رياضيات فصل ثاني

الثامن

icon

أتحققُ من فهمي 1 :  أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ ممّا يأتي، وأقربُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ: 
 

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : S.A=4πr2

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم :  =4π(6)2=144π

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة. π3.14  وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 452.4

 

 


 

نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 30 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 15 
1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : S.A=4πr2

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : =4π(15)2=900π

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة π3.14

 وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 2827.4


أتحققُ من فهمي 2 : أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ المجاورةِ إذا علمْتُ أنَّ مساحةَ سطحِها 20.25π m2 ، وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة .

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : S.A= 4πr2

2-نعوض قيمة  مساحة سطح الكرة 20.25π=4πr2

3- بقسمة طرفي المعادلة على 4π فتصبح المعادلة :  r2=5.06

4-وبأخذ الجذر للطرفين لإيجاد قيمة r   فينتج إجابتين لطول نصف القطر  r=±2.25

ولأنه لا يوجد طول بالسالب ، فإن الإجابة السالبة ستهمل .
5- نضرب نصف القطر ب 2 لنجد طول القطر ، وعليه فإن طول القطر سيكون 4.5

 


أتحققُ من فهمي 3 : كرةٌ: يبلغُ محيطُ كرةٍ بلاستيكيةٍ 60cm  أجدُ مساحةَ سطحِها التقريبيةَ مقربًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ.

 سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر  كالتالي :
 =2πr

 60 =2πr r  =9.5

 

 ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة .

S.A=4πr2=4π(9.5)2 1134.1 


أتحققُ من فهمي 4 : أجد حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ:


نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 6 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 3 .

نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 3.

V=43πr3=43π(3)3 =36π=113

 

نكتب قانون حجم  نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 6

V=12(43πr3)                                       

=12(43π(6)3 )=144π=452.

 


أتحققُ من فهمي 5 : أجد حجمَ المجسّمِ المجاورِ، المكوّنِ مِنْ مخروطٍ ارتفاعُهُ 12cm يعلوهُ نصفُ كرةٍ طولُ نصف قطرها 6cm  ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ مئة .

ملاحظة هامة  :   حجم المخروط 13πr2h : حيث   h الارتفاع.
 

بما أن المجسم يتكون من مخروط + نصف كرة ،فإننا سنجد حجم النصف كرة ونجمعه مع حجم الأسطوانة  كما يلي :

                                                              V=V1+ V2 

                                      =13πr2h +12(43πr3)

                  =13π(6)2(12) +12(43π( 6)3  

                =144π +144π=288π904.7


                    


أتدرب وأحل مسائل :

أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة.
 

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :  S.A= 4πr2

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : =4π(7.5)2=225π=706.9

 

 

نلاحظ أن المعطى هو القطر ويساوي 18.3 ، وعليه فإن نصف القطر يساوي 9.15

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : S.A=4πr2

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : =4π(19.15)2=334.9π=1052.1

 

 

1- نكتب قانون مساحة نصف سطح الكرة :  S.A=12(4πr2)

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم :=12×4π(3)2=18π=56.5

 

 

سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر  كما يلي : C=2πr4π=2πrr=2

 ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة S.A=4πr2=4π(2)250.3


أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ في كلٍّ مِنَ الحالاتِ الآتيةِ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:

5) كرةٌ مساحةُ سطحهاcm2 200 

الحل: 

 1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :  S.A=4πr2

2-نعوض قيمة  مساحة سطح الكرة : 200=4πr2

3- بقسمة طرفي المعادلة على 4π فتصبح المعادلة : r2=15.9

4- بأخذ جذر للطرفين نستنتج أن قيمة نصف القطر  4

وعليه سيكون طول القطر يساوي


6) كرةٌ حجمُها  cm3200 

الحل: 

نكتب قانون حجم  نصف الكرة ثم نعوض الحجم 200 

    V=43πr3                                                             

200=43πr3( 34πبـ  نضرب الطرفين )     

  r3=47.7 (للطرفين التكعيبي الجئر نأخذ)    

r=3.63                                                                      

وعليه فإن طول القطر سيساوي 7.3 


7) كرةٌ حجمُها m350 .

الحل:

نكتب قانون حجم  نصف الكرة ثم نعوض الحجم 50  

                                                               V=43πr3

     50=43πr3 (34πبـ  نضرب الطرفين)  

 r3=11.9 (للطرفين التكعيبي الجئر نأخذ )

                                                                                r=2.3

 

وعلبه فإن طول القطر سيساوي 4.6
 


أجدُ حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ 

8) نكتب قانون حجم  الكرة ثم نعوض نصف القطر 9

V=43πr3=43π(9)3=972π=3054

 

9)  نكتب قانون حجم  نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 5

                                                   V=12×43πr3

            =12×43π(5)3=83.3π=262

 

 

10) نستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر  كما يلي : 

             C=2πr=20π=2πrr=10

ثم نستخدم  قانون حجم   الكرة ثم نعوض نصف القطر 10 على النحو التالي :

        V=43πr3=43π(10)3=133.3π=4189

11) نلاحظ أن المعطى هو القطر ويساوي 14 وبالتالي نصف القطر يساوي 7                                                                                                                                           

الآن  نكتب قانون حجم  الكرة ثم نعوض نصف القطر 7 

      V=43πr3=43π(7)3=457.3π=1437


ألعابٌ: يتكوّنُ الجزءُ العُلويُّ مِنْ لعبةِ الغزلِ المجاورةِ  مِنْ مخروطٍ ونصفِ كرةٍ. أجدُ بدلالة π   

12) حجمَ لعبةِ الغزلِ. 

13)المساحةَ الكلّيّةَ لسطحِ لعبةِ الغزلِ.

 

 

الحل :

12)  لاحظ في البداية أننا لا نعلم ارتفاع المخروط ، لكن بما أن المخروط الدائري قائم فإنه يمكننا إيجاد ارتفاع المخروط باستخدام فيثاغورس .  102=62+h2

                                                                                                                                                                                                                                               64=h2

                                                                                                                                                                                                                                                 h=8


و بما أن المجسم يتكون من مخروط + نصف كرة ،فإننا سنجد حجم النصف كرة ونجمعه مع حجم المخروط كما يلي :

 

                                                                             V=V1+V2

                                                  =13πr2h +12(43πr3)

                                 =13π(6)2(8) +12(43π( 6)3  

                                    =96π+144π=240π=754

 

13) معلومة : مساحة سطح المخروط القائم الجانبية  : πrl حيث l هو الارتفاع المائل أو ما يسمى بالراسم.

ولحل السؤال نجمع المساحة الجانبية لسطح المخروط القائم مع مساحة سطح نصف الكرة كالتالي :

                                                                 =12(4πr2 )+ πrl

                                                 =72π+ 6π×10=132π


14) كرةٌ معدِنيةٌ طولُ نصفِ قُطرِها 15cm ، صُهِرَتْ وأُعيدَ تشكيلُها لأُسطوانةٍ طولُ نصف قطرها 6cm ، أجدُ ارتفاعَ الأُسطوانة .

ملحوظة هامة :
قانون حجم الأسطوانة :  πr2h

 

الحل:

بما أن الكرة قد أعيد تشكيلها إلى أسطوانة فإن حجمها يساوي حجم الأسطوانة ، لذلك سنكوّن معادلة نساوي فيها الحجمين لنجد قيمة h

                                            πr2h=43πr3

                                         π62h=43π153

                                           36πh=4500π

                                             h=125cm


15) مكعبٌ طولُ ضلعِهِ 5cm ، يحتوي نصفَ كرةٍ مفرغةٍ طولُ نصفِ قُطرِها 2.5cm ، أجد حجمَ الجزءِ المتبقّي مِنَ المكعبِ مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ. 

ملاحظة : حجم المكعب s3

 الحل :
بما أن نصف الكرة منحوتة داخل المكعب فسنطرح حجم نصف الكرة من حجم المكعب 

                                                       V=V1-V2 

                                       =s3-12×43πr3   

                         =125-12×43π( 2.5)3   

                                   =125-256π92


16) تبريرٌ:  كرةٌ طولُ نصفِ قُطرِها 5cm  ، ومخروطٌ طولُ نصفِ قُطرِ قاعدتِهِ 8cm ، إذا كانَ حجمُ الكرةِ وحجمُ المخروطِ متساويَينِ، فأجدُ ارتفاعَ المخروطِ، مبرّرًا إجابتي.

الحل :
 سنكوّن معادلة نساوي فيها الحجمين لنجد قيمة h 

                    13πr2h =43πr3

                 13(π82h)= 43π53

                 13(64πh)=5003π

                      h=7.8cm


17) تحدٍّ: تصنعُ شركةٌ كراتٍ صغيرةً مِنَ الفولاذِ المقاومِ للصدأِ (سْتيل) لعجلاتِ الأحذيةِ طولُ قُطرِ كُلِّ مِنْها  4mm ، أجد عددَ الكراتِ الصغيرةِ الّتي يمكنُ للشركةِ تصنيعُها مِنْ 1  مترًا مكعبًا مِنَ (سْتيل).

الحل : 

نجد حجم الكرة الصغيرة الواحدة ، محولاً المليمتر إلى متر :
                                                                 V=43πr3

   =43π(0.002)3=0.0000000335103

هذا هو حجم الكرة الواحدة بوحدة المتر ، وإذا أردنا معرفة كم كرة يمكن أن نصنع من المتر المكعب الواحد نقوم بالقسم على 1

10.0000000335103 =298415551

إذن عدد الكرات التي يمكن صنعها من 1 متر مكعب تساوي 298415551


18) تحدٍّ: كرةٌ طولُ قُطرِها 10cm  ، نُحِتَتْ مِنْ مكعبٍ خشبيٍّ  طولُ ضلعِهِ 10cm ، أحسبُ النسبةَ المئويةَ لكمّيّةِ الخشبِ المهدور

نطرح حجم الكرة من حجم المكعب كالتالي :

                                                                        V=V1-V2 

                                                               =s3-(43πr3)

        =1000-43π( 5)3=125-256=476.4


إذن ، حجم الخشب المهدور يساوي 476.4

ثم نجد نسبة  حجم الخشبة المهدور إلى حجم المكعب كالتالي:

                  476.41000×100%=47.6%


19) أكتب : كيفَ أجدُ مساحةَ سطحِ كُرةٍ وحجمَها إذا علمْتُ طولَ نصفِ قُطرِها؟

باستخدام القوانين التالية :


قانون حجم الكرة : V=43πr3

قانون مساحة سطح الكرة :  S.A=4πr2


أسئلة كتاب التمارين :

أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ الكرةِ وحجمَها ممّا يأتي. أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:


مساحة سطحها :

                S.A=4πr2=4π12=12.5

 

حجمها :

            V=(43πr3)=(43π(1)3 )=4.2


مساحة سطحها :

         S.A=4πr2=4π32=113.1

حجمها :

         V=(43πr3)=(43π(3)3 )=113.1


مساحة سطحها : 

       S.A=4πr2=4π92=1017.9

 

حجمها :

    V=(43πr3)=(43π(9)3 )=3053.6


في البداية نجد نصف قطر الكرة باستخدام قانون محيط الدائرة : 
                   C=2πr

                   7π=2πr

                    r=3.5

الآن نجد مساحة سطحها :  

        S.A=4πr2=4π3.52=153.9

 

حجمها :

      V=(43πr3)=(43π(3.5)3 )=179.6


نجد مساحة سطح نصف الكرة :  

     S.A=12( 4πr2)=12 (4π152)=1413.4

 

حجم نصف الكرة :

    V=12(43πr3)=12(43π(15)3 )=7068.6


نجد مساحة سطح نصف الكرة :  

      S.A=12( 4πr2)=12(4π92)=508.9

حجم نصف الكرة :

    V=12(43πr3)=12(43π(9)3 )=1526.8


أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرةٍ وحجمَها ممّا يأتي بدلالةِ π

7)  كرةٌ نصفُ قُطرِها 13cm 

الحل : 

مساحة سطحها

          S.A=4πr2=4π(13)2=676π

حجمها : 

      V=(43πr3)=(43π(13)3 )=2929.3π


8) كرةٌ محيطُها  30cm

 نجد نصف القطر باستخدام قانون محيط الدائرة  

                             C=2πr

         30=2πrr=4.78

الآن يمكننا إيجاد مساحة سطح الكرة وحجمها :

مساحة سطحها :

       S.A=4πr2=4π4.782=91.2π

 

حجمها :

       V=(43πr3)=(43π(4.78)3 )=145.6π


9) لعبةٌ: لعبةٌ مِنَ البلاستيكِ على شكلِ نصفِ كرةٍ مجوّفةٍ مِنَ الداخلِ كَما في الشكلِ المجاورِ. أجدُ كمّيّةَ البلاستيكِ اللازمةَ لصنعِ الكرةِ.

للإيجاد كمية البلاستيك الزمة لصنع اللعبة ،سنقوم بطرح حجم نصف الكرة الصغيرة من حجم نصف الكرة الكبيرة كالتالي :

                                                                      V=V1-V2 

                                       =12(43πr3)-12(43πr3)

             =12(43π(2.5)3)-12(43π(2)3)16

 

 

 

 


أجدُ حجمَ كلِّ مجسّمٍ ممّا يأتي: 

بما أن المجسم يتكون من اسطوانة + نصفي  كرة ،فإننا سنجد حجم  كرة كاملة ونجمعه مع حجم الأسطوانة  كما يلي :

                                                              V=V1+V2 

                                               =πr2h+(43πr3)

                              =π(6)2(12 +(43π( 6)3)

           =4324π+288π=720π=2262

 


بما أن المجسم يتكون من اسطوانة + نصف  كرة ،فإننا سنجد حجم نصف كرة  ونجمعه مع حجم الأسطوانة  كما يلي 

                                                         V=V1+V2 

                                     =πr2h+12(43πr3)

                 =π(10)2(18)+12(43π(10)3)

                =1800π+20003π=7749.3


بما أن المجسم يتكون من مخروط+ نصف  كرة ،فإننا سنجد حجم  نصف كرة  ونجمعه مع حجم الأسطوانة  كما يلي :

في البداية نجد ارتفاع المخروط باستخدام فيثاغورس . 

                                  52=32+h2

                                  25-9=h2

                         16=h2h=4

ثم نجد حجم نصف الكرة + حجمم المخروط كالتالي:

                                                   V=V1+V2 

                          =13πr2h+12(43πr3)

             =13π(3)2(4)+12(43π(3)3)

              =12π+18π=30π=94.2


 

Jo Academy Logo