رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي صفحة 101

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن $0°\le x\le 360°$: 

$$\begin{gathered} a) 2 cos x=\sqrt{3} \\ :\mathrm{الحل} \\ 2 cos x=\sqrt{3} \\ cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{لها} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \mathrm{التي} x \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{من} \\ x=co{s}^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ x=30° \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \\ x=360-30=330° \\ b) 2 tan x+3=1 \\ :\mathrm{الحل} \\ 2 tan x+3=1 \\ 2 tan x=1-3 \\ 2 tan x=-2 \\ tan x=\frac{-2}{2}=1 \\ -1 \mathrm{يساوي} \mathrm{ظلها} \mathrm{التي} x \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} \mathrm{من} \\ x= ta{n}^{-1}\left(-1\right) \\ x=-45° \mathrm{الحاسبة} \mathrm{بالالة} \\ x=360-45=315° \mathrm{ان} \mathrm{يعني} \mathrm{وهذا} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{الظل} \\ x=180-45=135° \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 102

أحل المعادلتين الآتيتين: 

$$\begin{gathered} a) 3\left(sin x-2\right)=3-sin x,0°\le x\le 360° \\ :\mathrm{الحل} \\ 3\left(3 sinx+2\right)=3-sinx \\ 3sinx+6=3-sin \\ 3sinx+sinx=3-6 \\ 4sinx=-3 \\ sinx=\frac{-3}{4} \\ x=si{n}^{-1}(\frac{-3}{4}) \\ x=-48.6 \\ x=360-48.6=311.4° \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{جيب} \\ x=180+48.6=228.6° \\ b) 3 cos \left(2x\right)-1=0,0°\le x\le 180° \\ :\mathrm{الحل} \\ 3 cos2x-1=0 \\ 3cos2x=1 \\ cos2x=\frac{1}{3} \\ 2x=co{s}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ 2x=70.5° \Rightarrow x=35.25° \\ 2x=360-70.5°=289.5° \Rightarrow x=144.75° \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 104

أحل المعادلتين الآتيتين، علما بأن $0°\le x\le 360°$:

$$\begin{gathered} a) 4 sin x tan x +3 tan x=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ 4sin x tan x+3 tanx=0 \\ tan x\left(4 sin x+3\right)=0 \\ tan x=0 or \left(4 sin x+3\right)=0 \\ tan x=0 or sin x=\frac{-3}{4} \\ x=ta{n}^{-1}\left(0\right) or x=si{n}^{-1}(\frac{-3}{4}) \\ x=0,180,360 or x=-48.6 \\ x=0,180,360 or x=360-48.6=311.4,180+48.6=228.6 \\ b) 2 co{s}^{2}x-3 cos x+1=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ 2 co{s}^{2}x-3 cos x+1=0 \\ \left(2 cos x-1\right)\left(cos x-1\right)=0 \\ \left(2 cos x-1\right)=0 or \left(cos x-1\right)=0 \\ cos x=\frac{1}{2} or cos x=1 \\ x=co{s}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) or x=co{s}^{-1}\left(1\right) \\ x=60,300 or x=0,360 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 105

فيزياء: فرق الجهد E (بالفولت) في دارة كهربائية يعطى بالعلاقة: $E =20 \cos \left(180t\right)$، حيث t الزمن (بالثواني): 

a) افترض أن $x=180 t$، واحل المعادلة $12=20 \cos x$، علما بأن $0°\le x\le 360°$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 12=20 cos\left(180t\right) \\ cos\left(180t\right)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5} \\ 180t=co{s}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ 180t=53.13 or 180t=360-53.13=306.87 \\ t=\frac{53.13}{180} or t=\frac{306.87}{180} \\ so x=180\times \frac{53.13}{180} or t=180\times \frac{306.87}{180} \\ so x=53.13 or x=306.87 \end{gathered}$$

b) أجد الزمن $\left(0\le t\le 2\mathrm{حيث}\right)t$ عندما يكون فرق الجهد $12 volt$، مقربا إجابتي إلى أقرب جزء من مئة من الثانية 

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 12=20 cos\left(180t\right) \\ cos\left(180t\right)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5} \\ 180t=co{s}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ 180t=53.13 or 180t=360-53.13=306.87 \\ t=\frac{53.13}{180} or t=\frac{306.87}{180} \\ t\approx 0.30 or t\approx 1.70 \end{gathered}$$

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 106

أحل المعادلات الآتية، علما بأن $0°\le x\le 360°$: 

$$\begin{gathered} 1) \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ :\mathrm{الحل} \\ x=45° \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{جيب} \\ x=180-45=135° \\ 2) \tan x= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ :\mathrm{الحل} \\ x=30° \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{ظل} \\ x=180+30=210° \\ 3) \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ :\mathrm{الحل} \\ x=30° \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{تمام} \mathrm{جيب} \\ x=360-30=330° \\ 4) 7+9 \cos x= 1 \\ :\mathrm{الحل} \\ 7+9 \cos x=1 \\ 9 \cos x=-6 \\ \cos =\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3} \\ x={\cos }^{-1}\left(\frac{-2}{3}\right) \\ x=131.8 \\ 1800-131.8=48.2 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{تمام} \mathrm{جيب} \\ x=180+48.2=228.2° \\ 5) 2 \sin x+1=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ 2\sin x+1=0 \\ \sin x=\frac{-1}{2} \\ x=150 \\ 180-150=30 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{جيب} \\ x=180+30=210° \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{جيب} \\ x=360-30=330° \\ 6) 1-2 \tan x=5 \\ :\mathrm{الحل} \\ 1-2 tan x=5 \\ -2 tan x=4 \\ tan x=-2 \\ x= ta{n}^{-1}\left(-2\right) \\ x=-63.4 \\ x=360-63.4=296.6 \mathrm{هي} \mathrm{الاولى} \mathrm{الزاوية} \\ 63.4 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{ظل} \\ x=180-63.4=116.6° \end{gathered}$$

أحل المعادلات الآتية، علما بأن $0°\le x\le 90°$: 

$$\begin{gathered} 7) 5-2 \cos \left(4x\right)=4 \\ :\mathrm{الحل} \\ 5-2 \cos \left(4x\right)=4 \\ -2 \cos \left(4x\right)=-1 \\ \cos \left(4x\right)=\frac{1}{2} \\ 4x={\cos }^{-1}(\frac{1}{2}) \\ 4x=60 \\ x=\frac{60}{4}=15 \mathrm{هي} \mathrm{الاولى} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{تمام} \mathrm{جيب} \\ 4x=360-60=300° \\ x=\frac{300°}{4}=75° \\ 8) 3+4 \tan \left(2x\right)=6 \\ :\mathrm{الحل} \\ 3+4 \tan \left(2x\right)=6 \\ 4 \tan \left(2x\right)=3 \\ \tan \left(2x\right)=\frac{3}{4} \\ 2x={\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \\ 2x=36.9 \\ x=\frac{36.9}{2}=18.5 \mathrm{هي} \mathrm{الالى} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{ظل} \\ 2x=180+36.9=216.9° \\ x=\frac{216.9°}{2}=108.5° \\ \mathrm{السؤال} \mathrm{شرط} \mathrm{حسب} 0\le x\le 90 \mathrm{لان} \mathrm{مرفوضة} \mathrm{وهي} \\ 9) 13 \sin \left(3x\right)+1=6 \\ :\mathrm{الحل} \\ 13 sin \left(3x\right)+1=6 \\ 13 sin \left(3x\right)=5 \\ sin \left(3x\right)=\frac{5}{13} \\ 3x=si{n}^{-1}(\frac{5}{13}) \\ 3x=22.6 \\ x=\frac{22.6}{3}=7.5 \mathrm{هي} \mathrm{الاولى} \mathrm{الزاوية} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{جيب} \\ 3x=180-22.6=157.4° \\ x=\frac{157.4°}{3}=52.5° \end{gathered}$$

أحل المعادلات الآتية، مفترضا أن قياس الزاوية المجهولة يقع الفترة $\left[0°,360°\right]$:

$$\begin{gathered} 10) 2\left(sin x-2\right)+1=3 sin x \\ :\mathrm{الحل} \\ 2\left(sin x-2\right)+1=3sin x \\ 2sin x-4+1=3 sin x \\ -3= sin x \\ sin x=-3 \\ \mathrm{للمعادلة} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{بالتلي} \mathrm{مستحيل} \mathrm{وهذا} \\ 11) tan x-3\left(2 tan x-1\right)=10 \\ :\mathrm{الحل} \\ tan x-3\left(2 tan x-1\right)=10 \\ tan x-6tan x+3=10 \\ -5tan x=7 \\ tan x=\frac{-7}{5} \\ x=ta{n}^{-1}\left(\frac{-7}{5}\right) \\ x\approx -54.5 \\ 54.5 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ x=180-54.5=125.5 \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{سالب} \mathrm{ظل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{سالب} \mathrm{ظل} \\ x=360-54.5=305.5° \\ 12) 15 tan x-7=5 tan x-3 \\ :\mathrm{الحل} \\ 15 tan x-7=5 tan x-3 \\ 10 tan x=4 \\ tan x=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \\ x=ta{n}^{-1}(\frac{2}{5}) \\ x\approx 21.8 \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{ايضا} \mathrm{موجب} \mathrm{ظل} \\ x=180+21.8=201.8° \\ 13) 5 \left(cos x-1\right)=6+cos x \\ :\mathrm{الحل} \\ 5\left( cos x-1\right)=6+cos x \\ 5 cos x-5=6+cos x \\ 5 cos x-cos x=6+5 \\ 4cos x=11 \\ cos x=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4} \\ \mathrm{للمعادلة} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{بالتالي} \mathrm{مستحيل} \mathrm{وهذا} \\ 14) ta{n}^{2}x-9 tan x+20=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ \left(tan x-5\right)\left(tan x-4\right)=0 \\ tan x=5 or tan x=4 \\ x=ta{n}^{-1}5 or x=ta{n}^{-1}4 \\ x=78.7 or x=76 \\ also x=180+78.7=258.7 or x=180+76=256 \\ 15) 2 co{s}^{2}x-cos x=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ 2co{s}^{2}x-cos x=0 \\ cos x\left(2 cos x-1\right)=0 \\ cos x=0 or 2 cos x-1=0 \\ cos x=0 or cos x=\frac{1}{2} \\ x=90,270 or x=60,300 \\ 16) 4 si{n}^{2}x-3 sin x=1 \\ :\mathrm{الحل} \\ 4 si{n}^{2}x-3 sin x=1 \\ 4 si{n}^{2}x-3 sin x-1=0 \\ \left(4 sin x+1\right)\left(sin x-1\right)=0 \\ \left(4 sin x+\right)=0 or \left(sin x\right)=0 \\ sin x=\frac{-1}{4} or sin x=1 \\ x=si{n}^1(\frac{-1}{4}) or x=90 \\ x=-14.5 or x=90 \\ x=14.5 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ x=180+14.5=194.5 or x=360-14.5=345.5 or x=90 \\ 17) 2 si{n}^{2}x-1=0 \\ :\mathrm{الحل} \\ 2 si{n}^{2}x-1=0 \\ 2 si{n}^{2}x=1 \\ si{n}^{2}x=\frac{1}{2} \\ sin x=+\frac{1}{\sqrt{2}} or sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=si{n}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) or x=si{n}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ x=45,x=180-45=135 or x=-45 \\ 45 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ x=180+45=225 or x=360-45=315 \\ 18) 4 co{s}^{2}x-4=15 cos x \\ :\mathrm{الحل} \\ 4 co{s}^{2}x-4=15 cos x \\ 4 co{s}^{2}x-15 cos x-4=0 \\ \left(4 cos x+1\right)\left(cos x-4\right)=0 \\ \left(4 cos x+1\right)\left(cos x-4\right)=0 \\ \left(4 cos x+1\right)=0 or \left(cos x-4\right)=0 \\ cos x=\frac{-1}{4} or cos x=4\left(\mathrm{مستحيل}\right) \\ x= co{s}^{-1}(\frac{-1}{4}) \\ x=104.5 \\ 180-104.5=75.5 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ x=180+75.5=225.5 \mathrm{ايضا} \mathrm{بالتالي} \\ 19) cos x= sin x \\ :\mathrm{الحل} \\ \left(\mathrm{جدا} \mathrm{مهم}\right)\mathrm{الاشارات} \mathrm{بسبب} \mathrm{والثالث} \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \mathrm{التمام} \mathrm{جيب} \mathrm{يساوي} \mathrm{الجيب} \\ cos x=sin x \\ x=45° 225° \end{gathered}$$

20) ساعات: أحل المسألة الواردة في بداية الدرس 

ساعة حائط كبيرة معلقة على جدار غرفة. إذا كان طول عقرب الساعات فيها $16 cm$، وبعد رأس العقرب عن سقف الغرفة يمثل دائما بالعلاقة:$d=-60 \cos \left(30x\right)+110$، حيث: d البعد بالسنتيمتر، و x الوقت بالساعات، فما الوقت الذي يبعد فيه رأس عقرب الساعات $118 cm$عن السقف؟ 

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 118=-60 cos\left(30x\right)+110 \\ 118-110=-60 cos\left(30x\right) \\ \frac{-8}{60}=cos\left(30x\right) \\ 30 x=co{s}^{-1}\left(\frac{-8}{60}\right) \\ 30x=97.7 \\ 180-97.7=82.3 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ 30 x=97.7 or 30x=180+82.3=262.3 \\ x=\frac{97.9}{30} or x=\frac{262.3}{30} \\ x=3.3 or x=8.7 \end{gathered}$$

21) سباحة: سبح حامد مسافة $90 m$ من النقطة A على الضفة الشمالية لنهر إلى النقطة B على الضفة المقابلة، قم دار بزاوية قائمة، وسبح مسافة $60 m$ إلى نقطة أخرى C على الضفة الشمالية. إذا كان قياس الزاوية $CAB$ هو $\theta$، وقياس الزاوية $\left(90°-\theta \right) \mathrm{هو} ACB$، وطول العمود من B إلي CA يساوي عرض النهر d،فأعبر عن d بدلالة $\theta$ مرة، وبدلالة $\left(90°-\theta \right)$ مرة أخرى، ثم اكتب معادلة واحلها لإيجاد قيمة $\theta$، ثم أجد عرض النهر 

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ ،الثانية \mathrm{تمام} \mathrm{جيب} \mathrm{يساوي} \mathrm{الاولى} \mathrm{جيب} \mathrm{فان} 90 \mathrm{عهما} \mathrm{مجموهما} \mathrm{زاويتين} \mathrm{اي} \mathrm{مهمة} \mathrm{ملاحظة} \\ \mathrm{الثانية} \mathrm{جيب} \mathrm{يساوي} \mathrm{الاولى} \mathrm{تمام} \mathrm{وجيب} \\ sin \theta =\frac{\mathrm{المقابل} }{\mathrm{الوتر}}=\frac{d}{AB}\Rightarrow d=AB sin \theta \Rightarrow d=90 sin \theta \\ sin \left(90-\theta \right)=\frac{\mathrm{المقابل} }{\mathrm{الوتر}}=\frac{d}{CB}\Rightarrow d=CB sin\left(90-\theta \right)\Rightarrow d=60 sin\left(90-\theta \right) \\ d=90 sin \theta =60 sin\left(90-\theta \right) \mathrm{بالتالي} \\ 90 sin \theta =60 sin \left(90-\theta \right) \mathrm{بالتلي} \\ 90 sin \theta =60 cos \theta \\ sin \theta =\frac{60}{90}cos \theta \\ \frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{6}{9}} cos \theta }{cos \theta } \\ tan \theta =\frac{2}{3} \\ \theta =ta{n}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \\ \theta =33.6 \\ d=90 sin 33.6=90\times 0.55=49.5 m \end{gathered}$$

22) دولاب: يعطى ارتفاع الراكب عن الأرض في دولاب دوار بالمعادلة: $h=27-25\cos \theta$، حيث h الارتفاع بالأمتار، و $\theta$ قياس الزاوية التي دارها الدولاب. متى يكون ارتفاع الراكب عن الأرض $49 m$؟ 

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 49=27-25 soc \theta \\ 25 cos \theta =27-49 \\ 25 cos \theta =-22 \\ cos \theta =\frac{-22}{25} \\ cos \theta =co{s}^{-1}\left(\frac{-22}{25}\right) \\ \theta =151.6 \\ 180-151.6=28.4 \mathrm{هي} \mathrm{المرجع} \mathrm{الزاوية} \\ also \theta =180+28.4=208.4 \end{gathered}$$

23) حركة مقذوفات: المسافة الأفقية التي تقطعها مقذوفة في الهواء (من دون افتراض وجود لمقاومة الهواء)تعطى بالعمادلة: $d=\frac{v_0^2\sin \left(2\theta \right)}{g}$، حيث: $v_0$ السرعة الابتدائية، والزاوية التي تطلق بها المقذوفة، و g تسارع الجاذبية الأرضية $\left(9.8 m/s^2\right)$. إذا قذفت كرة بيسبول بسرعة ابتدائية مقدارها $40m/s$، فما الزاوية التي توجه بها الرمية لكي تقطع الكرة مسافة أفقية مقدارها $110m$قبل سقوطها على الأرض؟ ما أبعد نقطة يمكن أن تصلها الكرة إذا قذفت بهذه السرعة الابتدائية؟ 

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 110=\frac{{\left(40\right)}^{2}sin \left(2\theta \right)}{9.8} \\ \frac{110\times 9.8}{1600}=sin \left(2\theta \right) \\ \Rightarrow sin \left(2\theta \right)=0.674 \\ 2\theta =si{n}^{-1}\left(0.674\right) \\ 2\theta =42.4 or 2\theta =180-42.4=137.6 \\ \mathrm{عندئذ،}\theta =45 \mathrm{عندما} \mathrm{نقطة} \mathrm{ابعد} \mathrm{المقذوف} \mathrm{يصل} \\ d=\frac{{\left(40\right)}^{2}sin\left(90\right)}{9.8} \\ d=\frac{1600\times 1}{9.8}=163.3m \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا 

24) اكتشف الخطأ: حل كل من سعيد وعلي المعادلة: $2 \sin x \cos x=\sin x$، حيث:$0°\le x\le 360°$: 

أيهما إجابته صحيحة؟ أبرر إجابتي 

$$\begin{gathered} \mathrm{الحل}: \\ \mathrm{حل} \mathrm{سعيد} \mathrm{صحيح} \mathrm{لانه} \mathrm{اخذ} x nis \mathrm{عامل} \mathrm{مشترك} \\ \mathrm{حل} \mathrm{علي} \mathrm{خاطئ} \mathrm{لانه} \mathrm{قسم} \mathrm{على} x nis \mathrm{وهذا} \mathrm{يؤدي} \mathrm{الي} \mathrm{حذف} \mathrm{حلول} \mathrm{للمعادلة} \end{gathered}$$

25) تحد: أحل المعادلة: $2 \sin x \cos x+ \sin x+2 \cos x+1=0$، علما بأن $0°\le x\le 360°$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ 2 sin x cos x+sin x+2 cos x+1=0 \\ sin x\left(2cos x+1\right)+\left(2cos x+1\right)=0 \\ \left(2 cos x+1\right)\left(sin x+1\right)=0 \\ cos x=\frac{-1}{2} or sin x=-1 \\ x=co{s}^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) or x=si{n}^{-1}\left(-1\right) \\ \Rightarrow x=120,x=240 or x=270 \end{gathered}$$

26) تحد: أحدد عدد حلول المعادلة: $\cos x-\sin x-1=0$، حيث:$0°\le x\le 360°$

$$\begin{gathered} :\mathrm{الحل} \\ cos x- sin x=1 \\ cos x=1,sin x=0 or cos x=0,sin x=-1 \\ x=0,x=360 or x=270 \end{gathered}$$

---

كتاب التمارين صفحة 24

احل كلا من المعادلات المثلثية الاتية في القترة $\left[0°,360°\right]$: 

$$\begin{gathered} 1) sin \mathrm{x}=\frac{1}{3} \\ x=si{n}^{-1}\frac{1}{3}\approx 19° or x\approx 161° \\ 2) tan \mathrm{x}=\sqrt{3} \\ x=ta{n}^{-1}\sqrt{3}=60° or x=240° \\ 3) cos \mathrm{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ x=co{s}^{-1}\frac{-\sqrt{3}}{3}\approx 125° or x \approx 235° \\ 4) cos \mathrm{x}=-\frac{1}{2} \\ x=co{s}^{-1}\frac{-1}{2}=120° or x=240° \\ 5) tan \mathrm{x}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=ta{n}^{-1}\frac{-1}{\sqrt{2}}=150° or x=330° \\ 6) 2sin \mathrm{x}+3=1 \\ 2sin x=-2\Rightarrow sin x= -1 \\ x=si{n}^{-1}-1=270° \\ 7) \sqrt{2} cos \mathrm{x}+1=2 \\ \sqrt{2}cos x=1\Rightarrow cos x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=co{s}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=45° or x= 315° \\ 8) \sqrt{3} tan \mathrm{x}+4=1 \\ \sqrt{3} tan x=-3\Rightarrow tan x=\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3} \\ x=ta{n}^{-1}-\sqrt{3}=120° or x =300° \\ 9) 3 tan \mathrm{x}+2=7-2tan \\ 5tan x =5 \Rightarrow tan x =1 \\ x=ta{n}^{-1}1=45° or x=225° \\ 10) 5-3sin \mathrm{x}=sin \mathrm{x}+1 \\ -4 sin x=-4\Rightarrow sin x=1 \\ x=si{n}^{-1}1=90° \\ 11) 2\left(3 sin \mathrm{x}+1\right)+2=4sin \mathrm{x}+5 \\ 2 sin x=1\Rightarrow sin x=\frac{1}{2} \\ x=si{n}^{-1 }\frac{1}{2}=30° or x=150° \\ 12) 3\left(2-cos \mathrm{x}\right)+4=5cos \mathrm{x}+2 \\ 8=8cos x\Rightarrow cos x=1 \\ x=co{s}^{-1}1=0° or x=360° \\ 13) 3+2cos\left(3\mathrm{x}\right)=1,0°<\mathrm{x}<120° \\ 2cos 3x=-2\Rightarrow cos 3x=-1 \\ 3x=co{s}^{-1}-1=180°\Rightarrow x=60° \\ 14) 5+2tan\left(4\mathrm{x}\right)=7,0°<\mathrm{x}<90° \\ 2 tan 4x=2\Rightarrow tan 4x=1 \\ 4x = ta{n}^{-1}1=45 \Rightarrow x=11.25° \\ or 4x=225 \Rightarrow x=56.25° \\ 15) 4sin \mathrm{x} cos \mathrm{x}+3sin \mathrm{x}=0 \\ \sin x\left(4\cos x+3\right)=0 \\ \sin x=0\Rightarrow x=0° or x=180° \\ 4\cos x=-3\Rightarrow \cos x=\frac{-3}{4}\Rightarrow x\approx 138.59° or x\approx 221.41° \\ 16) 2 cos \mathrm{x} sin \mathrm{x}=cos \mathrm{x} \\ cos \mathrm{x}\left(2sin \mathrm{x}-1\right)=0 \\ cos \mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{x}=90° or \mathrm{x}=270° \\ 2sin \mathrm{x}=1\Rightarrow sin \mathrm{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow \mathrm{x}= 30° or \mathrm{x}= 150° \\ 17) 4si{n}^2\mathrm{x}=1 \\ sin x=\frac{\pm 1}{2}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=30° or x=150°\\ sin x =\frac{-1}{2}\Rightarrow x=210° or x=330°\end{array}\right\} \\ 18) ta{n}^2\mathrm{x}-9=0 \\ tan x =\pm 3\Rightarrow \left.\begin{array}{r}tan x=3\Rightarrow x \approx 71.57° or x=251.57°\\ tanx =-3\Rightarrow x\approx 108.43° or x\approx 288.43°\end{array}\right\} \\ 19) 2co{s}^2\mathrm{x}-3 cos \mathrm{x}+1=0 \\ \left(2cosx-1\right)\left(cos x-1\right)=0 \\ 2cos x=1\Rightarrow cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=60° or x=300° \\ cos x=1\Rightarrow x=0° or x=360° \\ 20) 2si{n}^2\mathrm{x}+5sin \mathrm{x}+2=0 \\ \left(2sin x+1\right)\left(sin x+2\right)=0 \\ 2sin x=-1\Rightarrow sin x=\frac{-1}{2}\Rightarrow x=210° or x=330° \\ sinx =-2 \mathrm{مرفوض} \\ 21) 2ta{n}^2\mathrm{\theta }-5tan \mathrm{\theta }-3=0 \\ \left(2tan \theta +1\right)\left(tan \theta -3\right)=0 \\ 2tan \theta =-1\Rightarrow tan\theta =\frac{-1}{2}\Rightarrow \theta \approx 153.43° or \theta \approx 333.43° \\ tan \theta =3\Rightarrow \theta \approx 153.43 or \theta \approx 71.57° or \theta \approx 251.57° \\ 22) 6si{n}^2\mathrm{x}+7sin \mathrm{x}-3=0 \\ \left(2sin x +3\right)\left(3sin x-1\right)=0 \\ 2sin x=-3\Rightarrow sin x=-1.5 \mathrm{مرفوضة} \\ 3\sin \mathrm{x}=1\Rightarrow \sin \mathrm{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow \mathrm{x}\approx 19.47° \mathrm{or} \mathrm{x}\approx 160.53° \\ 23) 9co{s}^2\mathrm{x}-9cos \mathrm{x}+2=0 \\ \left(3cos x-1\right)\left(3cos x-2\right)=0 \\ 3cos x=1\Rightarrow cos x=\frac{1}{3}\Rightarrow x\approx 70.53° or x\approx 289.47° \\ 3cos x=2\Rightarrow cos x=\frac{2}{3}\Rightarrow x\approx 48.19° or x\approx 311.81° \\ 24) ta{n}^2\mathrm{\theta }+4tan \mathrm{\theta }-12=0 \\ \left(tan \theta +6\right)\left(tan \theta -2\right)=0 \\ tan\theta =-6 \Rightarrow \theta \approx 260.45° or \theta \approx 279.46° \\ tan \theta =2\Rightarrow \theta \approx 63.43° or \theta \approx 243.43° \end{gathered}$$

25) قياسات: يرتكز سلم طوله $5 m$ على ارض افقية وحائط راسي. اذا كان اسفل السلم يبعد $1.5 m$ عن الحائط، فما ارتفاع راس السلم عن الارض؟ ما قياس الزاوية التي يصنعها السلم مع الارض؟ 

$$\begin{gathered} y^2=5^2-{\left(1.5\right)}^2=22.75\Rightarrow y\approx 4.77m \\ sin\theta =\frac{4.77}{5}\Rightarrow \theta =si{n}^{-1}\left(\frac{4.77}{5}\right)\Rightarrow \theta \approx 72.55° \end{gathered}$$

$\theta$ الزاوية التي يصنعها السلم مع الارض

 

 

26) سارية: رصد سامر قمة سارية علم ارتفاعها عن الارض $12 m$ من نقطة على الارض تبعد $30 m$ عن قاعدة السارية. اذا كان طوا سامر $1.75 m$، فما قياس الزاوية التي ينظر فيها سامر الى قمة السارية؟ 

$$\begin{gathered} tan \theta =\frac{12-1.75}{30}=\frac{10.25}{30} \\ \theta =ta{n}^{-1}\left(\frac{10.25}{30}\right)\Rightarrow \theta \approx 18.86° \end{gathered}$$

$\theta$الزاوية التي ينظر فيها سامرالى قمة السارية