رياضيات11 فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 23

أحل كل من المعادلات الآتية، وأتحقق من صحة الحل:

$a) \left|4x+8\right|=4$

$$\begin{gathered} 4x+8=4 4x+8=-4 \\ x=-1, x=-3 \end{gathered}$$

$b) 2\left|x+1\right|-x=3x-4$

$$\begin{gathered} 2\left|x+1\right|=4x-4 \\ \left|x+1\right|=2x-2 \\ x+1= 2x-2 or x+1=-2x+2 \\ x=3 or x=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

عند حل هذه المعادلة جبريا ينتج حلان هما $x=\frac{1}{3} و x=3$، لكن عند التحقق نجد أن 3 فقط تحقق المعادلة الأصلية. الحل هو x=3

$$\begin{gathered} 2\left|x+1\right|-x=3x-4 \\ 2\left|\frac{1}{3}+1\right|-\frac{1}{3}=3\left(\frac{1}{3}\right)-4 \\ 2\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1-4 \\ 2\frac{1}{3}=-3 \times \end{gathered}$$

$c) \left|\frac{1}{2x-7}\right|=2$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2x-7}=2 or \frac{1}{2x-7}=-2 \\ 2x-7=\frac{1}{2} or 2x-7=\frac{-1}{2} \end{gathered}$$

$x=3.25, x=3.75$

أتحقق من فهمي

ص: 24

أحل المعادلة $2|x-1|=\frac{|2x+4|}{2}$:

$$\begin{gathered} 4\left|x-1\right|=\left|2x+4\right| \\ 4(x-1)=2x+4 or 4(x-1) =-2x-4 \\ 2x=8 or 6x =0 \\ x=0, x=4 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 25

طعام: لصنع مسحوق الكاكاو؛ تحمص بذوره على درجة حرارة لا تزيد على $300° F$ أو تقل عنها بأكثر من $25° F$، أكتب معادلة قيمة مطلقة، ثم استعملها لإيجاد الحدين الأعلى والأدنى لدرجة حرارة تحميص بذور الكاكاو.

$$\begin{gathered} \left|x-300°\right|=25° \\ x-300 =25 or x-300= -25 \\ x=325°, x=275° \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص:26

أحل كلا من المتباينات الآتية، وأمثل مجموعة الحل على خط الأعداد (إن أمكن):

$a) \left|3x-4\right|<5$

$$\begin{gathered} -5<3x-4<5 \\ -\frac{1}{3}<x<3 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $\left(-\frac{1}{3}, 3\right)$

$b) \left|0.5x-1\right|+2\le 2.5$

$$\begin{gathered} \left|0.5x-1\right|\le 0.5 \\ -0.5\le 0.5x-1\le 0.5 \\ -2\le x\le 6 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $[-2,6]$

$c) \left|x-4\right|<-1$

ليس لهذه المتباينة حل لأن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي أكبر من صفر أو تساويه.

أتحقق من فهمي

ص: 28

أحل كلا من المتباينات الآتية، وأمثل مجموعة الحل على خط الأعداد:

$a) \frac{1}{3}\left|2x+4\right|>2$

$$\begin{gathered} \left|2x+4\right|>6 \\ 2x+4>6 or 2x+4<-6 \\ x<-5 or x>1 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $\left(-\infty ,-5\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$b) -2\left|3x+4\right|<-8$

$$\begin{gathered} \left|3x+4\right|>4 \\ 3x+4<-4 or 3x+4>4 \\ x<\frac{-8}{3} or x>0 \\ x<-2\frac{2}{3} or x>0 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $(-\infty ,-2\frac{2}{3})\cup (0,\infty )$

أتحقق من فهمي

ص: 31

أحل كلا من المتبايات الآتية:

$a) \left|3x+5\right|>\left|x-1\right|$

$$\begin{gathered} 3x+5=x-1 \\ x=-3 \\ 3x+5 = -x+1 \\ x= -1 \\ \left|3x+5\right|>\left|x-1\right| \\ \left|3(-2)+5\right|>\left|-2-1\right| \\ 1>3 x \\ x<-3 or x>-1 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $(-\infty ,-3)\cup (-1,\infty )$

$b) \left|2-3x\right|\le \left|4x+3\right|$

$$\begin{gathered} 2-3x=4x+3 \\ x=\frac{-1}{7} \\ 2-3x=-4x-3 \\ x=-5 \\ \left|2-3x\right|\le \left|4x-3\right| \\ \left|2-3(-1)\right|\le \left|4(-1)-3\right| \\ 5\le 7 \\ -5\le x\le -\frac{1}{7} \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $[-5,-\frac{1}{7}]$

أتحقق من فهمي

ص: 31

صحة: يصل مستوى السكر في دم الإنسان إلى مستوى حرج وخطير؛ إذا زاد مستوى السكر في الدم أو انخفض بأكثر من 38mg عن المعدل الطبيعي البالغ 88mg. أكتب متباينة قيمة مطلقة أجد من خلالها مستويات سكر الدم الخطرة.

$$\begin{gathered} \left|x-88 mg\right|>38 mg \\ x<50 mg or x>126 mg \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل

أحل كلا من المعادلات الآتية، وأتحقق من صحة الحل:

$1) \left|3x-4\right|=2$

$$\begin{gathered} 3x-4 =2 or 3x-4=-2 \\ x=\frac{2}{3},2 \end{gathered}$$

$2) \left|\frac{x-4}{2}\right|=7$

$$\begin{gathered} \frac{x-4}{2}=7 or \frac{x-4}{2}= -7 \\ x=-10 , 18 \end{gathered}$$

$3) 3\left|2x-3\right|-7=2$

$$\begin{gathered} \left|2x-3\right|=3 \\ 2x-3=3 or 2x-3 =-3 \\ x=0 , 3 \end{gathered}$$

$4) -4\left|5x-1\right|=-12$

$$\begin{gathered} \left|5x-1\right|=3 \\ 5x-1=3 or 5x-1 =-3 \\ x=-0.4 , 0.8 \end{gathered}$$

$5) \left|x-2\right|=3x+2$

$$\begin{gathered} x-2= 3x+2 or x-2 = -3x-2 \\ x=-2 or x=0 \\ \mathrm{الحدود} \mathrm{تعويض} \mathrm{عند} \\ x=0 \end{gathered}$$

 

$6) 0.5\left|x-2\right|=3\left|0.5x-2\right|$

$3.5 , 5$

$7) \left|\frac{2x+1}{2}\right|=\left|\frac{3x-2}{4}\right|$

$$\begin{gathered} \frac{2x+1}{2}=\frac{3x-2}{4} or \frac{2x+1}{2}=\frac{-3x+2}{4} \\ 8x+4=6x-4 or 8x+4 = -6x +4 \\ x=-4 , 0 \end{gathered}$$

$8) \left|\frac{3x+3}{2x-5}\right|-4=6$

$$\begin{gathered} \left|\frac{3x+3}{2x-5}\right|=10 \\ \frac{3x+3}{2x-5}=10 or \frac{3x+3}{2x-5}=-10 \\ 3x+3=20x-50 or 3x+3=-20x+50 \\ x=\frac{53}{17} or x=\frac{47}{23} \end{gathered}$$

$9) 3\left|0.5x+2\right|=0$

$$\begin{gathered} \left|0.5x +2\right|=0 \\ 0.5x+2=0 \\ x=-4 \end{gathered}$$

أحل كلا من المتباينات الآتية، وأمثل مجموعة الحل على خط الأعداد:

$10) \left|2x+6\right|<5$

$$\begin{gathered} -5<2x+6<5 \\ -5.5<x<-0.5 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $(-5.5 , -0.5)$

$11) \left|4x-3\right|>4$

$$\begin{gathered} 4x-3>4 or 4x-3<-4 \\ x<-0.25 or x>1.75 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $\left(-\infty ,-0.25\right)\cup \left(1.75,\infty \right)$

$12) \left|3x+1\right|-3\le 4$

$$\begin{gathered} \left|3x+1\right|\le 7 \\ -7\le 3x+1\le 7 \\ \frac{-8}{3}\le x\le 2 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $\left(\frac{-8}{3},2\right)$

$13) \left|\frac{2x-3}{2}\right|\ge 6$

$$\begin{gathered} \frac{2x-3}{2}\ge 6 or \frac{2x-3}{2}\le -6 \\ x\le 4.5 or x\ge 7.5 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $\left(-\infty ,-4.5\right)\cup \left(7.5,\infty \right)$

$14) \left|x+2\right|>-3$

مجموعة الحل هي مجموعة الأعداد الحقيقية لأن القيمة المطلقة لأي مقدار هي أكبر من صفر ومن جميع الأعداد السالبة دائما.

$15) \left|3x+5\right|<-7$

ليس لها حل، مجموعة حلها هي $\varnothing$

$16) \left|-4x-6\right|<14$

$$\begin{gathered} \left|-4x-6\right|<14 \\ -14<-4x-6<14 \\ -8<-4x<20 \\ 2>x>-5 \\ -5<x<2 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $\left(-5,2\right)$

$17) -2\left|2x-1\right|\ge -3$

$$\begin{gathered} \left|2x-1\right|\le \frac{3}{2} \\ -1.5\le 2x-1\le 1.5 \\ -0.25<x<1.25 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: الفترة $\left(-0.25,1.25\right)$

$18) 2\left|3x-2\right|+4\ge 9$

$$\begin{gathered} \left|3x-2\right|\ge \frac{5}{2} \\ 3x-2\ge 2.5 or 3x-2\le -2.5 \\ x\le \frac{-1}{6} or x\ge 1.5 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $\left(-\infty و-0.17\right)\cup \left(1.5,\infty \right)$

$19) \left|3-7x\right|>2x$

$$\begin{gathered} 3-7x =2x \\ x=\frac{1}{3} \\ 3-7x=-2x \\ x=0.6 \\ x\le \frac{1}{3} or x\ge 0.6 \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها لا تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل: $(-\infty ,\frac{1}{3}]\cup [0.6,\infty )$

$20) \left|x+1\right|>2x+5$

$$\begin{gathered} x+1=2x+5 or x+1 = -2x-5 \\ x=-4 or x=-2 \\ x<-2 or x<-4 \end{gathered}$$

عند تمثيل الحلين على خط الأعداد تلاحظ أنها  متداخلان، يكون اتحاد الحلين هو المجموعة الأوسع وهي $x<-2$ أي أن حل هذه المتباينة هو $\left(-\infty ,-2\right)$

$21) 4-x<\left|2x-7\right|$

$$\begin{gathered} 4-x=2x-7 or 4-x=-2x+7 \\ x=\frac{11}{3} or x=3 \\ x<3 or x>\frac{11}{3} \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها لا تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل: $\left(-\infty ,3\right)\cup \left(\frac{11}{3},\infty \right)$

أحل كلا من المتباينات الآتية:

$22) \left|x+1\right|\ge \left|2x+5\right|$

$$\begin{gathered} x+1=2x+5 or x+1 =-2x-5 \\ x= -4 or x= -2 \\ -4<x<-2 \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها  تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل هي الفترة: $\left(-4,-2\right)$

$23) \left|5-x\right|>\left|x+4\right|$

$$\begin{gathered} 5-x=x+4 or 5-x=-x+4 \\ x=0.5 \\ x<0.5 \end{gathered}$$

مجموعة الحل هي الفترة: $\left(-\infty ,0.5\right)$

$24) \left|2x+3\right|\ge \left|x-2\right|$

$$\begin{gathered} 2x+3=x-2 or 2x+3=-x+2 \\ x=-5 x=\frac{-1}{3} \\ x<-5 or x>-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها لا تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل هي: $\left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-\frac{1}{3},\infty \right)$

$25) \left|5x-1\right|>\left|2x+3\right|$

$$\begin{gathered} 5x-1 =2x+3 or 5x-1 = -2x-3 \\ x=\frac{4}{3} or x= \frac{-2}{7} \\ x<-\frac{2}{7} or x>\frac{4}{3} \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها لا تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل هي: $\left(-\infty , -\frac{2}{7}\right)\cup \left(\frac{4}{3}, \infty \right)$

$26) \left|3x+2\right|<\left|x-5\right|$

$$\begin{gathered} 3x+2=x-5 or 3x+2 =-x+5 \\ x= -3.5 or x=0.75 \\ -3.5<x<0.75 \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل هي الفترة: $\left(-3.5,0.75\right)$

$27) \left|2x-7\right|\le \left|x+2\right|$

$$\begin{gathered} 2x-7=x+2 or 2x-7=-x-2 \\ x=3 or x=\frac{5}{3} \\ x\le \frac{5}{3} or x\ge 9 \end{gathered}$$

عند تعويض قيمة بين الحلين نجد انها لا تحقق المتباينة بالتالي مجموعة الحل هي: $(-\infty ,\frac{5}{3}]\cup [9,\infty )$

أكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل مجموعة حلها بالرسم الآتي:

$\left|x+1\right|\ge 2$

$\left|x-1\right|<5$

30) إذا كان a،و b،و c أعدادا حقيقية حيث $a\ne 0$، فما عدد الحلول الممكنة للمعادلة $\left|ax+b\right|=c$؟

إذا كان 0 < c فإن للمعادلة $\left|ax+b\right|=c$ حلين، وإذا كان c = 0 فلها حل واحد، وإذا كان $c<0$ فليس لها حل لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدا.

31) مطالعة: اتفق أعضاء نادي مطالعة أن يقرؤوا في أحد فصول كتاب وأن يتوقفوا عن القراءة ضمن 10 صفحات قبل نهاية الفصل أو بعدها. إذا كان عدد صفحات الكتاب 400 صفحة، وكان الفصل ينتهي في الصفحة 304، فأكتب معادلة قيمة مطلقة يمكنني من خلالها إيجاد أول صفحة وآخر صفحة يمكن أن يتوقف الأعضاء عن القراءة عندها.

إذا توقف  الطالب عن القراءة عند  الصفحة x

فإن المعادلة هي: $\left|x-304\right|-10$

ولها الحلان $x=314 , x=294$

يمكن أن يتوقف الطلبة عن القراءة عند أي صفحة من 294 إلى 314.

32) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.

إذا كان طول المسمار x، فإن المعادلة هي:

$\left|x-5\right|-0.02$

ولها الحلان: $x-5.02, x-4.98$

33) أمثل الاقتران $f\left(x\right)=\left|(x-2)(x+6)\right|$ بيانيا.

34) أجد قيمة k التي يكون عندها المعادلة k = $\left|(x-2)(x+6)\right|$ ثلاثة حلول.

$k=16$، لأن المستقيم y=16 يلاقي منحنى القيمة المطلقة الممثل في السؤال السابق في 3 مواقع عند الرأس ونقطتيين من المنحنى. لاحظ أنه عندما تكون $k>16$ يصبح للمعادلة حلان فقط، وإذا كانت $0<k<16$، فإن للمعادلة 4 حلول.

35) أفاعي: تعيش معظم الأفاعي في بيئة تتراوح درجة حرارتها من $75° F$ إلى $90° F$، أكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل درجات حرارة البيئات التي لا تعيش فيها الأفاعي.

إذا كانت درجة الحرارة هي x، فإن قيم x المقبولة هي المظللة باأزرق، وقيم x التي لا يعيش فيها الأفاعي مظللة بالأحمر. لإيجاد المتباينة التي حلها هو تالجزء المظلل بالأحمر أجد منتصف الفترة المظللة بالأزرق.

متوسط 75, و90 هو 82.5، فالدرجات التي لايعيش فيها الأفاعي هي التي تزيد عن 82.5 أو تقل عنها بأكثر من $7.5°$، كما يظهر في الرسم.

المتباينة التي تصف ذلك هي: $\left|x-82.5°\right|>7.5°$

36) إيجارات: يبحث سعيد عن شقة للإيجار في أحد الأحياء، وقد وجد أن معدل الإيجار الشهري للشقة في ذلك الحي هو 250 دينارا. ولكن الإيجار الفعلي للشقة قد يزيد أو ينقص عن ذلك بمقدار 55 دينارا على الأكثر. أكتب متباينة قيمة مطلقة أجد من خلالها مدى الإجار الشهري لشقة في هذا الحي.

ليكن إيجار الشقة x دينار،  تكون المتباينة التي تصف حدود الإيجار هي: $\left|x-250\right|\le 55$ وحلها هو: $195\le x\le 305$

مدى إيجار شقة في هذا الحي هو من 195 دينار إلى 305 دنانير.

37) جيولوجيا: قد تزيد كتلة 20 قدم مكعب من الرخام أو تقل عن 3400 رطل، بما لا يزيد على 100 رطل. أكتب متباينة قيمة مطلقة تعبر عن هذه المعلومات، وأجد مدى الكتلة الممكنة لقدم مكعب واحد من الرخام.

لتكن كتلة القدم المكعب من ارخام x رطل، فتكون كتلة 20 قدم مكعب 20x رطل المتباينة التي تصف المسألة هي: $\left|20x-3400\right|\le 100$ وحلها هو: $165\le x\le 175$

كتلة القدم المكعب من الرخام تتراوح ما بين 165 رطل إلى 175 رطل.

مهارات التفكير العليا

38) تبرير: إذا كان $a\ne 0$، فهل للمعادلتين $\left|x\right|+a=b و، \left|x+a\right|=b$ الحل نفسه؟ أبرر إجابتي.

كلا، ليس لهما الحل نفسه. حلا المعادلة $\left|x+a\right|=b$هما $b-a,-b-a$، بينما حلا المعادلة $\left|x\right|+a=b$ هما $b-a , a-b$، فهما تشتركان في أحد الحلين $b-a$، وتختلفان في الآخر.

39) تحد: أحل المعادلة $\left|2x+1\right|+5=\left|7-3x\right|$.

لحل هذه المعادلة نأخذ 4 حالات

الحالة 1: (اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة موجب في الطرفين)

$$\begin{gathered} 2x+1+5=7-3x \\ x=0.2 \end{gathered}$$

0.2 تحقق المعادلة الأصلية لأن $$\begin{gathered} \left|2(0.2)+1\right|+5=\left|7-3(0.2)\right| \\ 6.4=6.4 \end{gathered}$$

الحالة 2: (اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة سالب في الطرفين)

$$\begin{gathered} -(2x+1)+5=-(7-3x) \\ x=2.2 \end{gathered}$$

2.2 لا تحقق المعادلة الأصلية لأن $$\begin{gathered} \left|2(2.2)+1\right|+5\ne \left|7-3(2.2)\right| \\ 10.4\ne 0.4 \end{gathered}$$

الحالة 3: (اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة موجب في الطرف الايمن وسالب في الايسر)

$$\begin{gathered} -(2x+1)+5=7-3x \\ x=3 \end{gathered}$$

3 لا تحقق المعادلة الأصلية لأن $$\begin{gathered} \left|2\left(3\right)+1\right|+5\ne \left|7-3\left(3\right)\right| \\ 12\ne 2 \end{gathered}$$

الحالة 4: (اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة موجب في الطرف الأيسر وسالب في الطرف الأيمن)

$$\begin{gathered} 2x+1+5=-(7-3x) \\ x=13 \end{gathered}$$

13 تحقق المعادلة الأصلية لأن $$\begin{gathered} \left|2\left(13\right)+1\right|+5=\left|7-3\left(13\right)\right| \\ 32=32 \end{gathered}$$

إذن، لهذه المعادلة حلان هما: 0.2,13.

40) أكتشف المختلف: أحدد المتباينة التي تختلف عن المتباينات الثلاث الأخرى. أبرر إجابتي.

المتباينة المختلفة هي $5-\left|4x+1\right|\le 8$ التي تتحول إلى $\left|4x+1\right|\ge -3$، وبذلك تكون مجموعة حلها هي R مجموعة الاعداد الحقيقية كاملة، بينما بقية المتباينات حلولها مجموعات جزيئية من R.

41) أكتشف الخطأ: مثلت مريم مجموعة حل المتباينة $\left|2x-3\right|>5$ على خط الأعداد على النحو الآتي:

هل كانت إجابتها صحيحة؟ أبرر إجابتي.

إجابة مريم غير صحيحة، فالتمثيل المعطى هو للمتباينتين $x>4$، أو $x>-1$

بينما حل المتباينة المعطاة هو $x<-1 or x>4$، ويكون تمثيله على خط الأعداد على النحو الآتي:

42) تحد: أحل المتباينة $|x+3|-2<-|x+4|+8$.

لحل هذه المتباينة نأخذ 4 حالات

الحالة 1: (اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة موجب في الطرف الأيمن وسالب في الأيسر وتحويلها إلى معادلة)

$$\begin{gathered} x+3-2=-x-4+8 \\ x=1.5 \end{gathered}$$

الحالة 2:(اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة موجب في الطرف الأيمن وسالب في الأيسر وتحويلها إلى معادلة)

$$\begin{gathered} -x-3-2=-x-4+8 \\ -5\ne 4 \end{gathered}$$

الحالة 3:(اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة سالب في الطرفين وتحويلها إلى معادلة)

$$\begin{gathered} -x-3-2=x+4+8 \\ x=-8.5 \end{gathered}$$

الحالة 4:(اعتبار ما بداخل القيمة المطلقة سالب في الطرف الأيمين وموجب في الأيسر وتحويلها إلى معادلة)

$$\begin{gathered} x+3-2=x+4+8 \\ 1\ne 12 \end{gathered}$$

أختار عددا بين الحلين 8.5- و 1.5 وليكن 0 آعوضه في المتباينة الأصلية

$$\begin{gathered} \left|x+3\right|-2<-\left|x+4\right|+8 \\ \left|0+3\right|-2<-\left|0+4\right|+8 \\ 1<4 \end{gathered}$$

العدد 0 حقق المتباينة الأصلية

إذن مجموعة الحل هي الأعداد الواقعة بين الحلين

أي $-8.5<x<1.5$، أو الفترة $\left(-8.5, 1.5\right)$.

حل أسئلة كتاب التمارين

أحل كل من المعادلات الآتية، وأتحقق من صحة الحل:

$1) \left|5x-2\right|=6$

$x=1.6, x=-0.8$

الحلان يحققان المعادلة الأصلية.

$2) 4\left|x+2\right|-3=9$

$x=1, x=-5$

الحلان يحققان المعادلة الأصلية.

$3) 10-2\left|x+1\right|=6$

$x=1 , x=-3$

الحلان يحققان المعادلة الأصلية.

$4) 5+\left|x-2\right|=3$

بإعادة ترتيب المعادلة تتحول إلى: 

$\left|x-2\right|=-2$

ليس لها حل لأن القيمة الممطلقة غير سالبة.

$5) \left|\frac{x-2}{3}\right|=2x-1$

$x=\frac{5}{7}$

عند حل المعادلة جبريا، نجد لها حلين هما $\frac{5}{7}$ و $\frac{1}{5}$ ، ولكن $\frac{1}{5}$ لا يحقق المعادلة الأصلية، فيكون لهذه المعادلة حل واحد هو $\frac{5}{7}$. 

$6) \left|3x-5\right|=\left|1-2x\right|$

$x=1.2 , x=4$

الحلان يحققان المعادلة الأصلية.

$7) \left|x^2-2\right|=x$

يمكن حل المعادلة بتمثيل طرفيها في المستوى البياني نفسه كما في الرسم المجاور، وملاحظة الأحداثي x لنقطتي التقاطع. لهذه المعادلة حلان هما x=2 و x=1 ويمكن حلها جبريا على النحو التالي:

الحالة 1:

$$\begin{gathered} x^2-2=-x \\ {x}^2-x-2=0 \\ (x-2)(x+1)=0 \\ x=-1 , x=2 \end{gathered}$$

الحالة 2:

$$\begin{gathered} x^2-2=-x \\ {x}^2+x-2=0 \\ (x+2)(x-1)=0 \\ x=1 , x=-2 \end{gathered}$$

الحلان السالبان لا يحققان المعادلة الأصلية لأن طرفها الأيمن عند التعويض يكون عددا سالبا و الأيسر موجبا (قيمة مطلقة) فلا تكون العبارة صحيحة.

وبالتعويض:

$$\begin{gathered} x=2 \\ \left|4-2\right|=2 \\ \left|2\right|=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=1 \\ \left|1-2\right|=1 \\ \left|-1\right|=1 \end{gathered}$$

إذن، لهذه المعادلة حلان هما x=2 و x=1.

$8) \left|3x+5\right|=\left|7-x\right|$

$x=\frac{1}{2} , x=-6$

$9) \left|\frac{3x+4}{2x+1}\right|=2$

$x=2 , x=\frac{-6}{7}$

أحل كلا من المتباينات الآتية، وأمثل مجموعة الحل على خط الأعداد:

$10) \left|4-3x\right|\ge 10$

$x\le -2 , x\ge \frac{14}{3}$

$11) 6\left|4x+2\right|-8<34$

$\frac{-9}{4}<x<\frac{5}{4}$

$12) \left|5x-10\right|>4-2x$

$x=2 , x=2$

$13) \left|3x-2\right|>\left|2x+7\right|$

$x>9 , x<0$

$14) \left|3-2x\right|\le \left|4x+3\right|$

$x\ge \frac{-1}{7} , x\le -5$

$15) \left|1+7x\right|\ge \left|x-6\right|$

$x\le -\frac{7}{6} or x\ge \frac{5}{8}$

مجموعة الحل: $(-\infty ,-\frac{7}{6}] \cup [\frac{5}{8},\infty )$

أكتب متباينة قيمة مطلقة، تمثيل مجموعة حلها على خط الأعداد كما يأتي:

$\left|x-5\right|\le 3$

$\left|2x-1\right|\ge 5$

18) فلك: في أثناء دوران الأرض حول الشمس، يكون متوسط المسافة بينهما 92.95 مليون ميل، ولا يزيد بعدها عن الشمس أو يقل عن هذا المتوسط بأكثر من 1.55 مليون ميل خلال العام. أكتب متباينة قيمة مطلقة، ثم أستعملها لإيجاد مدى بعد الأرض عن الشمس خلال العام.

أفرض أن بعد الأرض عن الشمس هو x مليون ميل، فيكون الفرق بين x والمتوسط أقل من 1.55 مليون ميل أو يساويها. أي أن:

$$\begin{gathered} \left|x-92.95\right|\le 1.55 \\ -1.55\le -92.95\le 1.55 \\ 92.95-1.55\le x\le 92.95+1.55 \\ 91.4\le x\le 94.5 \end{gathered}$$

إذن، يتراوح بعد الأرض عن الشمس خلال العام ما بين 91.4، و94.5 مليون ميل.