رياضيات فصل أول

المعادلة المثلثية هي معادلة متغيراتها نسب مثلثية لزاوية مجهولة. وحل المعادلة المثلثية يعني إيجاد الزاوية (أو الزوايا) التي تحقق هذه المعادلة، وتجعل منها عبارة صحيحة 

من الأمثلة المعادلات المثلثية: 

$sin x=0.5 tan x=2.435 2+cos x=3-2cos x 2si{n}^{2}x=3$

يمكن حل بعض المعادلات، مثل: $\cos x=aو،\sin x=a$، باستعمال الآلة الحاسبة، أو استعمال ما نتذكره من نسب الزوايا الخاصة 

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن $:0°\le x\le 360°$

$$\begin{gathered} 1) 2 \sin x=1 \\ \sin x=\frac{1}{2} \\ x={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30° \end{gathered}$$

ولأن الجيب يكون أيضا موجبا في الربع الثاني؛ فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو:

$180°-30°=150°$

إذن، لهذه المعادلة حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما: $150°و،30°$

$$\begin{gathered} 3) 3 \cos x-1=2 \\ 3 \cos x=3 \\ \cos x=1 \\ x={\cos }^{-1}\left(1\right)=0° \end{gathered}$$

لهذه المعادلة حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما:$360°و،0°$

يتطلب حل بعض المعادلات مزيدا من التبسيط والمعالجة قبل استعمال الآلة الحاسبة 

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين: 

$$\begin{gathered} 1) 2 \left(\tan x-3\right)+4=12,0°\le x\le 360° \\ 2 \tan x-6+4=12 \\ 2 \tan x=14 \\ \tan x=7 \\ x= {\tan }^{-1}\left(7\right) \\ x=81.9° \end{gathered}$$

ولأن الظل يكون أيضا موجبا في الربع الثالث؛ فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو:

$180°+81.9°=261.9°$

إذن، لهذه المعادلة يكون حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما: $261.9°و،81.9°$

$$\begin{gathered} 2) 1+4 \sin \left(3x\right)=2.5,0°\le x\le 90° \\ 4 \sin \left(3x\right)=2.5-1 \\ \sin \left(3x\right)=\frac{1.5}{4} \\ \sin \theta =\frac{1.5}{4}=0.375 \\ \theta ={\sin }^{-1}\left(0.375\right) \\ \theta =22° \\ 22°\Rightarrow 3x\Rightarrow x=7.3° \end{gathered}$$

ولأن الجيب يكون أيضا موجبا في الربع الثاني؛ فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو :

$$\begin{gathered} 180°-22°=158° \\ \theta =3x=158° \\ x\approx 52.7° \end{gathered}$$

إذن، للمعادلة $1+4 \sin \left(3x\right)=2.5$ حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة،هما:$52.7°و،7.3°$

يمكن حل المعادلات المثلثية التربيعية بطرائق مشابهة لطرائق حل المعادلات التربيعية الجبرية، أبرزها:إيجاد العامل المشترك،والتحليل إلى ناتج ضرب قوسين، وغير ذلك من الطرائق التي تعرفناها سابقا

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن $0°\le x\le 360°$

$1) \sin x \cos x-2 \sin x=0$

تحوي هذه المعادلة نسبتين مثلثتين، ويلاحظ أن $\sin x$ تكرر في حدي المعادلة، ما يعني أنها تشبه المعادلة $3yz-2y=0$؛ لذا يمكن تحليلها بإخراج عامل مشترك:

$$\begin{gathered} \sin x \left(3 \cos x-2\right)=0 \\ 3 \cos x-2=0,\sin =0 \end{gathered}$$

وبذلك أتوصل إلى معادلتين بسيطتين، ثم أحل كل معادلة على حدة: 

$$\begin{gathered} \sin x=0 \\ x=0°,x=180° \\ 3 \cos x=2 \\ \cos x=\frac{2}{3} \\ x={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \\ x=48.2° \end{gathered}$$

ولأن جيب التمام يكون أيضا موجبا الربع الرابع؛ فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو:

$x=360°-48.2°=311.8°$

إذن، حلول هذه المعادلة هي:$0°,180°,48.2°,311.8°$

$2) 3 {\sin }^{2}x=2 \sin x+1$

اجعل الطرف الأيمن من المعادلة صفرا بطرح $\left(2 \sin x+1\right)$ من الطرفين:

$3 {\sin }^{2}x-2 \sin x-1=0$

هذه المعادلة تشبه المعادلة الجبرية $3y^2-2y-1=0$؛ لذا يمكن حلها بالتحليل إلى العوامل: 

$$\begin{gathered} \left(3\sin x+1\right)\left(\sin x-1\right)=0 \\ 3 \sin x+1=0,\sin x-1=0 \\ 3 \sin x+1=0 \\ 3 \sin x=-1 \\ \sin x=-\frac{1}{3} \\ x={\sin }^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) \\ x=19.5° \end{gathered}$$

يمثل ما سبق الزاوية المرجعية للحل، لا الحل نفسه، لأن الجيب سالب في الربعين: الثالث، والرابع 

حل هذه المعادلة في الربع الثالث هو: $180°+19.5°=199.5°$

وحلها في الربع الرابع هو: $360°-19.5°=340.5°$

ولأن، أحل المعادلة $\sin x-1=0$: 

$$\begin{gathered} \sin x=1 \\ x={\sin }^{-1}\left(1\right) \\ x=90° \end{gathered}$$

إذن، حلول هذه المعادلة هي:$90°,199.5°,340.5°$

مثال: من الحياة 

مدفع هواء يميل عن الأرض بزاوية قياسها O. انطلق من فوهته بالون مملوء بالماء بسرعة ابتدائية مقدارها $12m/s$، فسقط على بعد $9m$ من المدفع. إذا كانت العلاقة التي تمثل المسافة الأفقية d التي يقطعها البالون هي: 

$d=\frac{1}{10}{v}^2\sin 20$

حيث v سرعة البالون الابتدائية، فما قيمة $\theta$، مقربا إجابتي إلى أقرب عشر درجة؟ 

الخطوة 1: أعوض القيم المعطاة في المسألة في المعادلة المعطاة، ثم احلها لإيجاد قيمة $\theta$. عند تعويض القيم المعطاة، أتوصل إلى المعادلة: $9=\frac{1}{10}{\left(12\right)}^2\sin 20$

الخطوة 2: لتسهيل الحسابات، افترض أن $x=2\theta$، ثم أحل المعادلة:

$$\begin{gathered} 9=\frac{1}{10}{\left(12\right)}^2\sin x \\ 90=144 \sin x \\ \sin x=\frac{90}{144} \\ x={\sin }^{-1}\frac{90}{144}=38.7° \end{gathered}$$

الخطوة 3: أجد الحل الآخر في الربع الثاني، وهو: $180°-38.7°=141.3°$

الخطوة 4: أجد الآن قيمة $\theta$: 

$$\begin{gathered} x=2\theta \\ \theta =\frac{38.7°}{2}=19.4° \mathrm{او} \theta =\frac{141.3°}{2}=70.7° \end{gathered}$$

إذن، يصنع المدفع مع الأرض زاوية قياسها $70.7° \mathrm{او،}19.4°$ تقريبا