رياضيات فصل ثاني

حَلُّ المعادلاتِ النسبيةِ

 

أولًا : حَلُّ المعادلاتِ النسبيةِ بالضربِ التبادليِّ

يُطلَقُ على المعادلةِ التي تحوي مقدارًا جبريًّا نسبيًّا أوْ أكثرَ اسمُ المعادلةِ النسبيةِ (rational equation) ، ومنْ أمثلتِها:

 

يُمكِنُ استعمالُ الضربِ التبادليِّ لحَلِّ المعادلاتِ النسبيةِ إذا كانَتْ كلٌّ منْها في صورةِ تناسبٍ فقطْ.

 

ثانيًا : حَلُّ المعادلاتِ النسبيةِ باستعمالِ المضاعفِ المشتركِ الأصغرِ 

يُمكن حل المعادلةَ النسبيةَ التي لا تكونُ في صورةِ تناسبٍ، وذلكَ بضربِ طرفيْ هذهِ المعادلةِ في المضاعفِ المشتركِ

الأصغرِ للمقاماتِ؛ تخلُّصًا منْ هذهِ المقاماتِ.
 

•• في بعضِ الأحيانِ ، تظهرُ حلولٌ دخيلةٌ عندَ ضربِ طرفيِ المعادلةِ النسبيةِ في المضاعفِ المشتركِ الأصغرِ؛ لذا يجبُ

التحقُّقُ دائمًا منْ تحقيقِ أيِّ حَلٍّ ناتجٍ للمعادلةِ الأصليةِ.

 

•• أتعلَّمُ : الحَلُّ الدخيلُ هوَ حَلٌّ لا يُحقِّقُ المعادلةَ الأصليةَ. ومنَ المُلاحَظِ في المعادلاتِ النسبيةِ أنَّ الحَلَّ الدخيلَ يجعلُ أحدَ مقاماتِ المعادلةِ صفرًا.

 

 

ورقة عمل درس حل المعادلات النسبية 

1) حَلُّ المعادلةِ : $\frac{x+6}{3}=\frac{2x}{x-1}$ ، هو : 

$a) 3 b)2 c) 3, 2 d) -2 , 3$

 

الحل : 

$\frac{x+6}{3}=\frac{2x}{x-1}(x+6)(x-1) = 6xx2+5x-6 = 6xx2 - x -6 = 0(x-3)(x+2) = 0\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ } or x = 2$

بعد التحقق من صحة الحل فإنّ x=3 تحقق المعادلة . 

---

2) حَلُّ المعادلةِ : $\frac{4}{x-5} + 1 = \frac{x+5}{x-1}$ ، هو : 

$a) 9 b)-13 c) 13 d) -3$

الحل : 

$\frac{4}{x-5} + 1 = \frac{x+5}{x-1}(x-5)(x-1)\times \frac{4}{x-5} +(x-5)(x-1)\times 1 =(x-5)(x-1)\times \frac{x+5}{x-1}4x-4 +x^2-6x+5 =x^2-25 -2x = -26x = 13$

---

 

 

3) يستغرقُ طلاء جدار منْ حازم وعمر 6ساعات عمل . إذا كانَتْ سرعةُ حازم هيَ مثلي سرعةِ عمر في الطلاء

 ،فإنّ الوقتَ الذي يستغرقُهُ حازم  فيطلاء الجدار وحده يساوي : 

$a) 8 b) 9 c) 12 d) 18$

الحل : 

أُحدِّدُ مُعدَّلَ إنجازِ العملِ لكلٍّ منْ خالد وسعيد.
أفترضُ أنَّ x هوَ عددُ الساعاتِ التي يستغرقُها عمر في طلاء الجدار وحده  

$\frac{1}{x}+\frac{2}{x} = \frac{1}{6}\frac{3}{x} = \frac{1}{6}x = 18$

إذن يستغرق عمر 18 ساعة لطلاء الجدار وحده إذن يستغرق حازم 9 ساعات لطلاء الجدار لوحده 

 

---

4) تحتوي مزرعة  على 150 شجرةً، منْها 18شجرةَ زيتون.
ما عددَ أشجارِ الزيتون التي يَلزمُ زراعتُها لتُصبِحَ نسبةُ أشجارِ الزيتون في المزرعةِ 4 : 1. 

$a) 18 b) 20 c) 26 d) 28$

الحل : 

أفرض عدد أشجار الزيتون اللازم زراعتها هو x 

$\frac{x+18}{x+150}=\frac{1}{4}4x + 72 = x+1503x = 78x = 26$

---

5) عددُ حلولِ المعادلةِ : $\frac{x+7}{x}=\frac{2}{x}$

a) حل واحد                          b) حلّان                        c) ثلاثة حلول                             d) لا توجد حلول للمعادلة .

 

الحل : 

$\frac{x+7}{x}=\frac{2}{x}x(x+7) = 2xx2 +7x = 2xx2 + 5x = 0x(x+5) = 0x = 0 or x = -5$

x = - 5  تحقق المعادلة ، إذن يوجد حل واحد للمعادلة . 

---

 

 

 

ورقة التقييم الثاني 

1) أبسطُ صورةٍ للمقدارِ $\frac{{\left(3x^2\right)}^3}{6x^7}$ ، هو : 

$a) \frac{3 }{2x} b) \frac{9}{2x} c) \frac{9x}{2} d) \frac{3x}{2}$

 

الحل : 

$\frac{{\left(3x^2\right)}^3}{6x^7} = \frac{27x^6}{6x^7} = \frac{9x^{-1}}{2} = \frac{9}{2x}$

 

---

2) قيمة المقدار $\frac{5({\left(w^2\right)}^3 {)}^{-1}\times m^2}{15wm }$ بأبسط صورة ، هي : 

$a) \frac{m}{3w^6} b) \frac{3m}{w^7} c) \frac{m}{3w^7} d) \frac{3m}{w^6}$

الحل : 

$\frac{5({\left(w^2\right)}^3 {)}^{-1}\times m^2}{15wm } = \frac{5w^{-6} m^2}{15wm } = \frac{w^{-7}m}{3} = \frac{m}{3w^7}$

---

 3) دائرة طول قطرها $\left(3x^{2}y\right) m$ ، فإنّ مساحة الدائرة بأبسط صورة تساوي : 

$a) (\frac{3x^{2}y}{2}\mathrm{\pi } ) m^2 b) \left(9x^4{y}^2\mathrm{\pi }\right) {\mathrm{m}}^2 c) (\frac{9x^4{y}^2}{2}\mathrm{\pi }) {\mathrm{m}}^2 d) \left(\frac{9x^4{y}^2}{4}\mathrm{\pi }\right) {\mathrm{m}}^2$

 

الحل : 

$A = {\mathrm{\pi r}}^2 = \mathrm{\pi }\times {\left(\frac{3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}}{2}\right)}^2 = \mathrm{\pi }\times \frac{9{\mathrm{x}}^4{\mathrm{y}}^2}{4} {\mathrm{m}}^2$

---

 

4) أبسطُ صورةٍ للمقدارِ  $\sqrt{\frac{25a^4}{4b^6}}$ ، هو : 

$a) \frac{5a^2}{2\left|b^3\right|} b) \frac{5a^2}{2b^3} c) \frac{5a^{ }}{2\left|b\right| } d) \frac{5a^2}{2b^2}$

الحل : 

$\sqrt{\frac{25a^4}{4b^6}} = \frac{\sqrt{25a^4}}{\sqrt{4b^6}} = \frac{5a^2}{2\left|b^3\right|}$

 

---

 

4) قيمة المقدار  $\sqrt{32y^5}+\sqrt{18y^5}$ في أبسط صورة ، هي :   

 

$a) -y^2\sqrt{2y} b) y^2\sqrt{2y} c) 7\left|y\right|\sqrt{2y} d) 7y^2 \sqrt{2y}$

الحل : 

$\sqrt{32y^5}+\sqrt{18y^5} = \sqrt{16\times 2\times y^4\times y} + \sqrt{9\times 2\times y^4\times y} = 4\times \sqrt{2}\times y^2\times \sqrt{y} + 3\times \sqrt{2}\times y^2\times \sqrt{y} = 4y^2\sqrt{2y} + 3y^2\sqrt{2y} = 7y^2\sqrt{2y}$

 

---

5) يُكتب المقدار الجذري $\frac{3\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$ بأبسط صورة على النحو : 

$a) \frac{9\sqrt{x}}{4-x} b) \frac{6\sqrt{x}+3x}{4-x} c) \frac{6\sqrt{x} -3x}{4-x} d) \frac{6\sqrt{x} -3x}{4+x}$

الحل : 

$\frac{3\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\times \frac{2+\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} =\frac{3\sqrt{x} (2+\sqrt{x})}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})} = \frac{6\sqrt{x} +3x}{4-x}$

---

 

6) حَلُّ المعادلةِ : $\sqrt{2x+7} - 1 = 8$ ، هو : 

$a) x=37 b) x=26 c) x=31 d) x=19$

 

الحل : 

$\sqrt{2x+7} - 1 = 8\sqrt{2x+7} = 92x+7 = 812x =74x =37$

---

 

7)