رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 127

أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج :

a) x2 + 2x                                                                             b) x2 - 14x

الحل : 

أضيف (b2)2 إلى المقدار الأصلي ، ثمّ أحلل :

a) x2 + 2x 

x2 + 2x  + 1  = (x+ 1)2


b) x2 - 14x

x2 - 14x + 49 = (x - 7)2


أتحقق من فهمي صفحة 128

أَحُلُّ كُلًّ منَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرة (إن لزِم) :

a) x2 + 8x + 7 = 0                                                                  b) x2 - 5x - 3 = 0

الحل : 

المُعادلة المُعطاة x2 + 8x + 7 = 0 
بطرح 7 من طرفي المُعادلة x2 + 8x = - 7  
بإكمال المُرَبع بإضافة 16 إلى طرفي المعادلة  x2 + 8x + 16 = 9 
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود  (x + 4)2 = 9
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن x + 4  = ±3  
بطرحِ 4 مِن طرفي المُعادلة x =-4±3  
بفصلِ الحلَّيْن  x =-4+3    or    x =-4-3 
بالتبسيط  x =-1     or    x =-7 

 

 

 

 

 

 

 

 


  b) x2 - 5x - 3 = 0

المُعادلة المُعطاة x2 - 5x - 3 = 0
بجمع 3 إلى طرفي المُعادلة x2 - 5x  = 3 
بإكمال المربع بإضافة 254 إلى طرفي المعادلة  x2- 5x + 254  =  3 +254 
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود  (x - 52)2  = 374
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن x - 52 = ±372
بجمع 52   إلى طرفي المُعادلة x = 52±372
بفصلِ الحلَّيْن  x = 52+372   or   x = 52-372
باستخدام الآلة الحاسبة  x  5.5    or    x - 0.5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 130

أَحُلُّ كُلًّ مِنَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربّع :

a) 2x2 + 20x - 10 = 0                                                           b) 2x2 + 8x + 12 = 0

الحل : 

a) 2x2 + 20x - 10 = 0 

المُعادلة المُعطاة 2x2 + 20x - 10 = 0
بقسمة طرفي المعادلة على 2 x2 + 10x - 5 = 0
بجمع 5 إلى طرفي المُعادلة x2 + 10x  = 5  
بإكمال المربع بإضافة 25 إلى طرفي المعادلة  x2 + 10x + 25 = 30
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود  (x+5)2 = 30
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن x + 5 = ± 30
بطرحِ 5 مِن طرفي المُعادلة x =-5± 30 
بفصلِ الحلَّيْن  x =-5+ 30    or     x =-5- 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  b) 2x2 + 8x + 12 = 0

المُعادلة المُعطاة 2x2 + 8x + 12 = 0
بقسمة طرفي المعادلة على 2 x2 + 4x + 6 = 0
بطرح 6 من طرفي المُعادلة x2 + 4x =  - 6  
بإكمال المربع بإضافة 4 إلى طرفي المعادلة  x2 + 4x + 4 = - 6 +4 
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود  (x + 2)2 = -2

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا توجدُ أعدادٌ حقيقيَّةٌ مُرَبَّعاتُها سالبةٌ فالمُعادلةُ ليسَ لها حُلولٌ حقيقيَّةٌ.


أتحقق من فهمي صفحة 131

تصميمٌ: صَمَّمَ مهندسٌ نموذجًا لجسرِ مُشاةٍ على شكلِ قطعٍ مُكافِئٍ، بحيثُ يُمَثِّلُ

الاقترانُ : h(x) = -x2 + 6x - 7 ارتفاعَ الجسرِ عَنْ قاعدةِ النموذجِ بالديسيمترٍ، وَ x البُعدَ الأُفقيَّ بالديسيمترٍ عَنْ إشارةٍ ضوئيَّةٍ ، كما في الشكلِ المُجاورِ. أَجِدُ طولَ قاعدةِ الجسرِ d، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ.

 

 

 

 

 

 

الحل : 

أفترضُ أنَّ مُستوى قاعدة النموذج يُمَثِّلُ المحورَ x ، إذنْ تُمَثِّلُ كلٌّ مِنْ نقطةِ بدايةِ الجسر ونهايتِهِ حلًّ للمُعادلةِ المُرتبطةِ بالاقترانِ h(x) .

الخُطوةُ 1 :  أَحُلُّ المُعادلةَ المُرتبطةَ بالاقترانِ.

المُعادلةُ المُرتبطةُ بالاقترانِ -x2 + 6x - 7 = 0
بقسمةِ كلِّ حدٍّ على 1- x2 - 6x  + 7 = 0
بطرحِ 7 مِنْ طَرَفَيِ المُعادلةِ x2 - 6x  = - 7
بإكمالِ المُرَبَّعِ بإضافةِ  9  إلى طَرَفَيِ المُعادلةِ x2 - 6x + 9  = - 7+ 9
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ (x - 3)2 = 2
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ للطرفَيْنِ x - 3 = ± 2
بجمعِ 3 إلى طَرَفَيِ المُعادلةِ x = 3 ± 2
بفصلِ الحلَّيْنِ x = 3 + 2   or   x = 3 - 2 
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ x  4.4      or     x  1.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الخُطوة 2 : أَجِدُ طولَ قاعدةِ الجسر d

لإيجادِ طولِ قاعدةِ الجسر  d أطرحُ أحدَ الحلَّيْنِ مِنَ الآخَرِ.

d = 4.4  1.9 = 2.5

إذنْ، طولُ قاعدةِ الجسر  2.5 ديسمترًا تقريبًا.


   أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج :

1) x2 + 4x                                               2) x2 + 14x                                           3) x2 - 3x

4) x2 + 8x                                              5) x2 - 2x                                              6) x2 + 22x

الحل : 

أضيف(b2)2 إلى المقدار الأصلي ، ثمّ أحلل :

1) x2 + 4x 

x2 + 4x + 4  = (x + 2)2


 2) x2 + 14x

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2


3) x2 - 3x

x2 - 3x + 94 = (x -32)2 


4) x2 + 8x

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2


5) x2 - 2x

x2 - 2x  + 1  = (x - 1)2


  6) x2 + 22x

x2 + 22x + 121 = (x + 11)2


 

أَجدُ قيمة c في كلٍّ مما يأتي ، ثمَّ أَجِدُ المقدار الجبريّ الذي يُعَبّرُ عن النموذج :

 الحل : 

7)  c = 4  المقدار الجبري x2 + 4x + 4

8)  c = 64  المقدار الجبري x2 + 16x + 64

9)  c = 100  المقدار الجبري x2 + 20x + 100


أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبع :

10) x2 + 4x = 12                                                    11) x2 - 14x = -13                                    12) x2 - 6x - 11 = 0

13) x2 + 4x - 1 = 0                                                14) x2 + 14x - 5 = 0                                15) x2 - 6x + 3 = 0

16) x2 + 13x + 35 = 0                                           17) x2 + 2x - 1 = 0                                  18) x2 + 2x - 3 = 0

 الحل : 

10) x2 + 4x = 12 

  x2 + 4x + 4 = 12 + 4 

(x + 2)2  = 16 

x + 2 = ± 4 x  = -2 ± 4 x = 2     or    x = -6


11) x2 - 14x = -13 

x2 - 14x +49 = -13 + 49

(x - 7)= 36

x - 7 = ± 6 x  = 7 ± 6 x = 13     or    x = 1


  12) x2 - 6x - 11 = 0

x2 - 6x  = 11  

x2 - 6x + 9 = 11 + 9

(x - 3)2  = 20

x - 3 = ± 20 x  = 3 ± 20  x = 3 +20      or    x = 3 - 20 


13) x2 + 4x - 1 = 0 

x2 + 4x = 1  

x2 + 4x + 4 = 1 + 4 

(x + 2)2 = 5

x + 2 = ± 5 x  = -2 ± 5 x = -2 + 5     or     x = -2 - 5  


14) x2 + 14x - 5 = 0 

x2 + 14x = 5  

x2 + 14x + 49 = 5 + 49

(x + 7)2  = 54

x + 7 = ± 54 x  = -7 ± 54 x = -7 + 54     or     x = -7 - 54  


15) x2 - 6x + 3 = 0

x2 - 6x = - 3

x2 - 6x + 9 =  - 3 + 9

(x - 3)2 = 6

x -3 = ± 6 x  =  3 ± 6 x = 3 + 6     or     x = 3 - 6  


16) x2 + 13x + 35 = 0 

x2 + 13x = - 35 

x2 + 13x +1694  = - 35 + 1694(x + 132)2 = 294 x + 132 = ± 292x = - 132± 292x = - 132+ 292   or    x = - 132- 292


 17) x2 + 2x - 1 = 0   

x2 + 2x  = 1 

x2 + 2x +1 = 1 + 1

(x + 1 )2  = 2 

x+1 = ± 2 x = -1 ± 2 x = -1 + 2     or     x = -1 - 2  


18) x2 + 2x - 3 = 0

x2 + 2x = 3  

x2 + 2x + 1 = 3 + 1 

(x + 1)2 = 4  

x+1 = ± 2 x = -1 ± 2 x = 1     or     x = -3   


 

أَحُلُّ كُلًّ منَ المُعادلات الآتية بإكمال المُربع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرة (إن لزِم) :

19) x2 + 2x - 9 = 0                                         20) x2 - 4x - 7 = 0                         21) x2 + 2x - 5 = 0

22) 2x2 - 6x - 3 = 0                                       23) 4x2 - 8x + 1 = 0                       24) 2x2 + 5x -10 = 0

 الحل : 

19) x2 + 2x - 9 = 0   

x2 + 2x = 9 

x2 + 2x + 1 = 9 + 1

(x + 1)2  = 10  

x+1 = ± 10 x = -1 ± 10 x = -1 + 10     or     x = -1 - 10x  2.2     or     x -4.2  


 20) x2 - 4x - 7 = 0 

x2 - 4x = 7  

x2 - 4x + 4 = 7 + 4 

(x - 2) = 11 

x-2 = ± 11 x = 2 ± 11 x = 2 + 11     or     x = 2 - 11x  5.3     or     x -1.3  


 21) x2 + 2x - 5 = 0

x2 + 2x = 5  

x2 + 2x + 1 = 5 + 1

(x + 1)2  = 6 

x+1 = ± 6 x = -1 ± 6 x = -1+ 6     or     x = -1 - 6x  1.4     or     x -3.4 


22) 2x2 - 6x - 3 = 0

x2 - 3x - 32  = 0x2 - 3x = 32x2 - 3x + 94 = 32  + 94(x -  32)2  = 154 x -  32 = ± 152x  = 32± 152x = 32+ 152      or      x =  32- 152x  3.45          or      x  -0.45


 23) 4x2 - 8x + 1 = 0 

x2 - 2x + 14 = 0x2 - 2x = - 14  x2 - 2x + 1 = - 14 + 1(x - 1)2  = 34 x - 1 = ± 32x = 1 ± 32x = 1 + 32    or      x = 1 - 32 x  1.85       or      x  0.15 


 24) 2x2 + 5x -10 = 0

x2 + 52x - 5 = 0x2 + 52x  = 5x2 + 52x + 2516  = 5 + 2516(x + 54 )2 = 10516 x + 54  = ±1054x = -54 ±1054x = -54 +1054      or      x = -54 -1054x  1.3       or     x  -3.8


 

25) هندسةٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ شبهَ منحرفٍ مساحتُهُ 20 cm2 . أَجِدُ قيمةَ x ، مُقَرِّبًا

إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ.

إرشادٌ : مساحةُ شبهِ المُنحرفِ تُساوي نصفَ مجموعِ طولَيِ الضِّلعَيْنِ المُتوازِيَيْنِ مضروبًا في الارتفاعِ.

 

 

 

 

الحل : 

12(3x-1 + x+9) (x) = 20 12(4x+8) (x) = 20 12(4x2+8x) = 20 4x2+8x = 404x2+8x+16 = 40 +16(x + 4)2 = 56 x + 4 = ±56x = -4±56x = -4 + 56     or    x = -4 -56x  3.5          or    x  -11.5

يُهمل الحل السالب ، إذن x  3.5 cm

 


 

26) ضفادع : وقف ضفدع على جذع شجرة يرتفع  1m عن سطح الأرض، ثمّ قفز إلى سطح الأرض لِيُمَثِّل

الاقترانُ h(t) = -5t2 + 15t + 1 ارتفاعَه بالمتر عن سطح الأرض بعد t ثانية من قفزهِ عن الجذع. بعد كم

ثانية يصل الضفدع إلى سطح الأرض؟ أُقرّب إجابتي لأقربِ جُزءٍ من عشرة.

 

 

 

 

 

الحل : 

-5t2 + 15t + 1 = 0t2 - 3t - 15 = 0t2 - 3t = 15  t2 - 3t +94= 15+94(t - 32)2 = 4920 t - 32 = ±720 t = 32 +720     or    t = 32 -720t  3.1         or      t  - 0.1

يُهمل الحل السالب ، إذن يصل الضفدع إلى سطح الأرض بعد 3.1 ثانية تقريبًا .

 


27) أَحلُّ المسألة الواردة في بداية الدرس.

مسألةُ اليومِ : ألقى أحمد طُعمًا في الماء من ارتفاعِ مترٍ واحد . إذا كان
الاقتران h(t) = -5t2 + 8t + 1 قد مَثَّل ارتفاع هذا الطّعم بالمتر فوق سطح الماء ، بعد t ثانية من إلقائه ، فبعد كم ثانية يصل إلى سطح الماء؟

 

 

 

 

 

 

الحل : 

-5t2 + 8t + 1 = 0t2 - 85t - 15 = 0t2 - 85t = 15  t2 - 85t +64100= 15+64100(t - 810)2 = 84100 t - 810 = ±8410 t = 810 +8410     or    t = 810 -8410t  1.72        or        t  -0.12 

يُهمل الحل السالب ، إذن يصل الطُعم إلى سطح الماء بعد  1.72 ثانية تقريبًا .


 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

28) تبريرٌ : أَجدُ جميع قِيَم الثابت b ، التي تجعل المقدار x2 + bx + 25 مُرَبَّعًا كاملًا ، مُبَرِّرًا إجابتي.

الحل : 

قيم b هي :   10 ، 10-  ، للحصول على المربع الكامل 25  ، حيث : 

b22 = 25 b2 = ± 5 b2 =  5      or      b2 = - 5  b = 10      or      b = -10


29) تبرير : هل يمكن حلُّ المُعادلة x2 + 10x = -20 بطريقتَيِ التحليل وإكمال المُرَبّع؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الحل : 

تُحل المعادلة  x2 + 10x = - 20  بطريقة إكمال المربع لا بطريقة التحليل إلى العوامل لأنه لتحليلِ ثلاثِيِّ الحدودِ  x2 + 10x + 20 ، أَجِدُ عددَيْنِ صحيحَيْنِ حاصلُ ضربِهِما يُساوي 20  ومجموعُهُما يُساوي 10 ، ولا يوجد عددين صحيحين مجموعهما 20 وحاصل جمعهما 10


30) مسألة مفتوحة : أكتب مُعادلةً تربيعيّة تُحَلُّ بطريقة إكمال المُرَبّع لا بطريقة التحليل، ويكون جذراها عددين حقيقيّين موجبين.

إجابة محتملة  : x2-5x +5


 

أسئلة كتاب التمارين 

أجعلُ كلَّ مقدارٍ ممّا يأتي مُرَبَّعًا كاملًا ، ثمَّ أُحَلِّل المُرَبَّع الكامل ثُلاثِيَّ الحُدود الناتج :

1) x2 - 9x                                           2) x2 + 10x                                      3) x2 + 13x

4) x2 - 18x                                         5) x212x                                      6) x2 + 5x

الحل : 

1) x2 - 9xx2 - 9x +814 = (x - 92)2


2) x2 + 10x

x2 +10x+25 = (x+5)2


3) x2 + 13x

x2 + 13x + 1694 = (x + 132)2


 4) x2 - 18x 

x2 - 18x + 81 = (x - 9)2


 5) x212x

x212x + 116 = (x - 14)2


 6) x2 + 5x

x2 + 5x + 254 = (x +52)2


 

أَحلّ المُعادلات الآتية بإكمال المُربّع، مُقرّبًا إجابتي لأقرب جزءٍ من عشرَة (إنْ لَزِم) :

7) x2 + 2x - 7 = 0                                      8) x2 = 3x + -94                                   9) x2 = 8x - 16
10) x2 - 11x = 0                                        11) x2 - 5x = 0.5                                   12) 5x2 + 20x = 10

الحل : 

7) x2 + 2x - 7 = 0 

x2 + 2x = 7x2 + 2x +1 = 7+ 1(x + 1)2 = 8 x+1 = ± 8x = -1 + 8   or    x = -1 - 8x   1.8    or     x = -3.8


  8) x2 = 3x +-9 4

x2 - 3x = -94x2 - 3x + 94= -94+94(x - 32)2 = 0  x - 32 = 0 x = 32


 9) x2 = 8x - 16

x2 -8x = - 16x2 -8x +16 = - 16 +16(x - 4)2 = 0  x-4 = 0 x = 4


10) x2 - 11x = 0   

x2 - 11x +1214=1214(x - 112 )2  =  1214x - 112 = ± 112x = 112± 112x = 11  ,  x = 0


  11) x2 - 5x = 0.5  

 x2 - 5x + 254= 0.5  +  254(x - 52)2 = 274 x - 52 = ± 272x  =  52± 272x =  52+ 272    or    x =  52- 272x  5.1         or         x -0.1   


12) 5x2 + 20x = 10     

5x2 + 20x = 10x2 + 4x = 2x2 + 4x + 4 = 2 + 4(x + 2)2 = 6  x + 2 = ± 6x = -2 ± 6x = -2 +6     or    x = -2 -6  x  0.4                  or        x  -4.4


 

16)  تُبَيِّنُ البطاقاتُ الآتيةُ خُطواتِ حلِّ المُعادلةِ 0 = x2 + 6x + 7 بطريقةِ إكمالِ المُرَبَّعِ. أُرَتِّبُ هذهِ البطاقاتِ مِنَ الخُطوةِ الأولى في الحلِّ إلى

الخُطوةِ الأخيرةِ.

الحل : 

الخطوة الرابعة   الخطوة الثالثة الخطوة الثانية  الخطوة الأولى 

 

 

 

 

 

 


 

17) هندسة : يُبَيّنُ الشكل المُجاور مُثَلّثًا مساحتُهُ 108 m2.

 أَجِدُ قيمة x ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جُزءٍ من عشرَة.

الحل : 

12(x + 6) (x) = 10812(x2 + 6x)= 108x2 + 6x = 216x2 + 6x+9= 216+9(x + 3)2 = 225 x + 3 = ± 15x = -3 ± 15x = 12   or   x = -18

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 12m   


 

18) حديقةٌ : حديقةُ زهورٍ مُستطيلةُ الشكلِ طولُها 9 m وعرضُها 6 m ،

مُحاطةٌ بِمَمَرٍّ عرضُهُ x m. إذا كانَتْ مساحتُها مُساويةً لمساحةِ المَمَرِّ،

فَأَجِدُ عرضَ المَمَرِّ.

 

 

 

 

 

 

الحل : 

مساحة الحديقة  = الطول × العرض 

مساحة الحديقة  =  54 m2 

مساحة الممر والحديقة  = (9 + 2x)(6 + 2x)

مساحة الممر  = مساحة الممر والحديقة - مساحة الحديقة 

مساحة الممر  : (9 + 2x)(6 + 2x) - 54

مساحة الحديقة  = مساحة الممر  ، إذن : 

(9-2x)(6-2x) - 54 = 54 

أحل المعادلة لايجاد x

(9+2x)(6+2x) - 54 = 54 54 +18x +12x + 4x2 -54 = 54 54 + 30x + 4x2 -54 = 54 4x2+30x = 54x2 +304x = 544x2 +304x+22516 = 544+22516(x + 154 )2 = 44116 x + 154 = ±214 x = -154±214x = 1.5      or    x =-9 

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 1.5m