رياضيات10 فصل أول

أتحقق من فهمي صفحة 11

أحل نظام المعادلات الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل: 

                                  

اتحقق من فهمي صفحة 13

احل نظام المعادلات المجاور، ثم أتحقق من صحة الحل: 

اتحقق من فهمي صفحة 13

أحل نظام المعادلات الآتي: 

   

أتحقق من فهمي صفحة 15

مزرعة مستطيلة الشكل، طول قطرها 50m ، ومحيطها 140m . أجد بعدي المزرعة .

أتدرب وأحل المسائل صفحة 15

أحل كلا من أنظمة المعادلات الآتية، ثم أتحقق من صحة الحل: 

 بركة:  بركة ماء قاعدتها مستطيلة الشكل، ومحيطها 16m ،

       والفرق بين مربعي بعديها $16m^2$ . أجد بعديها.

 

اعداد: اجد العددين الموجبين اللذين مجموعهما $12$، والفرق بين مربعيهما $24$

      هندسة: دائرتان مجموع محيطيهما $12\mathrm{\pi cm}$، ، ومجموع مساحتيهما $20{\mathrm{\pi cm}}^2$. . 

      أجد قطر كل منهما .

16) اعمار: قالت شيماء:((عمري اكبر باربع سنوات من عمر اخي ريان، ومجموع مربعي عمرينا هو 346 عاما)). ما عمر شيماء؟ 

الحل:  عمر شيماء  = $x$    عمر ريان = $y$

$x-4=y$

$x^2+y^2=346$

$x^2+{(x-4)}^2=346$

$x^2+x^2-8x+16=346$

$2x^2-8x-330=0$

$x^2-4x-165=0$

$x_1=\frac{4+\sqrt{676}}{2x1}=\frac{4+26}{2}=15\to y_1=15-4=11$

$x_2=\frac{4-\sqrt{676}}{2x1}=\frac{-22}{2}=-11\mathrm{مرفوض}$

عمر شيماء=15  وعمر ريان =11

17) لوحة: لوحة مستطيلة الشكل، طولها يساوي مثلي عرضها، وطول قطرها $\sqrt{1.25}m$، احيط بها اطار، تكلفة المتر المربع الواحد منه بالدينار 2.25. اجد تكلفة الاطار 

المعطيات: اللوحة مستطيلة الطول يساوي مثلي العرض , طول القطر =$\sqrt{1.25}$تكلفة متر الاطار 2.25

المطلوب كلفة الاطار 

الحل :     الطول   $x$    العرض  $y$

     $x=2y$

$x^2+y^2=1.25$

$x=2y\to {\left(2y\right)}^2+y^2=1.25\to 4y^2+y^2=1.25$

$5y^2=1.25\to y^2=\frac{1}{4}\to y=\pm \frac{1}{2} \left(\frac{-1}{2}\mathrm{مرفوض}\right)$

$y=\frac{+1}{2}\to x=1$

تكلفة الاطار =محيط اللوحة × سعر المتر

                   =$2.25\times (2x1+2\times \frac{1}{2})=2.25\times \left(2+1\right)=2.25\times 3=6.75$

 

18) زراعة: قسم فيصل 41m² من مزرعته الى منطقتين مربعتي الشكل، ثم زرعهما بمحصولي الطماطم والبطاطا. اذا زاد بعد المنطقة المزروعة بالطماطم مترا واحدا على بعد المنطقة المزروعة بالبطاطا، فما مساحة المنطقة المزروعة بكل محصول؟ 

 

مجموع المنطقتين وكلتاهما مربع يساوي 41

نفرض ان ضلع منطقة الطماطم هو  $x$

نفرض ان ضلع منطقة البطاطا هو  $y$

بالتالي حسب المعطيات $x^2+y^2=41$

$x-1=y\to x^2+{\left(x-1\right)}^2=41\to x^2+x^2-2x+1=41$

$2x^2-2x-40=0\to x^2-x-20=0$

$(x-5)(x+4)=0\to x=5, x=-4\left(\mathrm{مرفوضة}\right)$

$y=5-1=4$

مساحة منطقة الطماطم تساوي $5x5=25m^2$

مساحة منطقة البطاطا تساوي$4x4=16m^2$

19) تمثل المعادلة y=2+0.12x-0.002x² مسار قذيفة مدفع تم اطلاقها نحو تلة. اجد احداثيات النقطة التي اصطدمت عندما القذيفة بسفح التلة؛ اذا علمت انه مستقيم ومعادلة y=0.15x

$\left(40,6\right)$ احداثيات نقطة الاصطدام

$0.15x=2+0.12x-0.002x^2$

$0.002x^2+0.15x-0.12x-2=0$

$\frac{2}{1000}{x}^2+\frac{30}{1000}x-\frac{2000}{1000}=0\to 2x^2+30x-2000=0$

$x^2+15x-1000=0\to (x+40)(x-25)=0$

$x=25, x=-40\left(\mathrm{مرفوضة}\right)$

$y=\frac{15}{100}\times 25=3.75$

---

مهارات التفكير العليا 

20) تبرير: صممت نافورة بصورة يخرج منها الماء بحسب العلامة:y+x²=10، اذا وضعت وحدة انارة على المستقيم الذي معادلته :Y=12+X فهل يصل ماء النافورة وحدة الانارة؟ 

$y+x^2=10\to 12+x +x^2=10\to x^2+x+2=0$

لايوجد حل للمعادلة لان المميز سالب اذا لايصل ماء  النافورةالى وحدة الانارة

21) تحد: اذا علمت ان المعادلة الخطية:y=3x+p تقطع المنحنى:y=2x²+3x-5 في نقطة واحدة فقط، فما قيمة p ؟ 

$3x+P=2x^2+3x-5$

$2x^2-5-P=0\to 2x^2-\left(5+P\right)=0$

بما انه يوجد لدينا نقطة تقاطع وحيدة اذا يوجد حل وحيد بالتالي المميز يساوي صفر

$0-4\times 2\times -\left(5+P\right)=0\to 8\left(5+P\right)=0$

22) تحد: اجد مساحة شبه المنحرف المرسوم باللون الازرق اسفل منحنى الاقترانy=-0.3x²+4في الشكل المجاور 

نجد صورة $-3$

$y=\frac{-3}{10}x9+4=1.3$

في البداية يجب ايجاد معادلة المستقيم الازرق حيث انه يمربالنقطيتين $\left(-3,1.3\right)\left(4,4\right)$

$m=\frac{4-1.3}{4--3}\approx 0.4$

$y-4=0.4(x-4)\Rightarrow y=0.4x-1.6+4=0.4x+2.4$

$0.4x+2.4=\frac{-3}{10}{x}^2+4$

$\frac{3}{10}{x}^2+\frac{4}{10}x+\frac{24}{10}-\frac{40}{10}=0 \Rightarrow 3x^2+4x-16=0$

$208=\mathrm{المميز}$

$x_1=\frac{-4+\sqrt{208}}{2x3}=1.7 \Rightarrow y_1=\frac{-3}{10}x(1.7^2)+4=3.133$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{208}}{2x3}\approx -3 \left(\left(\mathrm{مرفوضة}\right)\right)$

مساحة شبه المنحرف = الارتفاع x(مجموع القاعدتين)\2

$=\frac{\left(\left(1.3-0\right)+\left(3.133-0\right)\right)}{2}\times \left(1.7--3\right)=2.2165\times 4.7=10.42$

 

 

---

كتاب التمارين صفحة 12

احل كلا من انظمة المعادلات الاتية، ثم اتحقق من صحة الحل: 

$1) y=7x+15$

$y=3x^2+5x-2$

$7x+15=3x^2+5x-2\Rightarrow 3x^2-2x-17=0$

$\sqrt[]{208}=\mathrm{المميز}$

$x_1=\frac{2+\sqrt[]{208}}{2x^3}=\frac{2+\sqrt[]{208}}{6} \Rightarrow y_1=7\left(\frac{2+\sqrt[]{208}}{6}\right)$

$x_2=\frac{2-\sqrt[]{208}}{2x^3}=\frac{2-\sqrt[]{208}}{6} \Rightarrow y_2=7\left(\frac{2-\sqrt[]{208}}{6}\right)$

---

$2) y-x=1$

$y=2x^2-11x+16$

$y=x+1 \Rightarrow x+1=2x^2-11x+16\Rightarrow 2x^2-12x-15=0$

$24=\mathrm{المميز}\Rightarrow x_1=\frac{11+\sqrt[]{24}}{2x2}=\frac{11+\sqrt[]{24}}{4}\Rightarrow y_1=\frac{11+\sqrt[]{24}}{4}+1$

$x_2=\frac{11-\sqrt[]{24}}{2x2}=\frac{11-\sqrt[]{24}}{4}\Rightarrow y_2=\frac{11-\sqrt[]{24}}{4}+1$

---

$3) y-x=10$

$x^2+y^2=50$

$y=x+10\Rightarrow x^2+{(x+10)}^2=50\Rightarrow x^2+x^2+20x+100-50=0$

$2x^2+20x+50=0\Rightarrow x^2+10x+25=0\Rightarrow {(x+5)}^2=0$

$x=-5\Rightarrow y=10+-5=5$

---

$4) x+y=20$

$x^2-y^2=16$

$(10.4 , 9.6)\mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$5) y-x=0$

$y=x^2+3x+2$

$\mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \mathrm{لها} \mathrm{حل} \mathrm{لا}$

---

$6) y=2x-5$

$y=x^2-2x$

$\mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \mathrm{لها} \mathrm{حل} \mathrm{لا}$

---

$7) y=x-1$

$y=x^2-3x+2$

$x-1=x^2-3x+2\Rightarrow x^2-4x+3=0$

$(x-3)(x-1)=0\Rightarrow x_1=3 ,x_2=1\Rightarrow y_1=2 ,y_2=0$

$(3,2) (1,0)$

---

$8) y-2x=1$

$y=5x^2+4y-1$

$\mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \mathrm{لها} \mathrm{حل} \mathrm{لا}$

---

$9)y-x+1=0$

$y=x^2+3x$

$(-1,-2)$

---

$10) y=2$

$x^2+y^2=4$

$x=0\Rightarrow (0,2)$

---

$11) y-x=1$

$y=x^2+6x+8$

$\mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \mathrm{لها} \mathrm{حل} \mathrm{لا}$

---

$12) y=2-3x$

$y=x^2-4$

$2-3x=x^2-4\Rightarrow x^2+3x-6=0$

$\mathrm{المميز} =9+24=33$

$x_1=\frac{-3+\sqrt[]{33}}{2x1}=\frac{-3+\sqrt[]{33}}{2} =1.37\Rightarrow y_1=2-3\frac{-3+\sqrt[]{33}}{2}=-2.11$

$x_2=\frac{-3-\sqrt[]{33}}{2x1}=\frac{-3-\sqrt[]{33}}{2}=-4.37\Rightarrow y_2=2-3\frac{-3-\sqrt[]{33}}{2}=15.11$

$(1.37,-2.11) (-4.37,15.11) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

 

13)حدائق: حديقة مستطيلة الشكل، طول قطرها 30m،ومحيطها 84m. اجد بعديها 

$$\begin{gathered} x \mathrm{الطول} \\ y \mathrm{العرض} \\ 2x + 2y = 84 \\ x + y = 42 \\ y = 42 - x \\ \mathrm{فيثاغورس} \mathrm{قانون} \mathrm{حسب} \\ {\left(30\right)}^2 = x^{ 2} + y{ }^2 \\ 900 = x^{ 2} + {\left( 42 - x\right)}^{ 2} \\ 900 = x^2 +1764 - 84 x - x^2 \\ 900 -1764 = -48 x \\ -864 = -48 x \\ x = 18 \\ y = 42-18 = 24 \end{gathered}$$

 

14)سجاد: اشترت ليلي سجادة مستطيلة الشكل،طول قطرها $\frac{1}{2}\sqrt[]{34}m$، ومحيطها 8m.اجد بعديها

$2x+2y=8$

$x^2+y^2=\frac{34}{4}$

$y=4-x$

${(\frac{1}{2} \sqrt[]{34})}^2=x^2+y^{ 2}$

$\frac{1}{4}\left(34\right)=x^2+{(4 -x)}^2\frac{1}{4}\left(34\right)=x^2+16-8x+x^2$

$\frac{1}{4}\left(34\right)-16=2x^2 -8x \to \frac{17}{2}- \frac{32}{2}=2x^2 -8x$

$0=2x^2-8x+\frac{15}{2}$

$0=4x^2-16x+15$

$4=\mathrm{المميز}$

$x_1=\frac{16+4}{2x4}=\frac{20}{8}=2.5\Rightarrow y_1=1.5$

$x_2=\frac{16-4}{2x4}=\frac{12}{8}=1.5\Rightarrow y_1=2.5$

 

15)ادخار: اذا كان الفرق بين المبلغ الذي ادخرته رزان والمبلغ الذي ادخرته اختها هديل هو دينارين، وكان مجموع مربعي ما معهما 74دينارا،فكم ادخرت كل منهما ؟ 

x - y = 2 

x = y +2

x² + y² = 74 

( y + 2)²  + y² = 74 

y² + 4y + 4 + y²  - 74 = 0

2 y² + 4y - 70 = 0

y² + 2y - 35 = 0

( y + 7 )( y - 5) = 0

y = -7     مرفوض 

 y = 5 

x = 5 +2 = 7

 

16)نقود: قال مازن ان مجموع مالدي ولدى اخي من نقود هو 7دنانير، وان الفرق بين مربعي ما معنا هو 7دنانير. كم دينارا مع مازن واخيه؟ 

17)اذا كان المستقيم y=3x-4 يقطع المنحنى y=x²-px+4 في نقطتين، فما قيمة P؟ 

3x - 4 = x²-px+4

x²-(p+3)x + 8 = 0

$x^{2 }-px+4=3x-4\Rightarrow x^2-(p+3)x+8=0$

تمر بنقطتين يعني المميز اكبر من صفر

$\mathrm{المميز}=(-{(p+3))}^2-4(1\left)\right(8)>0$

$p^2+6p+9-32>0\Rightarrow p^2+6p-23>0$

$p^2+6p-23=0\Rightarrow \mathrm{المميز}=128$

$p=\frac{-6+\sqrt[]{128}}{2x1}=\frac{-6+8\sqrt[]{2}}{2}=-3+4\sqrt[]{2}\approx 2.66$

$p=\frac{-6-\sqrt[]{128}}{2x1}=\frac{-6-8\sqrt[]{2}}{2x1}=-3-4\sqrt[]{2}\approx -8.66$

 

اي ان $p\in (-\infty ,-8,66),(2.66,\infty )$