رياضيات فصل أول

المعادلة المثلثية :

هي معادلة متغيراتها نسب مثلثية لزاوية مجهولة. 

وحل المعادلة المثلثية يعني إيجاد الزاوية (أو الزوايا) التي تحقق هذه المعادلة، وتجعل منها عبارة صحيحة 

من الأمثلة المعادلات المثلثية: 

$sin x=0.5$

$tan x=2.435$

$2+cos x=3-2cos x$

$2si{n}^{2}x=3$

يمكن حل بعض المعادلات، مثل: $\cos x=aو،\sin x=a$، 

باستعمال الآلة الحاسبة، أو استعمال ما نتذكره من نسب الزوايا الخاصة 

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن: $0°\le x\le 360°$

$1) 2 \sin x=1$

$\sin x=\frac{1}{2}$

$x={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30°$

ولأن الجيب يكون أيضا موجبا في الربع الثاني؛ 

فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو: $180°-30°=150°$

إذن، لهذه المعادلة حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما: $150°و،30°$

$3) 3 \cos x-1=2$

$3 \cos x=3$

$\cos x=1$

$x={\cos }^{-1}\left(1\right)=0°$

لهذه المعادلة حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما:$360°و 0°$

يتطلب حل بعض المعادلات مزيدا من التبسيط والمعالجة قبل استعمال الآلة الحاسبة 

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين: 

$1) 2 \left(\tan x-3\right)+4=12,0°\le x\le 360°$

$2 \tan x-6+4=12$

$2 \tan x=14$

$\tan x=7$

$x= {\tan }^{-1}\left(7\right) \Rightarrow x=81.9°$

ولأن الظل يكون أيضا موجبا في الربع الثالث؛ 

فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو: $180°+81.9°=261.9°$

إذن، لهذه المعادلة يكون حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة، هما: $261.9°و 81.9°$

$2) 1+4 \sin \left(3x\right)=2.5,0°\le x\le 90°$

$4 \sin \left(3x\right)=2.5-1$

$\sin \left(3x\right)=\frac{1.5}{4}$

$\sin \theta =\frac{1.5}{4}=0.375$

$\theta ={\sin }^{-1}(0.375) \Rightarrow \theta =22°$

$22°\Rightarrow 3x\Rightarrow x=7.3°$

ولأن الجيب يكون أيضا موجبا في الربع الثاني؛ فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو :

$180°-22°=158°$

$\theta =3x=158° \Rightarrow x\approx 52.7°$

إذن، للمعادلة $1+4 \sin \left(3x\right)=2.5$ حلان ضمن الفترة المعطاة في المسألة،هما:$52.7°و7.3°$

يمكن حل المعادلات المثلثية التربيعية بطرائق مشابهة لطرائق حل المعادلات التربيعية الجبرية،

أبرزها:إيجاد العامل المشترك،والتحليل إلى ناتج ضرب قوسين، وغير ذلك من الطرائق التي تعرفناها سابقا

مثال 

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن $0°\le x\le 360°$

$1) \sin x \cos x-2 \sin x=0$

تحوي هذه المعادلة نسبتين مثلثتين، ويلاحظ أن $\left(\sin x\right)$ تكرر في حدي المعادلة،

ما يعني أنها تشبه المعادلة $3yz-2y=0$؛ لذا يمكن تحليلها بإخراج عامل مشترك:

$\sin x \left(3 \cos x-2\right)=0$

$3 \cos x-2=0 ,\sin x=0$

وبذلك أتوصل إلى معادلتين بسيطتين، ثم أحل كل معادلة على حدة: 

$\sin x=0$

$x=0°,x=180°$

$3 \cos x=2$

$\cos x=\frac{2}{3}$

$x={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \Rightarrow x=48.2°$

ولأن جيب التمام يكون أيضا موجبا الربع الرابع؛ 

فإنه يوجد حل آخر للمعادلة هو:$x=360°-48.2°=311.8°$

إذن، حلول هذه المعادلة هي:$0°,180°,48.2°,311.8°$

$2) 3 {\sin }^{2}x=2 \sin x+1$

اجعل الطرف الأيمن من المعادلة صفرا بطرح $\left(2 \sin x+1\right)$ من الطرفين:

$3 {\sin }^{2}x-2 \sin x-1=0$

هذه المعادلة تشبه المعادلة الجبرية $3y^2-2y-1=0$؛ لذا يمكن حلها بالتحليل إلى العوامل: 

$\left(3\sin x+1\right)\left(\sin x-1\right)=0$

$3 \sin x+1=0,\sin x-1=0$

$3 \sin x+1=0$

$3 \sin x=-1$

$\sin x=-\frac{1}{3}$

$x={\sin }^{-1}(-\frac{1}{3}) \Rightarrow x=19.5°$

يمثل ما سبق الزاوية المرجعية للحل، لا الحل نفسه، لأن الجيب سالب في الربعين: الثالث، والرابع 

حل هذه المعادلة في الربع الثالث هو: $180°+19.5°=199.5°$

وحلها في الربع الرابع هو: $360°-19.5°=340.5°$

ولأن، أحل المعادلة $\sin x-1=0$: 

$\sin x=1$

$x={\sin }^{-1}\left(1\right) \Rightarrow x=90°$

إذن، حلول هذه المعادلة هي:$90°,199.5°,340.5°$

مثال: من الحياة 

مدفع هواء يميل عن الأرض بزاوية قياسها O. انطلق من فوهته بالون مملوء بالماء

بسرعة ابتدائية مقدارها $12m/s$، فسقط على بعد $9m$ من المدفع. 

إذا كانت العلاقة التي تمثل المسافة الأفقية d التي يقطعها البالون هي: $d=\frac{1}{10}{v}^2\sin 20$

حيث v سرعة البالون الابتدائية، فما قيمة $\left(\theta \right)$، مقربا إجابتي إلى أقرب عشر درجة؟ 

الخطوة 1: أعوض القيم المعطاة في المسألة في المعادلة المعطاة،

ثم احلها لإيجاد قيمة $\theta$. عند تعويض القيم المعطاة، أتوصل إلى المعادلة: $9=\frac{1}{10}{\left(12\right)}^2\sin 20$

الخطوة 2: لتسهيل الحسابات، افترض أن $x=2\theta$، ثم أحل المعادلة:

$9=\frac{1}{10}{\left(12\right)}^2\sin x$

$90=144 \sin x$

$\sin x=\frac{90}{144}$

$x={\sin }^{-1}\frac{90}{144}=38.7°$

الخطوة 3: أجد الحل الآخر في الربع الثاني، وهو: $180°-38.7°=141.3°$

الخطوة 4: أجد الآن قيمة $\theta$: 

$x=2\theta$

$\theta =\frac{38.7°}{2}=19.4° \mathrm{او} \theta =\frac{141.3°}{2}=70.7°$

إذن، يصنع المدفع مع الأرض زاوية قياسها $70.7° \mathrm{او} 19.4°$ تقريبا .