حجم الكرة ومساحة سطحها - حل اسئلة الدرس - الصف الثامن - رياضيات فصل ثاني - مدرسة جواكاديمي

أتحققُ من فهمي 1 : أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ ممّا يأتي، وأقربُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $= 4 π {(6)}^{2} = 144 π$

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة. $π \approx 3.14$ وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 452.4

نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 30 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 15
1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $= 4 π {(15)}^{2} = 900 π$

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة $π \approx 3.14$

وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 2827.4

أتحققُ من فهمي 2 : أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ المجاورةِ إذا علمْتُ أنَّ مساحةَ سطحِها $20.25 π m^{2}$ ، وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة .

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة مساحة سطح الكرة $20.25 π = 4 {πr}^{2}$

3- بقسمة طرفي المعادلة على $4 π$ فتصبح المعادلة : $r^{2} = 5.06$

4-وبأخذ الجذر للطرفين لإيجاد قيمة r فينتج إجابتين لطول نصف القطر $r = \pm 2.25$

ولأنه لا يوجد طول بالسالب ، فإن الإجابة السالبة ستهمل .
5- نضرب نصف القطر ب 2 لنجد طول القطر ، وعليه فإن طول القطر سيكون 4.5

أتحققُ من فهمي 3 : كرةٌ: يبلغُ محيطُ كرةٍ بلاستيكيةٍ 60cm أجدُ مساحةَ سطحِها التقريبيةَ مقربًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ.

سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر كالتالي :
$= 2 πr 60 = 2 πr r = 9.5$

ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة .

$S . A = 4 {πr}^{2} = 4 π {9.5)}^{2} \approx 1134.1$

أتحققُ من فهمي 4 : أجد حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ:

نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 6 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 3 .

نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 3.

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(3)}^{3}) = 36 π = 113$

نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 6

$V = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(6)}^{3}) = 144 π = 452$ .

أتحققُ من فهمي 5 : أجد حجمَ المجسّمِ المجاورِ، المكوّنِ مِنْ مخروطٍ ارتفاعُهُ 12cm يعلوهُ نصفُ كرةٍ طولُ نصف قطرها 6cm ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ مئة .

ملاحظة هامة : حجم المخروط = $\frac{1}{3} {πr}^{2} h$ : حيث h الارتفاع.

بما أن المجسم يتكون من مخروط + نصف كرة ،فإننا سنجد حجم النصف كرة ونجمعه مع حجم الأسطوانة كما يلي :

$V = V 1 + V 2 = \frac{1}{3} {πr}^{2} h + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{3} π {(6)}^{2} (12) + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(6)}^{3} = 144 π + 144 π = 288 π \approx 904.7$

أتدرب وأحل مسائل :

أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة.

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $= 4 π {(7.5)}^{2} = 225 π = 706.9$

نلاحظ أن المعطى هو القطر ويساوي 18.3 ، وعليه فإن نصف القطر يساوي 9.15

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $= 4 π {19.15)}^{2} = 334.9 π = 1052.1$

1- نكتب قانون مساحة نصف سطح الكرة : $S . A = \frac{1}{2} (4 π r^{2})$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $= \frac{1}{2} (4 π {(3)}^{2}) = 18 π = 56.5$

سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر كما يلي : $C = 2 π r 4 π = 2 π r r = 2$

ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة . $S . A = 4 {πr}^{2} = 4 π {(2)}^{2} \approx 50.3$

أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ في كلٍّ مِنَ الحالاتِ الآتيةِ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:

5) كرةٌ مساحةُ سطحها $c m^{2}$ 200

الحل:

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

2-نعوض قيمة مساحة سطح الكرة : $200 = 4 π r^{2}$

3- بقسمة طرفي المعادلة على $4 π$ فتصبح المعادلة : $r^{2} = 15.9$

4- بأخذ جذر للطرفين نستنتج أن قيمة نصف القطر $\approx 4$

وعليه سيكون طول القطر يساوي 8

6) كرةٌ حجمُها $c m^{3}$ 200

الحل:

نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض الحجم 200

$V = \frac{4}{3} {πr}^{3} 200 = \frac{4}{3} {πr}^{3} (\frac{3}{4 π} بـ نضرب الطرفين) r^{3} = 47.7 (للطرفين التكعيبي الجئر نأخذ) r = 3.63$

وعلبه فإن طول القطر سيساوي 7.3

7) كرةٌ حجمُها $m^{3}$ 50 .

الحل:

نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض الحجم 50

$V = \frac{4}{3} {πr}^{3} 50 = \frac{4}{3} {πr}^{3} (\frac{3}{4 π} بـ نضرب الطرفين) r^{3} = 11.9 (للطرفين التكعيبي الجئر نأخذ) r = 2.3$

وعلبه فإن طول القطر سيساوي 4.6

أجدُ حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ

8) نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 9

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(9)}^{3}) = 972 π = 3054$

9) نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 5

$V = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(5)}^{3}) = 83.3 π = 262$

10) نستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر كما يلي :

$C = 2 π r 20 π = 2 π r r = 10$

ثم نستخدم قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 10 على النحو التالي :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(10)}^{3}) = 133.3 π = 4189$

11) نلاحظ أن المعطى هو القطر ويساوي 14 وبالتالي نصف القطر يساوي 7

الآن نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 7

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(7)}^{3}) = 457.3 π = 1437$

ألعابٌ: يتكوّنُ الجزءُ العُلويُّ مِنْ لعبةِ الغزلِ المجاورةِ مِنْ مخروطٍ ونصفِ كرةٍ. أجدُ بدلالة $π$

12) حجمَ لعبةِ الغزلِ.

13)المساحةَ الكلّيّةَ لسطحِ لعبةِ الغزلِ.

الحل :

12) لاحظ في البداية أننا لا نعلم ارتفاع المخروط ، لكن بما أن المخروط الدائري قائم فإنه يمكننا إيجاد ارتفاع المخروط باستخدام فيثاغورس . $10^{2} = 6^{2} + h^{2} 64 = h^{2} h = 8$

و بما أن المجسم يتكون من مخروط + نصف كرة ،فإننا سنجد حجم النصف كرة ونجمعه مع حجم المخروط كما يلي :

$V = V 1 + V 2 = \frac{1}{3} {πr}^{2} h + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{3} π {(6)}^{2} (8) + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(6)}^{3} = 96 π + 144 π = 240 π = 754$

13) معلومة : مساحة سطح المخروط القائم الجانبية : $πrl$ حيث l هو الارتفاع المائل أو ما يسمى بالراسم.

ولحل السؤال نجمع المساحة الجانبية لسطح المخروط القائم مع مساحة سطح نصف الكرة كالتالي :

$= \frac{1}{2} (4 π r^{2}) + πrl = 72 π + 6 π * 10 = 132 π$

14) كرةٌ معدِنيةٌ طولُ نصفِ قُطرِها 15cm ، صُهِرَتْ وأُعيدَ تشكيلُها لأُسطوانةٍ طولُ نصف قطرها 6cm ، أجدُ ارتفاعَ الأُسطوانة .

ملحوظة هامة :
قانون حجم الأسطوانة : ${πr}^{2} h$

الحل:

بما أن الكرة قد أعيد تشكيلها إلى أسطوانة فإن حجمها يساوي حجم الأسطوانة ، لذلك سنكوّن معادلة نساوي فيها الحجمين لنجد قيمة h

${πr}^{2} h = \frac{4}{3} {πr}^{3} π 6^{2} h = \frac{4}{3} π 15^{3} 36 πh = 4500 π h = 125 cm$

15) مكعبٌ طولُ ضلعِهِ 5cm ، يحتوي نصفَ كرةٍ مفرغةٍ طولُ نصفِ قُطرِها 2.5cm ، أجد حجمَ الجزءِ المتبقّي مِنَ المكعبِ مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ.

ملاحظة : حجم المكعب = $s^{3}$

الحل :
بما أن نصف الكرة منحوتة داخل المكعب فسنطرح حجم نصف الكرة من حجم المكعب

$V = V 1 - V 2 = s^{3} - \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = 125 - \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(2.5)}^{3}) = 125 - \frac{25}{6} π \approx 92$

16) تبريرٌ: كرةٌ طولُ نصفِ قُطرِها 5cm ، ومخروطٌ طولُ نصفِ قُطرِ قاعدتِهِ 8cm ، إذا كانَ حجمُ الكرةِ وحجمُ المخروطِ متساويَينِ، فأجدُ ارتفاعَ المخروطِ، مبرّرًا إجابتي.

الحل :
سنكوّن معادلة نساوي فيها الحجمين لنجد قيمة h

$\frac{1}{3} {πr}^{2} h = \frac{4}{3} {πr}^{3} \frac{1}{3} (π 8^{2} h) = \frac{4}{3} π 5^{3} \frac{1}{3} (64 πh) = \frac{500}{3} π h = 7.8 cm$

17) تحدٍّ: تصنعُ شركةٌ كراتٍ صغيرةً مِنَ الفولاذِ المقاومِ للصدأِ (سْتيل) لعجلاتِ الأحذيةِ طولُ قُطرِ كُلِّ مِنْها 4mm ، أجد عددَ الكراتِ الصغيرةِ الّتي يمكنُ للشركةِ تصنيعُها مِنْ 1 مترًا مكعبًا مِنَ (سْتيل).

الحل :

نجد حجم الكرة الصغيرة الواحدة ، محولاً المليمتر إلى متر :
$V = \frac{4}{3} {πr}^{3} = \frac{4}{3} π {(0.002)}^{3} = 0.0000000335103$

هذا هو حجم الكرة الواحدة بوحدة المتر ، وإذا أردنا معرفة كم كرة يمكن أن نصنع من المتر المكعب الواحد نقوم بالقسم على 1

$\frac{1}{0.0000000335103} = 298415551$

إذن عدد الكرات التي يمكن صنعها من 1 متر مكعب تساوي $298415551$

18) تحدٍّ: كرةٌ طولُ قُطرِها 10cm ، نُحِتَتْ مِنْ مكعبٍ خشبيٍّ طولُ ضلعِهِ 10cm ، أحسبُ النسبةَ المئويةَ لكمّيّةِ الخشبِ المهدور

نطرح حجم الكرة من حجم المكعب كالتالي :

$V = V 1 - V 2 = s^{3} - (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = 1000 - (\frac{4}{3} π {(5)}^{3}) = 125 - \frac{25}{6} = 476.4$
إذن ، حجم الخشب المهدور يساوي 476.4

ثم نجد نسبة حجم الخشبة المهدور إلى حجم المكعب كالتالي:

$\frac{476.4}{1000} \times 100 % = 47.6 %$

19) أكتب : كيفَ أجدُ مساحةَ سطحِ كُرةٍ وحجمَها إذا علمْتُ طولَ نصفِ قُطرِها؟

باستخدام القوانين التالية :

قانون حجم الكرة : $V = \frac{4}{3} {πr}^{3}$

قانون مساحة سطح الكرة : $S . A = 4 π r^{2}$

أسئلة كتاب التمارين :

أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ الكرةِ وحجمَها ممّا يأتي. أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:

مساحة سطحها :

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 1^{2} = 12.5$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(1)}^{3}) = 4.2$

مساحة سطحها :

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 3^{2} = 113.1$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(3)}^{3}) = 113.1$

مساحة سطحها :

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 9^{2} = 1017.9$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(9)}^{3}) = 3053.6$

في البداية نجد نصف قطر الكرة باستخدام قانون محيط الدائرة :
$C = 2 π r 7 π = 2 π r r = 3.5$

الآن نجد مساحة سطحها :

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 3 . 5^{2} = 153.9$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(3.5)}^{3}) = 179.6$

نجد مساحة سطح نصف الكرة :

$S . A = \frac{1}{2} (4 π r^{2}) = \frac{1}{2} (4 π 15^{2}) = 1413.4$

حجم نصف الكرة :

$V = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(15)}^{3}) = 7068.6$

نجد مساحة سطح نصف الكرة :

$S . A = \frac{1}{2} (4 π r^{2}) = \frac{1}{2} (4 π 9^{2}) = 508.9$

حجم نصف الكرة :

$V = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(9)}^{3}) = 1526.8$

أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ وحجمَها ممّا يأتي بدلالةِ $π$

7) كرةٌ نصفُ قُطرِها 13cm

الحل :

مساحة سطحها

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 13^{2} = 676 π$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(13)}^{3}) = 2929.3 π$

8) كرةٌ محيطُها 30cm

نجد نصف القطر باستخدام قانون محيط الدائرة

$C = 2 π r 30 = 2 π r r = 4.78$

الآن يمكننا إيجاد مساحة سطح الكرة وحجمها :

مساحة سطحها :

$S . A = 4 π r^{2} = 4 π 4 . 78^{2} = 91.2 π$

حجمها :

$V = (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = (\frac{4}{3} π {(4.78)}^{3}) = 145.6 π$

9) لعبةٌ: لعبةٌ مِنَ البلاستيكِ على شكلِ نصفِ كرةٍ مجوّفةٍ مِنَ الداخلِ كَما في الشكلِ المجاورِ. أجدُ كمّيّةَ البلاستيكِ اللازمةَ لصنعِ الكرةِ.

للإيجاد كمية البلاستيك الزمة لصنع اللعبة ، سنقوم بطرح حجم نصف الكرة الصغيرة من حجم نصف الكرة الكبيرة .كالتالي :

$V = V 1 - V 2 = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) - \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(2.5)}^{3}) - \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(2)}^{3}) \approx 16$

أجدُ حجمَ كلِّ مجسّمٍ ممّا يأتي:

بما أن المجسم يتكون من اسطوانة + نصفي كرة ،فإننا سنجد حجم كرة كاملة ونجمعه مع حجم الأسطوانة كما يلي :

$V = V 1 + V 2 = {πr}^{2} h + (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = π {(6)}^{2} (12) + (\frac{4}{3} π {(6)}^{3}) = 4324 π + 288 π = 720 π = 2262$

بما أن المجسم يتكون من اسطوانة + نصف كرة ،فإننا سنجد حجم نصف كرة ونجمعه مع حجم الأسطوانة كما يلي :

$V = V 1 + V 2 = {πr}^{2} h + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = π {(10)}^{2} (18) + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(10)}^{3}) = 1800 π + \frac{2000}{3} π = 7749.3$

بما أن المجسم يتكون من مخروط+ نصف كرة ،فإننا سنجد حجم نصف كرة ونجمعه مع حجم الأسطوانة كما يلي :

في البداية نجد ارتفاع المخروط باستخدام فيثاغورس .

$5^{2} = 3^{2} + h^{2} 25 - 9 = h^{2} 16 = h^{2} h = 4$

ثم نجد حجم نصف الكرة + حجمم المخروط كالتالي:

$V = V 1 + V 2 = \frac{1}{3} {πr}^{2} h + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} {πr}^{3}) = \frac{1}{3} π {(3)}^{2} (4) + \frac{1}{2} (\frac{4}{3} π {(3)}^{3}) = 12 π + 18 π = 30 π = 94.2$

رياضيات فصل ثاني

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS