حلُّ المُتبايناتِ المُرَكَّبَةِ

حلُّ المُتبايناتِ المُرَكَّبَةِ

Solving Compound Inequalities

فكرةُ الدرسِ : حلُّ مُتباينات مُرَكّبَة تحتوي على أداة الرَّبط (و) أو (أو)، وتمثيلُ مجموعة حَلِّها على خطِّ الأعداد.
                        التعبير عن المُتباينات المركبة باستعمال الفترات.

أولًا : المُتباينةُ المُركّبة

تُسَمى المُتباينات التي تعلَّمتها سابقًا مُتباينات بسيطة ؛ لأنَّهاتحتوي على رمز مُتباينة واحد.

المُتباينةُ المُرَكَّبَةُ  : هي عبارة ناتجة عن ربط مُتباينتين باستعمال أداة الرَّبط (و) أو مرادفِها باللُّغةِ الإنجليزيَّةِ ( and ) أوْ باستعمال

أداة الرَّبط (أو) أو مرادفِها باللُّغةِ الإنجليزيَّة (or). 

 

x ≥ 2 and x ≤ 5 x < 1  or  x ≥ 3	x ≥ 4

 

التمثيل البيانيُّ للمُتباينة المُرَكَّبَة التي تحتوي على أداة الرَّبط (و) هو تقاطع التمثيلَين البيانِيَّيْن للمُتباينتينِ المُكوِّنتين للمُتباينة

المُركّبة.

التمثيلُ البيانيُّ للمُتباينة المُرَكَّبة التي تحتوي على أداة الرَّبط (أو) هو اتحاد التمثيلَين البيانِيَّيْن للمُتباينتين المُكَوّنتين للمُتباينة المُركّبة.

مثال : 

أكتبُ مُتباينة مركبة تمثّلُ كلَّ جملة ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعداد:

1) عدد أكبر من أو يُساوي 3- وأقلُّ من 3

2) عدد أقل من 2- أو لا يقلُّ عن 5 

الحل : 

1) عددٌ أكبر من أو يُساوي 3- وأقلُّ من 3

• أختار مُتغيرًا ، ليكن x ممثلًا للعدد 

• أكتب المتباينة  :  $-3 \le x < 3$

• أمثل المتباينة على خط الأعداد :    

---

2) عدد أقل من 2- أو لا يقلُّ عن 5

• أختار مُتغيرًا ، ليكن y ممثلًا للعدد 

• أكتب المتباينة  : $y < -2 or y \ge 3$

• أمثل المتباينة على خط الأعداد :   

---

ثانيًا :  المُتباينات المُركّبة والفترات

 يُمكنُ التعبير عن المُتباينة المُركّبة باستعمال رمز الفترة.

يمكنُ التعبيرُ عن بعض المُتباينات المُرَكّبة التي تحتوي على أداة الرَّبط (و) باستعمال فترة محُدودة  ، وهِي فترة لا يمتدُّ أيٌّ مِن طَرَفَيْها إلى

المالانهاية، وفي ما يأتي أشكالُ الفترات المحُدودة المختلفة التي تُعبِّر عن المُتباينات المُركّبة : 

مفهوم أساسيّ (الفترات المحُدودة)

إذا كان a و b عددين حقيقيّين ؛ حيث a < b ، فيمكنُ التعبيرُ عن كلٍّ من المُتباينات المُركَّبة الآتية باستعمال فترة محُدودة : 

أمّا إذا احتوتِ المُتباينة المُرَكّبة على أداة الرَّبط (أو)، فيمكنُ التعبير عن كلٍّ من المُتباينتين المُكوّنتين لها، ثمَّ الرَّبطُ بينَ الفترتَيْنِ باستعمال رمز الاتحاد ∪ .

مثال  

أكتب كلَّ مُتباينة مُركّبة ممّا يأتي باستعمال رمز الفترة، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعداد : 

 1)  - 1 ≤ x ≤ 5                           2)   x < 3   or  x ≥ 7                   3)   0 $\le$  x  $<$ 9                    4)   x < - 4  or  x > 3

الحل : 

 1)  - 1 ≤ x ≤ 5   

التعبير برمز الفترة : $[-1 , 5 ]$

التمثيل على خط الأعداد :

---

 2)  x < 3   or  x ≥ 7

 

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty , 3) \cup [ 7 , \infty )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

   3)   $0 \le x < 9$  

التعبير برمز الفترة : $[ 0 , 9 )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

  4)   x < - 4  or   x > 3

 

اتحادُ فترتين منفصلتين : $(-\infty , -4) \cup (3 , \infty )$  

التمثيل على خط الأعداد : 

---

ثالثًا : حلّ المُتباينات المُركّبة

تعلَّمتُ سابقًا حلَّ المُتباينات البسيطة باستعمال خصائص جمع المُتباينات وطرحها وضربها وَقِسمتها، ويمكن تطبيق الخصائص ذاتها لحلِّ

المُتباينات المُركّبة التي تحتوي على أداة الرَّبط (و).

مثال  

أَجد مجموعة حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي ، ثمَّ أُمثّلها على خطِّ الأعداد : 

1)  1 < x + 2 < 5                                       2) $-5 \le 3-2x \le 7$

الحل :

1)  1 < x + 2 < 5 

المُتباينةُ المُعطاةُ	1 < x + 2 < 5
بطرح 2 من كلِّ طَرف	1 - 2 < x + 2 - 2 < 5 - 2
بالتبسيطِ	- 1 <  x  < 3

 

 

 

 

إذن، مجموعة الحلِّ هي : $\{x | -1 < x < 3 \}$  ، ويمكنُ كتابتُها باستخدام رمز الفترة على الصورة: $(-1 , 3)$ ، ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعداد على

النَّحو الآتي :

---

 2) $-5 \le 3-2x \le 7$

 

المُتباينةُ المُعطاةُ	$-5 \le 3-2x \le 7$
بطرح 3 من كل طرف	$-5-3 \le 3-3-2x \le 7-3$
بالتبسيط	$-8 \le -2x \le 4$
بقسمة كل طرف على 2- وتغيير اتجاه المتباينة	$\frac{-8}{-2} \ge \frac{-2x}{-2 } \ge \frac{4}{-2 }$
بالتبسيط	$4 \ge x \ge -2$
بإعادة كتابة المتباينة	$-2 \le x \le 4$

 

 

 

 

 

 

إذنْ، مجموعةُ الحلِّ هيَ : $\{x | -2 \le x \le 4\}$ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمال رمز الفترة على الصورة: $[ -2 , 4 ]$ ، ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعداد على

النَّحو الآتي :

---

 

•• يمكنُ أيضًا حلُّ المُتباينات المُركّبة التي تحتوي على أداة الرَّبط (أو) باستعمال خصائص المُتباينات.

مثال  

أَجد مجموعة حلِّ كلِّ مُتباينة ممّا يأتي ، ثمَّ أُمثّلها على خطِّ الأعداد :   

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3x - 4 < 5 or x + 2 \ge 8$                                             $\mathbf{2}\mathbf{)} 8 - 3x < 14 or 5x - 6 > 9$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3x - 4 < 5 or x + 2 \ge 8$

المُتباينة المُعطاة

$3x - 4 < 5 or x + 2 \ge 8$

بحل كل متباينة

$$\begin{gathered} 3x - 4+4 < 5+4 or x + 2-2 \ge 8-2 \\ 3x < 9 x \ge 6 \\ \mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{6} \end{gathered}$$

 

 

 

 

إذنْ، مجموعةُ الحلِّ هي : $\{x | x < 3 or x \ge 6\}$ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمال اتحاد فترتين منفصلتين على الصورة : $(-\infty , 3) \cup [ 6 , \infty )$

ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :

 

---

$\mathbf{2}\mathbf{)} 8 - 3x < 14 or 5x - 6 > 9$

المُتباينة المُعطاة	$8 - 3x < 14 or 5x - 6 > 9$
بحل كل متباينة	$$\begin{gathered} 8-8-3x < 14-8 or 5x- 6+6 > 9+6 \\ -3x < 6 5x > 15 \\ \frac{-3x}{-3}>\frac{6}{-3} \frac{5x}{5}>\frac{15}{5} \\ \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2} \mathit{o}\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{3} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

مجموعة حلِّ المُتباينة هِي اتِّحاد المُتباينتين. إذن ، أُمَثِّل كُلًّ من المُتباينَتين الآتِيَتين ، ثمَّ أجِد اتَّحاد التمثيلين :

أُلاحظ أنّ التمثيل البيانيّ للمُتباينة  x > -2 يحتوي على جميع نقاط التمثيل البيانيّ للمُتباينة  x > 3 ؛ لِذا يكون الاتِّحاد هُو التمثيل البيانيّ للمُتباينة

x > -2 ، وتكون مجموعة الحلِّ : $\{ x | x > -2 \}$ ، ويُمكن كتابتُها باستخدام رمز الفترة على الصورة : $(-2 , \infty )$.