رياضيات9 فصل أول

صناعةٌ : تصنعُ شركةٌ صناديقَ لجهازِ إلكترونيٍّ على شكلِ مُتوازي مستطيلاتٍ،

أبعادُها كما هُوَ مُبَيَّنٌ في الشكلِ المُجاورِ. إذا كانَ حجمُ الصندوقِ $60 c{m}^3$ ، فَأَجِدُ أبعادَهُ.

1) 3x⁴ - 12x³ = 0 

$3x^3(x-4)=0$

$3x^3=0 or x-4=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0} or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر 

للمعادلة جذران هما: 0 ، 4 

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام 

إذن للمعادلة الأصلية  3 جذور هي : 0 ، 1 ،  0.2 -

2) 35x³ - 28x² - 7x = 0 

$7x (5x^2-4x-1)=0$

$7x=0 or 5x^2-4x-1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0} or 5x^2-4x-1=0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt[]{36}}{10} \to \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}$

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم  أكتب المعادلة التي أعلى أس فيها 4  على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

إذن للمعادلة الأصلية 3 جذور هي : $0 , \sqrt[]{\frac{3}{2}} , - \sqrt[]{\frac{3}{2}}$

3) 6x⁶ - 3x⁴ - 9x² = 0

$6x^6-3x^4-9x^2=0$

$3x^2(2x^4-x^2-3)=0$

$3x^2(2x^4-x^2-3)=0$

$3x^2=0 0r 2x^4-x^2-3=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ } 0r 2x^4-x^2-3=0$

$2{\left(x^2\right)}^2-x^2-3=0$

$(2x^2-3)(x^2+1)=0$

$2x^2-3=0 or x^2+1=0$

$x^2=\frac{3}{2} \to \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\sqrt[]{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}$

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية بالتحليل

إلى العوامل للمعادلة الأصلية جذران هما :  0 ، 1- 

4) 2x³ + 4x² + 2x = 0 

$2x(x^2+2x+1)=0$

$2x(x+1)(x+1)=0$

$2x=0 or x+1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ } or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}$

كتابة المعادلة بالصورة القياسية ، ثم إخراج العامل المشترك

الأكبر  ، ثم تحليل الفرق بين المربعين

للمعادلة الأصلية 3 جذور ، هي : 0 ، 2 ، 2- 

 5) 3x³ = 12x

 $3x^3-12x=0$

$3x(x^2-4)=0$

$3x(x-2)(x+2)=0$

$3x=0 or x-2=0 or x+2=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ }or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{ }or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}$

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية بالتحليل

إلى العوامل 

للمعادلة الأصلية جذران هما :  0 ، 2- 

6) x³ + 4x² + 4x = 0

$x(x^2+ 4x+ 4)=0$

$x(x+2)(x+2)=0$

$x=0 or x+2=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0} or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}$

أحل المعادلة بالتجميع 

للمعادلة الأصلية  3 جذور ، هي : $\frac{3}{2} , \sqrt[]{2} , -\sqrt[]{2}$

7) 2x³ -3x² -4x +6 = 0 

 $( 2x^3-3x^2)+(-4x+6)=0$

$x^2(2x-3)-2(2x -3)=0$

$(2x-3)(x^2-2)=0$

$2x-3=0 or x^2-2=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}} or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\sqrt[]{\mathbf{2}}$

أحل المعادلة بالتجميع 

ألاحظ أن المعادلة 5x² + 1 = 0 ليس لها حل لأن مميزها عدد سالب 

إذن ، للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  : 1.5 

8) 10x³ -15x² + 2x-3 = 0

$(10x^3-15x^2)+(2x-3)=0$

$5x^2(2x-3)+(2x-3)=0$

$(2x-3)(5x^2+1)=0$

$2x-3=0 or 5x^2+1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{5}$

أحل المعادلة بالتجميع

ألاحظ أن المعادلة  x² + 1 = 0 ليس لها حل لأن مميزها عدد سالب 

إذن ، للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  : 3 

9) x³ - 3x² + x - 3 = 0

$(x^3-3x^2)+( x-3)=0$

$x^2(x-3)+( x-3)=0$

$(x-3)(x^2+1)=0$

$x-3=0 or x^2+1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{3}$

بتحليل الفرق بين مُكَعّبين ، وألاحظ المعادلة التربيعية الناتجة من تحليل الفرق بين مكعبين أولية لا تُحلل لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد هو : 0.2

10) 125x³ - 1 = 0 

${\left(5x\right)}^3-{\left(1\right)}^3=0$

$(5x-1)(25x^2+5x+1)=0$

$5x-1=0 or 25x^2+5x+1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{2}$

قسمة طرفي المعادلة على 3 ، ثم تحليل مجموع مكعبين 

وألاحظ أن المعادلة التربيعية الناتجة من تحليل مجموع مكعبين أولية لا تُحلل لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد هو 10 -

 11) 3x³ + 3000 = 0

 $x^3+1000=0$

$(x+10)(x^2 -10x+100)=0$

$x+10=0 or x^2-10x+100=0 \mathbf{ }$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{10}$

12) x⁴+ x³ -12x -12 = 0 

$(x^4+ x^3)+(-12x -12)=0$

$x^3(x+1)-12(x+1)=0$

$(x+1)(x^3-12)=0$

$x +1=0 or x^3-12=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ } or \mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{12}}$

قسمة المعادلة على 5 ، ثم تحليل فرق مكعبين ، 

العبارة التربيعية الناتجة من تحليل فرق مكعبين أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  4

13) 5x3 - 320 = 0 

$x^3-64=0$

$(x-4) (x^2+4x+16)=0$

$x-4=0 or x^2 +4x+16=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$

 أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية 4 جذور ، هي : 1 ، 1- ، 2 ، 2-

14) x⁴ - 5x² + 4 = 0

${\left(x^2\right)}^2-5x^2+4=0$

$(x^2-4)(x^2-1)=0$

$x^2-4=0 or x^2-1=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{2} or \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{1}\mathbf{ }$

 أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية 4 جذور ، هي :  $\frac{1}{\sqrt[]{2}} , -\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ ، 2 ، 2-

15) 2x⁴ - 9x² + 4 = 0 

$2{\left(x^2\right)}^2-9x^2+4=0$

$(2x^2-1)(x^2-4)=0$

$2x^2-1=0 or x^2-4=0$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\frac{\mathbf{1}}{\sqrt[]{\mathbf{2}}} or \mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathbf{ }$

أكتب المعادلة بالصورة القياسية 

أفرض $u = x^2$ ، وأحلل المعادلة 

أعوض عن u بـ  $x^2$ 

 المعادلة  $x^2 = -\frac{5}{2}$ ليس لها حلول حقيقية 

إذن لا يوجد حل للمعادلة .

16) 4x⁴ + 20x² = -25

$4x^4 + 20x^2 +25 = 0$

$4u^2+20u+25=0$

$(2u+5)(2u+5)=0$

$2u+5=0 \to u=-\frac{5}{2}$

$x^2 = -\frac{5}{2}$

تحليل المعادلة فرق بين مربعين  ، وألاحظ أنّ المعادلة $4x^2+ 9 = 0$ أولية

لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذران ، هما : $\frac{3}{2} , - \frac{3}{2}$

17) 16x⁴ - 81 = 0

$(4x^2- 9)(4x^2+ 9) = 0$

$4x^2- 9 = 0 or 4x^2+ 9 = 0$

$x^2 = \frac{9}{4} \to \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pm }\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$

أقسم طرفي المعادلة على 5  ، ثم  أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية جذران ، هما : $\sqrt[3]{3} , \sqrt[3]{2}$

18) 5w⁶ - 25w³ + 30 = 0

$w^6-5w^3+6=0$

${\left(w^3\right)}^2 - 5w^3+6=0$

$(w^3-3)(w^3-2)=0$

$w^3-3=0 or w^3-2=0$

$w^3=3 or w^3=2$

$\mathit{w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}} or \mathit{w}\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}\mathbf{ }$

19) مشاريعُ صغيرةٌ : يُمَثِّلُ الاقترانُ R(t) = t³ - 8t² + t + 15 الإيرادَ السنويَّ (بالألفِ دينارٍ)لمشروعِ غيداءَ

الصغيرِ بعدَ t عامًا مِنْ إنشائِهِ. بعدَ كمْ سنةً يصلُ إيرادُ غيداءَ إلى 23 ألفَ دينارٍ؟

20) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ أُسطوانةً حجمُها $25\mathrm{\pi h} {\mathrm{cm}}^3$  . إذا كانَ طولُ نصفِ قطرِ

قاعدةِ الأُسطوانةِ يقلُّ عَنِ ارتفاعِها بمقدارِ  $3 cm$ ، فَأَجِدُ أبعادَها.

مسألةُ اليومِ : كيسٌ للهدايا على شكلِ مُتوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ $1152 c{m}^3$ ، وأبعادُهُ

بدلالةِ المُتَغَيِّرِ w مُوَضَّحَةٌ في الشكلِ المُجاورِ. أَجِدُ أبعادَهُ.

$u^2+4u=2$

$u^2+4u+4=2+4$

${(u+2)}^2=6u+2=\pm \sqrt[]{6}$

$u=-2\pm \sqrt[]{6}$

$u=-2+\sqrt[]{6} or u=-2-\sqrt[]{6}$

$u\approx 0.45 or u\approx -4.45$

$(u+1)(u-3)=0$

$u+1=0 or u-3=0$

$u=-1 or u=3$

$u=-1 or u=3$

$x^2-1=-1 or x^2-1=3$

$x^2=0 or x^2=4$

$x=0 or x=\pm 2$

لنحصل على حل واحد من المعادلة التربيعية 5x² + wx  + 80 = 0 

نجعل المميز = صفر  

$b^2 -4ac=0$

$w^2-4\left(5\right)\left(80\right)=0$

$w^2-1600 = 0 \to w^2=1600$

$w =\pm \sqrt[]{1600}$

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر  ، ثم أحلل 

العبارة التربيعية بالتحليل إلى العوامل 

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر  ، ثم أحلل 

 فرق بين مربعين 

  أحلل المعادلة بالتجميع ، وألاحظ أنّ المعادلة  2x² + 5 = 0  أولية لا تُحلل

لأنّ مميزها عدد سالب 

أكتب المعادلة بالصورة القياسية وأحلل بالتجميع 

وألاحظ أنّ المعادلة   x² + 6 = 0  أولية لا تُحلل

لأنّ مميزها عدد سالب 

أحلل مجموع مكعبين ، والعبارة التربيعية الناتجة من تحليل مجموع مكعبين

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب .

إخراج العامل المشترك الأكبر ، ثم تحليل الفرق بين مكعبين 

والعبارة التربيعية الناتجة من تحليل الفرق بين مكعبين

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب . 

أكتب المعادلة على الصورة التربيعية ، ثم أحلل 

المعادلة  x² + 4 = 0 أولية لا تحلل لأن مميزها عدد سالب . 

أحلل فرق بين مربعين  ، والمعادلة التربيعية  4x² + 9 = 0 أولية لا تحلل

لأن مميزها عدد سالب . 

إخراج العامل المشترك الأكبر ، ثم كتابة المعادلة على 

الصورة التربيعية وتحليلها 

أحلل المعادلة فرق بين المربعين ، والمعادلة التربيعية  2x² + 5 = 0 الناتجة

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب .

16) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مُتوازي مستطيلاتٍ حجمُهُ 

$96 m^3$ أَجِدُ أبعادَهُ.