حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 127
أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج :
a) x2 + 2x b) x2 - 14x
الحل :
أضيف إلى المقدار الأصلي ، ثمّ أحلل :
a) x2 + 2x
x2 + 2x + 1 =
b) x2 - 14x
x2 - 14x + 49 =
أتحقق من فهمي صفحة 128
أَحُلُّ كُلًّ منَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرة (إن لزِم) :
a) x2 + 8x + 7 = 0 b) x2 - 5x - 3 = 0
الحل :
المُعادلة المُعطاة | x2 + 8x + 7 = 0 |
بطرح 7 من طرفي المُعادلة | x2 + 8x = - 7 |
بإكمال المُرَبع بإضافة 16 إلى طرفي المعادلة | x2 + 8x + 16 = 9 |
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بطرحِ 4 مِن طرفي المُعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن | |
بالتبسيط |
b) x2 - 5x - 3 = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 5x - 3 = 0 |
بجمع 3 إلى طرفي المُعادلة | x2 - 5x = 3 |
بإكمال المربع بإضافة إلى طرفي المعادلة | |
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بجمع إلى طرفي المُعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن | |
باستخدام الآلة الحاسبة |
أتحقق من فهمي صفحة 130
أَحُلُّ كُلًّ مِنَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربّع :
a) 2x2 + 20x - 10 = 0 b) 2x2 + 8x + 12 = 0
الحل :
a) 2x2 + 20x - 10 = 0
المُعادلة المُعطاة | 2x2 + 20x - 10 = 0 |
بقسمة طرفي المعادلة على 2 | x2 + 10x - 5 = 0 |
بجمع 5 إلى طرفي المُعادلة | x2 + 10x = 5 |
بإكمال المربع بإضافة 25 إلى طرفي المعادلة | x2 + 10x + 25 = 30 |
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بطرحِ 5 مِن طرفي المُعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن |
b) 2x2 + 8x + 12 = 0
المُعادلة المُعطاة | 2x2 + 8x + 12 = 0 |
بقسمة طرفي المعادلة على 2 | x2 + 4x + 6 = 0 |
بطرح 6 من طرفي المُعادلة | x2 + 4x = - 6 |
بإكمال المربع بإضافة 4 إلى طرفي المعادلة | x2 + 4x + 4 = - 6 +4 |
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود |
بما أنَّهُ لا توجدُ أعدادٌ حقيقيَّةٌ مُرَبَّعاتُها سالبةٌ فالمُعادلةُ ليسَ لها حُلولٌ حقيقيَّةٌ.
أتحقق من فهمي صفحة 131
تصميمٌ: صَمَّمَ مهندسٌ نموذجًا لجسرِ مُشاةٍ على شكلِ قطعٍ مُكافِئٍ، بحيثُ يُمَثِّلُ الاقترانُ : h(x) = -x2 + 6x - 7 ارتفاعَ الجسرِ عَنْ قاعدةِ النموذجِ بالديسيمترٍ، وَ x البُعدَ الأُفقيَّ بالديسيمترٍ عَنْ إشارةٍ ضوئيَّةٍ ، كما في الشكلِ المُجاورِ. أَجِدُ طولَ قاعدةِ الجسرِ d، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ. |
![]() |
الحل :
أفترضُ أنَّ مُستوى قاعدة النموذج يُمَثِّلُ المحورَ x ، إذنْ تُمَثِّلُ كلٌّ مِنْ نقطةِ بدايةِ الجسر ونهايتِهِ حلًّ للمُعادلةِ المُرتبطةِ بالاقترانِ h(x) .
الخُطوةُ 1 : أَحُلُّ المُعادلةَ المُرتبطةَ بالاقترانِ.
المُعادلةُ المُرتبطةُ بالاقترانِ | -x2 + 6x - 7 = 0 |
بقسمةِ كلِّ حدٍّ على 1- | x2 - 6x + 7 = 0 |
بطرحِ 7 مِنْ طَرَفَيِ المُعادلةِ | x2 - 6x = - 7 |
بإكمالِ المُرَبَّعِ بإضافةِ 9 إلى طَرَفَيِ المُعادلةِ | x2 - 6x + 9 = - 7+ 9 |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ | |
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ للطرفَيْنِ | |
بجمعِ 3 إلى طَرَفَيِ المُعادلةِ | |
بفصلِ الحلَّيْنِ | |
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ |
الخُطوة 2 : أَجِدُ طولَ قاعدةِ الجسر d
لإيجادِ طولِ قاعدةِ الجسر d أطرحُ أحدَ الحلَّيْنِ مِنَ الآخَرِ.
إذنْ، طولُ قاعدةِ الجسر 2.5 ديسمترًا تقريبًا.
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج :
1) x2 + 4x 2) x2 + 14x 3) x2 - 3x
4) x2 + 8x 5) x2 - 2x 6) x2 + 22x
الحل :
أضيف إلى المقدار الأصلي ، ثمّ أحلل :
1) x2 + 4x
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
2) x2 + 14x
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
3) x2 - 3x
x2 - 3x + =
4) x2 + 8x
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
5) x2 - 2x
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
6) x2 + 22x
x2 + 22x + 121 = (x + 11)2
أَجدُ قيمة c في كلٍّ مما يأتي ، ثمَّ أَجِدُ المقدار الجبريّ الذي يُعَبّرُ عن النموذج :
الحل :
7) c = 4 المقدار الجبري x2 + 4x + 4
8) c = 64 المقدار الجبري x2 + 16x + 64
9) c = 100 المقدار الجبري x2 + 20x + 100
أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبع :
10) x2 + 4x = 12 11) x2 - 14x = -13 12) x2 - 6x - 11 = 0
13) x2 + 4x - 1 = 0 14) x2 + 14x - 5 = 0 15) x2 - 6x + 3 = 0
16) x2 + 13x + 35 = 0 17) x2 + 2x - 1 = 0 18) x2 + 2x - 3 = 0
الحل :
10) x2 + 4x = 12
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
(x + 2)2 = 16
11) x2 - 14x = -13
x2 - 14x +49 = -13 + 49
(x - 7)2 = 36
12) x2 - 6x - 11 = 0
x2 - 6x = 11
x2 - 6x + 9 = 11 + 9
(x - 3)2 = 20
13) x2 + 4x - 1 = 0
x2 + 4x = 1
x2 + 4x + 4 = 1 + 4
(x + 2)2 = 5
14) x2 + 14x - 5 = 0
x2 + 14x = 5
x2 + 14x + 49 = 5 + 49
(x + 7)2 = 54
15) x2 - 6x + 3 = 0
x2 - 6x = - 3
x2 - 6x + 9 = - 3 + 9
(x - 3)2 = 6
16) x2 + 13x + 35 = 0
x2 + 13x = - 35
17) x2 + 2x - 1 = 0
x2 + 2x = 1
x2 + 2x +1 = 1 + 1
(x + 1 )2 = 2
18) x2 + 2x - 3 = 0
x2 + 2x = 3
x2 + 2x + 1 = 3 + 1
(x + 1)2 = 4
أَحُلُّ كُلًّ منَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرة (إن لزِم) :
19) x2 + 2x - 9 = 0 20) x2 - 4x - 7 = 0 21) x2 + 2x - 5 = 0
22) 2x2 - 6x - 3 = 0 23) 4x2 - 8x + 1 = 0 24) 2x2 + 5x -10 = 0
الحل :
19) x2 + 2x - 9 = 0
x2 + 2x = 9
x2 + 2x + 1 = 9 + 1
(x + 1)2 = 10
20) x2 - 4x - 7 = 0
x2 - 4x = 7
x2 - 4x + 4 = 7 + 4
(x - 2)2 = 11
21) x2 + 2x - 5 = 0
x2 + 2x = 5
x2 + 2x + 1 = 5 + 1
(x + 1)2 = 6
22) 2x2 - 6x - 3 = 0
23) 4x2 - 8x + 1 = 0
24) 2x2 + 5x -10 = 0
25) هندسةٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ شبهَ منحرفٍ مساحتُهُ . أَجِدُ قيمةَ x ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ. إرشادٌ : مساحةُ شبهِ المُنحرفِ تُساوي نصفَ مجموعِ طولَيِ الضِّلعَيْنِ المُتوازِيَيْنِ مضروبًا في الارتفاعِ. |
![]() |
الحل :
يُهمل الحل السالب ، إذن
26) ضفادع : وقف ضفدع على جذع شجرة يرتفع عن سطح الأرض، ثمّ قفز إلى سطح الأرض لِيُمَثِّل الاقترانُ h(t) = -5t2 + 15t + 1 ارتفاعَه بالمتر عن سطح الأرض بعد t ثانية من قفزهِ عن الجذع. بعد كم ثانية يصل الضفدع إلى سطح الأرض؟ أُقرّب إجابتي لأقربِ جُزءٍ من عشرة. |
![]() |
الحل :
يُهمل الحل السالب ، إذن يصل الضفدع إلى سطح الأرض بعد 3.1 ثانية تقريبًا .
27) أَحلُّ المسألة الواردة في بداية الدرس.
مسألةُ اليومِ : ألقى أحمد طُعمًا في الماء من ارتفاعِ مترٍ واحد . إذا كان الاقتران h(t) = -5t2 + 8t + 1 قد مَثَّل ارتفاع هذا الطّعم بالمتر فوق سطح الماء ، بعد t ثانية من إلقائه ، فبعد كم ثانية يصل إلى سطح الماء؟ |
![]() |
الحل :
يُهمل الحل السالب ، إذن يصل الطُعم إلى سطح الماء بعد 1.72 ثانية تقريبًا .
مهاراتُ التفكيرِ العُليا
28) تبريرٌ : أَجدُ جميع قِيَم الثابت b ، التي تجعل المقدار x2 + bx + 25 مُرَبَّعًا كاملًا ، مُبَرِّرًا إجابتي.
الحل :
قيم b هي : 10 ، 10- ، للحصول على المربع الكامل 25 ، حيث :
29) تبرير : هل يمكن حلُّ المُعادلة x2 + 10x = -20 بطريقتَيِ التحليل وإكمال المُرَبّع؟ أُبَرِّرُ إجابتي.
الحل :
تُحل المعادلة x2 + 10x = - 20 بطريقة إكمال المربع لا بطريقة التحليل إلى العوامل لأنه لتحليلِ ثلاثِيِّ الحدودِ x2 + 10x + 20 ، أَجِدُ عددَيْنِ صحيحَيْنِ حاصلُ ضربِهِما يُساوي 20 ومجموعُهُما يُساوي 10 ، ولا يوجد عددين صحيحين مجموعهما 20 وحاصل جمعهما 10
30) مسألة مفتوحة : أكتب مُعادلةً تربيعيّة تُحَلُّ بطريقة إكمال المُرَبّع لا بطريقة التحليل، ويكون جذراها عددين حقيقيّين موجبين.
إجابة محتملة :
أسئلة كتاب التمارين
أجعلُ كلَّ مقدارٍ ممّا يأتي مُرَبَّعًا كاملًا ، ثمَّ أُحَلِّل المُرَبَّع الكامل ثُلاثِيَّ الحُدود الناتج :
1) x2 - 9x 2) x2 + 10x 3) x2 + 13x
4) x2 - 18x 5) x2 - x 6) x2 + 5x
الحل :
2) x2 + 10x
3) x2 + 13x
4) x2 - 18x
x2 - 18x + 81 = (x - 9)2
5) x2 - x
x2 - x + = (x - )2
6) x2 + 5x
x2 + 5x + = (x +)2
أَحلّ المُعادلات الآتية بإكمال المُربّع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرَة (إنْ لَزِم) :
7) x2 + 2x - 7 = 0 8) x2 = 3x + 9) x2 = 8x - 16
10) x2 - 11x = 0 11) x2 - 5x = 0.5 12) 5x2 + 20x = 10
الحل :
7) x2 + 2x - 7 = 0
8) x2 = 3x +
9) x2 = 8x - 16
10) x2 - 11x = 0
11) x2 - 5x = 0.5
12) 5x2 + 20x = 10
16) تُبَيِّنُ البطاقاتُ الآتيةُ خُطواتِ حلِّ المُعادلةِ 0 = x2 + 6x + 7 بطريقةِ إكمالِ المُرَبَّعِ. أُرَتِّبُ هذهِ البطاقاتِ مِنَ الخُطوةِ الأولى في الحلِّ إلى
الخُطوةِ الأخيرةِ.
الحل :
الخطوة الرابعة | الخطوة الثالثة | الخطوة الثانية | الخطوة الأولى |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
17) هندسة : يُبَيّنُ الشكل المُجاور مُثَلّثًا مساحتُهُ . أَجِدُ قيمة x ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جُزءٍ من عشرَة. |
![]() |
الحل :
يُهمل الحل السالب ، إذن
18) حديقةٌ : حديقةُ زهورٍ مُستطيلةُ الشكلِ طولُها وعرضُها ، مُحاطةٌ بِمَمَرٍّ عرضُهُ . إذا كانَتْ مساحتُها مُساويةً لمساحةِ المَمَرِّ، فَأَجِدُ عرضَ المَمَرِّ. |
![]() |
الحل :
مساحة الحديقة = الطول العرض
مساحة الحديقة =
مساحة الممر والحديقة =
مساحة الممر = مساحة الممر والحديقة - مساحة الحديقة
مساحة الممر :
مساحة الحديقة = مساحة الممر ، إذن :
أحل المعادلة لايجاد x
يُهمل الحل السالب ، إذن