حالات خاصة من التحليل - الشرح - الصف الثامن - رياضيات فصل أول - مدرسة جواكاديمي

حالات خاصة من التحليل

تعلمت سابقا كيفية ضرب مقدارين جبريين على صورة $(a - b) (a + b)$

حيث يكون الناتج دائما فرقا بين مربعين على صورة $a^{2} - b^{2}$ .

ولتحليل الفرق بين مربعين يمكن اتباع خطوات عكسية لعملية ضرب مجموع حديين في الفرق بينهما .

مثال 1 : أحلل كل مما يأتي :

$1) x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)$

$2) 4 y^{2} - 9 z^{2} = {(2 y)}^{2} - {(3 z)}^{2} = (2 y - 3 z) (2 y + 3 z)$

أتعلم :

يحتاج تحليل بعض المقادير الجبرية إلى إجراء خطوتين مثل إخراج العامل المشترك الأكبر للحدود جميعها

ثم تحليل ما تبقى من المقدار باستعمال قاعدة تحليل فرق بين مربعين.

مثال 2 : أحلل كل مما يأتي :

$1) 27 x y^{3} - 3 x y = 3 x y (9 y^{2} - 1) = 3 x y (3 y - 1) (3 y + 1)$

$2) y^{4} - 1 = {(y^{2})}^{2} - {(1)}^{2} = (y^{2} - 1) (y^{2} + 1) = (y - 1) (y + 1) (y^{2} + 1)$

$3) 2 b^{2} - 18 + a b^{2} - 9 a = (2 b^{2} - 18) + (a b^{2} - 9 a) = 2 (b^{2} - 9) + a (b^{2} - 9) = (b^{2} - 9) (2 + a) = (b - 3) (b + 3) (2 + a)$

مثال 3 :

هندسة معمارية : يبين الشكل المجاور غرفة جلوس في منزل رغد ، اكتب مقدارا جبريا يمثل مساحة الغرفة ثم أحلله.

ملاحظة :

:1- مساحة المربع : $A 1 = S^{2}$

2- مساحة المثلث : $A 2 = \frac{1}{2} * b * h$

لإيجاد مساحة الغرفة ، وهي المنطقة باللون الوردي ، نقوم بطرح مساحة المثلث من مساحة المربع فنحصل على المنطقة المتبقية :

$A 1 - A 2 = S^{2} - \frac{1}{2} b h = 5^{2} - \frac{1}{2} * (\sqrt{2} x) (\sqrt{2} x) = 25 - \frac{1}{2} * 2 * x^{2} = 25 - x^{2} = (5 - x) (5 + x) m^{2}$

أتعلم :

تعلمت سابقا أن أعدادا مثل 64 ,49 ,25 تسمى مربعات كاملة؛ لأن كلا منها يساوي ناتجاً ضرب عدداً في نفسه :

$64 = 8 \times 8 = 8^{2}$ $49 = 7 \times 7 = 7^{2}$ $25 = 5 \times 5 = 5^{2}$

ويعد المقدار الجبري الذي على صورة ${(a + b)}^{2}$ مربعا كاملا أيضا؛ لأنه يساوي ناتج ضرب (a + b) في نفسه.

وتعلم في الدرس الأول من هذه الوحدة أن تبسيط (a + b) و (a - b) يتبع قاعدة ثابتة، وأن النتيجة تكون دائما مقدارا جبريا يحتوي ثلاثة حدود كما يأتي:

${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

يسمى ناتج الضرب في كل من الحالتين أعلاه مربعا كاملا ثلاثي الحدود ؛ لأنه ينتج من ضرب مقدار جبري في نفسه

ويمكن بطريقة عكسية تحليل أي ثلاثي حدود على صورة $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ إن كان يمثل مربعا كاملا إذا حقق الشروط الثلاثة الآتية:

مثال 4 : أحدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود مما يأتي تمثل مربعا كاملا أم لا وإذا كانت تمثله فأحللها .

$1) x^{2} + 6 x + 9$

يمكن أن نحدد ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً باختبار الحدود الثلاثة كالتالي :

1- هل الحد الاول مربع كامل ؟ نعم

2-هل الحد الأخير مربع كامل ؟ نعم

3- هل الحد الأوسط يساوي $2 * x * 3$ ؟ نعم

إذا الثلاثية تمثل مريعا كاملاً وتمثيلها كالتالي :

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3) (x + 3)$

$2) x^{2} + 2 x + 16$

يمكن أن نحدد ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً باختبار الحدود الثلاثة كالتالي :

1- هل الحد الاول مربع كامل ؟ نعم

2-هل الحد الأخير مربع كامل ؟ نعم

3- هل الحد الأوسط يساوي $2 * x * 4$ ؟ لا

إذا الثلاثية الحدود ، لا تمثل مريعا كاملاً .

أتعلم :

حين لا تساوي قيمة المعامل المشترك الأكبر للحدود والمقدار الجبري 1 فإن من الأسهل البدء بإخراج العامل المشترك الأكبر

ثم اختيار طريقة تحليل مناسبة بحسب الترتيب المبين في الجدول الآتي :

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS