رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 145

أَحُلّ كلّ من المُعادلات الآتية :

a) x3 + 12x = 7x2                                                       b) x3 = 25x

الحل : 

a) x3 + 12x = 7x2   

المُعادلةُ المُعطاةُ x3 + 12x = 7x2
بِطرحِ  7x2 من طَرَفَيِ المُعادلةِ x3 - 7x2+ 12x = 0
بالتحليلِ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ x(x2 - 7x + 12) = 0
بالتحليلِ إلى العوامل   x(x - 3)(x - 4) = 0
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x = 0   or    x - 3 = 0    or    x - 4 = 0 
حلِّ كلِّ مُعادلةٍ x = 0   or    x = 3         or    x = 4 

 

 

 

 

 

 


 b) x3 = 25x

المُعادلةُ المُعطاةُ x3 = 25x 
بِطرحِ  25x  من طَرَفَيِ المُعادلةِ x3 - 25x = 0
بالتحليلِ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ x(x2 - 25) = 0
بتحليل فرق بين مربعين     x(x - 5)(x + 5) = 0
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x = 0   or    x - 5 = 0   or    x + 5 = 0 
حلِّ كلِّ مُعادلةٍ x = 0   or    x = 5        or    x = -5 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 146

أَحُلّ كلّ مِنَ المُعادلات الآتية :

a) 9x3 + 18x2 + 2x + 4 = 0                                                       b) 2x3 + x2 - 14x - 7 = 0

الحل : 

a) 9x3 + 18x2 + 2x + 4 = 0 

المُعادلةُ المُعطاةُ 9x3 + 18x2 + 2x + 4 = 0
بتجميعِ الحُدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكَةِ (9x3 + 18x) + (2x + 4) = 0
بتحليلِ كلِّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ 9x2(x + 2) +  2(x + 2) = 0
بإخراجِ ( x + 2 ) عاملًا مُشترَكًا (x + 2)(9x2+ 2) =  0
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ  x + 2 = 0   or    9x2+ 2 =  0
بحلِّ المُعادلةِ x = - 2 

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ  9x2 + 2  ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هُوَ 2 -

 


   b) 2x3 + x2 - 14x - 7 = 0

المُعادلةُ المُعطاةُ 2x3 + x2 - 14x - 7 = 0 
بتجميعِ الحُدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكَةِ (2x3 + x) + (-14x - 7) = 0
بتحليلِ كلِّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ x2(2x + 1) +  -7(2x + 1) = 0
بإخراجِ (2x + 1) عاملًا مُشترَكًا (2x + 1)(x2- 7) =  0
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ  2x + 1 = 0   or     x2- 7 =  0
بحلِّ كل معادلة   x =  -12      or     x = ±7 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 148 

أَحُلّ كلّ مِنَ المُعادلات الآتية :

a) 27x3 - 1 = 0                                      b) x3 + 1000 = 0                                      c) 16x4 - 250x = 0

الحل : 

a) 27x3 - 1 = 0   

المُعادلة المُعطاة 27x3 - 1 = 0 
بكتابة المقدار على صورة الفرق بين مُكعّبين (3x)3 - (1)3 = 0
بتحليل الفرق بين مُكَعّبين (3x-1) (9x2+3x +1) = 0
خاصيَّة الضّرب الصّفريّ  3x-1 = 0      or    9x2+ 3x +1
بحلّ المُعادلة  x = 13

 

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ  9x2 + 3x + 1  ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هُوَ 2 -

 


b) x3 + 1000 = 0 

المُعادلةُ المُعطاةُ x3 + 1000 = 0
بالكتابةِ على صورةِ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ x3+(10)3 = 0
بتحليلِ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ (x + 10) (x2 - 10x +100) = 0 
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x + 10 = 0     or   x2 - 10x +100 = 0 
بحلِّ المُعادلةِ x = -10

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ   x2 - 10x + 100  ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هُوَ 10 -

 


c) 16x4 - 250x = 0

المُعادلة المُعطاة 16x4 - 250x = 0
بإخراج 2x عامل مشترك    2x(8x3 - 125)  = 0
بتحليل الفرق بين مُكَعّبين 2x(2x  - 5)(4x2 + 10x + 25) = 0
خاصيَّة الضّرب الصّفريّ  2x = 0     or     2x - 5 = 0      or    4x2 + 10x + 25
بحلّ كل مُعادلة  x = 0       or       x = 2.5     

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ  4x2 + 10x + 25 ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذران حقيقيان هما 2.5  ، 0  

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 149

أَحُلّ كلّ مِنَ المُعادلات الآتية :

a) x4 - 625 = 0                                                  b) x4 - 3x2 + 2 = 0

الحل : 

a) x4 - 625 = 0 

المُعادلة المُعطاة x4 - 625 = 0 
بكتابة المعادلة على الصورة التربيعيّة (x2)2 - (25)2 = 0
بتحليلِ فرق بين مربعين   (x2 - 25)(x2+ 5) = 0 
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x2-25 = 0    or    x2+5 = 0 
بحل المعادلة  (x-5)(x+5) = 0    or    x2+5 = 0 
بالتبسيط  x = 5    or   x = -5

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ   x2 + 5 = 0 ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذران حقيقيان هما 5 - ، 5  

 


b) x4 - 3x2 + 2 = 0

المُعادلة المُعطاة x4 - 3x2 + 2 = 0
بكتابة المعادلة على الصورة التربيعيّة (x2)2 - 3x2 + 2 = 0
بالتحليلِ إلى العواملِ  (x2-2)(x2-1) = 0 
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x2-2  = 0     or     x2-1  = 0 
بحل كل معادلة  x = ±2      or     x=  ±1

 

 

 

 

 

للمعادلة 4 جذور ، هي : 2 , -2  ,  1  , -1 


 

أتحقق من فهمي صفحة 150

صناعةٌ : تصنعُ شركةٌ صناديقَ لجهازِ إلكترونيٍّ على شكلِ مُتوازي مستطيلاتٍ،

أبعادُها كما هُوَ مُبَيَّنٌ في الشكلِ المُجاورِ. إذا كانَ حجمُ الصندوقِ 60 cm3 ، فَأَجِدُ أبعادَهُ.

 

 

 

 

الحل : 

حجم متوازي المستطيلات  = الطول × العرض × الارتفاع 

(x+6)(x-2)(x-1) = 60 x3 + 3x2 - 16x+12 = 60 x3+3x2-16x-48 = 0 

أحل المعادلة بالتجميع 

المُعادلةُ المُعطاةُ x3 + 3x2 -16x - 48 = 0
 بتجميعِ الحُدود ذات العوامل المُشتركة (x3 + 3x2) + (-16x - 48) = 0
بتحليلِ كلِّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ     x2(x + 3) -16(x + 3) = 0
بإخراجِ (x + 3) عاملًا مُشترَكًا (x + 3)(x2 -16) = 0 
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ x + 3 = 0    or    x2 - 16 = 0   
حلِّ كلِّ مُعادلةٍ x = -3         or    x = 4    or    x = -4 

 

 

 

 

 

 

 يُهمل الحل السالب ، إذن x = 4 

الطول =  10 cm  ،  العرض = 2 cm  ، الارتفاع = 3 cm

  


 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أَحُلّ كلّ مِنَ المُعادلات الآتية :

1) 3x4 - 12x3 = 0  2) 35x3 - 28x2 - 7x = 0  3) 6x6 - 3x4 - 9x2 = 0
4) 2x3 + 4x2 + 2x = 0  5) 3x3 = 12x 6) x3 + 4x2 + 4x = 0
7) 2x3 -3x2 - 4x + 6 = 0    8) 10x3 -15x2 + 2x -3 = 0 9) x3 - 3x2 + x - 3 = 0
10) 125x3 - 1 = 0  11) 3x3 + 3000 = 0 12) x4+ x3 - 12x - 12 = 0
13) 5x3 - 320 = 0  14) x4 - 5x2 + 4 = 0 15) 2x4 - 9x2 + 4 = 0
16) 4x4 + 20x2 = -25 17) 16x4 - 81 = 0 18) 5w6 - 25w3 + 30 = 0

 

الحل : 

1) 3x4 - 12x3 = 0 

3x3(x - 4) = 0 3x3 = 0    or    x-4 = 0 x = 0       or    x = 4 

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر 

للمعادلة جذران هما :  0 ، 4 

 

 

 

 

 

 

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام 

إذن للمعادلة الأصلية  3 جذور هي : 0 ، 1 ،  0.2 -

2) 35x3 - 28x2 - 7x = 0 

7x (5x2 - 4x - 1) = 0 7x = 0      or   5x2 - 4x - 1 = 0 x = 0        or   5x2 - 4x - 1 = 0

x = 4 ±3610  x = 1    or     x = -0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم  أكتب المعادلة التي أعلى أس فيها 4  على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

إذن للمعادلة الأصلية 3 جذور هي : 0 , 32 , -  32

3) 6x6 - 3x4 - 9x2 = 0

6x6 - 3x4 - 9x2 = 03x2(2x4 - x2 - 3) = 03x2(2x4 - x2 - 3) = 03x2 = 0       0r    2x4 - x2 - 3 = 0x = 0          0r    2x4 - x2 - 3 = 0  

 

2(x2)2 - x2 - 3 = 0(2x2-3)(x2+1) = 0 2x2-3 = 0    or   x2+1 = 0 x2 = 32 x = ±32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية بالتحليل

إلى العوامل 

للمعادلة الأصلية جذران هما :  0 ، 1- 

4) 2x3 + 4x2 + 2x = 0 

2x(x2+2x+1) = 0   2x(x+1)(x+1)= 0   2x=0    or    x+1 = 0 x = 0    or    x = -1 

 

 

 

 

 

 

 

 

كتابة المعادلة بالصورة القياسية ، ثم إخراج العامل المشترك

الأكبر  ، ثم تحليل الفرق بين المربعين

للمعادلة الأصلية 3 جذور ، هي : 0 ، 2 ، 2- 

 5) 3x3 = 12x

 3x3 - 12x = 03x(x2 - 4) = 0 3x(x - 2)(x+ 2) = 0 3x = 0    or    x-2 = 0      or    x+2 = 0 x = 0      or    x = 2            or    x = -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

إخراج العامل المشترك الأكبر ثم أحل المعادلة التربيعية بالتحليل

إلى العوامل 

للمعادلة الأصلية جذران هما :  0 ، 2- 

6) x3 + 4x2 + 4x = 0

x(x2+ 4x + 4) = 0 x(x + 2)(x+ 2) = 0x = 0     or     x + 2 = 0 x = 0     or     x = -2

 

 

 

 

 

 

 

أحل المعادلة بالتجميع 

للمعادلة الأصلية  3 جذور ، هي : 32  ,  2  ,  -2

7) 2x3 -3x2 -4x +6 = 0 

 ( 2x3 - 3x2) +(-4x+ 6) = 0 x2(2x - 3) -2(2x -3) = 0(2x - 3)(x2-2) = 02x - 3 = 0      or      x2-2 = 0 x = 32    or     x = ± 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أحل المعادلة بالتجميع 

ألاحظ أن المعادلة 5x2 + 1 = 0 ليس لها حل لأن مميزها عدد سالب 

إذن ، للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  : 1.5 

8) 10x3 -15x2 + 2x-3 = 0

(10x3 -15x2) + (2x-3) = 05x2(2x -3) +  (2x-3) = 0(2x-3)(5x2 + 1) = 0 2x - 3 = 0   or    5x2 +1 = 0x = 1.5    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أحل المعادلة بالتجميع

ألاحظ أن المعادلة  x2 + 1 = 0 ليس لها حل لأن مميزها عدد سالب 

إذن ، للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  : 3 

 

 

9) x3 - 3x2 + x - 3 = 0

(x3 - 3x2) +( x - 3) = 0x2(x - 3) +( x - 3) = 0(x-3) (x2 + 1) = 0x - 3 = 0   or    x2 + 1 = 0 x = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بتحليل الفرق بين مُكَعّبين ، وألاحظ المعادلة التربيعية الناتجة من تحليل الفرق بين مكعبين أولية لا تُحلل لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد هو : 0.2

10) 125x3 - 1 = 0 

(5x)3 - (1)3 = 0 (5x - 1)(25x2+5x + 1) = 0 5x - 1 = 0      or    25x2+5x + 1 = 0 x = 0.2     

 

 

 

 

 

 

 

قسمة طرفي المعادلة على 3 ، ثم تحليل مجموع مكعبين 

وألاحظ أن المعادلة التربيعية الناتجة من تحليل مجموع مكعبين أولية لا تُحلل لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد هو 10 -

 11) 3x3 + 3000 = 0

 x3 + 1000  = 0 (x+10)(x2 -10x + 100) = 0 x + 10 = 0     or    x2 -10x + 100 = 0 x = -10 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أحل المعادلة بالتجميع ، إذن للمعادلة الأصلية جذران هما : -1 , 123

12) x4+ x3 -12x -12 = 0 

(x4+ x3) + (-12x -12) = 0 x3(x + 1) -12(x + 1) = 0 (x + 1)(x3-12) = 0 x + 1 = 0      or   x3-12 = 0 x = -1         or    x = 123

 

 

 

 

 

 

 

 

قسمة المعادلة على 5 ، ثم تحليل فرق مكعبين ، 

العبارة التربيعية الناتجة من تحليل فرق مكعبين أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب

إذن للمعادلة الأصلية جذر واحد ، هو  4

13) 5x3 - 320 = 0 

x3 - 64 = 0 (x- 4) (x2 +4x + 16) = 0 x - 4 = 0      or    x2 +4x + 16 = 0x = 4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية 4 جذور ، هي : 1 ، 1- ، 2 ، 2-

14) x4 - 5x2 + 4 = 0

(x2)2 - 5x2 + 4 = 0(x2 - 4)(x2 - 1) = 0 x2 - 4 = 0      or      x2 -1 = 0 x = ± 2          or       x = ± 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية 4 جذور ، هي :  12 , -12 ، 2 ، 2-

 

15) 2x4 - 9x2 + 4 = 0 

2(x2)2 -9x2 + 4 = 0(2x2 - 1)(x2 -4) = 0 2x2 - 1 = 0      or     x2 -4 = 0 x = ± 12       or    x = ± 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

أكتب المعادلة بالصورة القياسية 

أفرض u = x2 ، وأحلل المعادلة 

أعوض عن u بـ  x2 

 المعادلة  x2 = -52 ليس لها حلول حقيقية 

إذن لا يوجد حل للمعادلة .

16) 4x4 + 20x2 = -25

4x4 + 20x2 +25 = 0  

4u2 + 20u + 25 = 0 (2u + 5)(2u + 5) = 0 2u + 5 = 0 u = -52

x2 = -52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تحليل المعادلة فرق بين مربعين  ، وألاحظ أنّ المعادلة 4x2+ 9 = 0 أولية

لأنّ مميزها عدد سالب 

إذن للمعادلة الأصلية جذران ، هما : 32 , - 32

 

17) 16x4 - 81 = 0

(4x2- 9)(4x2+ 9) = 04x2- 9 = 0    or     4x2+ 9 = 0x2 = 94            x = ± 32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أقسم طرفي المعادلة على 5  ، ثم  أكتب المعادلة على الصورة التربيعيّة ، ثم أحللها .

للمعادلة الأصلية جذران ، هما : 33  ,  23

18) 5w6 - 25w3 + 30 = 0

w6 - 5w3 + 6  = 0 (w3)2 - 5w3 + 6 = 0 (w3 - 3)(w3 - 2) = 0 w3 - 3 = 0      or     w3 - 2 = 0 w3 = 3             or     w3 = 2 w = 33           or      w = 23 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

19) مشاريعُ صغيرةٌ : يُمَثِّلُ الاقترانُ R(t) = t3 - 8t2 + t + 15 الإيرادَ السنويَّ (بالألفِ دينارٍ)لمشروعِ غيداءَ

الصغيرِ بعدَ t عامًا مِنْ إنشائِهِ. بعدَ كمْ سنةً يصلُ إيرادُ غيداءَ إلى 23 ألفَ دينارٍ؟

 

 

 

 

 

 

الحل : 

أجعل الاقتران الذي يمثل الايراد يساوي 23 (بالألف دينار)

t3-8t2+t+15 = 23t3-8t2+t-8 = 0(t3-8t2) + (t-8) = 0 t2(t - 8) + (t-8) = 0 (t - 8) (t2 + 1) = 0 t - 8 = 0     or  t2 + 1 = 0 t = 8 

المعادلة t2 + 1 = 0 ليس لها حل لأنّ مميزها سالب ، إذن t = 8  ، إذن بعد 8 سنوات يصبح إيراد غيداء 23 ألف.


 

 

20) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ أُسطوانةً حجمُها 25πh cm3  . إذا كانَ طولُ نصفِ قطرِ

قاعدةِ الأُسطوانةِ يقلُّ عَنِ ارتفاعِها بمقدارِ  3 cm ، فَأَجِدُ أبعادَها.

 

 

 

 

 

 

الحل : 

طولُ نصفِ قطرِ قاعدةِ الأُسطوانةِ يقلُّ عَنِ ارتفاعِها بمقدارِ 3 cm  ، إذن  h = r + 3

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة ×الارتفاع 

25π h = π r2h 

أعوض بدلًا من h بـ  r + 3

25 π (r+3) = π r2 (r + 3)

أقسم طرفي المعادلة على π

25 (r+3) = r2(r + 3)

أبسط وأكتب المعادلة بالصورة القياسية ، وأحل المعادلة بالتجميع :

25 (r+3) = r2(r + 3)25r + 75 = r3 + 3r2r3 + 3r2 - 25r - 75 = 0 (r3 + 3r2) +(- 25r - 75) = 0 

r2(r + 3) -25(r + 3) = 0 (r + 3) (r2 - 25) = 0 r + 3 = 0    or    r2 - 25 = 0 r = - 3      or    r = -5     or    r = 5 

يُهمل الحل السالب ، إذن  r = 5 cm  ,   h = 8 cm


   

21) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : كيسٌ للهدايا على شكلِ مُتوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ 1152 cm3 ، وأبعادُهُ

بدلالةِ المُتَغَيِّرِ w مُوَضَّحَةٌ في الشكلِ المُجاورِ. أَجِدُ أبعادَهُ.

 

 

 

 

 

الحل : 

حجم متوازي المستطيلات  = الطول × العرض × الارتفاع 

w(2w + 4)(18 - w) = 1152(2w2 + 4w)(18 - w) = 115236w2-2w3 + 72w - 4w2 = 115232w2-2w3 + 72w - 1152 = 0 16w2 -w3 + 36w - 576 = 0 

أحل المعادلة بالتجميع 

(16w2 -w3) +(36w - 576) = 0 w2(16 - w) -36(-w + 16) = 0(16 - w)(w2-36) = 016 - w = 0   or   w2-36 = 0w = 16  or   w = 6   or   w = -6 

يُهمل الحل السالب  ، إذن w = 16  أو  w = 6 

إذا كان w = 6   ، أبعاد كيس الهدايا هي : 6 cm , 16 cm  , 12 cm  (الأبعاد أقرب لشكل الكيس المرسوم)

إذا كان w = 16  ، أبعاد كيس الهدايا هي  : 16 cm ,  36 cm  , 2 cm  (الأبعاد بعيدة عن شكل الكيس المرسوم)


 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

22) أكتشِفُ الخطأَ : حَلَّتْ نداءُ المُعادلةَ 0 = 2x4 -18x2 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في حلِّها وَأُصَحِّحُهُ.

الحل : 

أخطأت نداء إذ لم تُطبق خاصية الضرب الصفري بين 2x2 والمقدار (x- 9) 

والحل الصحبح : 

2x4 - 18x2 = 02x2 (x2 - 9) = 0 2x2 = 0    or     x2 - 9  = 0 2x2 = 0    or     (x- 3)(x+3)  = 0   x = 0       or       x = 3     or     x = -3 


 

تَحَدّ : أَحُلّ المُعادلتين الآتيتين، مُبرّرًا إجابتي:

23) x6 + 4x3 = 2                                                       24) (x2 -1)2 - 2(x2 -1) = 3

الحل : 

23) x6 + 4x3 = 2 

أكتب المعادلة على الصورة التربيعية   (x3)2 + 4x3 = 2  
أفرض u = x3   u2 + 4u = 2 
أحل المعادلة بإكمال المربع ، وأجد قيم u مقربًا إجابتي لأقرب جزء من مئة  u2 + 4u = 2 u2 + 4u + 4 = 2 +4(u + 2)2 = 6  u + 2 = ± 6u = -2±6u = -2+6     or    u = -2-6u  0.45            or    u -4.45 
أعوض بدلًا من u بـ  x لأجد قيم x مقربًا إجابتي لأقرب جزء من مئة  x3  0.45          or      x3  -4.45x  0.77            or      x  -1.64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 24) (x2 - 1)2 - 2(x2 - 1) = 3

أفرض أنّ u = x2 - 1  ، وأكتب المعادلة بالصورة القياسية  u2 - 2u - 3 = 0  
أحل المعادلة بالتحليل إلى العوامل   (u+1)(u -3) = 0 u+1 = 0    or     u - 3 = 0 u = -1     or      u = 3  
أعوض بدلًا u بـ  u = x2 - 1   ، لأجد قيم x  u = -1                    or           u = 3 x2 - 1 = -1          or           x2-1 = 3 x2 = 0                      or           x2  = 4 x = 0                       or           x = ± 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

25) تبريرٌ : أجِدُ قيمة العدد w التي تجعلُ للمُعادلة 5x3 + wx2 + 80x = 0 حَلّين حقيقيَّيْن فقط ، مُبَرِّرًا إجابتي.

الحل : 

أُخرج العامل المشترك الأكبر  x (5x2 + wx  + 80)  = 0
بحسب خاصية الضرب الصفري نحصل على حل حقيقي هو  x = 0  x = 0    or  5x2 + wx  + 80 = 0 

لنحصل على حل واحد من المعادلة التربيعية 5x2 + wx  + 80 = 0 

نجعل المميز = صفر  

b2 - 4ac = 0 w2 - 4(5)(80) = 0 w2 - 1600 = 0 w2 = 1600  w = ± 1600 
إذن : w = 40  أو  w =  - 40   w = ± 40

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أسئلة كتاب التمارين 

أَحُلّ المُعادلات الآتية :

1) 24x3 + 18x2 = 0  2) x3 - 2x2 - 24x = 0 3) 3x5 = 192x3
4) 2x3 - 20x2 + 5x - 50 = 0  5) x3 - 5x2 + 6x = 30 6) 16x3 + 32x2 - x - 2 = 0
7) x3 + 512 = 0    8) 3x9 - 192x6 = 0  9) 3x + 1 = x2 + 3x3
10) 2x5 + 2x4 - 144x3 = 0  11) x4 - 3x2 - 28 = 0  12) 16x4 - 81 = 0
13) 4x12 - 32x7 + 48x2 14) 4x3 - 7x2 - 16x + 28 = 0  15) 4x4 - 25 = 0

 

 

 

 

 

الحل : 

1) 24x3 + 18x2 = 0

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر  24x3 + 18x2 = 06x2(4x + 3) = 0 6x2 = 0        or      4x + 3 = 0 x = 0            or       x = -34 

 

 

 

 

 

 

2) x3 - 2x2 - 24x = 0

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر  ، ثم أحلل 

العبارة التربيعية بالتحليل إلى العوامل 

x(x2 - 2x - 24)  = 0x(x - 6)(x + 4) = 0 x = 0       or       x - 6 = 0       or      x + 4 = 0 x = 0       or       x = 6               or      x =- 4  

 

 

 

 

 

3) 3x5 = 192x3  

أحل المعادلة بإخراج العامل المشترك الأكبر  ، ثم أحلل 

 فرق بين مربعين 

3x5 - 192x3 = 03x3 (x2 - 64) = 0 3x3 = 0       or      x2 - 64 = 0 x = 0           or      x = 8     or     x = -8

 

 

 

 

 

4) 2x3 - 20x2 + 5x - 50 = 0

  أحلل المعادلة بالتجميع ، وألاحظ أنّ المعادلة  2x2 + 5 = 0  أولية لا تُحلل

لأنّ مميزها عدد سالب 

(2x3 - 20x2) + (5x - 50) = 02x2(x - 10) + 5(x - 10) = 0(x - 10)(2x2 + 5) = 0 x - 10 = 0      or    2x2 + 5 = 0 x = 10 

 

 

 

 

 

 

5) x3 - 5x2 + 6x = 30

أكتب المعادلة بالصورة القياسية وأحلل بالتجميع 

وألاحظ أنّ المعادلة   x2 + 6 = 0  أولية لا تُحلل

لأنّ مميزها عدد سالب 

x3- 5x2 + 6x - 30 = 0(x3- 5x2) + ( 6x - 30) = 0x2(x -5) + 6(x - 5) = 0 (x -5)(x2 +6) = 0 x - 5 = 0     or    x2 + 6 = 0 x = 5

 

 

 

 

 

 

 

6) 16x3 + 32x2 - x - 2 = 0

أحلل بالتجميع  (16x3 + 32x2) +(- x - 2) = 016x2(x + 2) -1 (x + 2) = 0 (x + 2) (16x2 - 1) = 0 x + 2 = 0     or     16x2 - 1 = 0x = -2         or      x2 = 116x = -2        or      x = 14    or        x = -14

 

 

 

 

 

 

 

 

7) x3 + 512 = 0   

أحلل مجموع مكعبين ، والعبارة التربيعية الناتجة من تحليل مجموع مكعبين

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب .

x3 + 83 = 0  (x+8)(x2- 8x+64) = 0 x + 8 = 0      or    x2- 8x+64 = 0 x = 8  

 

 

 

 

 

 

8) 3x9 - 192x6 = 0 

إخراج العامل المشترك الأكبر ، ثم تحليل الفرق بين مكعبين 

والعبارة التربيعية الناتجة من تحليل الفرق بين مكعبين

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب . 

3x6 (x3 - 64) = 0 3x6 (x - 4)(x2 + 4x + 16) = 0 3x6 = 0      or       x - 4= 0         or      x2 + 4x + 16  = 0 x = 0         or      x = 4 

 

 

 

 

 

 

9) 3x + 1 = x2 + 3x3

أحلل بالتجميع  3x3 +  x2 - 3x - 1 = 0(3x3 +  x2) + (- 3x - 1) = 0x2(3x + 1) -1(3x + 1) = 0 (3x + 1) (x2 - 1) = 03x + 1 = 0     or    x - 1  = 0       or      x + 1  = 0 x = -13     or     x = 1     or     x = -1

 

 

 

 

 

 

 

10) 2x5 + 2x4 - 144x3 = 0 

إخراج العامل المشترك الأكبر ، ثم تحليل إلى العوامل  2x5 + 2x4 - 144x3 = 0 2x3(x2 + x -72) = 02x3(x + 9)(x - 8) = 0 x = 0    or   x = -9    or   x = 8 

 

 

 

 

 

11) x4 - 3x2 - 28 = 0 

أكتب المعادلة على الصورة التربيعية ، ثم أحلل 

المعادلة  x2 + 4 = 0 أولية لا تحلل لأن مميزها عدد سالب . 

(x2)2 - 3x2 - 28 = 0 (x2 - 7)(x2 + 4) = 0 x2 - 7 = 0       or       x2 + 4 = 0 x2 = 7  x = ± 7

 

 

 

 

 

12) 16x4 - 81 = 0

أحلل فرق بين مربعين  ، والمعادلة التربيعية  4x2 + 9 = 0 أولية لا تحلل

لأن مميزها عدد سالب . 

(4x2- 9)(4x2+ 9) = 0(2x - 3)(2x + 3) (4x2 + 9) = 0 2x - 3 = 0     or      2x + 3 = 0     or    4x2 + 9x = 32     or    x = -32

 

 

 

 

 

13) 4x12 - 32x7 + 48x2 = 0  

إخراج العامل المشترك الأكبر ، ثم كتابة المعادلة على 

الصورة التربيعية وتحليلها 

4x12 - 32x7 + 48x2 = 0  4x2(x10-8x5+12) = 04x2((x5)2-8x5+12) = 04x2 (x5 - 6)(x5 -2) = 0 4x2 = 0      or    x5 - 6 = 0       or    x5 -2  = 0 x = 0         or      x5 = 6              or      x5 = 2 x = 0         or      x  =  65         or      x  = 25 

 

 

 

 

 

 

 

 

14) 4x3 - 7x2 - 16x + 28 = 0 

أحلل بالتجميع  (4x3 - 7x2) +(-16x + 28) = 0 x2(4x - 7) -4(4x - 7) = 0 (4x - 7) (x2 - 4) = 0 4x - 7 = 0     or     x2 - 4 = 0    x = 74     or       x - 2     or      x + 2 = 0 x = 74     or       x = 2     or      x =- 2  

 

 

 

 

 

 

 

 

15) 4x4 - 25 = 0

أحلل المعادلة فرق بين المربعين ، والمعادلة التربيعية  2x2 + 5 = 0 الناتجة

أولية لا تحلل لأنّ مميزها عدد سالب .

4x4 - 25 = 0(2x2 - 5)(2x2 + 5) = 02x2 - 5 = 0     or    2x2 + 5 = 0 x2 = 52x = ± 52

 

 

 

 

 

 

 


 

16) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مُتوازي مستطيلاتٍ حجمُهُ 

96 m3 أَجِدُ أبعادَهُ.

 

 

 

 

الحل : 

حجم متوازي المستطيلات = الطول ×  العرض ×  الارتفاع 

x (x+ 8) (x - 2) = 96 x3 + 6x2 - 16 x - 96 = 0 (x3 + 6x2) + (-16x - 96) = 0 x2(x + 6) -16(x + 6) = 0 (x + 6) (x2 - 16) = 0(x + 6) (x - 4) (x + 4) = 0x = -6     or     x = 4      or     x = - 4

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 4  ، إذن أبعاد الشكل : 4 m , 12 m , 2 m 


 

17)  أكتبُ مُعادلةً مُرتبطةً بمنحنى الاقترانِ المُمَثَّلِ بيانِيًّا في الشكلِ المُجاورِ ، مُبَرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

 

 

الحل :

للمعادلة ثلاثة جذور هي : 2 ، 2- ، 0 

إذن  : 

x = 2                x - 2 = 0  x = -2            x + 2 = 0x = 0 

إذن عوامل الاقتران هي  : x ,  x - 2   ,  x + 2  

f(x) = x(x-2)(x+2)f(x) = x3 - 4x 

المعادلة المرتبط بالاقتران هي  : x3 + 4x = 0 


 

18) حوضُ أسماكٍ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ حوضًا للأسماكِ
على شكلِ مُتوازي مستطيلاتٍ حجمُهُ 12 dm3 . أَجِدُ أبعادَهُ.

 

 

 

 

الحل :

حجم متوازي المستطيلات = الطول ×  العرض ×  الارتفاع 

x(x-1)(x+4) =12x3 + 3x2 - 4x = 12 x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0 x2(x + 3) -4(x + 3) = 0 (x + 3) (x2 - 4) = 0 (x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0 x = -3     or     x = 2      or    x = -2 

يُهمل الحل السالب  ، إذن x = 2  ، إذن أبعاد حوض الأسماك هي :  2 dm , 1 dm , 6 dm