رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 117

أُحلل  2x2 +7x + 6    

الحل : 

بما أنَّ a = 2 , b = 7 , c = 6  ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 12 = 6 × 2 ومجموعُهُما 7 .  

العددين هما : 4 ، 3  

بكتابةِ القاعدةِ 2x2 +7x +6 = 2x2+mx+nx+6
بتعويض m = 3 ,  n = 4                             = 2x2+3x+4x+6
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ                            = (2x2+3x)+(4x+6)
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر                            = x(2x +3)+2(2x+3)
بإخراجِ (2x+3)عاملًا مُشترَكًا                            = (2x+3)(x+2)

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 120

أُحلل كل مما يأتي : 

a) 9x2- 33x + 18                                    b) 5x2-13x + 6

الحل : 

a) 9x2- 33x + 18 

أخرج 3 عاملًا مشتركًا ، ثم أحلل المقدار الجبري :

3 (3x2- 11x + 6) 

بما أنَّ a = 3 , b = -11 , c = 6  ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 18 = 6 × 3 ومجموعُهُما  11-

العددين هما 9 - ، 2 -

بكتابةِ القاعدةِ 3x2 -11x +6 = 3x2+mx+nx+6
بتعويض m = -2 ,  n = -9                               = 3x2-2x-9x+6
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ                               = (3x2-2x)+(-9x+6)
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر                              = x(3x -2)+(-3)(3x-2)
بإخراجِ (3x -2)  عاملًا مُشترَكًا                              = (3x -2)(x-3)

 

 

 

 

 

إذن تحليل  9x2- 33x + 18  هو  : 3(3x -2)(x-3)


b) 5x2-13x + 6

بما أنَّ a = 5 , b = -13 , c = 6  ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 30 = 6 × 5 ومجموعُهُما  13-

العددين هما 3 - ، 10 -

بكتابةِ القاعدةِ 5x2 -13x +6 = 5x2+mx+nx+6
بتعويض m = -10 ,  n = -3                               = 5x2-10x-3x+6
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ                               = (5x2-10x)+(-3x+6)
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر                               = 5x(x -2)+(-3)(x-2)
بإخراجِ (x -2) عاملًا مُشترَكًا                                = (x -2)(5x-3) 

 

  

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 121

أُحلل  3x2-3x-6 

الحل : 

بما أنَّ a = 3 , b = -3 , c = - 6 ، فأجِدُ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 18- = 6 - × 3  ومجموعُهُما  3-  

العددين هما 6 - ، 3 

بكتابةِ القاعدةِ 3x2 -3x - 6 = 3x2+mx+n x-6
بتعويض m = 3 ,  n = -6                              = 3x2+3x-6x-6
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ                              = (3x2+3x)+(-6x-6)
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر                             = 3x(x +1)+(-6)(x+1)
بإخراجِ  (x +1)  عاملًا مُشترَكًا                             =(x +1)(3x-6)

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 122

أَحلّ كُلّ من المُعادلات الآتية :

a) 2x2 - 5x + 2 = 0                                    b) 2x2 + 6x = -4

الحل : 

a) 2x2 - 5x + 2 = 0

المُعادلة المُعطاة   2x2 - 5x + 2 = 0
بالتحليل إلى العوامل (2x-1)(x-2) = 0
خاصيّة الضرب الصفريّ 2x-1 = 0     or      x - 2 = 0 
بحلّ كلّ مُعادلة x = 0.5       or       x = 2  

 


 

b) 2x2 + 6x = -4

المُعادلة المُعطاة  2x2+6x+4 = 0
بقسمة المعادلة على 2  x2+3x+2 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x+2)(x+1)= 0
خاصيّة الضرب الصفريّ x+2 = 0     or     x + 1 = 0 
بحلّ كلّ مُعادلة x =-2       or       x = -1 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 123

محميَّةٌ: محميَّةٌ طبيعيَّةٌ مستطيلةُ الشكلِ يزيدُ طولُها على مِثْلَيْ عرضِها بمقدارِ  1 km. إذا كانتْ مساحتُها 136 km2 ، فَأَجِدُ أبعادَها.

الحل : 

أفرض عرض المستطيل x  ، إذن طوله  2x + 1

مساحة المستطيل  = الطول ×العرض  ، إذن :  x(2x +1) = 136

أكتب المعادلة بالصورة القياسية وأحللها 

2x2+x -136 = 0(2x + 17) (x - 8) = 02x + 17  = 0     or    x - 8 = 0 x =- 172     or    x = 8 

تُهمل الإجابة السالبة ؛ لأنها مسافة ، إذن x = 4 

إذن : عرض المحمية 8km ، وطوله 17km

 


أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أُحلّل كُلًّ ممّا يأتي :

1) 3x2 + 11x + 6                                        2) 8x2 - 30x + 7                                         3) 6x2 + 15x - 9

4) 4x2 - 4x - 35                                       5) 12x2 + 36x + 27                                     6) 6r2 - 14r - 12

الحل : 

1) 3x2 + 11x + 6   

(3x+2)(x+3)   


2) 8x2 - 30x + 7 

(2x-7)(4x-1)   


 3) 6x2 + 15x - 9 

   =3 (2x2 + 5x-3) =3 (2x-1)(x+3)


4) 4x2 - 4x - 35 

(2x + 5)(2x - 7)


5) 12x2 + 36x + 27    

 = 4x2+ 12x + 9  =(2x+3)(2x+3)


 6) 6r2 - 14r - 12

(r-3)(6r + 4)


 

أَحلّ كُلًّ من المُعادلات الآتية :

7) 24x2 - 19x + 2 = 0                                   8) 18t2 + 9t + 1 = 0                                          9) 5x2 + 8x + 3 = 0

10) 5x2 -9x -2 = 0                                       11) 4t2 - 4t - 35 = 0                                          12) 6x2 + 15x - 9 = 0

13) 28 s2 - 85s + 63 = 0                            14) 9d2 - 24d - 9 = 0                                         15) 8x(x + 1) = 16

16) 13x2 = 11 - 2x                                        17) 8x - 16 - x2 = 0                                            18) 2t2 - t = 15

19) (2x + 1)(5x + 2) = (2x - 2)(x - 2)                                                                                   20) 8x2 + 6x + 3 = 2x2 + x + 2

الحل : 

7) 24x2 - 19x + 2 = 0 

(3x-2)(8x-1) = 03x-2 = 0    or     8x - 1 = 0x = 23          or   x = 18


   8) 18t2 + 9t + 1 = 0 

(3t+1)(6t+1) = 03t+1 = 0     or     6t + 1 = 0t = -13       or      t =- 16


9) 5x2 + 8x + 3 = 0

(x+1)(5x+3) = 0x+1 = 0      or     5x + 3 = 0x = -1        or      x =- 35


10) 5x2 -9x -2 = 0 

(x-2)(5x+1) = 0x-2 = 0      or     5x +1 = 0x = 2           or      x =- 15


 11) 4t2 - 4t - 35 = 0   

(2t+5)(2t-7) = 02t+5 = 0          or     2t -7 = 0t = -2.5           or      t = 3.5


  12) 6x2 + 15x - 9 = 0

= 2x2 +5x - 3(x+3)(2x-1) = 0x+3 = 0         or    2x -1 = 0x = -3           or      x = 0.5  


13) 28 s2 - 85s + 63 = 0 

(4s-7)(7s-9) = 04s-7 = 0      or     7s-9 = 0s = 74           or      s = 97


14) 9d2 - 24d - 9 = 0 

= 3d2-8d-3(3d+1)(d-3) = 03d+1 = 0         or     d -3 = 0d = -13           or      d = 3 


 15) 8x(x + 1) = 16

8x2 +8x =168x2 +8x -16 =0x2 + x -2 =0(x-1)(x+2) = 0x-1 = 0         or     x +2 = 0x = 1              or      x =-2 


16) 13x2 = 11 - 2x 

13x2+2x-11 =0(x+1)(13x-11) = 0x+1 = 0            or     13x-11 = 0x = -1              or      x = 1113 


  17) 8x - 16 - x2 = 0 

-x2+8x-16 =0x2-8x+16 = 0(x-4)(x-4) = 0x-4 = 0             x = 4              


18) 2t2 - t = 15

2t2-t -15 = 0(2t+5)(t-3) = 02t+5 = 0          or      t -3 = 0t = -2.5           or      t = 3


19) (2x + 1)(5x + 2) = (2x - 2)(x - 2) 

(2x + 1)(5x + 2) = (2x - 2)(x - 2)10x2+4x + 5x + 2  = 2x2-4x -2x + 410x2+9x+ 2  = 2x2-6x + 48x2+15x -2 = 0 (x+2)(8x-1) = 0x+2 = 0    or      8x -1 = 0 x = -2       or      x = 18


 20) 8x2 + 6x + 3 = 2x2 + x + 2

8x2+ 6x + 3 = 2x2+ x + 26x2+ 5x + 1 = 0 (2x+1)(3x+1) = 0 2x+1 = 0         or      3x+1 = 0x = -12           or         x = -13  


 

هندسة : يُبيّن الشكل المُجاورُ مستطيلًا مساحتُهُ 35cm2 ، صنعتهُ شُروق بقصّ أشرطة متساوية

العرض من ورقة مستطيلة الشكل.

21) أجدُ عرض الشريط.

22) أجدُ أبعاد المستطيل الجديد.

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

طول المستطيل الجديد  9-2x  

عرض المستطيل الجديد  7-2x

مساحة المستطيل  = الطول × العرض 

(9-2x)(7-2x) = 35 63 -18x - 14x + 4x2 = 354x2-32x + 28 = 0x2-8x +7 = 0(x - 1)(x - 7) = 0x-1 = 0      or        x - 7 = 0x = 1            or       x = 7 

نُهمل x = 7 ؛ لأنها ستجعل كل من العرض والطول سالبًا ، إذن  x = 1

إذن طول المستطيل الجديد = 7cm ، وعرض المستطيل الجديد  = 5cm


 

23) بطاقة : بطاقة دعوة مستطيلة الشكل يزيدُ طولُها على مثلَي عرضها بمقدار 3cm.

إذا كانت مساحتُها 90cm2  ، فأجدُ طولها وعرضها.

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

أفرض العرض x ، إذن الطول 2x + 3

مساحة المستطيل  = الطول × العرض 

x(2x+3) = 902x2+3x - 90 = 0(2x+15)(x-6) = 02x+15 = 0    or      x-6 = 0x = -7.5      or       x = 6

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 6 

عرض بطاقة الدعوة = 6cm وطولها  = 15cm 


 

24) أحُلّ المسألة الواردة في بداية الدرس.

مسألةُ اليومِ :  إذا كانَ الاقترانُ h(t) = -5t2 + 7t + 6 يُمَثِّلُ ارتفاعَ غطّاسٍ بالأمتارِ فوقَ سطحِ

الماءِ، بعدَ t ثانيةً مِنْ قفزِهِ عَنْ مِنَصَّةِ القفزِ. فما الزمنُ الذي يستغرقُهُ للوصولِ إلى سطحِ الماءِ؟

 

 

 

 

الحل : 

 -5t2+ 7t + 6 = 0 5t  -7t -6 = 0(t-2)(5t+3) = 0t-2 = 0        or      5t +3 = 0 t = 2              or      t = -0.6

يُهمل الحل السالب ، إذن t = 2 


مهاراتُ التفكيرِ العُليا

تبرير : يُبيّن الشكل المُجاور مثلثًا قائم الزاوية.

25) أُبَيّن، بالاعتماد على الشكل، أنَّ 0 = 20x2 - 24x - 9 ، مُبرّرًا إجابتي.

إرشادٌ: أستعملُ نظريَّةَ فيثاغورس

26) أَجِدُ مساحةَ المثلَّثِ.

 

 

 

 

 

 

 الحل : 

 25) باستخدام نظرية فيثاغورس 

(5x-1)2=(2x +3)2+ (x+1)2 25x2-10x +1 =  4x2+12x + 9 + x2+2x + 125x2-10x +1 =  5x2+14x +1020x2 -24x -9 = 0 


26)

20x2 -24x -9 = 0(2x -3)(10x +3) = 02x-3 = 0   or    10x + 3 = 0x = 1.5       or      x = -0.3

يُهمل الحل السالب ، إذن  x = 1.5 

مساحة المثلث  = 12 القاعدة  × الارتفاع 

=12(x+1)(2x+3)= 12(1.5+1)(2×1.5 +3)= 12(2.5)(6) = 7.5

إذن مساحة المثلث = 7.5 وحدة مربعة .


27) أكتشفُ المُختلف: أيُّ المقادير الآتية مُختلفة ؟ أُبَرّر إجابتي.

الإجابة : 

جميع المقادير هي تحليل للمقدار الجبري 2x2 + x - 6

والمختلف (2x+3)(x-2) ، لأنّه تحليل للمقدار الجبري 2x2 - x - 6 

 


28) تَحَدٍّ : أَجِدُ جميع قِيَمِ الثابت k ؛ حيثُ يمكنُ تحليلُ ثلاثِيِّ الحدودِ 2x2 + kx + 12 إلى عاملين باستعمال الأعداد الصحيحة.

الحل : 

قيم k هي مجموع أزواج عوامل العدد 24 

1 ، 24  أو  2 ، 12  أو  3 ، 8    أو  4 ، 6

إذن : قيم k هي : 25  ،  14  ، 11 ، 10


 

أسئلة كتاب التمارين

أُحَلِّلُ كُلًّ ممّا يأتي :

1) 3n2 + 5n - 2                                        2) 2x2 + 3x + 1                                    3) 3x2 - x - 2

4) 5b2 - 13b + 6                                     5) 30x2 - 25x - 30                               6) 21x2 + 2x - 3

الحل : 

1) 3n2 + 5n - 2     

(3n-1)(n +2)  


 2) 2x2 + 3x + 1 

(2x+1)(x+1)


 3) 3x2 - x - 2

(3x+2)(x-1)


4) 5b2 - 13b + 6 

(5b - 3) (b - 2)


 5) 30x2 - 25x - 30 

=5( 6x2 - 5x -6)=5(3x+2)(2x-3) 


6) 21x2 + 2x - 3

(7x + 3)(3x - 1)


 

أَحُلُّ المُعادلات الآتية بالتحليل : 

7) 3x2 + 8x - 3 = 0                              8) 3t2 - 14t + 8 = 0                             9) 6x2 - 5x - 4 = 0

10) 24x2 - 19x + 2 = 0                       11) 15k2 + 4k - 35 = 0                          12) 6x2+30 = 5 - 3x2 - 30x

13) 2k2 - 5k - 18 = 0                         14) 12m2 + 11m = 15                            15) 40n2 - 70n + 15 = 0

الحل : 

 

7) 3x2 + 8x - 3 = 0

(3x+1)(x-3) = 0 3x+1 = 0     or       x-3 = 0x = -13       or       x = 3 


 8) 3t2 - 14t + 8 = 0 

(3t -2)(t - 4) = 0 3t-2 = 0      or      t-4 =0 t = 23            or      t = 4


9) 6x2 - 5x - 4 = 0

(2x+1)(3x - 4) = 0 2x+1 = 0         or        3x - 4 = 0 x = -12           or         x = 43


10) 24x2 - 19x + 2 = 0   

(8x - 1)(3x-2) = 0 8x-1 = 0     or      3x-2 =0 x = 18           or         x = 23


 11) 15k2 + 4k - 35 = 0 

(5x-7)(3x+5) = 0 5x-7 =0        or       3x + 5 = 0 x = 75             or         x = -53


  12) 6x2+30 = 5 - 3x2 - 30x

9x2+ 30x +25 = 0  (3x+5)(3x+5) = 03x+5 = 0x = -53


13) 2k2 - 5k - 18 = 0 

(2k-9)(k+2) = 0 2k-9 = 0        or        k = -2k=4.5               or        k = -2


 14) 12m2 + 11m = 15

12m2+11m -15 = 0(3m+5)(4m-3) = 03m + 5 = 0        or       4m - 3 = 0m = -53             or          m = 34


 15) 40n2 - 70n + 15 = 0

8n2-14n + 3 = 0(2n-3)(4n-1) = 0 2n-3 = 0       or        4n-1 = 0 n = 32             or          n = 14


 

هندسةٌ : مُعتَمِدًا الشكلَ المُجاورَ ، أَحُلُّ السؤالَيْنِ الآتِيَيْنِ تِباعًا:

16) أَجِدُ مساحةَ المُستطيلِ المُجاورِ بدلالةِ x.

17) إذا كانَتْ مساحةُ المُستطيلِ 40 وحدةٍ مُرَبَّعَةٍ ، فَأَجِدُ قيمةَ x.

 

 

 

 

 

الحل : 

16) مساحة المستطيل  = الطول × العرض 

(2x + 2) (x + 2) = 2x2 +6x + 4

17) 

2x2 +6x + 4 = 40 2x2+6x-36 = 0x2 +3x -18 = 0(x +6)(x-3) = 0 x+6= 0      or       x-3 = 0 x = -6      or        x = 3  

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 3


 

18) رياضة : إذا كان الاقترانُ h(t) = -16t2 + 8t + 24 يُمَثِّل ارتفاع غطّاس بالأقدام فوق سطح الماء، بعد t ثانية من قفزه عن مِنصَّة القفز، فما

الزمن الذي يستغرقُه للوصول إلى سطح الماء؟

الحل : 

 -16t2 + 8t + 24 = 0 4t2 - 2t - 6 = 0(2t-3)(2t+2) = 0 2t - 3 = 0     or     2t+2 = 0t = 1.5           or     t = -1

يهمل الحل السالب ، إذن t =1.5 ، أي الزمن الذي سيستغرقه الغطاس للوصول إلى سطح الماء بعد 1.5 ثانية 



19) أكتشِفُ الخطأَ: أكتشِفُ الخطأَ في الحلِّ الآتي، وَأُصَحِّحُهُ.

الإجابة : 

بإخراج 2 عامل مشترك يجب أن نقسم كل حد من حدود المقدار الجبري على العامل المشترك ، والحل الصحيح كالتالي : 

2x2-2x -24 = 2(x2-x - 12 )                       = 2(x-4)(x+3)