12) احتمال أنْ يقلَّ عُمُر اثنين منهم على الأكثر عن 50 عامًا هو: .
مجموع احتمال الحوادث المتنافية |
|
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين |
|
التبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا،احتمال أنْ يقلَّ عُمُر اثنين منهم على الأكثر عن 50 عامًا 0.003 تقريبًا.
***أجد التوقُّع والتباين لكل مُتغيِّر عشوائي ممّا يأتي:
الحل:
13)
أجد التوقُّع
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
أجد التباين
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
14)
أجد التوقُّع
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
أجد التباين
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
*** إذا كان احتمال إصابة شخص ما بأعراض جانبية بعد أخذه مطعومًا مُعيَّنًا هو %12، وقرَّر طبيب إعطاء 50 شخصًا هذا المطعوم، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي على عدد الأشخاص الذين ستظهر عليهم الأعراض الجانبية، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
15) احتمال ظهور الأعراض الجانبية على 3 أشخاص فقط ممَّن أخذوا المطعوم.
16) العدد المُتوقَّع للأشخاص الذين ستظهر عليهم أعراض المطعوم الجانبية.
17) التباين للمُتغيِّر العشوائي .
الحل:
إذا دل المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين على عدد الأشخاص الذين ستظهر عليهم الأعراض الجانبية، فإن:.
15) احتمال ظهور الأعراض الجانبية على 3 أشخاص فقط ممَّن أخذوا المطعوم هو:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال ظهور الأعراض الجانبية على 3 أشخاص فقط ممَّن أخذوا المطعوم هو: 0.083 تقريبًا.
16)العدد المُتوقَّع للأشخاص الذين ستظهر عليهم أعراض المطعوم الجانبية. هو
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، العدد المُتوقَّع للأشخاص الذين ستظهر عليهم أعراض المطعوم الجانبية 6
17) التباين للمتغير العشوائي هو:
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، التباين للمُتغيِّر العشوائي هو: 5.28
18) فصيلة الدم:تبلغ نسبة حاملي فصيلة الدم من سكّان الأردن نحو %4 تقريبًا. أجد عدد الأشخاص الذين يَلزم إشراكهم في عيِّنة عشوائية من السكّان، ويُتوقَّع أنْ يكون منهم 10 أشخاص من حاملي فصيلة الدم .
الحل:
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض معطى | |
بالتبسيط |
إذًا، عدد الأشخاص الذين يَلزم إشراكهم في عيِّنة عشوائية من السكّان هو:250 شخصًا.
مهارات التفكير العليا
19) تبرير: إذا كان: ، وكان: ، فأجد ، مُبرِّرًا إجابتي.
الحل:
أجد قيمة
احتمال المتممة | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط
|
أجد
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
20) تبرير: إذا كان: ، وكان التباين للمتغير العشوائي هو 24، فأجد قيمة ، مُبرِّرًا إجابتي.
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط وحل المعادلة الناتجة |
21) تحدًّ: يتألَّف اختبار لمبحث الجغرافيا من 25 سؤالاً، جميعها من نوع الاختيار من مُتعدِّد، ولكلٍّ منها 4 بدائل، واحدة منها فقط صحيحة، ولكل فقرة 4 علامات. إذا أجاب رامي عن هذه الأسئلة جميعها بصورة عشوائية، فما احتمال أنْ يحصل على علامة 76 من 100؟
الحل:
احتمال الإجابة عن أي سؤال هو لأن السؤال يتكون من أربعة اختيارات
إذًا، ، وتمثل عدد الأسئلة
حتى يحصل رامي على علامة 76 يجب أن يجيب بشكل صحيح على عدد من الأسئلة وعددها:
حيث 4 علامة السؤال، 76 علامة رامي
المطلوب: إيجاد
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ يحصل على علامة 76 من 100هو: 0.000000115 تقريبًا.
كتاب التمارين (صفحة 18)
*** إذا كان: ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
الحل:
1)
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
2)
مجموع احتمال الحوادث المتنافية |
|
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة | |
(ملاحظة: الإجابة المعتمدة من قبل المركز الوطني لتطوير المناهج اكتفت بحل السؤال إلى الخطوة: |
3)
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
*** يُمثِّل الشكل المجاور قرصًا على شكل خماسي منتظم. إذا دُوِّر مُؤشِّر القرص 10 مَرّات، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي على عدد مَرّات توقُّف المُؤشِّر على الحرف A، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
4) احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات فقط.
5) احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات على الأقل.
6) احتمال ألا يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A نهائيًا.
الحل:
بما أن مُتغيِّر عشوائي ذو حدين يدل على عدد مَرّات توقُّف المُؤشِّر على الحرف A، فإن
4)احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات فقط هو:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا،احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات فقط هو: 0.215 تقريبًا
5) احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات على الأقل هو .
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A ثلاث مَرّات على الأقل هو: 0.833 تقريبًا.
6) احتمال أنْ ألا يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A نهائيًا هو: .
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال ألا يتوقَّف المُؤشِّر على الحرف A نهائيًا هو: 0.006 تقريبًا.
***طيران: يواجه الطيّارون صعوبة في الرؤيا باحتمال 0.25 عند الهبوط بالطائرات في أحد المطارات خلال فصل الشتاء بسبب سوء الأحوال الجوية. إذا هبط طيّار 20 مَرَّة في هذا المطار شتاءً، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
7) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات فقط.
8) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات على الأقل.
9) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في المَرّات جميعها.
10) العدد المُتوقَّع من المَرّات التي سيواجه فيها الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط.
الحل:
في هذه التجربة تُمثِّل مُتغيِّرًا عشوائيًا ذى حدّين، حيث
7) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات فقط هو: .
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا،احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات فقط هو: 0.134 تقريبًا.
8) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات على الأقل هو: .
مجموع احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
إذًا،احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في ثلاث مَرّات على الأقل هو: 0.909 تقريبًا.
9) احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في المَرّات جميعها هو: .
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط باستخدام الحاسبة |
إذًا، احتمال أنْ يواجه الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط في المَرّات جميعها هو: تقريبًا
10) العدد المُتوقَّع من المَرّات التي سيواجه فيها الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط.
صيغة توقُّع المُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، العدد المُتوقَّع من المَرّات التي سيواجه فيها الطيّار صعوبة في الرؤيا خلال الهبوط هو: 5
*** أجد التوقُّع والتباين لكلٍّ من المُتغيِّرات العشوائية الآتية:
الحل:
12)
أجد التوقُّع
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
أجد التباين
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
14)
أجد التوقُّع
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
أجد التباين
صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
14) أمراض: وَفقًا لدراسة طبية، فإنَّ %9 من البالغين حول العالَم مصابون بمرض السُكَّري. إذا اختيرت عيِّنة عشوائية من البالغين تضمُّ 12000 شخص، فما العدد المُتوقَّع من المصابين بمرض السُكَّري في هذه العيِّنة؟
الحل:
إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي على عدد المصابين بمرض السُكَّري في هذه العيِّنة، فإن:
أجد التوقَّع
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، العدد المُتوقَّع من المصابين بمرض السُكَّري في هذه العيِّنة 1080 شخص.